2027届高考物理一轮复习专题讲义 动量守恒定律之碰撞与类碰撞模型

该高中物理高考复习讲义聚焦动量守恒定律的碰撞及类碰撞模型，覆盖碰撞、滑块-弹簧、滑块-木板、子弹打木块、滑块-圆弧槽五大核心考点，按“模型特征-守恒规律-临界条件”逻辑架构，通过知识点梳理、方法提炼、真题案例讲解，帮助学生构建系统解题框架。 讲义采用模型化教学策略，如碰撞模型中对比弹性与非弹性碰撞的动量能量关系，培养科学思维与模型建构能力。设置从基础计算到综合应用的例题梯度，配合规律总结与易错点提示，高效突破高考高频难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

一轮复习专题——动量守恒定律之碰撞与类碰撞模型（讲义） 目 录 知识点1——碰撞模型 2 例1 【碰撞】弹性碰撞的有关计算 3 例2 【碰撞】非弹性碰撞的有关计算 3 例3 【碰撞】碰撞类型的判断 4 例4 【碰撞】碰撞的综合计算 4 知识点2——滑块 — 弹簧模型 5 例5 【滑块 — 弹簧】最大弹性势能的计算 6 例6 【滑块 — 弹簧】滑块运动过程的分析 6 例7 【滑块——弹簧】滑块弹簧和碰撞的综合计算 7 知识点3——滑块—木板模型 7 例8 【滑块——木板】滑块不滑出类型 8 例9 【滑块——木板】滑块滑出类型 9 例10 【滑块——木板】板块类的动量能量综合 9 知识点4——子弹打木块模型 10 例11 【子弹打木块】能量和动量的计算 10 例12 【子弹打木块】过程分析 11 例13 【子弹打木块】综合计算 11 知识点5——滑块 - 圆弧槽 12 例14 【滑块 - 圆弧槽】滑块未飞出 13 例15 【滑块 - 圆弧槽】滑块飞出 14 例16 【滑块 - 圆弧槽】综合计算 14 知识点1——碰撞模型 1、弹性碰撞：碰撞结束后，形变全部消失，动能没有损失，不仅动量守恒， 而且初、末动能相等。 动量守恒：+=+ 动能守恒：+=+ 解得：， 时，， 几个结论： （1）（速度交换） （2）（碰后，两物体沿同一方向运动） （3） （4）（碰后，两物体沿相反方向运动） （5） （6）m1，m2质量改变时，的范围是 （7）运动的m1碰静止的m2，m1，m2质量不变时，的范围是 2、非弹性碰撞：碰撞结束后，动能有部分损失 动量守恒：+=+ 动能不守恒：+=++ 3、完全非弹性碰撞：碰撞结束后，两者合二为一，以同一速度运动，动能损失最大 动量守恒：+= 动能不守恒：+=+ 4、碰撞遵守的原则 （1）动量守恒 （2）机械能不增加，即碰撞后总动能不增加，或 （3）速度要合理 ①碰后若同向运动，原来在前面的物体速度一定增大，且 ②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向肯定有一个改变或速度均为零 例1 【碰撞】弹性碰撞的有关计算 1. （2024·福建·一模）在某次台球游戏中，出现了如图所示的阵型，5个小球B、C、D、E、F并排放置在水平桌面上，其中4个球B、C、D、E质量均为，A球、F球质量均为，A球以速度与B球发生碰撞，所有的碰撞均可认为是弹性碰撞，下列说法正确的是（　　） A．若，最终将有1个小球运动 B．若，相邻两小球之间只发生1次碰撞 C．若，最终将有3个小球运动，且运动方向一致 D．若，最终将有3个小球运动，且运动方向不一致 例2 【碰撞】非弹性碰撞的有关计算 2. （多选）（25-26高三下·陕西咸阳·期中）光滑水平面上，A、B两球沿一直线运动并发生正碰，如图所示为两球碰撞前、后的位移随时间变化的图像，a、b分别为A、B两球碰前的位移随时间变化的图像，c为碰撞后两球共同运动的位移随时间变化的图像，若A球质量mA=3kg，则由图判断下列结论正确的是（　　） A．B球质量mB=2kg B．碰撞时B球对A球所施的冲量为6N·s C．碰撞中A、B两球组成的系统损失的动能为15J D．A、B两球碰撞前的总动量为5kgm/s 例3 【碰撞】碰撞类型的判断 3. （多选）（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图甲所示，将两个质量分别为、的小球、叠放在一起，在下、在上，中间留有小空隙。从初始高度处由静止释放，球与地面碰撞后立即以原速率反弹，取向上为正方向，球的速度时间图像如图乙所示（图中忽略了碰撞时间），不计空气阻力，重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．球与球碰前的速度大小为 B．两球下落过程中B球受到向上的支持力 C．A、B两球发生的是弹性碰撞 D．A、B两球发生的是非弹性碰撞 例4 【碰撞】碰撞的综合计算 4. （24-25高三上·福建漳州·阶段检测）某科学小组在室外用实验探究碰撞的“和谐之美”。其中的一种模型如图所示，一倾角的固定斜面足够长，质量的滑块B静止在斜面上，B与斜面间的动摩擦因数。在与B距离处，将另一质量的光滑小球A由静止释放，A与B发生多次弹性碰撞且碰撞时间极短，不计空气阻力，A、B均可视为质点。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。求： (1)第一次碰撞前瞬间，A的速度大小； (2)第一次与第二次碰撞的时间间隔； 知识点2——滑块 — 弹簧模型 一、两种典型情景 情景 1：一滑块撞击静止滑块，中间连弹簧（最常考） 初始：m1 以 v0向右运动，m2静止，弹簧原长。 （1）弹簧压缩阶段 m1速度大于 m2，两者距离不断缩小，弹簧机械能守恒： （2）弹簧恢复原长阶段 共速之后，m1继续减速、m2 继续加速；弹簧开始伸长。 直到弹簧回到原长，弹性势能Ep=0，这个状态等价于完全弹性碰撞！ ， （3）弹簧拉伸阶段（原长之后） 此时v2＞v1，两者距离变大，弹簧被拉长；m2减速，m1加速；弹性势能再次增大。 再次共速：弹簧伸长量最大，弹性势能再次达到最大值（和压缩最大势能相等） 规律小结： 共速 ⇔ 弹簧形变量最大（压缩 / 伸长），弹性势能最大 弹簧原长 ⇔ 弹性势能为 0，系统动能最大 情景 2：两滑块初始都有速度，中间夹弹簧 系统总动量： 两物体速度不等：弹簧形变，势能变化 V1=V2：形变量最大，势能最大 弹簧回到原长：弹性势能为 0，动能最大，同样满足弹性碰撞速度公式 判断弹簧压缩还是伸长：看相对速度 V1＞V2（同向）→ 相互靠近，弹簧压缩 V1＜V2（同向）→ 相互远离，弹簧伸长 二、主要公式 1.动量守恒（任意时刻都成立）：+=+ 2. 机械能守恒（只有弹簧弹力做功）：+=++ 3.最大弹性势能（共速时）： 也可写成,称为约化质量 例5 【滑块 — 弹簧】最大弹性势能的计算 5. （多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）如图1所示，A、B两物块与一轻弹簧的两端相连接，静止在光滑的水平面上。A物块的质量。现使获得水平向右的瞬时速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图2所示，则从图像信息可得（　　） A．B物块的质量为 B．弹簧的弹性势能最大值为 C．时刻弹簧的弹性势能为 D．时刻弹簧处于伸长状态 例6 【滑块 — 弹簧】滑块运动过程的分析 6. （多选）（2023·福建·一模）如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻，规定向左为正方向，内P、Q物块运动的图像如图所示，其中t轴下方部分的面积大小为，t轴上方部分的面积大小为，则（　　） A．物体Q的质量为 B．时刻Q物体的速度为 C．时刻P物体的速度为 D．时间内弹簧始终对Q物体做正功 例7 【滑块——弹簧】滑块弹簧和碰撞的综合计算 7. （2022·福建莆田·模拟预测）如图所示，质量均为2kg的甲、乙两物块在光滑水平面上用轻弹簧连接，甲、乙物块6m/s的速度向左运动，此时弹簧处于原长状态，质量为4kg的物块丙静止在物块乙的左边，物块乙与物块丙正碰后二者粘在一起运动，求： （1）物块乙与物块丙正碰后弹性势能的最大值； （2）物块丙被碰后速度的最大值。 知识点3——滑块—木板模型 核心前提：水平面光滑时，滑块 + 木板系统合外力 = 0，系统动量守恒；水平面粗糙，则系统动量不守恒，只能对单个物体用动量定理 系统能量关系：摩擦生热 ，Δx为滑块与木板的相对位移 一、几种主要情景 情景① 滑块滑上静止木板（最常考） 初始：木板静止，滑块初速度v0冲上木板 受力：滑块受向左滑动摩擦力，减速；木板受向右滑动摩擦力，加速 两个阶段： 1.共速前：m减速，M加速；两者相对滑动，产生热量 2.共速瞬间：两者速度相等 3.动量守恒： 4.能量： 5.：滑块相对于木板滑行距离 ✔ 若（木板长度）：共速后两者一起匀速，不再相对滑动 ✔ 若：滑块会从木板右端滑出，滑出时二者速度不等，仍满足动量守恒、能量方程 情景② 木板、滑块都有初速度（同向 / 反向） • 同向：（注意速度正负） • 反向：规定正方向，速度带符号代入。 例：滑块向左、木板向右，一个速度取正，另一个为负。 情景③ 木板受瞬时冲量（瞬间给木板一击） 冲击时间极短，摩擦力冲量可忽略，瞬间动量只属于木板；冲击结束后，滑块和木板之间摩擦力作用，之后系统动量守恒。 二、主要公式 1.动量守恒（仅地面光滑可用）: （矢量式，一定要规定正方向！） 2.能量方程（只要有相对滑动就成立）:（动能减少量=摩擦产生的热量） 三、临界条件（高频考点） 1. 共速：板块模型最重要临界点 共速前：有相对滑动；共速是相对滑动停止的临界。 地面光滑：共速后匀速；地面粗糙：共速后不一定一起运动。 2. 滑块刚好不滑出木板 临界：滑块到达木板边缘时，两者恰好共速，此时相对位移等于木板长度 。 3. 滑块刚好滑出木板 滑出时刻：二者速度不等，相对位移等于木板长度L 例8 【滑块——木板】滑块不滑出类型 8. （多选）（22-23高三上·福建龙岩·阶段检测）如图，长木板A静止在光滑水平面上，质量m＝2kg物体B以水平速度滑上原来静止的长木板A的上表面，由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化的情况如图乙所示，取，则下列说法正确的是（  ） A．长木板A获得的动能为4J B．长木板的质量为4kg C．长木板A的最小长度为0.5m D．A、B间的动摩擦因数为0.2 例9 【滑块——木板】滑块滑出类型 9. （多选）（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，一质量为、长为的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为，当物块从木板右端离开时（　　） A．系统损失的机械能一定等于 B．木板的动能一定小于 C．物块的动能一定大于 D．物块的动能一定小于 例10 【滑块——木板】板块类的动量能量综合 10. （24-25高三·天津河北·阶段检测）如图所示，长为L、质量为2m的木板静止在光滑的水平地面上，A、B是木板的两个端点，点C是中点，AC段是光滑的，CB段是粗糙的，木板的A端放有一个质量为m的物块（可视为质点），现给木板施加一个水平向右，大小为F的恒力，当物块相对木板滑至C点时撤去这个力，最终物块恰好滑到木板的B端与木板一起运动，求： (1)物块滑到木板C点时木板的速度； (2)物块滑到木板B点时木板的速度； (3)物块和木板间的动摩擦因数。 知识点4——子弹打木块模型 本质：完全非弹性碰撞类模型，和板块模型同源，区别是：子弹钻入木块，摩擦生热消耗动能，子弹和木块之间的相对位移是子弹打入深度 d。 前提：作用时间极短！木块的位移很小，可以忽略。 一、两类情景 情景 1：子弹留在木块内（未穿出，完全非弹性碰撞） 最终子弹、木块共速， 动量守恒： 能量方程：损失的动能全部转化为内能。 f：子弹与木块之间的平均阻力 d：子弹打入木块的深度（相对位移） 情景 2：子弹穿出木块（子弹没有留在里面） 子弹穿过木块，子弹末速度v1，木块获得速度v2，二者速度不相等。 动量守恒： 能量方程： L：木块厚度（子弹穿过木块过程的相对位移） 临界条件：刚好穿出：子弹到达木块另一侧面时，二者速度恰好相等v1=v2。 刚好穿出：相对位移等于木块厚度，是穿出 / 不穿出的临界。 例11 【子弹打木块】能量和动量的计算 11. （26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（可视为质点）以水平向右的速度射入木板且恰好未从木板最右端穿出，假设子弹与木板间的相互作用力恒定不变，两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法错误的是（     ） A．若子弹的质量为，则木板的质量为 B．木板的长度为 C．若子弹的质量为，则整个过程中子弹的动量变化率大小为 D．若子弹的质量为，则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为 例12 【子弹打木块】过程分析 12. （多选）（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图所示，上述两种情况相比较 （　　） A．子弹对滑块做功一样多 B．子弹对滑块做的功不一样多 C．系统产生的热量一样多 D．系统产生的热量不一样多 例13 【子弹打木块】综合计算 13. （25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）如图所示，足够长的水平传送带逆时针匀速传送的速度大小，其左端的平台边缘静置有质量的小物块，某时刻与小物块质量相等的小球以初速度射入物块，并与物块立即合为一体，已知物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度g取，不计小球与物块的作用时间和它们的大小，求： (1)从小球射入物块到物块速度减为零的过程中，物块与传送带间由于摩擦而产生的热量Q。 (2)从小球射入物块到物块再次返回传送带左端所经历的时间t。 知识点5——滑块 - 圆弧槽 模型：光滑水平面，弧形槽质量M，滑块质量m；所有接触面光滑，系统水平方向不受外力 → 水平方向动量守恒；竖直方向有加速度，竖直动量不守恒。 机械能守恒：全程只有重力做功，系统机械能守恒。 两大分支：①滑块不飞出弧形槽；②滑块从弧形槽顶端飞出。 情景 1：滑块不飞出弧形槽（上升到某高度后滑回槽底） 上升阶段：滑块沿圆弧向上运动 滑块水平速度逐渐减小；弧形槽在滑块压力的水平分量推动下，向另一侧加速。 ✅ 最高点临界条件：滑块与弧形槽水平速度相等 水平方向动量守恒： 机械能守恒（滑块上升最大高度为h）： 下滑阶段：滑块从最高点滑回槽底端 下滑时槽继续向原方向运动，滑块水平速度继续变化。 滑回槽底瞬间：相当于弹性碰撞（机械能守恒 + 水平动量守恒） 水平方向动量守恒： 机械能守恒： 解得， 若m<M：滑块滑回槽底后，滑块反向向左运动，槽向右匀速 若m=M：滑块滑回槽底后滑块速度变为0，槽以v0向右匀速 滑离槽之后：两者都匀速，不再相互作用 情景 2：滑块从弧形槽顶端飞出（滑块冲出圆弧最高点） 滑块到达圆弧顶端时，滑块相对槽还有向上的竖直分速度，即：到达顶端时，二者水平速度依然相等，但是滑块竖直速度不为零，随后滑块抛出去做斜抛运动。 设圆弧槽顶端相对槽底高度为H 水平动量守恒： 机械能守恒： （vy为滑块飞出时相对地面竖直分速度） 飞出之后两个阶段 斜抛阶段：滑块离开槽，在空中斜抛 槽：不受力，保持匀速直线运动； 滑块：水平速度保持（水平不受力），竖直方向只受重力。 滑块在空中运动期间，滑块与槽水平速度始终相等！ 所以：滑块一定会落回弧形槽顶端。 落回槽内：滑块落回槽顶端，继续沿圆弧下滑，后续过程和上面 “不飞出模型” 下滑对称，继续用水平动量 + 机械能守恒。 例14 【滑块 - 圆弧槽】滑块未飞出 14. （多选）（25-26高三上·福建福州·阶段检测）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 例15 【滑块 - 圆弧槽】滑块飞出 15. （碰撞模型拓展（三）——《小球--曲面模型》拔高练习）如图所示，质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长度为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点经过半圆轨道后从B冲出，在空中能上升的最大高度为（不计空气阻力），则（ 　） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小车向左运动的最大距离为 C．小球离开小车后做斜上抛运动 D．小球第二次能上升的最大高度 例16 【滑块 - 圆弧槽】综合计算 16. （25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，将一质量M=4 kg、高度h=4m的光滑圆弧槽放置在足够大的光滑水平面上，在其左侧放置一质量未知的滑块。某时刻，将一质量m=1 kg的小球（可视为质点）从光滑圆弧槽的顶点处由静止释放，小球到达水平面后三个物体均在同一直线上。重力加速度g大小取10m/s2.求： (1)若圆弧槽固定，小球滑到水平面上时，小球的速度大小v； (2)若圆弧槽不固定，小球滑到水平面上时，小球的速度大小v1； (3)接（2）问，若小球与滑块发生弹性碰撞后恰好不能追上圆弧槽，则滑块的质量多大。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 一轮复习专题——动量守恒定律之碰撞与类碰撞模型（讲义） 目 录 知识点1——碰撞模型 1 例1 【碰撞】弹性碰撞的有关计算 2 例2 【碰撞】非弹性碰撞的有关计算 3 例3 【碰撞】碰撞类型的判断 4 例4 【碰撞】碰撞的综合计算 5 知识点2——滑块 — 弹簧模型 6 例5 【滑块 — 弹簧】最大弹性势能的计算 7 例6 【滑块 — 弹簧】滑块运动过程的分析 8 例7 【滑块——弹簧】滑块弹簧和碰撞的综合计算 9 知识点3——滑块—木板模型 10 例8 【滑块——木板】滑块不滑出类型 11 例9 【滑块——木板】滑块滑出类型 12 例10 【滑块——木板】板块类的动量能量综合 13 知识点4——子弹打木块模型 14 例11 【子弹打木块】能量和动量的计算 14 例12 【子弹打木块】过程分析 15 例13 【子弹打木块】综合计算 16 知识点5——滑块 - 圆弧槽 18 例14 【滑块 - 圆弧槽】滑块未飞出 19 例15 【滑块 - 圆弧槽】滑块飞出 20 例16 【滑块 - 圆弧槽】综合计算 21 知识点1——碰撞模型 1、弹性碰撞：碰撞结束后，形变全部消失，动能没有损失，不仅动量守恒， 而且初、末动能相等。 动量守恒：+=+ 动能守恒：+=+ 解得：， 时，， 几个结论： （1）（速度交换） （2）（碰后，两物体沿同一方向运动） （3） （4）（碰后，两物体沿相反方向运动） （5） （6）m1，m2质量改变时，的范围是 （7）运动的m1碰静止的m2，m1，m2质量不变时，的范围是 2、非弹性碰撞：碰撞结束后，动能有部分损失 动量守恒：+=+ 动能不守恒：+=++ 3、完全非弹性碰撞：碰撞结束后，两者合二为一，以同一速度运动，动能损失最大 动量守恒：+= 动能不守恒：+=+ 4、碰撞遵守的原则 （1）动量守恒 （2）机械能不增加，即碰撞后总动能不增加，或 （3）速度要合理 ①碰后若同向运动，原来在前面的物体速度一定增大，且 ②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向肯定有一个改变或速度均为零 例1 【碰撞】弹性碰撞的有关计算 1. （2024·福建·一模）在某次台球游戏中，出现了如图所示的阵型，5个小球B、C、D、E、F并排放置在水平桌面上，其中4个球B、C、D、E质量均为，A球、F球质量均为，A球以速度与B球发生碰撞，所有的碰撞均可认为是弹性碰撞，下列说法正确的是（　　） A．若，最终将有1个小球运动 B．若，相邻两小球之间只发生1次碰撞 C．若，最终将有3个小球运动，且运动方向一致 D．若，最终将有3个小球运动，且运动方向不一致 【答案】AD 【知识点】完全弹性碰撞1：动碰静 【详解】A．碰撞时由动量守恒和能量守恒可知，可得，，若，则碰后两球交换速度，则最终只有F小球运动，A正确； B．若，则碰后，然后B和C交换，直到D和E交换，E再与F碰撞，F向右运动，E被弹回再与D交换…，则不只发生1次碰撞，B错误； CD．若，则A、B碰后A反弹，B向右运动与C碰撞交换速度，最后D、E交换速度，最后E与F碰撞，E、F都向右运动，B、C、D停止，则最终将有3个小球A、E、F都运动，且运动方向相反，C错误、D正确。故选AD。 例2 【碰撞】非弹性碰撞的有关计算 2. （多选）（25-26高三下·陕西咸阳·期中）光滑水平面上，A、B两球沿一直线运动并发生正碰，如图所示为两球碰撞前、后的位移随时间变化的图像，a、b分别为A、B两球碰前的位移随时间变化的图像，c为碰撞后两球共同运动的位移随时间变化的图像，若A球质量mA=3kg，则由图判断下列结论正确的是（　　） A．B球质量mB=2kg B．碰撞时B球对A球所施的冲量为6N·s C．碰撞中A、B两球组成的系统损失的动能为15J D．A、B两球碰撞前的总动量为5kgm/s 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】动量守恒定律的初步应用 【详解】A．由x-t图象的斜率表示速度，因此碰撞前A、B两球都做匀速运动，碰撞前有 ，，碰撞后有，根据动量守恒定律有，代入数据解得 B．碰撞前后A的动量变化为△pA=mvA′-mvA=3×（-1）kg•m/s -3×（-3）kg•m/s =6kg•m/s，根据动量定理可知，碰撞时B球对A球所施的冲量为6N·s，故B正确； C．碰撞中A、B两球组成的系统损失的动能为，故C正确； D．A与B碰撞前的总动量为p总=mvA+mBvB=-5kgm/s，故D错误。故选ABC。 例3 【碰撞】碰撞类型的判断 3. （多选）（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图甲所示，将两个质量分别为、的小球、叠放在一起，在下、在上，中间留有小空隙。从初始高度处由静止释放，球与地面碰撞后立即以原速率反弹，取向上为正方向，球的速度时间图像如图乙所示（图中忽略了碰撞时间），不计空气阻力，重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．球与球碰前的速度大小为 B．两球下落过程中B球受到向上的支持力 C．A、B两球发生的是弹性碰撞 D．A、B两球发生的是非弹性碰撞 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】非完全弹性碰撞问题、自由落体运动的规律及应用 【详解】A．小球下落过程中，由自由落体公式，可得，即B球与A球碰前的速度大小为，故A正确； B．两球下落过程中，A、B小球都处于完全失重状态，B球不受支持力，故B错误； CD．A球反弹后速度大小为，方向向上，设碰撞后A的速度为，由图乙可知，B的速度为。根据动量守恒定律，代入数据解得，因此碰撞前总动能，碰撞后总动能，所以系统动能损失，碰撞为非弹性碰撞，D正确，C错误； 故选AD。 例4 【碰撞】碰撞的综合计算 4. （24-25高三上·福建漳州·阶段检测）某科学小组在室外用实验探究碰撞的“和谐之美”。其中的一种模型如图所示，一倾角的固定斜面足够长，质量的滑块B静止在斜面上，B与斜面间的动摩擦因数。在与B距离处，将另一质量的光滑小球A由静止释放，A与B发生多次弹性碰撞且碰撞时间极短，不计空气阻力，A、B均可视为质点。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。求： (1)第一次碰撞前瞬间，A的速度大小； (2)第一次与第二次碰撞的时间间隔； 【答案】(1)1m/s(2)0.4s 【难度】0.65 【知识点】弹性碰撞：动碰静 【详解】（1）对于A球下滑的过程中，由动能定理，则有 可解得 （2）对于第一次发生弹性碰撞的过程中，满足动量守恒和能量守恒，则有 可解得， 碰后由于B满足 所以B做匀速直线运动，而A做匀加速直线运动，则有 发生第二次碰撞，A和B位移相等，即 ，可解得 知识点2——滑块 — 弹簧模型 一、两种典型情景 情景 1：一滑块撞击静止滑块，中间连弹簧（最常考） 初始：m1 以 v0向右运动，m2静止，弹簧原长。 （1）弹簧压缩阶段 m1速度大于 m2，两者距离不断缩小，弹簧机械能守恒： （2）弹簧恢复原长阶段 共速之后，m1继续减速、m2 继续加速；弹簧开始伸长。 直到弹簧回到原长，弹性势能Ep=0，这个状态等价于完全弹性碰撞！ ， （3）弹簧拉伸阶段（原长之后） 此时v2＞v1，两者距离变大，弹簧被拉长；m2减速，m1加速；弹性势能再次增大。 再次共速：弹簧伸长量最大，弹性势能再次达到最大值（和压缩最大势能相等） 规律小结： 共速 ⇔ 弹簧形变量最大（压缩 / 伸长），弹性势能最大 弹簧原长 ⇔ 弹性势能为 0，系统动能最大 情景 2：两滑块初始都有速度，中间夹弹簧 系统总动量： 两物体速度不等：弹簧形变，势能变化 V1=V2：形变量最大，势能最大 弹簧回到原长：弹性势能为 0，动能最大，同样满足弹性碰撞速度公式 判断弹簧压缩还是伸长：看相对速度 V1＞V2（同向）→ 相互靠近，弹簧压缩 V1＜V2（同向）→ 相互远离，弹簧伸长 二、主要公式 1.动量守恒（任意时刻都成立）：+=+ 2. 机械能守恒（只有弹簧弹力做功）：+=++ 3.最大弹性势能（共速时）： 也可写成,称为约化质量 例5 【滑块 — 弹簧】最大弹性势能的计算 5. （多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）如图1所示，A、B两物块与一轻弹簧的两端相连接，静止在光滑的水平面上。A物块的质量。现使获得水平向右的瞬时速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图2所示，则从图像信息可得（　　） A．B物块的质量为 B．弹簧的弹性势能最大值为 C．时刻弹簧的弹性势能为 D．时刻弹簧处于伸长状态 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】滑块弹簧模型、弹簧连接体问题 【详解】A．从开始运动到两者共速由动量守恒定律可得，解得B物块的质量为mB=2kg，故A正确； B．当两者共速时弹簧弹性势能最大，则弹簧的弹性势能最大值为，故B错误； C．时刻A的速度为零，则根据，解得B的速度v1=3m/s，则弹簧的弹性势能为，故C正确； D．从开始到时刻，B的速度一直增加，则弹簧一直处于压缩状态，在时刻弹簧处于原长，弹力为零，加速度为零，速度最大，故D错误。故选AC。 例6 【滑块 — 弹簧】滑块运动过程的分析 6. （多选）（2023·福建·一模）如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻，规定向左为正方向，内P、Q物块运动的图像如图所示，其中t轴下方部分的面积大小为，t轴上方部分的面积大小为，则（　　） A．物体Q的质量为 B．时刻Q物体的速度为 C．时刻P物体的速度为 D．时间内弹簧始终对Q物体做正功 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】滑块弹簧模型、a-t图像 【详解】AD．时间内Q所受弹力方向向左，P所受弹力方向始终向右，弹簧始终对Q物体做正功；时刻，PQ所受弹力最大且大小相等，由牛顿第二定律可得，，则物体Q的质量为，故AD符合题意； B．由a-t图像可知，时刻Q物体的速度为，故B不符合题意； C．由a-t图像可知，时刻P物体的速度为，故C符合题意。故选ACD。 例7 【滑块——弹簧】滑块弹簧和碰撞的综合计算 7. （2022·福建莆田·模拟预测）如图所示，质量均为2kg的甲、乙两物块在光滑水平面上用轻弹簧连接，甲、乙物块6m/s的速度向左运动，此时弹簧处于原长状态，质量为4kg的物块丙静止在物块乙的左边，物块乙与物块丙正碰后二者粘在一起运动，求： （1）物块乙与物块丙正碰后弹性势能的最大值； （2）物块丙被碰后速度的最大值。 【答案】（1）12J；（2）4m/s 【难度】0.65 【知识点】弹性碰撞：动碰静、滑块弹簧模型 【详解】（1）物块乙与物块丙碰撞过程满足动量守能 当物块乙与物块丙的速度与物块甲的速度相等时，弹性势能最大， 由于动量守恒和机械能守恒 解得弹簧弹性势能的最大值 （2）弹簧再次恢复原长时，丙的速度最大，由于动量守恒和机械能守恒 解得物块丙的最大速度 知识点3——滑块—木板模型 核心前提：水平面光滑时，滑块 + 木板系统合外力 = 0，系统动量守恒；水平面粗糙，则系统动量不守恒，只能对单个物体用动量定理 系统能量关系：摩擦生热 ，Δx为滑块与木板的相对位移 一、几种主要情景 情景① 滑块滑上静止木板（最常考） 初始：木板静止，滑块初速度v0冲上木板 受力：滑块受向左滑动摩擦力，减速；木板受向右滑动摩擦力，加速 两个阶段： 1.共速前：m减速，M加速；两者相对滑动，产生热量 2.共速瞬间：两者速度相等 3.动量守恒： 4.能量： 5.：滑块相对于木板滑行距离 ✔ 若（木板长度）：共速后两者一起匀速，不再相对滑动 ✔ 若：滑块会从木板右端滑出，滑出时二者速度不等，仍满足动量守恒、能量方程 情景② 木板、滑块都有初速度（同向 / 反向） • 同向：（注意速度正负） • 反向：规定正方向，速度带符号代入。 例：滑块向左、木板向右，一个速度取正，另一个为负。 情景③ 木板受瞬时冲量（瞬间给木板一击） 冲击时间极短，摩擦力冲量可忽略，瞬间动量只属于木板；冲击结束后，滑块和木板之间摩擦力作用，之后系统动量守恒。 二、主要公式 1.动量守恒（仅地面光滑可用）: （矢量式，一定要规定正方向！） 2.能量方程（只要有相对滑动就成立）:（动能减少量=摩擦产生的热量） 三、临界条件（高频考点） 1. 共速：板块模型最重要临界点 共速前：有相对滑动；共速是相对滑动停止的临界。 地面光滑：共速后匀速；地面粗糙：共速后不一定一起运动。 2. 滑块刚好不滑出木板 临界：滑块到达木板边缘时，两者恰好共速，此时相对位移等于木板长度 。 3. 滑块刚好滑出木板 滑出时刻：二者速度不等，相对位移等于木板长度L 例8 【滑块——木板】滑块不滑出类型 8. （多选）（22-23高三上·福建龙岩·阶段检测）如图，长木板A静止在光滑水平面上，质量m＝2kg物体B以水平速度滑上原来静止的长木板A的上表面，由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化的情况如图乙所示，取，则下列说法正确的是（  ） A．长木板A获得的动能为4J B．长木板的质量为4kg C．长木板A的最小长度为0.5m D．A、B间的动摩擦因数为0.2 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】板块/子弹打木块模型、无外力接触面光滑的板块模型 【详解】AB．在0-1s内，B相对于A滑动，以物体B的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律得，由图知v＝1m/s，解得，所以长木板A获得的动能 ，A错误，B正确； C．在v-t图像中，图像与时间轴围成的面积表示位移，则在0~1s内，B与A的位移之差 ，则要使B不从A上滑下，长木板A的最小长度为1.5m，C错误； D．B在A上相对运动时，对B，根据牛顿第二定律有，据题图有，解得，D正确。故选BD。 例9 【滑块——木板】滑块滑出类型 9. （多选）（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，一质量为、长为的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为，当物块从木板右端离开时（　　） A．系统损失的机械能一定等于 B．木板的动能一定小于 C．物块的动能一定大于 D．物块的动能一定小于 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】板块/子弹打木块模型 【详解】CD．设物块离开木板时的速度为v1，此时木板的速度为v2，由题可知，设物块的对地位移为，木板的对地位移为，根据能量守恒定律可得，整理得，故D正确，C错误； AB．因摩擦产生的热量为，根据运动学公式可得，，由于，所以，故，故，故AB正确。故选ABD。 例10 【滑块——木板】板块类的动量能量综合 10. （24-25高三·天津河北·阶段检测）如图所示，长为L、质量为2m的木板静止在光滑的水平地面上，A、B是木板的两个端点，点C是中点，AC段是光滑的，CB段是粗糙的，木板的A端放有一个质量为m的物块（可视为质点），现给木板施加一个水平向右，大小为F的恒力，当物块相对木板滑至C点时撤去这个力，最终物块恰好滑到木板的B端与木板一起运动，求： (1)物块滑到木板C点时木板的速度； (2)物块滑到木板B点时木板的速度； (3)物块和木板间的动摩擦因数。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.4 【知识点】板块/子弹打木块模型、常见力做功与相应的能量转化、有外力接触面光滑的板块模型 【详解】（1）对木板由动能定理有 解得物块滑到木板C点时木板的速度为 （2）撤去外力后，对木板与物块组成的系统动量守恒，由动量守恒有 代入数据解得物块滑到木板B点时木板的速度为 （3）撤去外力后，由能量守恒有 代入数据解得 知识点4——子弹打木块模型 本质：完全非弹性碰撞类模型，和板块模型同源，区别是：子弹钻入木块，摩擦生热消耗动能，子弹和木块之间的相对位移是子弹打入深度 d。 前提：作用时间极短！木块的位移很小，可以忽略。 一、两类情景 情景 1：子弹留在木块内（未穿出，完全非弹性碰撞） 最终子弹、木块共速， 动量守恒： 能量方程：损失的动能全部转化为内能。 f：子弹与木块之间的平均阻力 d：子弹打入木块的深度（相对位移） 情景 2：子弹穿出木块（子弹没有留在里面） 子弹穿过木块，子弹末速度v1，木块获得速度v2，二者速度不相等。 动量守恒： 能量方程： L：木块厚度（子弹穿过木块过程的相对位移） 临界条件：刚好穿出：子弹到达木块另一侧面时，二者速度恰好相等v1=v2。 刚好穿出：相对位移等于木块厚度，是穿出 / 不穿出的临界。 例11 【子弹打木块】能量和动量的计算 11. （26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（可视为质点）以水平向右的速度射入木板且恰好未从木板最右端穿出，假设子弹与木板间的相互作用力恒定不变，两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法错误的是（     ） A．若子弹的质量为，则木板的质量为 B．木板的长度为 C．若子弹的质量为，则整个过程中子弹的动量变化率大小为 D．若子弹的质量为，则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】板块/子弹打木块模型、常见力做功与相应的能量转化、无外力接触面光滑的板块模型、动量定理的内容、动量守恒定律的初步应用 【详解】A．若子弹的质量为，设木板的质量为，子弹与木板组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律有，解得，可知木板的质量为，A正确； B．由图乙可知，子弹恰好未从木板最右端穿出，木板的长度等于整个过程中子弹和木板的相对位移大小，根据速度与时间图像与时间轴所围成的面积表示位移，可得木板的长度为，解得，可知木板的长度为，B错误； C．若子弹的质量为，根据动量变化量的定义可知整个过程中子弹的动量变化大小为，解得，整个过程中子弹的动量变化率大小为，C正确； D．若子弹的质量为，整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量等于系统机械能的减小量，根据能量守恒定律有，解得，可知系统产生的热量为，D正确。故选B。 例12 【子弹打木块】过程分析 12. （多选）（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图所示，上述两种情况相比较 （　　） A．子弹对滑块做功一样多 B．子弹对滑块做的功不一样多 C．系统产生的热量一样多 D．系统产生的热量不一样多 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】板块/子弹打木块模型 【详解】最终子弹都没有射出，则最终子弹与滑块的速度相等，根据动量守恒定律可知，两种情况下系统的末速度相同。 AB．子弹对滑块做的功等于滑块动能的变化量，滑块动能的变化量相同，则子弹对滑块做功一样多，故A正确，B错误； CD．根据能量守恒定律得，系统初状态的总动能相等，末状态总动能相等，则系统损失的能量，即产生的热量一样多，故C正确、D错误。故选AC。 例13 【子弹打木块】综合计算 13. （25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）如图所示，足够长的水平传送带逆时针匀速传送的速度大小，其左端的平台边缘静置有质量的小物块，某时刻与小物块质量相等的小球以初速度射入物块，并与物块立即合为一体，已知物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度g取，不计小球与物块的作用时间和它们的大小，求： (1)从小球射入物块到物块速度减为零的过程中，物块与传送带间由于摩擦而产生的热量Q。 (2)从小球射入物块到物块再次返回传送带左端所经历的时间t。 【答案】(1)60J(2)3.2s 【难度】0.56 【知识点】摩擦力做功、板块/子弹打木块模型、物体在传送带上的划痕长度问题 【详解】（1）依据图中传送带上表面向左运动、小球向右射入物块，碰撞时间极短，碰撞过程中水平方向动量守恒。设小球与物块合为一体后的速度为，取向右为正，有 解得 合体后物块相对传送带向右运动，受到向左的滑动摩擦力，大小为 加速度大小为 物块速度减为零所用时间为 此过程中物块相对地面向右位移为 传送带上表面向左运动位移大小为 两者相对滑动距离为 摩擦产生的热量为 （2）由小问1可知，物块从碰后向右减速到零用时，向右位移为 之后物块在摩擦力作用下向左加速，直到速度与传送带相同。加速到所用时间为 此过程物块向左位移为 随后物块相对传送带静止，随传送带向左匀速运动，距左端还剩 匀速返回左端所用时间为 所以从小球射入物块到物块再次返回传送带左端的总时间为 知识点5——滑块 - 圆弧槽 模型：光滑水平面，弧形槽质量M，滑块质量m；所有接触面光滑，系统水平方向不受外力 → 水平方向动量守恒；竖直方向有加速度，竖直动量不守恒。 机械能守恒：全程只有重力做功，系统机械能守恒。 两大分支：①滑块不飞出弧形槽；②滑块从弧形槽顶端飞出。 情景 1：滑块不飞出弧形槽（上升到某高度后滑回槽底） 上升阶段：滑块沿圆弧向上运动 滑块水平速度逐渐减小；弧形槽在滑块压力的水平分量推动下，向另一侧加速。 ✅ 最高点临界条件：滑块与弧形槽水平速度相等 水平方向动量守恒： 机械能守恒（滑块上升最大高度为h）： 下滑阶段：滑块从最高点滑回槽底端 下滑时槽继续向原方向运动，滑块水平速度继续变化。 滑回槽底瞬间：相当于弹性碰撞（机械能守恒 + 水平动量守恒） 水平方向动量守恒： 机械能守恒： 解得， 若m<M：滑块滑回槽底后，滑块反向向左运动，槽向右匀速 若m=M：滑块滑回槽底后滑块速度变为0，槽以v0向右匀速 滑离槽之后：两者都匀速，不再相互作用 情景 2：滑块从弧形槽顶端飞出（滑块冲出圆弧最高点） 滑块到达圆弧顶端时，滑块相对槽还有向上的竖直分速度，即：到达顶端时，二者水平速度依然相等，但是滑块竖直速度不为零，随后滑块抛出去做斜抛运动。 设圆弧槽顶端相对槽底高度为H 水平动量守恒： 机械能守恒： （vy为滑块飞出时相对地面竖直分速度） 飞出之后两个阶段 斜抛阶段：滑块离开槽，在空中斜抛 槽：不受力，保持匀速直线运动； 滑块：水平速度保持（水平不受力），竖直方向只受重力。 滑块在空中运动期间，滑块与槽水平速度始终相等！ 所以：滑块一定会落回弧形槽顶端。 落回槽内：滑块落回槽顶端，继续沿圆弧下滑，后续过程和上面 “不飞出模型” 下滑对称，继续用水平动量 + 机械能守恒。 例14 【滑块 - 圆弧槽】滑块未飞出 14. （多选）（25-26高三上·福建福州·阶段检测）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】滑块斜（曲）面模型 【详解】A．设小球的质量为，初速度为，在水平方向上由动量守恒定律，解得， 结合图乙有，，解得，，故A正确； B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得，结合上述解得，故B错误； C．小球从开始运动到最高点的过程中，由能量守恒定律，结合上述解得，故C错误； D．分离时有由动量守恒定律，机械能守恒定律 结合上述解得，当时有，即小球水平方向的速度方向向左，所以小球与圆弧分离后将向左做平抛运动，故D正确。故选AD。 例15 【滑块 - 圆弧槽】滑块飞出 15. （碰撞模型拓展（三）——《小球--曲面模型》拔高练习）如图所示，质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长度为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点经过半圆轨道后从B冲出，在空中能上升的最大高度为（不计空气阻力），则（ 　） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小车向左运动的最大距离为 C．小球离开小车后做斜上抛运动 D．小球第二次能上升的最大高度 【答案】D 【难度】0.56 【知识点】滑块斜（曲）面模型、判断系统动量是否守恒 【详解】A．小球与小车组成的系统在水平方向所受的合外力为零，水平方向系统动量守恒。由于小球有竖直分加速度，所以系统所受的合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误； B．系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，在水平方向，根据动量守恒定律，变形得，又，，整理得，即，又，联立解得，故B错误； C．小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，小球由A点离开小车时系统水平方向动量为零，小球与小车水平方向速度为零，小球离开小车后做竖直上抛运动，故C错误； D．小球第一次在小车中运动，根据动能定理有，解得小球克服摩擦力做功大小为，即小球第一次在车中运动损失的机械能为，由于小球第二次在车中运动时，对应位置处速度变小，因此小车给小球的弹力变小，摩擦力变小，摩擦力做功小于，则机械能损失小于，因此小球再次离开小车时，能上升的高度，且，综上分析可得小球第二次能上升的最大高度，故D正确。故选D。 例16 【滑块 - 圆弧槽】综合计算 16. （25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，将一质量M=4 kg、高度h=4m的光滑圆弧槽放置在足够大的光滑水平面上，在其左侧放置一质量未知的滑块。某时刻，将一质量m=1 kg的小球（可视为质点）从光滑圆弧槽的顶点处由静止释放，小球到达水平面后三个物体均在同一直线上。重力加速度g大小取10m/s2.求： (1)若圆弧槽固定，小球滑到水平面上时，小球的速度大小v； (2)若圆弧槽不固定，小球滑到水平面上时，小球的速度大小v1； (3)接（2）问，若小球与滑块发生弹性碰撞后恰好不能追上圆弧槽，则滑块的质量多大。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.51 【知识点】机械能守恒定律在曲线运动中的应用、滑块斜（曲）面模型 【详解】（1）若圆弧槽固定，根据机械能守恒定律可得 代入数据解得 （2）若圆弧槽不固定，系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 联立解得， （3）设滑块的质量为，小球与滑块发生弹性碰撞后恰好不能追上圆弧槽，即碰后小球速度与圆弧槽相同，设碰后滑块的速度大小为，由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 联立解得 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $