综合测试卷6-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以跨章节知识整合为核心，通过一题多解、方法归类构建系统性解题体系，强化数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|3（5/7/18）|抽象函数性质应用、构造函数法、分类讨论|函数奇偶性-周期性-对称性推导，导数与单调性逻辑链| |几何与代数|5（2/6/15/16/19）|向量坐标运算、正余弦定理、向量法求二面角|平面向量-立体几何-解析几何知识迁移，三角形边角关系推导| |概率统计|3（3/10/17）|排列组合间接法、条件概率、统计方案比较|事件互斥与独立判断，样本估计总体逻辑| |综合应用|4（8/11/13/14）|双曲线离心率计算、三角函数图像变换、椭圆定义应用|圆锥曲线定义-性质推导，三角函数周期与单调性关联|

综合测试卷六 一、单选题 1．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．平面向量，若，则（    ） A．6 B．5 C． D． 3．某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为的子任务的分配方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 4．已知，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 5．已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 6．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件B与事件相互独立 D．是两两互斥的事件 11．已知，函数，下列选项正确的有（    ） A．若的最小正周期，则 B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 C．若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 三、填空题 12．在数列中，是其前n项和，且，则数列的通项公式 ． 13．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 . 14．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 四、解答题 15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 16．如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．    (1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值． 17．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）. (1)估计这批苹果的重量的平均数； (2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案； 方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克； 方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费. 分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入. 18．已知函数． (1)若在区间存在极值，求的取值范围； (2)若，，求的取值范围． 19．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D B A D D ABD BD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 2．B 【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 因此. 故选：B． 3．C 【分析】可以考虑用间接法先不考虑限制求出共有种方法，进一步由分类原理即可求解. 【详解】不考虑限制条件则共有种方法， 若甲分到编号子任务，有两种情况： 甲分到一个子任务（即只有编号子任务），此时共有种方法； 甲分到两个子任务（即包含编号子任务），此时共有种方法； 则所求的分配方法共有种. 故选：C. 4．D 【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值. 【详解】由得，进而可得，所以， 故选：D 5．B 【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可. 【详解】由，即的一个周期为4， 由为偶函数可知关于轴对称，即， 又可知， 所以， 显然， 所以. 故选：B 6．A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    7．D 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 8．D 【分析】 根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解. 【详解】 设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为， 则， 由及双曲线的定义可知，， 故四边形是正方形， 得，于是， 故，所以， 于是，在中， 由余弦定理可得， 从而，所以. 故选：D. 9．ABD 【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】因为，所以，则， 选项A，，故正确； 选项B，因为，且，所以，故B正确； 选项C，因为，故C错误； 选项D，因为，故D正确， 故选：ABD． 10．BD 【分析】根据事件的条件概率公式、独立性公式等逐一判断可得结果. 【详解】解：依题意得，，， ， ，， 选项A：，故A不正确； 选项B：因为，故B正确； 选项C：因为，， 故， 所以事件B与事件不相互独立，故C不正确； 选项D：根据互斥事件的定义可知，是两两互斥的事件，故D正确. 故选：BD. 11．ACD 【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确． 【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确； 当时，可得， 将函数的图象向右平移个单位长度后得 ，所以B错误； 若在区间上单调递增，则， 解得， 又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确； 若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确． 故选：ACD． 12．，. 【分析】利用，求解数列的通项公式. 【详解】当时，，解得：， 令时，，即，解得：， 当时，， 故， 所以时，为公比为2的等比数列， 所以， 显然时，满足， 综上：，. 故答案为：，. 13． 【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案． 【详解】解：圆，圆心为，半径为4， 因为线段的垂直平分线交于点，所以， 所以． 所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为． 故答案为：． 14．/ 【分析】先变形同构，令，利用导数讨论单调性，由单调性可得，然后可得，令，利用导数求最值即可. 【详解】由得，所以，则， 因为，，，所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以由，即，得， 所以，所以． 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 故答案为： 【点睛】难点点睛：本题难点主要有二：一是根据已知进行同构函数，二是利用单调性得到，进而可得，利用导数即可求解. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果； （2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得． 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由（1）知，，所以由， 得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． [方法二]正弦定理+方程思想 由，得， 代入， 得， 整理得，则． 由，得， 所以． [方法三]余弦定理 令．由，得． 将代入中，可得， 即，解得或（舍去）． 所以， 从而． [方法四]摄影定理 因为，所以， 由射影定理得， 所以． 【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值； 方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值； 方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值； 【详解】（1）取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则， 则． 证明：， 由，得， 由，得， 因为平面，所以平面． （2）    由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量， 则,故， 令，得面的一个法向量为， 设二面角的值为， 则，所以，二面角的正弦值为． 17．(1)平均数约为159.6克 (2)答案见解析 【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，进而求出平均数； （2）计算出两种方案的销售收入，比较后得到结论. 【详解】（1）由题意，得，解得， 50个苹果重量的平均数为， 故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克； （2）若采用方案一，估计销售收入约为（元） 若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为 （千克）， 重量不小于160克的苹果的总重量约为 （千克）, 估计销售收入约为（元）, 因为，因此，方案二的销售收入更高. 18．(1) (2) 【分析】（1）对分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得； （2）设，原问题即为在时恒成立，多次求导后，对时及时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由，得， 当时，，则单调递增，不存在极值， 当时，令，则， 若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以是的极小值点， 因为在区间存在极值，则，即， 所以，在区间存在极值时，的取值范围是； （2）由在时恒成立， 即在时恒成立， 设，则在时恒成立， 则， 令，则， 令，则， 时，，则，时，，则， 所以时，，则即单调递增， 所以，则即单调递增， 所以， ①当时，，故，，则单调递增， 所以， 所以在时恒成立， ②当时，， ， 故在区间上函数存在零点，即， 由于函数在上单调递增，则时，， 故函数在区间上单调递减， 所以，当时，函数，不合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到，从而通过对及进行分类讨论. 19．(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $