第四章 数列（20考点+7易错+易错训练）（知识清单）数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 知识点一 数列的概念与分类 1．数列的概念 (1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋 势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 【注意】(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复． (2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母． (3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外． 知识点二 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)． 【注意】数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． 知识点三 数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 【方法技巧】求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 知识点四 数列的递推公式 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【注意】(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列． 知识点五 an与Sn的关系 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 【注意】由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示． 【方法技巧】求通项公式的解法 1.由前n项和求通项公式的步骤 (1)先利用a1＝S1，求出a1． (2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式． (3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an． 2.由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决． 3.形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． 4.形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的数列{an}的通项公式的求解方法是等式两边同时除以qn+1，即得＝·．当p＝q时，数列为等差数列；当p≠q时，原式可以变形为＋λ＝的形式，则数列为等比数列，进而写出{an}的通项公式． 5.形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． 知识点六 等差数列的概念 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 【注意】(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 知识点七 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b． 【注意】(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 【方法技巧】等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 知识点八 等差数列的通项公式 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3． 【方法技巧】等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 知识点九 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【注意】(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 知识点十 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 【注意】由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． 知识点十一 等差数列前n项和的性质 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·． 【方法技巧】利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法： (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用相关性质中的结论进行求解． 知识点十二 等差数列前n项和的最值问题 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【注意】由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． 知识点十三 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【注意】等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 知识点十四 等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)． (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列． 【注意】(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． 【方法技巧】1.判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 【注意】(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． 2.判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 知识点十五 等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 3．由等比数列构造(衍生)新数列 (1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是． (3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 【注意】(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． (4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 知识点十六 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 【注意】(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中，an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． 知识点十七 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 【注意】(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 知识点十八 等比数列前n项和的性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是qn． 【注意】当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 【方法技巧】处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为qn，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． 知识点十九 数列求和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．常见的拆项类型有5种： ①分式型： ＝， ＝， ＝等； ②指数型： ＝－，＝－等； ③根式型：＝(－)等； ④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1. ⑤三角函数型：tan(k＋1)tan k＝·[tan(k＋1)－tan k]－1. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)的数列求和，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【注意】无论用哪一种方法求和，最后都可以用S1，S2进行验证． [常用结论] (1) ＝1＋2＋3＋…＋n＝ ； (2)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； (3)＝13＋23＋…＋n3＝2； (4)＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). 知识点二十 数学归纳法的理解 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3．数学归纳法的框图表示 【注意】初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定． 【方法技巧】用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况． (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项． (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形. 易错点1 已知Sn，求an时，易忽略n=1的情况致错 易错提醒 1. 由与的关系求通项，当 时求出通项公式后，不能忽略n=1的情况，还需要验证数列的首项是否也满足通项公式，即 “通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步容易忘记。 【对点训练】1．已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，符合上式，所以． （2）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，不符合上式，所以． 2．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 _____. 【答案】 【分析】先利用求出参数，再根据前项和与通项的分段关系推导通项，最后验证时的适配性. 【详解】当时，，即； 当时，，因此， 由，得，解得，故， ① 当时，； ② 当且时，， 表达式对也成立， 综上所述，数列的通项公式为. 3．已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 4．已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系即可求通项公式； （2）利用分组求和与等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）当时，， 当时， 又不满足上式（） 综上所述，的通项公式为. （2）由（1）可得（），且， 综上所述，的前项和. 易错点2 用函数法求等差数列前n项和的最值时，忽略数列与函数的区别致错 易错提醒 1. 用求二次函数最值的方法来求等差数列的前n项和的最值时, 需明确数列是一串离散的点, 只能取正整数, 与函数不同; 所以求解时应由及二次函数图象的对称性来确定 n 的值。 【对点训练】5．（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（   ） A．数列的公差为 B．与的等比中项为 C． D．当取得最大值时，或6 【答案】ACD 【详解】A.设等差数列的公差为，由，得 解得，A正确； B.∵，，∴与的等比中项为， 而，B错误； C.由等差数列求和公式得，C正确； D.∵，,对称轴为，开口向下，∴当取得 最大值时，或6，D正确. 6．已知是一个等差数列，且，． (1)求的通项； (2)求的前项和的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意解得 （2）， ，， ∴当时，有最大值． 7．（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【答案】BC 【分析】先通过等差数列的基本量的运算求出和公差，确定数列的通项和前n项和，再求得取得最大值时的值． 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 8．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】根据条件可得，结合，利用二次函数性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 故，又，所以， 所以， 而，所以n取值是6或7时，取最大. 易错点3 利用等比数列前n项和公式时，忽略公比q=1致错 易错提醒 1.在研究等比数列时，切记等比数列中的任何一项都不为0，且公比 。在利用等比数列求和时，如果公比q是未知数，需要对公比q是否为1进行分类讨论，不能忽略公比q=1的情况。 【对点训练】9．（多选）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（　） A．公比 B．首项 C． D． 【答案】ABC 【详解】代入得 即，故A对. 代入得，故B对. ，故C对. ，故D错. 10．设等比数列的前项和为，，若，则数列的公比______． 【答案】 【分析】根据题意，对公比进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式和，列出方程，即可求出结果 【详解】当时，，，， 由，得，所以，与矛盾，故， 所以根据等比数列的前项和公式，有， 化简得，即， 又因为，所以，解得. 11．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 12．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得： ，展开整理为一元二次方程： ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. 易错点4 等差数列求和时，误用公式、混淆项数导致错误 易错提醒 1.  在解题时要注意等差、等比公式利用，不用弄混乱了。 【对点训练】13．已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 因为，则，所以，， 又，则，，解得， 所以. 14．已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则公比， 则，得，因为，所以. 15．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列方程，舍去不符合正项条件的解即可求得公差. 【详解】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 16．已知在等比数列中，，数列是等差数列，且，求的值． 【答案】 【分析】利用等差数列和等比数列的性质即可求解． 【详解】数列为等比数列，， ，，， 又因为为等差数列，． 易错点5 数列加绝对值后，忽略了数列各项符号的变化 易错提醒 1. 数列加绝对值后，对含绝对值的这类数列求和，要先去绝对值，那就要弄清数列中各项的符号，进行分段求和；如果没有考虑数列各项符号的变化，就很容易导致错误。 【对点训练】17．已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 18．（多选）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和前10项和求出公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一判断各选项． 【详解】设等差数列公差为，由， 代入，得，解得， 因此通项公式为，前项和， 选项A：公差，所以是递增数列，A正确； 选项B：令，解得，即，， 前项均为负，第项起为正，故在时取得最小值，B错误； 选项C：令，解得（为正整数）， 因此时的最小值为，C正确； 选项D：前项和为，D正确． 19．（多选）已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件列方程组求出和，根据等差数列通项公式判断A选项；令得到中的负项和非负项，再根据判断B选项；利用等比数列定义判断C选项；根据中的负项和非负项去绝对值，再利用等差数列的求和公式求和即可判断D选项. 【详解】选项A，由得， 因为，所以解得或（舍）， 所以，A选项正确； 选项B，令，解得，因为，所以当或时，取最小值，B选项错误； 选项C，，所以，因为，首项， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列，C选项正确； 选项D，由B知，当时，，当时，， 所以， 由得，所以，D选项正确. 20．（多选）已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】先根据递推关系判断是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式、前项和公式逐一分析选项. 【详解】对于选项A，由得数列是首项为，公差的等差数列， 又因为，因此是递增数列，A选项正确； 对于选项B，等差数列通项公式为，B选项错误； 对于选项C，等差数列前项和公式，所以. 因为为常数，所以数列是公差为1的等差数列，C选项正确； 对于选项D，令，解得， 所以. 根据得，代入上式得，D选项正确. 易错点6 数列中的奇偶项问题 易错提醒 1.有些数列由于有 出现，解题过程中忽略讨论奇数，偶数项符号不同而导致错误 【对点训练】21．在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 22．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 23．（多选）已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 【答案】ADC 【分析】直接计算出判断A，计算出后可判断B，由递推关系得出数列的奇数项的关系，从而利用等比数列的通项公式求解判断C，利用分组求和法求和判断D. 【详解】对A，由已知，，A正确； 对B，由已知，，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以， 又，所以是等比数列，且公比为， 所以，从而，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以，D正确. 24．已知数列满足， (1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列； (2)求数列的前10项和． 【答案】(1)答案见解析； (2)． 【分析】（1）由已知递推关系求出数列前几项，易得，利用已知递推关系得出与的关系即得与的关系，从而证明是等差数列； （2）用分组求和法求． 【详解】（1）由定义，，，，，，，，，，， 所以，，， ， 所以，所以是等差数列，公差为； （2）由（1），， ， ． 易错点7 数列不等式的放缩问题 易错提醒 1.数列不等式的证明，常常用到放缩法即将数列的通项改造为容易求和的通项，但常常会发现放缩后得到和不是我们需要的形式，此时可能需要调整放缩的起始项，这样才能得到我们需要的和. 【对点训练】25．已知数列满足，，且，. (1)证明：； (2)证明：. 【答案】(1) 证明：由已知数列满足，，且，， 即， 故， 由，，有，，故与同号， 因为，则，， 以此类推可知，对任意的，， 所以，则，所以. (2) 证明：因为，则，， ，累加得， 所以，可得. 当时，， 故. 【分析】（1）根据题意整理可得，结合符号分析可得故与同号，进而可证，再代入原式放缩可得，可证；（2）根据题意可得，利用累加法得，进而分析得，再利用放缩可得，结合裂项相消法求和证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】解该题的关键是因式分解和放缩的运用，观察题中递推公式因式分解得：；放缩的灵活准确运用： ，和． 26．已知正项数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）消去得到的递推关系，化简整理即得，是等差数列，写通项公式即可； （2）代入得数列，化简整理并进行放缩，再通过裂项求和，即得结果. 【详解】证明：（1）由已知得，同理， 两式相减得：，即， 因为，，所以，即， 所以数列是首项为2，公差为的等差数列，通项公式. （2）∵ 所以 （也可利用数学归纳法求证.） 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，数列放缩和裂项相消法求和，属于难题. 27．设数列的前项的积为，满足，，记 （1）证明：数列是等差数列； （2）记，证明： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）先令n=1求出首项，再由前项的积的定义表示，进而整理化简，再由等差数列定义得证； （2）由（1）表示数列的通项公式，进而由放缩法放缩，再由裂项相消法求，最后再放缩不等式得证. 【详解】解析：（1）因为，所以，解得. 由题可知， 所以，即，则. 所以是公差为1的等差数列，且首项. （2）由（1）可知，则. 首先，. 所以， 又，所以. 其次，. 所以. 所以. 综上所述：. 【点睛】本题考查由已知递推关系证明等差数列，还考查了由放缩法证明数列不等式以及裂项相消法求和，属于难题. 28．已知数列满足：，且. (1)证明：对于任意，数列中有无限项满足； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）推导出，可得知当时，，取，可得出，即可得出结论； （2）推导出，利用放缩法可证得成立. 【详解】（1）证明：因为，且，则，，， 以此类推可知，对任意的，， 由于，则， 当时，， 故，其中， 令，得，可得，则， 这样的正整数有无限多个. 对于任意，数列中有无限项满足. （2）证明：由，得，，，. 由累加法可得，所以， 于是，即. 又由，得， 因为， 所以 . 综上，. 1．已知为正项等差数列的前项和，，的等比中项为33，，则（   ） A．440 B．400 C．360 D．320 【答案】A 【分析】（方法一）设出公差，利用条件建立方程，求解得公差，再由求和公式计算即得；（方法二）设出公差，利用等差数列的项的性质由先求得，再求公差，最后求和即得. 【详解】（方法一） 设正项等差数列的公差为．因为，的等比中项为33，， 所以，解得或（舍去）． 所以． （方法二） 设正项等差数列的公差为．由题意知， 因，可得．又，所以，所以， 所以． 故选：A． 2．等比数列中，与的等差中项为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项和等比数列的性质即可求解. 【详解】由于与的等差中项为17，所以， 又由于，可得， 因为数列是等比数列，是的等比中项，有， 所以，解得， 又因为，且公比为实数且不为0，所以， 因此，故C正确. 3．已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用等差数列求和公式及通项公式计算得出通项公式及求和，最后应用二次函数最值计算求解. 【详解】由题意，可求得，， ，故时取的最小值为． 4．等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 5．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 6．已知数列的前项和公式为，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】． 7．已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对为奇数和偶数进行分类讨论，整理得到，从而得到，为常数数列，从而推出定值，进而代入即可求出的值． 【详解】当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以， 又，则，即， 所以， 所以， 所以． 8．（多选）已知数列的前n项和记为，，则（     ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据 ​，得到各项依次是：，进而逐项判断即可. 【详解】由 ​，可得数列各项为：，即是周期为4的周期数列， 选项A：的所有项都是，等比数列不能含零项，因此A错误； 选项B：的各项为，首项为，公比为，因此B正确； 选项C：一个周期（4项）的和为 ，​是个完整周期的和，因此，C正确； 选项D：对， 即依次连续两项的和：； 当为奇数时，，当为偶数时，，因此D正确. 9．（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. 10．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 11．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 【答案】32 【分析】根据，求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前8项的和即可. 【详解】已知，. 当时，. 满足上式，所以，. 则当时，；当时，； 所以 12．等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 13．已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 14．已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 15．已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列通项公式将，，统一用首项与公比表示，代入解出公比，再结合前四项和求出首项，即可得到通项； （2）先由前项和分段求出通项，再写出偶数项表达式，前项由个奇数项与个偶数项组成，分开求和再相加得到. 【详解】（1） ， ， . （2）当时，， 当时，， 也满足的情况，所以， 当n为偶数时，， . 16．已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)数列从哪一项开始小于0． (3)求数列的前n项和的最大值，并求出对应n的值． 【答案】(1) (2)从第5项开始小于0 (3)76，4 【分析】（1）由首项和公差可求出通项公式为； （2）令，解不等式再由，可得第5项开始小于0； （3）由等差数列前n项和公式可得，再由二次函数性质可得最大值以及对应n的值. 【详解】（1）由题意数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 令，解得， 因为，所以数列从第5项开始小于0． （3）由（1）可知， 所以其前项和为， 而二次函数的对称轴为，和它最接近的整数为4， 因此当时，数列的前n项和有最大值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 知识点一 数列的概念与分类 1．数列的概念 (1)一般地，我们把按照_______排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_______．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做_______． (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数_______的数列 无穷数列 项数_______的数列 按项的 变化趋 势 递增数列 从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都_______它的前一项的数列 常数列 各项都_______的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项_______它的前一项，有些项_______它的前一项 【注意】(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复． (2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母． (3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外． 知识点二 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)． 【注意】数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． 知识点三 数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 _______*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从_______时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)_______；(3)_______ 【方法技巧】求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 知识点四 数列的递推公式 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【注意】(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列． 知识点五 an与Sn的关系 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_______． 2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 【注意】由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示． 【方法技巧】求通项公式的解法 1.由前n项和求通项公式的步骤 (1)先利用a1＝S1，求出a1． (2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式． (3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an． 2.由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决． 3.形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． 4.形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的数列{an}的通项公式的求解方法是等式两边同时除以qn+1，即得＝·．当p＝q时，数列为等差数列；当p≠q时，原式可以变形为＋λ＝的形式，则数列为等比数列，进而写出{an}的通项公式． 5.形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． 知识点六 等差数列的概念 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于_______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，公差通常用字母_______表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 【注意】(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 知识点七 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的_______，且2A＝_______． 【注意】(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 【方法技巧】等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 知识点八 等差数列的通项公式 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝_______． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3． 【方法技巧】等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 知识点九 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为_______． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为_______的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为_______的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_______的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_______的等差数列． 【注意】(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 知识点十 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 【注意】由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． 知识点十一 等差数列前n项和的性质 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·． 【方法技巧】利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法： (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用相关性质中的结论进行求解． 知识点十二 等差数列前n项和的最值问题 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【注意】由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． 知识点十三 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，公比通常用字母_______表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【注意】等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 知识点十四 等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝_______(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)． (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为_______数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为_______数列． 【注意】(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． 【方法技巧】1.判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 【注意】(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． 2.判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 知识点十五 等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 3．由等比数列构造(衍生)新数列 (1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是． (3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 【注意】(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． (4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 知识点十六 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 【注意】(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中，an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． 知识点十七 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝_______，Sn是n的正比例函数． 【注意】(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 知识点十八 等比数列前n项和的性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，_______仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是_______． 【注意】当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 【方法技巧】处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为qn，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． 知识点十九 数列求和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．常见的拆项类型有5种： ①分式型： ＝， ＝， ＝等； ②指数型： ＝－，＝－等； ③根式型：＝(－)等； ④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1. ⑤三角函数型：tan(k＋1)tan k＝·[tan(k＋1)－tan k]－1. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)的数列求和，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【注意】无论用哪一种方法求和，最后都可以用S1，S2进行验证． [常用结论] (1) ＝1＋2＋3＋…＋n＝ ； (2)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； (3)＝13＋23＋…＋n3＝2； (4)＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). 知识点二十 数学归纳法的理解 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3．数学归纳法的框图表示 【注意】初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定． 【方法技巧】用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况． (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项． (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形. 易错点1 已知Sn，求an时，易忽略n=1的情况致错 易错提醒 1. 由与的关系求通项，当 时求出通项公式后，不能忽略n=1的情况，还需要验证数列的首项是否也满足通项公式，即 “通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步容易忘记。 【对点训练】1．已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 2．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 _____. 3．已知为数列的前项和，若，则__________． 4．已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 易错点2 用函数法求等差数列前n项和的最值时，忽略数列与函数的区别致错 易错提醒 1. 用求二次函数最值的方法来求等差数列的前n项和的最值时, 需明确数列是一串离散的点, 只能取正整数, 与函数不同; 所以求解时应由及二次函数图象的对称性来确定 n 的值。 【对点训练】5．（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（   ） A．数列的公差为 B．与的等比中项为 C． D．当取得最大值时，或6 6．已知是一个等差数列，且，． (1)求的通项； (2)求的前项和的最大值． 7．（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 8．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 易错点3 利用等比数列前n项和公式时，忽略公比q=1致错 易错提醒 1.在研究等比数列时，切记等比数列中的任何一项都不为0，且公比 。在利用等比数列求和时，如果公比q是未知数，需要对公比q是否为1进行分类讨论，不能忽略公比q=1的情况。 【对点训练】9．（多选）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（　） A．公比 B．首项 C． D． 10．设等比数列的前项和为，，若，则数列的公比______． 11．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 12．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 易错点4 等差数列求和时，误用公式、混淆项数导致错误 易错提醒 1.  在解题时要注意等差、等比公式利用，不用弄混乱了。 【对点训练】13．已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 14．已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 15．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 16．已知在等比数列中，，数列是等差数列，且，求的值． 易错点5 数列加绝对值后，忽略了数列各项符号的变化 易错提醒 1. 数列加绝对值后，对含绝对值的这类数列求和，要先去绝对值，那就要弄清数列中各项的符号，进行分段求和；如果没有考虑数列各项符号的变化，就很容易导致错误。 【对点训练】17．已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 18．（多选）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 19．（多选）已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 20．（多选）已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 易错点6 数列中的奇偶项问题 易错提醒 1.有些数列由于有 出现，解题过程中忽略讨论奇数，偶数项符号不同而导致错误 【对点训练】21．在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 22．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 23．（多选）已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 24．已知数列满足， (1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列； (2)求数列的前10项和． 易错点7 数列不等式的放缩问题 易错提醒 1.数列不等式的证明，常常用到放缩法即将数列的通项改造为容易求和的通项，但常常会发现放缩后得到和不是我们需要的形式，此时可能需要调整放缩的起始项，这样才能得到我们需要的和. 【对点训练】25．已知数列满足，，且，. (1)证明：； (2)证明：. 26．已知正项数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 27．设数列的前项的积为，满足，，记 （1）证明：数列是等差数列； （2）记，证明： 28．已知数列满足：，且. (1)证明：对于任意，数列中有无限项满足； (2)已知，求证：. 1．已知为正项等差数列的前项和，，的等比中项为33，，则（   ） A．440 B．400 C．360 D．320 2．等比数列中，与的等差中项为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 5．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 6．已知数列的前项和公式为，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 7．已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知数列的前n项和记为，，则（     ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 9．（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 10．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 11．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 12．等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 13．已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 14．已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 15．已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 16．已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)数列从哪一项开始小于0． (3)求数列的前n项和的最大值，并求出对应n的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $