第二十七章反比例函数单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册反比例函数单元培优卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，融合双曲线冷却塔、砗磲生长等真实情境，考查反比例函数概念、图像性质及综合应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|反比例关系判断、图像性质比较、与一次函数综合|第7题以气体密度体积为情境，考查反比例函数实际意义，体现数学思维| |填空题|5/15|反比例函数定义、最值、几何综合|第14题结合等腰直角三角形求点坐标，培养几何直观| |解答题|8/75|基础计算、图像探究、实际应用、数学文化|22题通过砗磲生长模型构建，发展模型意识；23题帕普斯三等分角融入数学文化，提升创新意识|

第二十七章反比例函数单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟) 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的) 1.下列数量关系中，成反比例关系的是() A.橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B.圆柱的体积一定，它的底面积与高 C.学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D.速度一定，路程与时间 2.若点P(4,a)在反比例函数y=8的图象上，则a的值为() A.2 B.-2 c D.-月 3.下列函数中，当x>0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是() A.y=子 B.y=x+1 C.y=2x D.y=-2 4.若点A(x1,-2),B(x2,1),C(x,2)都在反比例函数y=-的图象上，则x1,x2, x3的大小关系是（) A.X3<X2<X1 B.X2<X1<X3 C.x1<X3<x2 D.x2 X3 <X1 5.若反比例函数y=的图象经过点A(侵-2)，则一次函数y=-kx+k与y= 在同一坐标系中的大致图象是（) 6.如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线 上，其中反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M,N 在格点上，设点N的坐标为(n,-2),则k=() A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 P个 乙丙 第6题图 第7题图 7.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别 描述这四种气体的密度pkg/m)与体积V(m)的情况，其中描述乙、丁两种气体 情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C均在函数y=(x>0)的图 象上，顶点B在函数y=x>0)的图象上，且ABIx辅，BC1辅，若=是 则线段AB的长为() A.1 B.22 C.v2 D.2 3 B A B 图1 图2 第8题图 第9题图 9.火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫 双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如 图2)所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB 的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE、CF分别是两个反比 例函数图象的一部分，已知AB=88m,BC=20m,上口宽EF=16m,则整 个冷却塔高度为()米. A.100 B.110 C.115 D.120 10.已知点A(-2,3),B(1,5),若反比例函数y=k与线段AB有公共点时，k的取 2 值范围是() A:-≤k<0或0<k≤5 B.k≤-6或k≥5 C.-6≤k<0或k≥5 D.-6≤k<0或0<k≤5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.若函数y=(k+3)xk2+3k-1是反比例函数，则k的值为 12.己知反比例函数y=则当1≤x≤3时，y的最小值是 13.点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在反比例函数y=6的图象上，若x1·x2=-4,则2+ 1V1 的值为 y2 14.如图是反比例函数y=生(x>0)的图象，等腰Rt△ABC的直角顶点A恰好 在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为 B 15.若函数y1的图象上存在点P,函数y2的图象上存在点Q,且P、Q关于y轴 对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶 值”.下列结论：①函数y1=2x+3与函数y2=-x+1不具有“对偶关系”；② 函数y1=2x+3与函数y2=-x+1的“对偶值"为-1；③函数y1=2x+3与函 数y2=具有“对偶关系”；④若1是函数y1=kx+3与函数y2=的“对偶值”， 则k=2.其中正确的是 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 16.(6分)已知反比例函数y=5 (1)写出这个函数自变量的取值范围： (2)当x=-2V5时，求函数y的值： (3)当y=-3时，求自变量x的值. 17.(10分)在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象一一利用函 数图象研究函数性质一一利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴 这种方法探究函数y=4的图象和性质。 x-1 A 5 3 2 543g1012345六 ·2 -5 (1)根据题意，列表如下： X 3 -2 -1 0 2 3 5 4 -2 m 4 2 3 3 表格中m的值为 (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数y二的图象： (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当x<1时，y随x的增大而 ②函数y=4的图象关于点 中心对称：（填点的坐标) ③函数y=4的图象是由y=的图象向 平移 个单位长度得 到的 (4)函数y=2的图象可由函数y=的图象平移得到，想象函数y=2的图象， x+21 直接写出当生≥一2时，x的取值范围是 x+2 4 18.（9分)正方形0ABC在平面直角坐标系中如图所示，已知B(4,4),反比例函 数y=“(x>O)的图象经过BC中点E,交AB于点F (1)求反比例函数的解析式： (2)连接0E,OF,EF,求△OEF的周长. \E B A 19.(9分)如图，一次函数y=-x+b的图象是由y=ax的图象向上平移1个单 位得到，交反比例函数y=(x<0)的图象于点B,交y轴于点A.E为y轴上一 点，DE分别交一次函数y=一x十b、反比例函数y=的图象于点D,F.过点B 作BC1y轴于点C,BC为△ADE的中位线，BC=1. (1)求反比例函数y=的表达式： (2)求线段DF的长. B 5 20.(9分)学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示.某班学生 在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x(分钟)的变化情况如图所示.上课 开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内y是x的一 次函数：10分钟以后y与x成反比例.根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了 保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 40 30 02 10 40x(分钟) 21.(10分)如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0) 的图象交于第二、四象限内的点A(α，4)和点B(8,b).过点A作x轴的垂线，垂足 为点C,△A0C的面积为4. (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出mx十n<的解集； (3)在x轴上取点P,使PA-PB取得最大值时，求出点P的坐标. B 6 23.(12分)利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分， B 图① 图② 图③ (1)如图①，EH是LMEN的三等分线，∠MEH=2LHEN,点D在EH上，过点D 作DAIIEN,交EM于点A,分别过点A、点D作AB L EN,DC L EN,垂足为B、C, AB交EH于点F,点O是DF的中点，连接AO并延长交CD于点G.猜想AG与AE的数 量关系，并说明理由。 (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数y=(x>0)的图象成功将锐角三等 分，作法如下： 1.如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠A0B的顶点与原点0重合，角的 边OB与x轴正方向重合： 2.在平面直角坐标系里，绘制函数y=(x>0)的图象，图象与已知角的另一 边OA交于点P: 3.以P为圆心，以20P为半径作弧，交函数y=的图象于点R: 4.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T; 5. 连接OT,得到∠TOB. 请根据以上作法，证明∠TOB=∠AOB. (3)如图®，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数y=: (k>0,x>0)的图象作出线段0A的三等分点.（要求：尺规作图，保留作图 痕迹，写出必要说明.) 第二十七章 反比例函数 单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 2．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 第6题图 第7题图 7．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 第8题图 第9题图 9．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． A．100 B．110 C．115 D．120 10．已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 12．已知反比例函数，则当时，y的最小值是______． 13．点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 14．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为__________． 15．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是__________． 三、解答题（本大题 共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）已知反比例函数． （1）写出这个函数自变量的取值范围； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的值． 17．（10分）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 18．（9分）正方形在平面直角坐标系中如图所示，已知，反比例函数的图象经过中点E，交于点F． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，求的周长． 19．（9分）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求线段的长． 20．（9分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 22．（10分）如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 23．（12分）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 2．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 3．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵反比例函数中，∴函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，∵点的纵坐标，∴点在第四象限，，∵点、的纵坐标，，∴点、在第二象限，，，∵在第二象限内随的增大而增大，且，∴，∴． 5．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵反比例函数的图象经过点，∴， ∴反比例函数解析式为：，∴图象在第二、四象限内，∵，∴一次函数为，∴图象经过第一、三、四象限，联立两函数解析式可得：，则，∵，∴两函数图象无交点，综上：选项D符合题意． 6．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 7．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解析】由题意得：的值即为该气体的质量，由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴乙、丁两种气体的质量相同，∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方，∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图，延长交轴于点，延长交轴于点，∴轴，轴，设点的横坐标为，∵点在函数的图像上，当时，得，∴，∴点的纵坐标为，点的横坐标为，∵顶点、均在函数的图像上，当时，得；当时，得；∴，，∴，，∵，∴，∴或（舍去），∴． 9．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 【答案】B 【解析】由题可知，四边形是矩形，在轴上，轴垂直平分，∵，根据对称性可知：，∴，∵，且，∴，设所在的反比例函数解析式为，把代入中，得，解得，∴所在的反比例函数解析式为，∵，且图形关于轴对称，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴把代入中，得，∵所在直线为轴，即地面高度为0，∴整个冷却塔的高度为110． 10．已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】设直线的解析式为，将，代入，得，解得，∴直线的解析式为，线段的取值范围是，联立，整理得，当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况，∵二次函数开口向上，且当时，，∴当，时，方程在内有解，解得；∴；当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况，∵二次函数开口向上，对称轴为，∴在时，随增大而增大，且当时，，∴当，时，方程在内有解，解得，∴；综上，的取值范围是或． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【解析】函数是反比例函数，∴且，解得． 12．已知反比例函数，则当时，y的最小值是______． 【答案】2 【解析】由反比例函数的性质，当时，函数在时单调递减．对于，当 时，；当 时，．故 的最小值为． 13．点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】∵点都在反比例函数的图象上，，，且，，∴． 14．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为__________． 【答案】 【解析】如图，过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴点的横纵坐标的绝对值相等，又∵点在第一象限，∴点的横纵坐标相等，设点，，且点在反比例函数上，∴，解得，∴点的坐标为． 15．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是__________． 【答案】②③④ 【解析】根据定义，设，则关于轴的对称点为，若两函数具有“对偶关系”，则在图象上，满足，纵坐标为“对偶值”，①对于，，代入得，，令，解得，存在实数解，因此两函数具有“对偶关系”，故①错误；②由①得，对偶值为，故②正确；③对于，，代入得，，令，整理得，，方程有实根，存在满足条件的点，因此两函数具有“对偶关系”，故③正确；④是“对偶值”，纵坐标为，在上，令，得，即，与关于轴对称，，将代入得，解得，故④正确；综上，②③④正确. 三、解答题（本大题 共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）已知反比例函数． （1）写出这个函数自变量的取值范围； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的值． 【答案】解：（1）自变量的取值范围为； （2）当时，； （3）当时，，解得． 17．（10分）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】（1）； （2）函数图象如图： （3）①减小；②；③右，1； （4）或．【解析】如图，的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到，当或时，． 18．（9分）正方形在平面直角坐标系中如图所示，已知，反比例函数的图象经过中点E，交于点F． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，求的周长． 【答案】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，∴，∴， ∵点E为的中点， ∴点E的坐标为，即， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴，∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，∴， ∴点F的横坐标为4， 在中，当时，， ∴， ∴， 由（1）得点E的坐标为， ∴，， ∴， ∴的周长为． 19．（9分）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求线段的长． 【答案】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴，∴， 点的坐标为，∴， ． 20．（9分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】解：（1）由得， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． （2）由图象可知，的解集为或； （3）如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时取得最大值，为， 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， . 22．（10分）如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【答案】解：（1）将代入， 得解得 ， ∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）当时，， 反比例函数的解析式为． （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； 由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， ∴选择模型2． 当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． （4）因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 23．（12分）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】（1）解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； （2）证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； （3）解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $