云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三上学期第三次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第三次学科体验参考答案 一、单项选择题 题号 2 4 5 6 8 答案 y 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AB AD ACD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 8 3. 02 ①②④ 四、解答题 15.解：(1)由题意利用正弦定理可得sin4sinC+V3sin4cosC=√3sinB, 因为A+B+C=元，所以sin4sinC+V3 BsinAcosC=V5sin(A+C)】 sinAsinC+3sinAcosC(sinAcosC+cosAsinc) 所以sin AsinC=V3 cosAsinC, 又因为0<C<π，所以sinC>0, 所以tanA=v3 A=π 因为0<A<元，所以3 (6分) (2)因为CD=2AC,且△BCD的面积为2V5, 所以△4ABC的面积为V3,所以2 .AB.AC.sin4=3 因为AB=C=2,所以AC=2, 所以△ABC为等边三角形， 所以BC=2, ∠BCD=2π 3, 因为CD=2AC,所以CD=4, D:=BC2+CD:-2BC.CD.C0S2=28 在△BCD中，由余弦定理得 3 所以BD=2V7, 4sin2π CD BD n∠CBD=CDsin∠BCD_3 V21 在△BCD中，由正弦定理得sin∠CBD sin∠BCD,即 BD 2W7 7 所 sin∠CBD=V 7.…（13分） 16.(1)证明：因为P0⊥平面AOB,A0C平面AOB,则P0⊥A0, AC=2BC=2,AB=AC+BC=3, 在等腰△OAB中，易知∠OAB=∠AB0=30°，∠AOB=120°， 40=sin300.4B 由正弦定理可得 sin120°=V3 ,则OB=V5】 在△A0C中，由余弦定理OC2=AO+AC2-2A0:ACcos3:0°，可得0C=1, 故有A02+0C2=AC2=4,则A0⊥0C, 因为PO∩OC=O,PO,OCc平面POC, 且A01P0,A01OC,所以A0L平面P0C.…(7分) (2)解：由(1)知，OA、OP、OB三者两两垂直， 则以O为原点，OA,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则00.0，o).A5,00.P(0.0,1.C(0,10)， 又AC:CB=2:1,可得 因为40L平面P0C,所以平面P0C的-个法向量为m=01-(V50,0)】 设平面PAB的法向量为万=（化”，2），则 i.PA=0 3x-z=0 PB=0 x+2y-2=0 2 令x=1.可得i-(v5,) 可得m:i=1x5+3×0+V3x0=5.m=V5,=1+3+3=√万 cos(mi m方3√万 可得 m:同V3x√77 所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为 leos(m 7 (15分) 17.解：(1)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则X的取值为0,1,2， r-0-号鉴-号-)5餐答- 则 P(X-2)-Ci+CixG+Ci-1 C 5 则X的分布列为 X 0 1 2 12 16 p 35 35 5 16 E(X)=0 35*1x16 1 所以 *2x 57……(7分） (2)设300位顾客中奖2次的人数Z, Z~B30,5 cgc" 300！ 4 300! 1 k:(300-k)!^5(k+1)(299-k)5 c≥c 300! 1 300! ,所以k1(300-):5(k-10(301-k)×5 296≤k≤30 得5 ,故k=60 … …（15分) x2,y2 =1 18.解：(1)由椭圆方程84知a2=8,b2=4,得a=2V2,b=2, e=c=2-5 所以c=Va-b2=2,所以椭圆的离心率a2万2， (4分) (2)B(2,0),设A(:),B(,乃)，M(0,),V(0,),依题意设直线1：x=m+2, x=my+2 文84有m+2y+4m心-4=0 △=(4m)}2-4×(m2+2)×(-4)=32m2+32>0 则片+乃 4m m2+2 -4 m2+2 y=片(x+2) 直线A的方程：X+2 ,令x=0得M纵坐标+2 楼的的防居，产+习 y4= 2y2 ,令x=0得N的纵坐标名+2 则5-2F5卧-=2-为.Smr0-=-为 若5aB=Sarw,即24-=4-， y-=29-22 2y2 8y-2)=2-g x+2x2+2m%+4my2+4(my+4)(my2+4) .(my+4)(my2+4=4m2y2+4m(0y+)+16=4 4m -4 -4m2 +4m.-4m +16=4 因为+%=m+2.%m+2,所m+24mm2+24,解得m=±5 存在直线+5y-2=0或X-V5y-2=0满足题意.(17分) M 0 n.解0-0，>0 ①当Q≥0时，f'()>0,则f()在(0，+o)上单调递增： ra0,,a）ae 综上，当Q≥0时，(x)在(0，+o)上单调递增， 1 当a<0时了()在0，-a上单调递增：在2+∞ 上单调递减；…（4分) 2)G)（x)=x,设切点为m,nm则切线方 y-Inm=-(x-m) 代入点M坐标，得m 0=5+Imm-1 :.6=m(1-Inm), 由题，上述关于m的方程有两个不同的解， 令h(m)=m(-lhm）,则h(m)=-lhm, 当m∈(0，时，h(m)>0,h(m）在(0,1)上单调递增： 当m∈(L,+o)时，h(m)在(L,+o)上单调递减：所以h(m)的极大值为h)=l, 当m→0时，h(m)→0：当m→+o时，h(m)→-∞ 则b的取值范围为(0，)】 (10分) (i)线段AB的中点在第四象限，证明如下： 设A,B两点的坐标分别为1(p,p）,B(g,ng) 由lPA=P8,可得(p-+(p=(g-+(mg}, 令创-e-+0时，则8)=24-小202-1竖) seaa.-1ko,0.g间<0则e国a上国 当国.0，g0,4g>0的E树刘Er8 由8(p)=g(9),不妨设0<p<1<9. 4(=g--旷+旷-j-=----rf- se@a.A0如o=ep8日0 xp-&,go80周 91 而8()在（，+0)上单调递增，从而有p,可得P9<1: Inp+ing_In(pa)< p+9>0 线段AB的中点的纵坐标2 2 ,横坐标2 故其位置在第四象限，… (17分) 云南师大附中2027届高三数学第三次学科体验 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则集合与的关系是（ ） A． B． C． D． 2．设复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．若，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 5．三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知，向量满足，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．若点关于动直线：的对称点为，则点的轨迹为（ ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 8．设函数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某地区组织了一次高二全体学生的期中考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ） A．若数列为等比数列，，，成等差，则，，也成等差 B．若数列为等比数列，则 C．若数列为等差数列，且，，则使得的最小的值为 D．若数列为等差数列，且，，则中任意三项均不能构成等比数列 11．如图，已知正方体，点，分别为上、下底面的中心．正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（ ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．若正方体的棱长为，则点到平面的距离为 D．此双曲线的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则__________． 13．的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为__________．若角为钝角，则的取值范围为__________． 14．已知函数，则下列命题正确的是__________． ①在上单调递减； ②若是小于的最大零点，是大于的最小零点，则； ③若，为的两个相邻零点，则； ④，，使得在上有两个零点． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求角； （2）延长到点，使，且的面积为，求的值． 16．（本小题满分15分）如图，三棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． （1）求中奖次数的分布列和数学期望； （2）已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 18．（本小题满分17分）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求的取值范围； （ii）设，是图象上两个不同的点，且，两点到的距离相等，判断线段的中点在第几象限，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $