综合测试卷3-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以代数、几何、概率统计三大模块整合核心知识，通过构造函数、割补法等方法提炼，系统训练数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|约10题（如构造函数比较大小）|构造函数、均值不等式、导数应用|函数与导数单调性分析，数列递推关系转化| |几何|约6题（如割补法求外接球）|割补法、空间向量、圆锥曲线定义|立体几何与空间向量转化，圆锥曲线定义应用| |概率统计|约3题（如分布列求解）|排列组合、分布列、期望计算|概率与排列组合结合，实际问题数学建模|

综合测试卷三 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．设函数,（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 6．已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，角，，所对边长分别为，，，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于下列命题中，说法正确的是（    ） A．已知，若，，则 B．数据，，，，，，，，，的分位数为 C．已知，若，则 D．某校三个年级，高一有人，高二有人.现用分层抽样的方法从全校抽取人，已知从高一抽取了人，则应从高三抽取人. 10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上的值域为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象一条对称轴 D．函数在上为增函数 11．已知，下列说法正确的是（　　） A．在 处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 三、填空题 12．如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 . 13．已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为 ． 14．若关于的方程有解，则实数m的最大值为 . 四、解答题 15．已知数列和满足， ，. （1）证明：是等比数列，是等差数列； （2）求和的通项公式. 16．杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元． (1)甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列； (2)为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？ 17．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 18．已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且. (1)求抛物线方程和N点坐标； (2)求证：直线AB过定点，并求该定点坐标. 19．已知函数，． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B D D C BCD CD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解. 【详解】集合，. 要使，只需，解得：. 故选：A 2．B 【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 3．C 【详解】.故选C. 4．C 【分析】由排列组合知识结合概率公式即可得解. 【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择， 所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案， 当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案； 当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案； 所以满足要求的不同选择种数为； 所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为. 故选：C. 5．B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 6．D 【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程. 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D. 7．D 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 8．C 【分析】根据重要不等式得到，然后根据和余弦定理得到，最后求角的最大值即可. 【详解】解：，， 由余弦定理得：， 为三角形内角， 的最大值为． 故选：C． 9．BCD 【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确. 【详解】对于A，，，，解得：，A错误； 对于B，将数据从小到大排序为，，，，，，，，，， ，分位数为第个数，即，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，D正确. 故选：BCD. 10．CD 【分析】先根据三角恒等变换结合周期为得，然后由三角函数的图象和性质逐一判断四个选项即可. 【详解】，所以最小正周期，解得，则. 对于选项A：当时，，，则，故A错误； 对于选项B：，所以是图象的一个对称中心，故B错误； 对于选项C：，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：令，当时，，因为在上为增函数，所以函数在上为增函数，故D正确. 故选：CD. 11．BC 【分析】根据导数的几何意义求解切线方程；根据导数求解函数的单调区间，从而求出极值；求出函数零点即可求出与交点的个数，从而判断出方程的解. 【详解】对于选项， 的定义域为，， ∵，∴， 由导数的几何意义可知在 处的切线方程的斜率为， ∴在 处的切线方程为，则错误； 对于选项，令得， ∴的单调递减区间为，则正确； 对于选项，令得， ∴的单调递增区间为， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， ，则正确； 对于选项，∵ ， ∴在上存在一个零点， ∵当时，， ∴在上没有零点， ∴与只有一个交点， ∴方程只有一个解，则错误； 故选： . 12． 【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周长. 【详解】为中点，连接， 正方体中，，，则四边形为平行四边形， 有，， 为中点，是的中点，则，得， 则平面截正方体所得的截面图形为梯形， 其中，，， 则梯形的周长为 即所得的截面图形的周长是 故答案为： 13． 【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率. 【详解】如图，    因为，所以可设， 又，所以， 由椭圆定义，，即， 又，即B点为短轴端点， 所以在中， ， 又在中，， 解得或（舍去）. 故答案为： 14．/ 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到，然后利用导数求得函数的值域即可得到结果. 【详解】由题意得，， 令，则， 易知单调递增，所以. 令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以，得. 所以的最大值为. 故答案为： 15．（1）见解析；（2），． 【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列； (2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果． 【详解】(1)由题意可知，，，， 所以，即， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为， 所以，数列是首项、公差为的等差数列，． (2)由(1)可知，，， 所以，． 【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题． 16．(1)分布列详见解析 (2)买个 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得的分布列. （2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案. 【详解】（1）由题意可知所有可能取值为， , 所以的分布列如下： （2）设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为. 依题意，可取. 方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元. 方案2：购买个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物， 总费用元. 方案3：购买个盲盒时， 当个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物， 总费用，， 当个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外款吉祥物， 总费用， 所以元. 方案4：购买个盲盒时， 当个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，， 当个盲盒打开后恰有款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物， 则总费用， 当个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物， 总费用， 所以元. 对比个方案可知，第个方案总费用的期望值最小， 故应该一次性购买个吉祥物盲盒. 17．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 18．(1)， (2)证明见解析，定点 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标； （2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为，，其焦点为 则， ∴ 所以抛物线的方程为. ，所以，所以. 因为，所以，所以. （2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（）， 联立方程得 设两个交点，（，）. 所以 所以， 即 整理得，此时恒成立， 此时直线l的方程为，可化为， 从而直线过定点. 19．(1)在上单调递增． (2) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负确定函数单调性， （2）将问题转化为恒成立，构造函数，求导确定函数单调性，结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 从而函数在上单调递增． （2）因为，所以， 又， 恒成立等价于恒成立． 记，所以． 令，所以． 设，从而， 则在上单调递增， 故有，则在上单调递增， 即在上单调递增，故有． 当时，，此时单调递增， 从而，满足题意． 当时，，且在上单调递增，，， 故存在满足， 当，则在上单调递减， 所以当时，，不满足题意． 综上，的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $