江苏省南通中学2026-2027学年高三上学期数学周练7.17

**基本信息** 南通中学高三数学周测卷聚焦函数、几何、概率等核心知识，通过逻辑推理与数学应用考查数学思维，适配高三一轮巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/50|集合运算、函数单调性与导数（第2题）、二项式定理（第5题）、条件概率（第8题）|结合导数判断函数非单调区间，体现逻辑推理；以旅游选景点为情境考查条件概率，落实数学语言表达| |多选题|3/18|函数对称性与周期性（第11题）、正方体动点问题（第12题）|正方体中考查异面直线成角与距离最值，发展空间观念；函数奇偶性与单调性综合，强化数学眼光| |填空题|4/32|正态分布（第14题）、空间向量投影（第16题）、基本不等式（第17题）|利用基本不等式求最值（第17题），考查运算能力；空间向量投影计算，体现数学思维严谨性|

南通中学高三数学小练7.17 一、单选题 本题共10小题，每小题5分，共50分。 1．设集合，或，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象关于轴对称 B．在定义域内只有1个零点 C．在为单调增函数 D．的值域为 4．设函数，若在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．将展开式中的项重新排列，则的次数为整数的项互不相邻的排法的种数为（  ） A．24 B．36 C．144 D．576 6．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数．若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 9．若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 （   ） A．16 B． C．36 D． 10．已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分。 11．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当时，都有，则下列结论正确的有（    ） A．函数为偶函数 B． C．函数在上有1014个零点 D．函数在上为减函数 12．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 13．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 三、填空题 本题共4小题，每小题8分，共32分。 14．已知随机变量，若，则__________. 15．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 16．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是________. 17．若，则的最小值为________. 南通中学高三数学小练7.17 一、单选题 1．设集合，或，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【详解】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 2．已知函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：因为函数在区间上不单调，所以 在区间上有零点， 由，得，则，得，故答案为D． 考点：函数的单调性与导数的关系． 3．已知函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象关于轴对称 B．在定义域内只有1个零点 C．在为单调增函数 D．的值域为 【答案】C 【分析】A选项，根据函数奇偶性定义进行判断；B选项，解方程得到零点；C选项，举出反例可得C错误；D选项，时，由基本不等式可得范围，结合函数的奇偶性和可得答案. 【详解】A选项，定义域为， 又，故为偶函数，图象关于轴对称，A正确； B选项，令得，解得，在定义域内只有1个零点，B正确； C选项，，，故， 在不为单调增函数，C错误； D选项，当时，，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，又当时，，故此时， 又因为为偶函数，，综上，的值域为，D正确. 4．设函数，若在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，即可求解. 【详解】要使函数在上是增函数， 需满足两个条件，①段单调递增；②在分段点处，左侧函数值≤右侧函数值。 则令， 所以在上恒成立， 所以， 左段：，右段：时，， 所以，解得. 即a的取值范围是. 故选：A. 5．将展开式中的项重新排列，则的次数为整数的项互不相邻的排法的种数为（  ） A．24 B．36 C．144 D．576 【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项，即可判断的次数为整数的项有个，再利用插空法排列即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 因为为整数且，可得， 展开式共有项，其中的次数为整数的项有个，把展开式中的项重新排列， 则的次数为整数的项互不相邻，即把个整次数项插入到个次数为非整数的项所形成的个空中，共有方法种， 故选：C． 6．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 7．已知函数．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，求导判断函数单调性，比较自变量大小，利用单调性比较函数值； 【详解】因为，所以是偶函数， 因此， 求导，当时：， 令，则，在单调递增， ，可得，故 又时，，故，所以在单调递增， 对取对数得，令，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 因为，计算得， 所以，即 因为在单调递增，所以，即， 故选：A. 8．甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出、，再应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由题设，“3个人都没去A景点且甲独自去一个景点”，甲与乙丙看作两组安排到2个景点有2种方法， “甲独自去一个景点”，甲在3个景点任选一个，其它两人在余下的2个景点任选， 又3人在3个景点任选有种，所以，， 所以. 故选：B 9．若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 （   ） A．16 B． C．36 D． 【答案】C 【分析】根据函数的对称性求出函数的表达式，结合导函数求出极大值，进而得到最大值. 【详解】函数过点，. 因为函数图象关于直线对称，所以点，也在函数的图象上， 即. 所以，即，解得. 所以. 则. 令，即，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以函数在处取得极大值， 又 ， ， 的最大值为36. 故选：C. 10．已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式，即，即， 所以，解得，所以不等式的解集是. 故选：C 二、多选题 11．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当时，都有，则下列结论正确的有（    ） A．函数为偶函数 B． C．函数在上有1014个零点 D．函数在上为减函数 【答案】ACD 【分析】根据题意可判断关于对称且关于对称，可知在单调递增，可得出函数是周期为4的函数，即可依次判断每个选项正误. 【详解】 函数关于点对称，关于对称，， ，关于对称， 当，时，都有， 在单调递增， 综上，可画草图， 选项A，可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，A正确； 选项B，可知，是以4为周期的函数，则， ，B错误； 选项C，在的零点个数有个，C正确； 选项D，在的图象和在的图象一致，应为减函数，正确. 12．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 13．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】根据题设条件可得在上的单调性，结合其奇偶性可求不等式的解，从而可得正确的选项. 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 三、填空题 14．已知随机变量，若，则__________. 【答案】4 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以 又因为， 所以由对称性知，. 故答案为：4 15．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 16．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是________. 【答案】 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 17．若，则的最小值为________. 【答案】6 【分析】由，则,利用基本不等式,可求得答案. 【详解】因为.， 所以， 即， 解得（舍）或， 当且仅当，即时，等式成立。 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查应用基本不等式求最值，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $