第07讲 电场力做功与功能关系 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）- 2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦电场力与功能关系核心考点，涵盖电场线、电势、电势能、电场力做功等内容，按“概念规律-场强电势分布-带电体运动应用”逻辑层次组织，通过考情分析、知识要点梳理、解题策略指导、题型归纳训练等环节，帮助学生构建系统知识网络。 讲义突出科学思维与模型建构，如将带电体运动分为点电荷电场、匀强电场、连接体等模型，设计典型例题与变式训练，配合巩固提升分层练习，培养学生分析推理能力。通过功能关系主线整合电场与力学知识，助力学生高效突破高考高频难点，为教师把控复习节奏提供清晰教学框架。

第07讲 电场力与功能关系 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 12 题型归纳 13 题型01：同种或异种点电荷周围电势和电场强度的分布 13 题型02：多点电荷或带电体周围电势和电场强度叠加问题 18 题型03：等量点电荷在空间的电势和电场强度分布 26 题型04：在电场中运动带电体的力与功能关系的问题 35 带电体在点电荷电场中的运动 35 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 35 （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 38 （三）带电体在绝缘细杆上的运动 41 （四）带电体在绝缘圆弧轨道中的运动 44 带电体在匀强电场中的运动 46 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 46 （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 48 （三）带电体在绝缘圆弧轨道上的运动 50 （四）带电体的组合运动 52 带电体在重力场和水平电场中的圆周运动 56 （一）带电体在竖直圆周轨道上的运动 56 （二）带电体直线运动+竖直圆周运动 60 题型05：在电场中运动带电连接体的力与功能关系 64 带电轻绳连接体的力与功能关系的问题 64 （一）带电轻绳连接体在竖直匀强电场中的运动 64 （二）带电轻绳连接体在水平匀强电场中静止释放运动模型 66 （三）带电轻绳连接体水平匀强电场中作完整圆周运动的问题 69 带电轻杆连接体的力与功能关系的问题 72 （一）带电轻杆连接体的转动模型 72 （二）带电轻杆连接体的平动模型 74 带电轻弹簧连接体的力与功能关系的问题 76 （一）弹簧伸长模型 76 （二）弹簧压缩模型 78 题型06： 带电粒子在电场中的运动和功能关系综合 80 巩固提升 94 1. 考查频次：高考高频中档考点，几乎每套试卷都会涉及。既可单独选择题定性分析，也常在计算题中和动力学、磁场综合命题。 2. 题型分布 ①选择题：以定性判断为主，比较电场力做功、电势能、动能大小变化，结合电场线、等势面图像出题。 ②计算题：多以带电粒子在电场运动为载体，将电场力做功与动能定理、能量守恒结合，进行定量计算，经常与重力、弹力做功混合考查。 3. 命题角度 ①电场力做功特点、电场力做功与电势能变化的对应关系； ②正负电荷在电场中移动，做功正负、电势能增减判断； ③电场、重力场复合场中的功能转化； 4. 易错点：正负号处理混乱；混淆电势、电势能；忽略重力做功，漏计重力势能变化；把电场力做功和路径挂钩。 1. 知识理解层面 ①掌握电场力做功特点：只由初末位置决定，与运动路径无关，清楚电场力做功的两个计算方式 W＝qUAB、W=qEd（匀强电场）。 ②牢固掌握功能对应关系：WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB，电场力做正功电势能减少；电场力做负功电势能增加。 2. 定性分析层面 ①给出电场线、等势面，能够判断电势高低，结合电荷电性，判断电势能大小、电场力做功正负。 ②复合场中，区分电场力、重力做功，分别判断电势能、重力势能、动能的增减变化。 3. 计算应用层面 ①熟练将动能定理应用于电场问题：合外力做功等于动能变化，合功包含电场力做功、重力做功等。 ②理解电场中能量守恒：只有电场力、重力做功时，动能+电势能+重力势能总和保持不变，会列式进行简单计算。 4. 应试能力层面 ①规避符号陷阱，会处理q、U的正负取值； ②遇到带电粒子运动图像类题目，可以按“电势→电场力做功→势能→动能”逻辑链条推导。 知识点一：电场线 几种常见的电场的电场线： 一：电场线概念 1.电场线定义： 为了形象描述电场而假想的一条条有方向的曲线。曲线上每一点的切线的方向表示该点的电场强度的方向。 注意：电场线不是实际存在的线，是为了形象地描述电场而假想的线。电场线上每点的切线方向就是该点电场强度的方向。电场线不是带电粒子的运动轨迹，带电粒子在电场力作用下的运动轨迹可能与电场线重合，也可能不重合。 2.电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的关系： 一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合． (1)电场线为直线； (2)带电粒子初速度为零，或速度方向与电场线平行； (3)带电粒子仅受电场力或所受其他力的合力方向与电场线平行． 3.电场线与轨迹问题判断方法： (1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况． (2)“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向．若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况． 二：等量点电荷电场线分布 1.等量同号点电荷的电场（电场线分布如图1） （1）两点电荷连线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大． （2）两点电荷连线的中垂线上由中点O到无限远，场强先变大后变小． （3）关于中心点O对称的点，场强等大反向． 图1　　　　　　　　　　图2 2．等量异号点电荷的电场（电场线分布如图2） （1）两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小． （2）两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大． （3）关于中心点对称的点，场强等大同向． 比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线分布图 电荷连线上的 电场强度 沿连线先变小后变大 O点最小,但不为零 O点为零 中垂线上的 电场强度 O点最大,向外逐 渐减小 O点最小,向外先 变大后变小 关于O点对 称位置的电 场强度 A与A'、B与B'、C与C' 等大同向 等大反向 三：电场线的特点 1.电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷． 2.电场线在电场中不相交． 3.在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏． 4.电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向． 5.沿电场线方向电势逐渐降低． 6.电场线和等势面在相交处相互垂直． 四：电场线的应用 1.判断电场力的方向：正电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相同，负电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相反。 2.判断电场强度的大小(定性)：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小。 3.判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线的方向电势降低最快，且电场线密的地方比疏的地方降低更快。 4.判断等势面的疏密：电场线越密的地方，等差等势面越密集；电场线越疏的地方，等差等势面越稀疏。 五：“电场线+运动轨迹”组合模型处理 模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现象”,其实质为“运动与力”的关系。运用牛顿运动定律的知识分析: 1.“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。 2.“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。若已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。 知识点二：电势与电势能 一：电势 1.定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 2.性质： 标量性 电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 相对性 电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置 固有性 电势是电场的固有性质，由电场本身的条件决定，与在该点是否放着电荷、电荷的电性、电荷量均无关。 3.理解： （1）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 （2）沿电场线线方向电势逐减降低。 （3）沿着电场线方向电势降低最快。 4.电势高低的判断方法 （1）电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。 （2）电势差与电势的关系：根据＝，（将、q的正负号代入公式分析计算），由的正负判断、的高低。 （3）Ep与φ的关系：由φ＝（将q、Ep正负号代入公式分析计算），正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。 （4）场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低． （5）标量求和法：点电荷产生的电势φ＝k（将Q正负号代入公式计算），空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和，可以比较电势的高低。 4. 等势面 （1）定义：电场中电势大小相同的各点构成的面叫作等势面。 （2）特点： ①.在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功； ②.在空间中两等势面不相交； ③.电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面； ④.在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏； ⑤.等势面是为描述电场的性质而假想的面； ⑥.等势面的分布与电势零点的选取无关； ⑦.当导体处于静电平衡状态时，导体是一个等势体，导体上各点电势都相等。 （3）应用： ①.根据等势面的分布确定电场线的分布。 ②.由等差等势面的疏密程度判断电场的强弱。 ③.由等势面判断电场中各点电势的高低。 ④.由等势面判断在电场中移动电荷时静电力的做功情况。 （4）几种典型电场的等势能面 电场类型 点电荷的电场 等量异种点电荷的电场 等量同种正点电荷的电场 匀强电场 图示 特点 等势面是以点电荷为球心的一簇球面。 两点电荷连线的中垂面上是电势为零的等势面。 在两点电荷中心连线上，中点电势最低；而在中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 等势面为垂直于电场线的一簇等间距平面。 二：电势能 1.定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 ①电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。 ②电势能的大小等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正号表示电势能大于零势能点位置，负号表示电势能小于零势能点位置。通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 2.性质： 标量性 电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能． 相对性 电势能是相对于零势能面来说的，零势能面选取不同，对于同一个点来讲电势能可能不同。 系统性： 电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 3.理解： （1）无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小． （3）正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小 4.电势能的大小判断“四法” （1）做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 （2）电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。 （3）公式法： 任何电场中Ep＝qφ（将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行计算判断） 点电荷电场中电势能Ep＝k（将q、Q的大小、正负号一起代入公式进行计算判断） （4）能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。 5.电势能与重力势能的比较 物理量 电势能 重力势能 定义 电场中的电荷具有的势能 重力场中的物体具有的势能 做功特点 只与初末位置有关，与经路径无关，所做的功等于势能的减少量 系统性 电荷和电场 物体和地球 相对性 电荷在某点的电势能等于把电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功 物体在某点的重力势能等于把物体从该点移到零势能位置时重力做的功 区别 电荷有极性 物体无极性 6.电势与电势能的比较 物理量 电势φ 电势能Ep 定义 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 电荷在电场中具有的能叫做电势能 单位 伏特V 焦耳J 物理意义 反映电场能的性质的物理量 反映电荷在电场中某点所具有的能量 影响因素 电势大小只跟电场本身有关，跟点电荷q无关 电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的 大小 规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，为负值。 对于正点电荷，其电势能的正负跟电势 的正负相同；对于负点电荷，其电势能 的正负跟电势的正负相反。 联系 φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。 知识点三：电场力做功与电势能的关系 1. 静电力做功 特点：在匀强电场中电场力做功W＝qE·Lcosθ，其中θ为电场力与位移间夹角，不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。 正电荷沿着电场线方向移动时电场力做正功，负电荷沿着电场线方向移动时电场力做负功。 【注意】当静电力与位移两者的方向小于90°时，静电力做正功；当静电力与位移两者的方向等于90°时，静电力不做功；当静电力与位移两者的方向大于90°时，静电力做负功。 2.电场力做功的求解 求法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB (1)既适用于匀强电场也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 W＝qUAB＝q(φA－φB) 功能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 3.电场中常见的功能关系 （1）若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。 （2）除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。 （3）所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。 （4）若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。 【注意】对静电力做功的相关理解： ①.静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与具体路径无关，与重力做功特点相似。 ②.静电力做功的特点不受物理条件限制，不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，电场力做功的特点不变。 ③.电场力方向和位移方向的夹角为锐角，电场力做正功；夹角为钝角，电场力做负功． ④.电场力方向和瞬时速度方向的夹角是锐角，电场力做正功；夹角是钝角，电场力做负功；电场力方向和瞬时速度方向垂直时，电场力不做功。 ⑤.电势能增加时，电场力做负功；电势能减小，则电场力做正功。 ⑥.若物体的动能增加，电场力做正功；若物体的动能减少，则电场力做负功。 知识点四：电场强度与电势差的关系 1. 电势差 （1）定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。若A点电势为φA，B点电势为φB.则＝φA－φB；＝φB－φA。 （2）性质： 电势差的性质 标量性 电势差是标量，有正负，无方向。正负表示电场中两点间的电势的高低。 固有性 电势差是表述电场性质的物理量，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关。 绝对性 电势差的大小是绝对的，与零电势的选取无关。 （3）静电力做功与电势差的关系：电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。电荷在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功 与电荷量q的比值叫做AB两点间的电势差，即。 （4）电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电量比值。 电场中两点间电势的之差。 公式 φ＝ U＝（） 影响因素 由电场和在电场中位置决定。 由电场内两点位置决定。 相对性/绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关。 具有绝对性，与零势能点选取无关。 联 系 数值关系 ＝φA－φB，当φB＝0时，＝φA。 单位 相同，均为V。 固有性 都是表示电场性质（电场能）的物理量。 标量性 都是标量，但均具有正负。 2. 电势差与电场强度的关系 （1）关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积：＝Ed(注：公式中d是两点沿电场方向距离) 【注意】电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向，电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢。 （2）在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论” 3.等分法及其应用 (1)等分法：如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 (2)“等分法”的应用思路： 补充：E＝在非匀强电场中的定性分析 公式中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度。 电势差一定时，场强越大，则沿场强方向的距离越小，此时等差等势面越密。 距离相等的两点间的电势差：场强越大，电势差越大；场强越小，电势差越小。可以用来判断电势的高低。 利用－x图像的斜率判断电场强度：曲线斜率，斜率表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。 1.几种常见的典型电场等势面的对比分析 电场 等势面(实线)图样 重要描述 匀强电场 垂直于电场线的一簇等间距平面 点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面 等量异种点电荷的电场 连线的中垂面上的电势为零 等量同种正点电荷的电场 连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高．关于中点左右对称或上下对称的点电势相等 2．电势高低的判断 判断角度 判断方法 依据电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低 依据场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低 依据电场力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低 依据电势能的高低 正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大 3.电势能大小的判断 判断角度 判断方法 做功判断法 电场力做正功，电势能减小 电场力做负功，电势能增加 电荷电势法 正电荷在电势高的地方电势能大 负电荷在电势低的地方电势能大 公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小 能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加 4．求电场力做功的四种方法 (1)定义式：WAB＝Flcos α＝qEdcos α(适用于匀强电场)． (2)电势的变化：W＝qUAB＝q(φA－φB)． (3)动能定理：W电＋W其＝ΔEk. (4)电势能的变化：WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB. 5．电场中的功能关系 (1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变． (2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量． (4)所有外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化． 题型01： 同种或异种点电荷周围电势和电场强度的分布 【典型例题1】等量异种点电荷的电场线分布如图所示，点为两点电荷连线中点。下列说法正确的是（    ） A．两电荷连线上，点的电场强度最大 B．两电荷连线的中垂线上，点的电场强度最小 C．两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度相同 D．两电荷连线的中垂线上，电势处处不相等 【答案】C 【详解】A．两电荷连线上，点的电场线最稀疏，故点的电场强度最小，故A错误； B．两电荷连线的中垂线上，点的电场线最密集，故点的电场强度最大，故B错误； C．根据对称性可知，两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度相同，故C正确； D．两电荷连线的中垂线上，电场线与中垂线处处垂直，故两电荷连线的中垂线为等势线，电势处处相等，故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）如图所示，等量的异种点电荷＋Q、-Q在x轴上并关于O点对称放置，虚线是其在空间中产生的电场的等势线，空间的点a、b、c连线与x轴平行，b点在y轴上，并且ab=bc，则下列说法正确的是（　　） A．a、c两点的电势关系为φa=φc B．a、c两点的电场强度的大小关系为Ea=Ec C．若在a点由静止释放一个质子，则质子经过y轴后一定不能通过c点 D．若从O点以初速度v0沿y轴正方向射出一电子，则电子将沿y轴运动 【答案】BC 【详解】A．在等量异种点电荷的电场中，电场线从正电荷出发沿垂直于等势面方向指向负电荷，所以φa>φc，选项A错误； B．a、c两点关于y轴对称，所以电场强度的大小相等，选项B正确； C．质子从a点由静止释放，受到的电场力可以分解为沿x轴正方向的分力Fx和沿y轴正方向的分力Fy，所以质子沿x轴正方向做初速度为零的加速运动，同时沿y轴正方向也做初速度为零的加速运动，当质子经过y轴后受到的电场力的方向可以分解为沿x轴正方向的分力Fx和沿y轴负方向的分力Fy，所以质子沿x轴正方向继续做加速运动，沿y轴正方向则做减速运动，由于ab=bc，所以质子一定不会经过c点，选项C正确； D．若电子从O点以初速度v0沿y轴正方向射出，电子受到的电场力沿x轴负方向，不可能沿y轴运动，选项D错误。 故选BC。 【典型例题3】（多选）如图所示，在x轴上处固定两个带电量均为的点电荷，一电子仅在静电力的作用下沿x轴从处移动到处或沿y轴从处移动到处。下列说法中正确的是（　　） A．沿x轴移动时电子的动能先增大后减小 B．沿y轴移动时电子的动能先增大后减小 C．在处固定电荷量为的负点电荷，可使处的电场强度为0 D．在处固定电荷量为的正点电荷，可使处的电场强度为0 【答案】AC 【详解】AB．等量负点电荷电场分布情况如图 x轴上，从处移动到处，场强先减小后变大，电场力先做正功后做负功，电子的动能先增大后减小。y轴上，场强从原点向外，先增大后减小，从处移动到处，电场力先做负功后做正功，电子的动能先减小后增大，A正确，B错误； C．在处固定电荷量为的负点电荷处的电场强度为 又解得C正确； D．在处固定电荷量为的正点电荷，可使处的电场强度为 又解得D错误。故选AC。 【变式训练1-1】电场线能直观、方便地反映电场的分布情况。如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；是电荷连线的中点，、是连线中垂线上关于对称的两点，、和、是两电荷连线上关于对称的两点。则（    ） A．、两点场强相同 B．、两点电势不等 C．、、三点中，点场强最大 D．从点向点运动的电子加速度逐渐减小 【答案】A 【详解】A．电场线的疏密表示场强大小，电场线的切线方向表示该点场强方向，所以、两点电场线疏密程度和切线方向都相同，所以场强相同，故A正确； B．、两点在同一等势面上，电势相等，故B错误； C．、、三点中，点处电场线最稀疏，场强最小，故C错误； D．点处场强大于点处场强，电子在点时加速度大于在点时加速度，故D错误。 故选A。 【变式训练1-2】水平直线上有A、B、C三点，在B、C两点各固定一点电荷，电荷量分别为和，周围的等势面分布示意图如图所示。在A点固定一根竖直光滑绝缘细杆，一带正电的小环（重力不可忽略）套在细杆上从D点无初速度释放到达A点。下列说法正确的是（　　） A．小环在D点与在A点所受电场力的方向相同 B．小环运动到A点时的加速度大于重力加速度 C．小环在D点的电势能小于在A点的电势能 D．小环最终以A点为中心做往复运动 【答案】C 【详解】A．等量异种电荷的电场线分布如图所示 由图可知小环在D点与在A点的电场强度方向不同，则所受电场力的方向不同，故A错误； B．在A点，电场力水平向左，竖直方向只受重力，根据牛顿第二定律可知加速度，故B错误； C．小环带正电，由等势线可知 根据电势能，可知，故C正确； D．小环在运动过程中受重力作用会继续向下加速，不会以A为中心做往复运动，故D错误。 故选C。 【变式训练1-3】如图所示为两个异种点电荷A、B形成电场线和等势线，其中正电荷的电荷量为+q，负电荷的电荷量为-2q。已知N、M点在A、B两个点电荷的连线上，P、Q点同在某一条电场线上，下列说法正确的是（　　） A．点电荷B的电荷量为+q B．若N点电势为0，则M点电势必小于0 C．在P点由静止释放一个带正电的试探电荷，它可沿电场线运动到Q点 D．N、M之间的电势差小于P、Q之间的电势差 【答案】B 【详解】AB．取其中一条电场线的最高点或者最低点，画出两个电荷在该点的电场强度矢量，根据竖直方向电场强度矢量和为零，可以判断出A的电荷量小于B的电荷量，所以A带正电，电荷量为q，B带负电，电荷量为-2q，由此可知A、B连线的电场方向由A→B，那么N点电势为0，则M点电势必小于0，故A错误，B正确； C．由P点释放试探正电荷，试探电荷在之后的运动过程中，速度方向与电场力的方向不在一条线上，所以不会沿着电场线运动到Q点，故C错误； D．N、P和M、Q分别在两个相同的等势面上，所以N、M之间的电势差等于P、Q之间的电势差，故D错误。 故选B。 【变式训练1-4】等量正点电荷的电场线（实线带箭头表示）及等差等势面（虚线表示）分布图如图所示。将一带正电的试探电荷从点沿直线经、移动到点，、、、均在等势面上。取无限远处的电势为零，则（　　） A．从点沿直线到点运动过程中电势不变 B．点的电场强度大小比点的大 C．该试探电荷在点的电势能比在点的大 D．、间的电势差比、间的电势差大 【答案】B 【详解】A．沿电场线方向电势降低，且电场线与等势面垂直，离正电荷越近电势越高。从点沿直线到点，电势先升高后降低，并非不变，故A错误； B．电场线的疏密表示电场强度的大小。由图可知，a点处的电场线比点处的电场线密集，所以点的电场强度大小比点的大，故B正确； C．由图可知点和点在同一等势面上，电势相等，根据电势能公式，电势能相等，故C错误； D．图中虚线为等差等势面，b、间与、间均为相邻等势面，所以、间的电势差等于、间的电势差，故D错误。 故选B。 【变式训练1-5】（多选）如图甲所示，两个等量正点电荷固定在绝缘水平面上，、、、是其连线中垂线上位于竖直方向上的四点，一带电量为，质量为的小球从A点静止释放，其运动的图像如图乙所示，其中点处为整条图线切线斜率最大的位置（图中标出了该切线），点处的切线平行于轴，运动过程中小球电荷量保持不变，已知、两点间距离为0.8m，、两点间的距离为2.7m，，下列说法中正确的是（　　） A．两点电势差 B．小物块从点到点电场力做的功 C．点为间电场强度最大的点，场强大小 D．由到的过程中小物块的电势能先减小后变大 【答案】AC 【详解】A．据图可知A、两点的速度，根据动能定理可得 解得两点电势差为 故A正确； B．小物块从点到点过程中，根据动能定理可得 解得小物块从点到点电场力做的功 故B错误； C．据图可知物块在点的加速度最大为 根据牛顿第二定律 电场强度为 联立解得 故C正确； D．由A到的过程中物块重力势能增大，动能增大，电场力做正功，电势能一直减小，故D错误。 故选AC。 题型02：多点电荷或带电体周围电势和电场强度叠加问题 【典型例题1】（多选）如图，在轴上放置四个点电荷和位于点两侧，位于点两侧。点在轴上，且。取无穷远处电势为零，电荷位置与电荷量满足一定关系，使得以点为球心、以为半径的球面上各点的电势均为零。下列说法正确的是（　　） A．两点电场强度的方向一定沿轴正方向 B．若在点放一正点电荷，则两点的电势一定升高 C．试探电荷沿轴运动过程中，若静电力始终不做功，则它受到的静电力始终为零 D．试探电荷沿轴运动过程中，若静电力始终不做功，则点的电场强度一定为零 【答案】BD 【详解】A．以点为球心、以为半径的球面为等势面，由电场强度和等势面的关系可知，两点电场强度的方向与半径垂直，与轴重合。由于无法判断各个电荷的电性，故两点电场强度的方向无法判断，故A错误； B．取无穷远处为零电势点，由于正点电荷周围的电势为正值，若在0点放一正点电荷，则两点的电势一定升高，故B正确； C．试探电荷沿轴运动过程中，根据电荷分布，若静电力始终不做功，则经过轴且垂直于轴的平面为等势面，但静电力不一定为零，故C错误； D．根据以点为球心、以为半径的球面为等势面，可知点的电场强度方向应与轴重合，再根据经过轴且垂直于轴的平面为等势面，可知点的电场强度方向应与轴垂直，同一点电场强度的方向是唯一的，故点的电场强度一定为零，故D正确。 故选BD。 【典型例题2】如图所示，边长为L的等边三角形的三个顶点a、b、c上各放置一个点电荷，电荷量分别为+q、+q、−q，O为等边三角形外接圆的圆心，d为ab边的中点。已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，若将无限远处的电势规定为零，则距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。则（　　） A．O点的电场强度大小为 B．O点的电势为 C．d点的电势为 D．系统的总电势能为 【答案】D 【详解】AB．O点到三个顶点的距离 则O点的电场强度大小为 O点的电势，故AB错误； C．d点的电势，故C错误； D．由公式Ep=φq可知系统的总电势能，故D正确。 故选D。 【典型例题3】（多选）理论表明，将无限远处的电势规定为零时，距离点电荷Q为r处的电势，其中k为静电力常量。如图所示，真空中有四个可视为点电荷的带正电的小球，约束在边长为的正方形的顶点上。已知各小球所带电荷量均为q，P为正方形的几何中心，则（　　） A．P点的电场强度大小为 B．P点的电势为 C．小球1的电势能为 D．将小球1从位置1沿直线移至P的过程中电势能增加 【答案】BD 【详解】A．根据电场的叠加原理可知，等量同种点电荷连线的中点的电场强度为0，可知，小球1，3在P点的电场强度为0，小球2，4在P点的电场强度为0，则P点的电场强度大小为0，故A错误； B．根据电势的代数和规律有，故B正确； C．小球1所在位置的电势 则小球1的电势能，故C错误； D．根据点电荷电场强度的叠加原理可知，P点到小球1连线的电场方向由P指向小球1，将小球1从位置1沿直线移至P的过程中，电场力做负功，则电势能增加，故D正确。 故选BD。 【变式训练2-1】如图所示，真空中为边长为的等边三角形三个顶点，在两点分别固定电荷量为的点电荷，在点固定电荷量为的点电荷，点为三角形中心，点为三角形三边中点，设点电荷在某点产生电势为为点电荷电量，为到点电荷的距离，关于四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是() A.点场强大小，电势为 B.点场强大小为，电势为 C.点和点场强大小相等，电势不同 D.电子由点沿直线移动到点过程中，加速度减小，电势能增大 【答案】B 【解析】A.根据对称性可知、两个点电荷在点产生的电场强度大小相等，均为 处点电荷在点产生的电场强度方向分别如图所示 根据电场强度的叠加法则可得点的电场强度大小为 根据点电荷在某点产生电势 可得点的电势分别为 故A错误； B.两个正点电荷在点的合场强为零，故点的场强即为负电荷在点产生的场强，即 根据点电荷在某点产生电势 可得点的电势分别为 故B正确； C.根据等量同种电荷的电场分布特点以及点电荷的电场分布特点可知，点和点场强大小相等，根据点电荷在某点产生电势 可得点和点的电势分别为， 可知这两点电势相等，故C错误； D.电子由点沿直线移动到点过程中，电场强度减小，电子受到的电场力减小，其加速度减小，电场力一直做正功，电势能减少，故D错误。 故选B。 【变式训练2-2】如图所示，等边三角形的三个顶点A、B、C上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为q、+q、+q，已知M、N、P分别为AC、BC、AB的中点，设无穷远的电势为零，下列关于M、N、P三点说法正确的是（　　） A．M、N两点电势相等 B．N点电势最低 C．M、P两点电场强度大小相同 D．N点的电场强度最大 【答案】C 【详解】AB．图像可知，相对M、P两点，N点更加靠近正电荷，故N点是M、N、P三点中电势最高的点，故AB错误； C．根据电场叠加原理可知，M、P两点场强大小相同，方向不同，故C正确； D．单独看B、C电荷在N点产生的电场强度抵消为0，所以N点的电场强度只是跟A处的正电荷有关，由于N点距离A点电荷最远，可知N点场强最小，故D错误。 故选C。 【变式训练2-3】如图所示，ABC为正三角形，AB和AC边上放有带等量异种电荷的绝缘细棒，O为BC边中点，D为BC中垂线上O点右侧的一点，P为BC上的一点，选无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（　　）    A．O点和D点场强可能大小相等，方向相同 B．D点的电势一定低于P点 C．将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电势能不变 D．将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电场力做负功 【答案】C 【详解】A．由场强的叠加和对称性可知，O点和D点场强方向相同，但D点场强要小于O点的场强，故A错误； B．由电场的分布特点可知，D点电势为0，P点电势小于0，所以D点的电势一定高于P点，故B错误； C．将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电场力不做功，电势能不变，故C正确； D．将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电场力做正功，故D错误。 故选C。 【变式训练2-4】“彭宁离子阱”是一个可以用来储存带电粒子的装置，它主要由一对左右对称的环电极和一对上下对称的端电极构成，如图所示，其内部某一截面的部分电场线和等势线分布，则（　　） A．P、M两点电场强度相同 B．P、Q两点电场强度 C．P、Q两点电势 D．M、N两点电势 【答案】D 【详解】A．电场强度是矢量，方向沿电场线切线方向；由图像结合对称性可知P、M两点电场强度大小相同，方向相反，因此P、M两点电场强度不同，故A错误； B．电场线越密场强越大，P点比Q点更靠近中心，电场线更稀疏，因此，故B错误； CD．根据图像可知上、下端电极带正电，左、右环电极带负电，电场、电势的分布具有对称性；结合沿电场线电势降低，等势线与电场线垂直，可知P、Q两点电势相等，M点电势大于N点电势，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2-5】（多选）如图所示，三个等长绝缘细棒构成正三角形，棒上带有等量负电荷且电荷分布均匀。P为正三角形中心，O为边中点，P、D关于O点对称，选取无穷远处电势为0，P点电势为，D点电势为，则下列说法正确的是（　　） A．P点电势大于D点电势 B．撤去棒，P、D两点电势差不变 C．撤去棒，则D点电势变为 D．撤去棒，则D点电势变为 【答案】BD 【详解】AB．根据对称性可知，BC在P、D两点的电势相等，由离负电荷越近电势越低可知，AC、AB在P点的电势低于在D点的电势，所以P点电势小于D点电势，且由以上分析可知，撤去棒，P、D两点电势差不变，故A错误，B正确； CD．因为三根棒在P点产生的电势相同，所以每根棒在P点的电势为 则棒在D点的电势也是，所以AC、AB在D点的电势相等，为 所以撤去棒，则D点电势变为 故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练2-6】（多选）边长为的正方形的四个顶点上放置如图所示的点电荷，以正方形中心O为原点建立坐标系，为另一正方形的四个顶点，中心也为O。以下说法正确的是（　　） A．O点场强大小为零 B．O点场强大小为，方向沿轴方向 C．带正点的检验电荷沿方向移动，电场力不做功 D．带负点的检验电荷从A点移到D点，电势能增大 【答案】BC 【详解】AB．方向两个点电荷在O点产生的合电场强度大小为 方向从。 AD方向两个点电荷在O点产生的合电场强度大小为 方向从。 根据电场的叠加原理可得O点场强大小为 方向沿轴方向，故A错误，B正确。 C．在A、B两点的点电荷电场中轴是一条等势线，在两点的点电荷电场中轴也是一条等势线，由电场的叠加原理可得轴是一条等势线，则带正点的检验电荷沿方向移动，电场力不做功，故C正确。 D．从A点移到D点，电势升高，电场力对负电荷做正功，电势能减小，故D错误。 故选BC。 【变式训练2-7】（多选）如图所示，等腰直角三角形ABC中，，在A、B、C三个顶点分别固定电荷量为、、的点电荷，P为AB边的中点，F、Q、G三点将AC边四等分，取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是（    ） A．F点和G点电场强度相同 B．F点和G点电势相等 C．一正电荷在P点的电势能比在Q点的电势能小 D．将一负电荷沿直线从F点移到G点，电势能先减小后增大 【答案】BD 【详解】A．在A，C两点电荷的组合场中，F，G的电场强度大小相等，方向相反，点B的点电荷在F，G产生的电场强度大小，方向不同，根据电场的叠加可知，F点和G点场强大小相等但方向不同，A错误； B．在A，C两点电荷的组合场中，F，G的电势相等，点B的点电荷在F，G的电势相等，根据电势的叠加可知，F点和G点电势相等，B正确； C．根据电势叠加可知，P、Q两点在A、B两点电荷电场中电势为零，在C点电荷电场中P点电势比Q点电势高，因此，一正电荷在P点的电势能比在Q点的电势能大，C错误； D．由B项可知， F与G两点电势相等，又由在AC的点电荷组合场中，G点电势比Q点电势低，在点电荷B场中，G点电势比Q点电势低，所以G点电势比Q点电势低，因此将一负电荷沿直线从F点移到G点，电势能先减小后增大，D正确。 故选BD。 题型03：等量点电荷在空间的电势和电场强度分布 【典型例题1】如图所示，真空中一正方体空间ABCD—A′B′C′D′，带电量为Q的正点电荷固定于A点，则（　　）    A．B点位置与C点位置的电场强度大小之比为 B．正方体所有顶点中，C′点位置的电势最低 C．C、D′、B′三点所在位置的电势相等、场强相同 D．电子从D′点沿直线运动到B′点的过程中，电势能先增大后减小 【答案】B 【详解】A．根据E=，B点位置与C点位置的电场强度大小之比为2：1，故A错误； B．正方体所有顶点中，C′点距离正电荷的距离最远，则电势最低，故B正确； C．C、D′、B′三点所距离正电荷的距离相等，则三点的电势相等、场强大小相同，但是方向不同，故C错误； D．电子从D′点沿直线运动到B′点的过程中，距离正电荷的距离先减小后增加，则电势先升高后降低，电子的电势能先减小后增大，故D错误。 故选B。 【典型例题2】如图，真空中的正三棱柱，在A点固定一个电荷量为的点电荷，C点固定一个电荷量为的点电荷，已知，静电力常量为k，选取无穷远处电势为0。则正确的是（　　） A．将一负试探电荷从点移到点，其电势能先增加后减小 B．、两点的电势差大于、两点的电势差 C．将一正试探电荷沿直线从B点移到点，电场力不做功 D．点的电场强度大小为 【答案】C 【详解】A．根据等量异种电荷的电势分布特征可知，A'点电势高于C'点，所以负试探电荷从A'点移到C'点，电场力做负功，电势能增大，故A错误； B．根据等量异种电荷的电势分布特征可知，、两点的电势差等于、两点的电势差，故B错误； C．根据等量异种电荷的电势分布特征可知，B、为等势面，所以将一正试探电荷沿直线从B点移到点，电场力不做功，故C正确； D．根据点电荷场强公式可得+Q点电荷在点产生的场强为 场强方向由A指向； 同理可得-Q点电荷在点产生的场强为 场强方向由指向C；则的合场强如图所示 根据几何关系可知 的合场强为 其中 联立可得 故D错误。 故选C。 【典型例题3】如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A，D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法中正确的是（ ） A．F′点与C′点的电场强度相同 B．A′点与F′点的电势差等于O′点与D′点的电势差 C．将试探电荷＋q由O点沿直线运动到O′点，其电势能先减小后增大 D．将试探电荷＋q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 【答案】D 【解析】D．将六棱柱的上表面的一半拿出，如图所示， 由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，D在F点产生的场强大小为A点在F点产生的场强大小的，合场强方向斜向右上角且与FE的夹角大于30°，所以在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确； 【典型例题4】如图所示，空间有一正三棱锥OABC，点A′、B′、C′分别是三条棱的中点。现在顶点O处固定一正的点电荷，则下列说法中正确的是（ ） A．A′，B′，C′三点的电场强度相同 B．△ABC所在平面为等势面 C．将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，静电力对该试探电荷先做正功后做负功 D．若A′点的电势为φA′， A点的电势为φA， 则A′A连线中点D处的电势φD一定小于 【答案】D 【解析】A′、B′、C′三点到O点的距离相等，根据点电荷的场强公式E＝分析可知，A′、B′、C′三点的电场强度大小相等。但方向不同，故A错误。A、B、C的三个点到场源电荷的距离相等，在同一等势面，但其它点到场源电荷的距离与A、B、C三点到场源电荷的距离不等，故△ABC所在平面不是等势面，故B错误；将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，电势先升高后降低，电势能先增大后减小，则静电力对该试探电荷先做负功后做正功，故C错误。由于A′D间场强大于DA间场强，由U＝Ed知，A′、D间的电势差大于DA间的电势差，则有：φA－φD＞φD－φA′，则φD＜(φA＋φA′)，由于正点电荷电场中电势大于零，因此φD＜φA＋φA′，故D正确；故选D。 【变式训练3-1】如图所示，正方体，在和处放置电量分别为、的点电荷，则下列说法正确的是（    ） A．点和点电场强度相同 B．点和点电势相同 C．点和点两点电场强度之比为 D．将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电场力不做功 【答案】B 【详解】A．根据等量异种电荷的电场线分布特点及对称性可知，、两点电场强度方向不同，故A错误； B．平面是、连线的中垂面，、在同一等势面上两点电势相等，故B正确； C．设正方体的边长为，因为等边三角形，故、在点产生的场强方向互成且大小相等，故 B点的电场强度大小为 、在点产生的场强大小相等且方向互相垂直，故点的电场强度大小为 故B、两点电场强度的比值为，故C错误； D．点距较近，其电势大于零，点电势等于零，故、两点电势不同，将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电势能减小，电场力做正功，故 D错误。 故选B。 【变式训练3-2】如图，真空中电量均为Q的两正点电荷，固定于一绝缘正方体框架的两侧面ABB1A1和DCC1D1中心连线上，且两电荷关于正方体中心对称，则（ ） A．A、B、C、D四个点的电势相同 B．A1、B1、C1、D1四个点的电场强度相同 C．负检验电荷q在A点的电势能小于在C1点的电势能 D．正检验电荷q从C点移到C1点过程电场力对其做正功 【答案】A 【解析】由叠加原理可知，A、B、C、D四个点的电势相同，选项A正确；A1、B1、C1、D1四个点的电场强度大小相同，但是A1、B1两点的场强方向相同，且与C1、D1两点的场强方向不同，选项B错误；因为A点和C1点电势相同，故负检验电荷q在A点的电势能等于在C1点的电势能，选项C错误；因C点和C1点的电势相同，故正检验电荷q从C点移到C1点过程电场力对其做不做功，选项D错误；故选A。 【变式训练3-3】如图所示，四根完全相同的均匀带负电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边上，点为长方体几何中心。现将处的绝缘棒替换为总带电量与相同，均匀带正电荷的绝缘棒。假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于替换后点处电场强度方向和替换前后点处电势的变化，下列说法正确的是（　　） A．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 B．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 C．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 D．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 【答案】B 【详解】根据对称性可知，替换处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向，再根据电势的叠加原理，单个点电荷在距其处的电势为，取无穷远处电势为零，故撤去处的绝缘棒，替换为总带电量与相同，均匀带正电荷的绝缘棒后，点电势升高，故B正确。 故选B。 【变式训练3-4】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（    ）    A．b、c、d三点的电场强度相同 B．b、c、d三点的电势相等 C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大 D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功 【答案】B 【详解】A．根据点电荷的场强公式 由图可知，b、c、d三点到两电荷的距离相等，所以A、B两点电荷在三点产生的合场强的大小相等，方向不相同，故A错误； B．A、B两个点电荷分别在b、c、d三点产生的电势相等，根据电势的叠加法则可知A、B两个点电荷在b、c、d三点的电势相等，故B正确； C．根据等量同种电荷的场强分布特点可知O点的合场强为零，从b点沿直线移动到O点，电场强度可能一直减小，也可能先增大后减小，所以所受电场力可能逐渐减小，也可能先增大后减小，故C错误； D．根据等量同种电荷的场强分布特点可知将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力先做负功后做正功，故D错误。 故选B。 B．设A′点电势为φ，由等量异种电荷的电势分布可知φA′＝φ＞0，φD′＝－φ＜0，φO′＝0，φF′＞0，因此φA′－φF′＝φ－φF′＜φO′－φD′＝φ，即A′点与F′点的电势差小于O′点与D′点的电势差，故B错误； A．由等量异种电荷的对称性可知F′和C′电场强度大小相等，方向不同，故A错误； C．OO′为等势线，将试探电荷＋q由O点沿直线运动到O′点，其电势能不变，故C错误。 【变式训练3-5】如图所示，ABCD为真空中一正四面体区域，M和N分别为AC边和AD边的中点，A处和C处分别有等量异种点电荷+Q和-Q。则（　　） A．B、D处场强大小相等，方向不同 B．电子在M点的电势能小于在N点的电势能 C．将一试探正电荷从B沿直线BD移动到D电场力做正功 D．将位于C处的电荷-Q移到B处时M、N点场强大小相等 【答案】D 【详解】A．因为是正四面体，所以各变长相等，A处和C处分别有等量异种点电荷，则根据点电荷的场强公式 可知，两点电荷各自在B、D处产生的场强大小相等，但由于电场强度是矢量，其叠加遵循平行四边行法则，根据电场强度的叠加原理可知，两点电荷在B、D处产生的场强大小相等、方向相同，故A错误； B．根据等量异种点电荷形成的电场的特征可知，两点电荷连线的中垂面为等势面，电势为零，而M点在该等势面上，则可知M点的电势为零，以此中垂面为界限，靠近正电荷电势为正，靠近负电荷电势为负，N点靠近正电荷，则其电势大于零，因此有 而带负电的粒子在电势越高的地方电势能越小，由此可知电子在M点的电势能大于在N点的电势能，故B错误； C．根据正四面体的性质可知，BD在该等量异种点电荷连线的中垂面上，因此B、D两点电势相等，均为零，将一试探正电荷从B沿直线BD移动到D电场力不做功，故C错误； D．将位于C处的电荷-Q移到B处时，可知M、N两点到正电荷的距离相等，且M、N两点到负电荷的距离也相等，根据点电荷的场强公式以及几何关系可知，两点电荷分别在M、N两点产生的合场强的大小相等，故D正确。 故选D。 【变式训练3-6】如图所示，ABCD是边长为L的正三棱锥，M、N、P分别为BD、AB和AD边的中点，正三棱锥的顶点A、B和D分别固定有电荷量为+Q、+Q和-Q的点电荷，则（　　）      A．M点的电势高于Р点的电势 B．将质子由C移动到M，电场力做负功 C．将电子由Р移动到N，电势能增大 D．M、P两点的电场强度相同 【答案】B 【详解】A．根据对称性可知，M点和P点的电势相等，故A错误； B．根据等量异种电荷等势面关系图可知，若仅考虑B处和D处点电荷时，C点和M点的电势相等，质子由C到M，靠近A处的正点电荷，电场力做负功，故B正确； C．在A处点电荷产生的电场中，N点和P点的电势相等，在B处点电荷产生的电场中，N点的电势大于P点的电势，在D处点电荷产生的电场中，N点的电势大于P点的电势，所以N点的电势高于P点的电势，电子在N点的电势能小于在P点的电势能，电子由P到N电场力做正功，电势能减小，故C错误； D．根据对称性可知，M点和P点的电场强度大小相等，方向不同，故D错误。 故选B。 【变式训练3-7】如图所示，、、、、、是以为球心的球面上的点，平面与平面相互垂直，分别在、两点放上等量异种点电荷，则下列说法正确的是() A.、、、四点电场强度大小相同，但方向不同 B.、、、四点电势不同 C.若电子沿直线运动过程中，电子受到的电场力大小一直不变 D.若电子沿圆弧运动过程中，电势能保持不变 【答案】D 【解析】A.等量异种点电荷中垂面上，关于点对称的点的电场强度大小相等，方向相同，故A错误； B.、、、四点在等量异种点电荷中垂面上，因此四点在零势面上，电势相同，故B错误； C.电子沿直线运动过程中，场强大小变化，电场力大小变化，故C错误； D.电子沿球面曲线运动过程中，电势处处相等，电势能不变，故D正确。 故选：。 【变式训练3-8】（多选）如图所示，在正方体中，O为的中点，在和处固定电荷量分别为、的点电荷。下列说法正确的是（     ） A．B、两点的电势相同 B．A、C两点的电场强度相同 C．O、两点的电场强度大小的比值为 D．将一电子从O点移到C点，电子的电势能减少 【答案】AC 【详解】A．在和处固定等量异种点电荷，平面为中垂面，是一个等势面，因此B、两点的电势相同，故A正确； B．根据电场强度的叠加原理及对称性可知，A、C两点的电场强度大小相等，方向不同，故B错误； C．设正方体的边长为a，则O点的电场强度大小 点的电场强度大小可得，故C正确； D．根据等量异种点电荷电场的等势线分布特点可知，O点的电势高于C点的电势，根据可知，将电子（带负电）从O点移到C点，可知电子的电势能增加，故D错误。故选AC。 【变式训练3-9】（多选）如图所示， 空间中正四面体的棱及中点处分别固定等量异种点电荷。 下列判断正确的是（　　） A．点和处电场强度大小相等， 方向相同 B．点和处电场强度大小相等， 方向不同 C． D． 【答案】AC 【详解】等量异种电荷的电场线和等势面如图所示 AB．根据对称性可知，点和处电场强度大小相等， 方向相同，故A正确，B错误； CD．、两点位于两等量点电荷连线的中垂面上，由于中垂面为等势面，所以、两点的电势相等，根据对称性可得 ， 则有 故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练3-10】（多选）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（    ）     A．点与点的电场强度大小相等 B．点与点的电场强度方向相同 C．点与点的电势差小于点与点的电势差 D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 【答案】ACD 【详解】D．将六棱柱的上表面拿出    由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确； C．由等量异种电荷的电势分布可知 ，，， 因此 C正确； AB．由等量异种电荷的对称性可知和电场强度大小相等，和电场强度方向不同，A正确B错误； 故选ACD。 题型04：在电场中运动带电体的力与功能关系的问题 带电体在点电荷电场中的运动 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 【典型例题1】 (多选)如图所示，在绝缘光滑水平面上固定两个等量同种电荷A、B，在AB连线上的P点由静止释放一带电滑块，则滑块会在A、B之间往复运动，则以下判断正确的是(　　)． A．滑块一定带的是与A、B异种的电荷 B．滑块一定带的是与A、B同种的电荷 C．滑块在由P向B运动过程中，电势能一定是先减小后增大 D．滑块的动能与电势能之和一定减小 【答案】BC 【解析】根据从P点由静止释放的带电滑块在A、B之间往复运动可以判断，开始时A对滑块向右的作用力大于B向左的作用力，所以滑块一定带与A、B相同的电荷，选项A错B对；由于A、B带等量同种电荷，所以其连线中点场强为零，滑块在由P向B运动过程中，电场力先做正功后做负功，电势能一定是先减小后增大，选项C正确；在整个运动过程中只有电场力做功，所以滑块的动能与电势能之和一定不变，D选项错． 【典型例题2】如图所示，O、A、B、C为一粗糙绝缘水平面上的四点，不计空气阻力，一电荷量为－Q的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)，从A点由静止沿它们的连线向右运动，到B点时速度最大，其大小为vm，小金属块最后停止在C点。已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为μ，A、B间距离为L，静电力常量为k，则(　　) A．在点电荷－Q形成的电场中，A、B两点间的电势差UAB＝ B．在小金属块由A向C运动的过程中，电势能先增大后减小 C．O、B间的距离为 D．从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能 【答案】C 【解析】小金属块从A到B过程，由动能定理得－qUAB－μmgL＝mv－0，得A、B两点间的电势差UAB＝－，故A错误；小金属块由A点向C点运动的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减小，故B错误；由题意知，A到B过程，金属块做加速运动，B到C过程，金属块做减速运动，在B点金属块所受的滑动摩擦力与库仑力平衡，则有μmg＝k，得r＝，故C正确；从B到C的过程中，小金属块的动能和减少的电势能全部转化为内能，故D错误。 【变式训练4-1-1】如图所示，一个电荷量为－Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O点．另一个电荷量为＋q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动，运动到B点时的速度为v，且为运动过程中速度的最小值．已知点电荷乙受到的阻力大小恒为Ff，A、B间距离为L0，静电力常量为k，则下列说法正确的是(　 　) A．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大 B．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小 C．OB间的距离为 D．在点电荷甲形成的电场中，AB间电势差UAB＝ 【答案】C 【解析】点电荷乙从A点向甲运动的过程中，受向左的静电力和向右的摩擦力，两球靠近过程中静电力逐渐增大，小球先减速后加速，所以加速度先减小后增大，故A错误；在小球向左运动过程中静电力一直做正功，因此电势能一直减小，故B错误；当速度最小时有：Ff＝F＝k，可得：r＝，故C正确；点电荷从A运动到B过程中，根据动能定理有：UABq－FfL0＝mv2－mv02，计算得出，UAB＝，故D错误． 【变式训练4-1-2】（多选）如图所示，在绝缘水平地面上固定两个等量同种点电荷A、B，在AB连线上的P点由静止释放一带电滑块(可视为质点)，则滑块会由静止开始一直向右运动到AB连线上的一点M而停下．则以下判断正确的是(　　) A．滑块一定带的是与A、B异种的电荷 B．滑块的电势能一定是先减小后增大 C．滑块的动能与电势能之和一定减小 D．AP间距一定小于BM间距 【答案】CD 【解析】滑块受到的电场力是两点电荷对它作用力的合力，滑块向右运动，合力向右，滑块一定带与A、B同种的电荷，否则滑块将向左运动，A错误．滑块运动可能有两种情况：1.滑块受到的电场力先向右后向左，电场力先做正功，再做负功，电势能先减小后增加；2.滑块受到的电场力合力始终向右，在到达AB中点前停止，电场力始终做正功，电势能始终减小，B错误．根据能量守恒，滑块的电势能、动能、内能之和不变，阻力做负功，内能增大，则动能与电势能之和一定减小，C正确．若没有摩擦力，AP＝BM；因为水平面不光滑，水平方向受到摩擦力作用，运动到速度为0的位置在P点关于AB中点对称点的左侧，所以AP<BM，D正确． 【变式训练4-1-3】如图所示，在绝缘水平面上，相距为L的A、B两点分别固定着等量正点电荷。图中AC＝CO＝OD＝DB＝L。一质量为m、电荷量为＋q的小滑块(可视为质点)以初动能E0从C点出发，沿直线AB向D运动，滑块第一次经过O点时的动能为nE0(n>1)，到达D点时动能恰好为零，小滑块最终停在O点，求： (1)小滑块与水平面之间的动摩擦因数μ； (2)O、D两点之间的电势差UOD； (3)小滑块运动的总路程x。 【答案】(1)　(2)　(3) 【解析】(1)由AC＝CD＝OD＝DB＝L，可知C、D关于O点对称，则UCD＝0 设滑块与水平面间的摩擦力大小为f，对滑块从C到D的过程，由动能定理得： qUCD－f＝0－E0，且f＝μmg，可得μ＝。 (2)滑块从O到D的运动过程中，由动能定理得： qUOD－f＝0－nE0 可得UOD＝。 (3)滑块从开始运动到最终停下的整个过程，根据动能定理得：qUCO－fx＝0－E0 而UCO＝－UOD＝，可得：x＝。 （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 【典型例题1】如图甲，倾角为θ的光滑绝缘斜面，底端固定一带电量为Q的正点电荷。将一带正电小物块(可视为质点)从斜面上A点由静止释放，小物块沿斜面向上滑动至最高点B处，此过程中小物块的动能和重力势能随位移的变化图像如图乙(E1和x1为已知量)。已知重力加速度为g，静电力常量为k，由图像可求出(　　) A．小物块的带电量 B．A、B间的电势差 C．小物块的质量 D．小物块速度最大时到斜面底端的距离 【答案】C 【解析】由动能图线得知，小物块的速度先增大，后减小。根据库仑定律得知，小物块所受的库仑力逐渐减小，合外力先减小后增大，加速度先减小后增大，则小物块沿斜面向上做加速度逐渐减小的加速运动，再沿斜面向上做加速度逐渐增大的减速运动，直至速度为零。由动能图线看出，速度有最大值，此时小物块受力平衡，小物块所受库仑力与重力沿斜面的分力平衡，由于没有x的具体数据，所以不能求出q，故A错误；A到B的过程中重力势能的增加等于电势能的减小，所以可以求出小物块电势能的减小，由于小物块的电量不知道，所以不能求出A、B之间的电势差，故B错误；由重力势能线得到Ep＝mgh＝mgxsin θ，算出斜率，即可求出m；图像中不能确定哪一点的速度最大，题目中也没有小物块的电量、质量等信息，所以不能确定小物块速度最大时到斜面低端的距离，故D错误。 【典型例题2】如图所示，A、B、C是光滑绝缘斜面上的三个点，Q是一带正电的固定点电荷，Q、B连线垂直于斜面，Q、A连线与Q、C连线长度相等，带正电的小物块从A点以初速度v沿斜面向下运动．下列说法正确的是(　　) A．小物块在B点电势能最小 B．小物块在C点的速度也为v C．小物块在A、C两点的机械能相等 D．小物块从A点运动到C点的过程中，一定先减速后加速 【答案】C 【解析】小物块带正电，小物块在B点电势能最大，选项A错误；小物块在A、C两点的电势能相等，则小物块在A、C两点的机械能相等，小物块在A点重力势能大，所以在C点速度大于v，选项B错误，C正确；小物块从A点运动到C点的过程中，可能先减速后加速，也可能一直加速，选项D错误． 【变式训练4-2-1】(多选)如图所示，斜面粗糙绝缘，A点处固定一点电荷甲，将一带电小物块乙从斜面上B点处由静止释放，乙沿斜面运动到C点时静止．则(　　) A．乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能 B．甲、乙有可能带异种电荷 C．从B到C的过程中，乙可能做匀减速运动 D．从B到C的过程中，乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功 【答案】AD 【解析】乙沿斜面下滑时，甲、乙之间的距离增大，而电荷量都不变，根据库仑定律可知乙所受到的库仑力逐渐减小．若两者是异种电荷，乙下滑的加速度将增大，速度不断增大，不可能到C处静止，所以得知甲、乙一定带同种电荷，电场力对乙做正功，电势能减小，则乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能，故A正确，B错误；由于乙所受的库仑力不断减小，合外力在变化，所以乙不可能做匀减速运动，故C错误；从B到C的过程中，库仑力对，乙做正功，摩擦力做负功，重力做正功，根据功能关系可知：乙的机械能的损失量与系统电势能的损失量之和等于克服摩擦力做的功，则乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功，故D正确． 【变式训练4-2-2】（多选） 如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O点处有一正点电荷，带负电的小物体以初速度v1从M点沿斜面上滑，到达N点时速度为零，然后下滑回到M点，此时速度为v2(v2＜v1)．若小物体电荷量保持不变，OM＝ON，则(　 　) A．小物体上升的最大高度为 B．从N到M的过程中，小物体的电势能逐渐减小 C．从M到N的过程中，电场力对小物体先做负功后做正功 D．从N到M的过程中，小物体受到的摩擦力和电场力均是先增大后减小 【答案】AD 【解析】设斜面倾角为θ，上升过程沿斜面运动的最大距离为L.因为OM＝ON，则M、N两点电势相等，小物体从M到N、从N到M电场力做功均为0.上滑和下滑经过同一个位置时，垂直斜面方向上电场力的分力相等，则经过相同的一小段位移在上滑和下滑过程中电场力分力对应的摩擦力所做的功均为相等的负功，所以上滑和下滑过程克服电场力产生的摩擦力所做的功相等，并设为W1.在上滑和下滑过程，对小物体，摩擦力做功相等，则应用动能定理分别有：－mgLsin θ－Wf－W1＝－和mgLsin θ－Wf－W1＝，以上两式相减可得h＝Lsin θ＝，A正确；由OM＝ON，可知电场力对小物体先做正功后做负功，电势能先减小后增大，B、C错；从N到M的过程中，小物体受到的电场力垂直斜面的分力先增大后减小，而重力分力不变，则摩擦力先增大后减小，在此过程中小物体到O的距离先减小后增大，根据库仑定律可知小物体受到的电场力先增大后减小，D正确． 【变式训练4-2-3】(多选)如图所示，斜面粗糙绝缘，A点处固定一点电荷甲，将一带电小物块乙从斜面上B点处由静止释放，乙沿斜面运动到C点时静止．则(　　) A．乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能 B．甲、乙有可能带异种电荷 C．从B到C的过程中，乙可能做匀减速运动 D．从B到C的过程中，乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功 【答案】AD 【解析】乙沿斜面下滑时，甲、乙之间的距离增大，而电荷量都不变，根据库仑定律可知乙所受到的库仑力逐渐减小．若两者是异种电荷，乙下滑的加速度将增大，速度不断增大，不可能到C处静止，所以得知甲、乙一定带同种电荷，电场力对乙做正功，电势能减小，则乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能，故A正确，B错误；由于乙所受的库仑力不断减小，合外力在变化，所以乙不可能做匀减速运动，故C错误；从B到C的过程中，库仑力对乙做正功，摩擦力做负功，重力做正功，根据功能关系可知：乙的机械能的损失量与系统电势能的损失量之和等于克服摩擦力做的功，则乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功，故D正确． 【变式训练4-2-4】(多选)如图所示，带电荷量为Q的正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面底端C点，斜面上有A、B、D三点，A和C相距为L，B为AC的中点，D为AB的中点．现将一带电小球从A点由静止释放，当带电小球运动到B点时速度恰好为零．已知重力加速度为g，带电小球在A点处的加速度大小为，静电力常量为k.则(　　) A．小球从A到B的过程中，速度最大的位置在AD之间 B．小球运动到B点时的加速度大小为 C．BD之间的电势差UBD大于DA之间的电势差UDA D．AB之间的电势差UAB＝ 【答案】BC 【解析】由题意可知，小球带正电，在A点时有mgsin 30°－k＝maA＝mg，设平衡位置距离C点为x，则mgsin 30°＝k，解得x＝L，则速度最大的位置在BD之间，选项A错误；在B位置时有k－mgsin 30°＝maB，解得aB＝，方向沿斜面向上，选项B正确；根据点电荷周围的电场分布可知，BD之间的场强大于DA之间的场强，根据U＝Ed可知， BD之间的电势差UBD大于DA之间的电势差UDA，选项C正确；从A到B由动能定理得mg·sin 30°＋UABq＝0，解得UAB＝－，选项D错误． （三）带电体在绝缘细杆上的运动 【典型例题1】水平地面上方分布着水平向右的匀强电场，一光滑绝缘轻杆竖直立在地面上，轻杆上有两点A、B。轻杆左侧固定一带正电的点电荷，电荷量为＋Q，点电荷在轻杆AB两点的中垂线上，一个质量为m，电荷量为＋q的小球套在轻杆上，从A点静止释放，小球由A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是(　　) A.小球受到的电场力先减小后增大 B.小球的运动速度先增大后减小 C.小球的电势能先增大后减小 D.小球的加速度大小不变 【答案】C 【解析】小球下滑时受匀强电场的电场力是不变的，受到点电荷的电场力先增加后减小，则小球受到的电场力先增大后减小，选项A错误；小球下滑时，匀强电场的电场力垂直小球运动方向，则对小球不做功；点电荷在前半段先对小球做负功，重力做正功，但是由于不能比较正功和负功的大小关系，则不能确定小球速度变化情况；在后半段，点电荷电场力和重力均对小球做正功，则小球的运动速度增大，选项B错误；小球下滑时，匀强电场的电场力对小球不做功，由以上分析可知，小球的电势能先增大后减小，选项C正确；由小球的受力情况可知，在A点时小球的加速度小于g，在AB中点时小球的加速度等于g，在B点时小球的加速度大于g，则加速度是不断变化的，选项D错误。 【典型例题2】(多选)如图所示，相距为2d的A、B两个点电荷固定于竖直线上，电荷量分别为＋Q和－Q。MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，与AB连线间的距离为d，C、D是细杆上与A、B等高的两点，O点是CD中点。一个质量为m、电荷量为＋q的带电小球P(可视为点电荷，放入电场后不影响电场的分布)穿过细杆，由C点静止开始释放，向下运动到O点时速度大小为v。已知静电力常量为k，重力加速度为g。则(　　) A.C、D两点电势φC＝φD B.C、D两点的电场强度大小相等 C.O点处的电场强度大小E＝ D.小球P经过D点时的速度大小为2v 【答案】BC 【解析】由等量异号电荷电场线分布可知，C点电势高于D点电势，故A错误；由电场强度的叠加可知C、D两点的电场强度大小相等，故B正确；正点电荷Q在O点产生的场强大小为E1＝＝，负点电荷Q在O点产生的场强大小为E2＝＝，如图所示， 由电场强度的叠加可得O点处的电场强度E＝E1＝，故C正确；从C到O与从O到D重力及电场力做功相同，从C到O过程，根据动能定理有W＝mv2，从O到D过程，根据动能定理有W＝mv－mv2，联立解得vD＝v，故D错误。 【变式训练4-3-1】（多选）如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以电荷＋Q为圆心的某一圆周交于H、L两点，从圆心到K点的连线垂直于细杆。质量为m、带电荷量为－q(q≪Q)的有孔小球套在杆上，从F点由静止开始下滑。则带电小球从H点运动到L点的过程中，下列说法正确的是(　 　) A．到达K点的加速度是g B．整个过程中机械能守恒 C．电势能的变化量不为零 D．电场力先做正功后做负功 【答案】AD 【解析】到达K点时，小球水平方向受合力为零，竖直方向受合力为向下的mg，则小球的加速度是g，选项A正确；整个过程中库仑力对小球先做正功后做负功，则机械能先增大后减小，选项B错误，D正确；因H和L两点电势相等，则从H点到L点小球的电势能的变化量为零，选项C错误。 【变式训练4-3-2】（多选）如图甲所示，一光滑绝缘细杆竖直放置，距细杆右侧d的A点处有一固定的正电荷，细杆上套有一带电小环，设小环与点电荷的竖直高度差为h，将小环无初速度地从h高处释放后，在下落至h＝0的过程中，其动能Ek随h的变化曲线如图乙所示，则(　　) A．小环可能带负电 B．从h高处下落至h＝0的过程中，小环电势能增加 C．从h高处下落至h＝0的过程中，经过了加速、减速、再加速三个阶段 D．小环将做以O点为中心的往复运动 【答案】BC 【解析】结合动能Ek随h的变化图像可知，小环带正电，故选项A错误；从h高处下落至h＝0的过程中，小环受到电场力为斥力，做负功，小环电势能增加，由题图可知，从h高处下落至h＝0的过程中，经过了加速、减速、再加速三个阶段，故选项B、C正确；在下落至O点时小环所受电场力与杆对小环的支持力平衡，合力为重力，过了O点后，电场力、杆对小环的支撑力和重力的合力向下，小环一直做加速运动，故选项D错误。 【变式训练4-3-3】（多选）如图所示，在重力加速度为g的空间，有一个带电荷量为＋Q的场源电荷置于O点，B、C为以O为圆心、半径为R的竖直圆周上的两点，A、B、O在同一竖直线上，AB＝R，O、C在同一水平线上。现在有一质量为m、电荷量为－q的有孔小球，沿光滑绝缘细杆AC从A点由静止开始滑下，滑至C点时速度的大小为，下列说法正确的是(　 　) A．从A到C小球做匀变速运动 B．B、A两点间的电势差为 C．从A到C小球的机械能守恒 D．若从A点自由释放，则下落到B点时的速度大小为 【答案】BD 【解析】小球在运动的过程中，所受电场力是变力，合力不恒定，则从A到C小球做的运动不是匀变速运动，故A错误；小球从A到C的过程中，重力和库仑力都做功，根据动能定理得2mgR－qUAC＝mv2，由于v＝，则UAC＝－，因以O为圆心的圆周为等势面，所以A、B间的电势差与A、C间的电势差相等，则B、A间的电势差为，故B正确；A到C，除重力做功外，还有库仑力做功，所以机械能不守恒，故C错误；若从A点自由释放，下落到B点时，根据动能定理得mgR＋qUBA＝mv2－0，解得v＝，故D正确。 （四）带电体在绝缘圆弧轨道中的运动 【典型例题】（多选）如图所示，在绝缘水平面上固定着一光滑绝缘的圆形槽，在某一过直径的直线上有O、A、D、B四点，其中O为圆心，D在圆上，半径OC垂直于OB。A点固定电荷量为Q的正电荷，B点固定一个未知电荷，使得圆周上各点电势相等。有一个质量为m，电荷量为－q的带电小球在滑槽中运动，在C点受的电场力指向圆心，根据题干和图示信息可知(　　 ) A．固定在B点的电荷带正电 B．固定在B点的电荷电荷量为Q C．小球在滑槽内做匀速圆周运动 D．C、D两点的电场强度大小相等 【答案】BC　 【解析】由小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度知：小球在C点的合力方向一定沿CO，且指向O点。 A对小球吸引，B对小球排斥，因此小球带负电、B带负电，故A错误；由∠ABC＝∠ACB＝30°知：∠ACO＝30°，AB＝AC＝L；BC＝2AB cos 30°＝L 由力的合成可得F1＝F2即k＝k QB＝Q，故B正确；圆周上各点电势相等，小球在运动过程中电势能不变，根据能量守恒得知，小球的动能不变，小球做匀速圆周运动，故C正确；由库仑定律及场强的叠加知，D点的电场强度大于C点，故D错误。故选B、C。 【变式训练4-4-1】如图所示，AB⊥CD且A、B、C、D位于一半径为r的竖直圆上，在C点有一固定点电荷，电荷量为＋Q。现从A点将一质量为m，电荷量为－q的小球由静止释放，小球沿光滑绝缘轨道ADB运动到D点时速度为，g为重力加速度，不考虑运动电荷对静电场的影响，求： (1)小球运动到D点时对轨道的压力； (2)小球从A点到D点过程中电势能的改变量。 【答案】(1)2mg－k　方向竖直向下　(2)mgr 【解析】(1)小球运动到D点时，由牛顿第二定律得：FN＋k－mg＝m 解得：FN＝2mg－k 由牛顿第三定律得，小球运动到D点时对轨道的压力大小为： FN′＝FN＝2mg－k，方向竖直向下。 (2)小球从A运动到D，根据动能定理得： mgr＋W电＝mv2－0 解得：W电＝－mgr 由功能关系得：ΔEp＝－W电＝mgr。 【变式训练4-4-2】（多选）如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平．a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零．则小球a(　　 ) A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 B．从N到P的过程中，速率先增大后减小 C．从N到Q的过程中，电势能一直增加 D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量 【答案】BC 【解析】小球a从N点静止释放，过P点后到Q点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑力做功，库仑力方向与小球a速度方向夹角一直大于90°，所以库仑力整个过程做负功．小球a从N到Q的过程中，库仑力增大，库仑力与重力的夹角减小，所以它们的合力一直增大，故A错误；小球a受力如图所示，在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P点合力与速度夹角大于90°，所以小球a从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确；从N到Q的过程中，库仑力一直做负功，所以电势能一直增加，故C正确；根据能量守恒可知，P到Q的过程中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误． 带电体在匀强电场中的运动 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 【典型例题1】在一个水平面上建立x轴，在过原点O垂直于x轴的平面的右侧空间有一个匀强电场，场强大小E＝6.0×105 N/C，方向与x轴正方向相同．在O点处放一个带电荷量q＝－5.0×10－8 C，质量m＝1.0×10－2 kg的绝缘物块．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.20，沿x轴正方向给物块一个初速度v0＝2.0 m/s，如图所示．(g取10 m/s2)求： (1)物块向右运动的最大距离； (2)物块最终停止的位置． 【答案】(1)0.4 m　(2)O点左侧0.2 m处 【解析】(1)设物块向右运动的最大距离为xm，由动能定理得－μmgxm－E|q|xm＝0－mv02，解得xm＝0.4 m. (2)因E|q|>μmg，物块不可能停止在O点右侧，设物块最终停在O点左侧且离O点为x处． 由动能定理得E|q|xm－μmg(xm＋x)＝0，解得x＝0.2 m. 【典型例题2】(多选)如图甲所示，绝缘水平面上存在方向水平向右的匀强电场，一带电物块以一定的初速度从O点开始向右运动．取O点为电势零点，该物块的电势能与动能之和E总、电势能Ep随它离开O点的距离x变化的关系如图乙所示．由此能够确定的是(　　) A．物块受到的电场力大小 B．匀强电场的场强大小 C．物块返回O点时的动能 D．物块与水平面间的动摩擦因数 【答案】AC 【解析】由克服电场力做功等于电势能的增加量ΔEp＝FΔx得F＝＝ N＝10 N 由于不知道电荷量，则无法求解匀强电场的场强大小，故A正确，B错误； 由题图乙可知，物块的初动能为100 J，当运动到8 m处物块的动能为0，则此过程中有 －(F＋Ff)x＝0－Ek0，得Ff＝2.5 N，物块从O点开始运动到返回O点，由动能定理得 －Ff·2x＝Ek－Ek0，得Ek＝Ek0－2Ffx＝(100－2×2.5×8) J＝60 J，由于不知道物块的质量，则无法求解物块与水平面间的动摩擦因数，故C正确，D错误 【变式训练4-1-1】如图所示，在绝缘平面上方存在着足够大的水平向右的匀强电场，带正电的小金属块以一定初速度从A点开始沿水平面向左做直线运动，经L长度到达B点，速度变为零．此过程中，金属块损失的动能有转化为电势能．金属块继续运动到某点C(图中未标出)时的动能和A点时的动能相同，则金属块从A开始运动到C整个过程中经过的总路程为(　　) A．1.5L　　　B．2LC．3L D．4L 【答案】D 【解析】小金属块从A运动到B，克服摩擦力做功Wf＝Ek＝fL，克服电场力做功WE＝Ek＝qEL.设小金属块从B运动到C经过的路程为s，由动能定理，qEs－fs＝Ek，解得s＝3L.金属块从A开始运动到C整个过程中经过的总路程为L＋s＝4L，选项D正确． 【变式训练4-1-2】（多选）如图所示，带正电的金属滑块质量为m、电荷量为q，与绝缘水平面间的动摩擦因数为μ(μ＜1)，水平面上方有水平向右的匀强电场，电场强度为E＝。如果在A点给滑块一个向左的大小为v的初速度，运动到B点速度恰好为零，则下列说法正确的是(　 　) A．滑块运动到B点后将返回向A运动，来回所用时间相同 B．滑块运动到B点后将返回向A运动，到A点时速度大小仍为v C．滑块回到A点时速度大小为 v D．A、B两点间电势差为－ 【答案】CD 【解析】由于qE＝mg＞μmg(μ＜1)，可知滑块运动到B点后返回向A运动，向左运动时，根据牛顿第二定律：Eq＋μmg＝ma1，向右运动时，根据牛顿第二定律：Eq－μmg＝ma2，加速度不同，位移大小相等，故来回运动的时间不同，故选项A错误；来回运动时摩擦力做功，有能量损失，故到A点时速度大小要小于v，故选项B错误；设回到A点时的速度为vA，则根据动能定理有：－(Eq＋μmg)s＝0－mv2，(Eq－μmg)s＝mvA2－0，联立整理可以得到：vA＝ v，UAB＝－Es＝－，故选项C、D正确。 【变式训练4-1-3】在地面附近，存在着一个有界电场，边界MN将空间分成左、右两个区域，在右区域中有水平向左的匀强电场，在右区域中离边界MN某一位置的水平地面上由静止释放一个质量为m的带电滑块(滑块的电荷量始终不变)，如图甲所示，滑块运动的v－t图象如图乙所示，不计空气阻力，则(　　) A．滑块在MN右边运动的位移大小与在MN左边运动的位移大小相等 B．在t＝5 s时，滑块经过边界MN C．滑块受到的滑动摩擦力与电场力之比为2∶5 D．在滑块运动的整个过程中，滑动摩擦力做的功小于电场力做的功 【答案】C 【解析】根据题中速度图线与横轴所围的面积表示位移可知，滑块在MN右边运动的位移大小与在MN左边运动的位移大小不相等，选项A错误；根据题图乙所示速度图象可知，t＝2 s时滑块越过分界线MN，选项B错误；根据题中速度图象斜率表示加速度可知，在0～2 s时间内，滑块加速度大小可表示为a1＝，在2～5 s时间内，滑块加速度大小可表示为a2＝，设电场力为F，运动过程中所受摩擦力为f，对滑块在MN分界线右侧的运动，由牛顿第二定律，F－f＝ma1，对滑块在MN分界线左侧的运动，由牛顿第二定律，f＝ma2，联立解得：f∶F＝2∶5，选项C正确；在滑块运动的整个过程中，滑动摩擦力做的功可表示为：Wf＝f·2.5v0，电场力做的功可表示为WF＝F·v0＝2.5f·v0，二者做功相等，选项D错误． （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 【典型例题1】（多选）如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是(　 　) A．金属块带正电荷 B．金属块的机械能减少12 J C．金属块克服电场力做功8 J D．金属块的电势能减少4 J 【答案】AB 【解析】在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8.0 J，重力做功24 J，根据动能定理得：W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得：W电＝－4 J，所以金属块克服电场力做功4.0 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，电场力做负功，所以电场力应该水平向右，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减小24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故B正确。 【典型例题2】如图所示，一带电荷量为＋q、质量为m的小物块处于一倾角为37°的光滑斜面上，当整个装置被置于一水平向右的匀强电场中，小物块恰好静止．重力加速度取g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)水平向右电场的电场强度； (2)若将电场强度减小为原来的，物块的加速度是多大； (3)电场强度变化后物块下滑距离L时的动能． 【答案】(1)　(2)0.3g　(3)0.3mgL 【解析】 (1)小物块静止在斜面上，受重力、电场力和斜面支持力，受力图如图所示，则有FNsin37°＝qE① FNcos 37°＝mg② 由①②可得E＝. (2)若电场强度减小为原来的，即E′＝，由牛顿第二定律得mgsin37°－qE′cos 37°＝ma，可得a＝0.3g. (3)电场强度变化后物块下滑距离L时，重力做正功，电场力做负功，由动能定理得 mgLsin37°－qE′Lcos 37°＝Ek－0，可得Ek＝0.3mgL 【变式训练4-2-1】如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中．一电荷量为＋q，质量为m的小球，以初速度v0由斜面底端的M点沿斜面上滑，到达斜面顶端N的速度仍为v0，则(　　) A．电场强度等于 B．电场强度等于 C．M、N两点的电势差为 D．小球在N点的电势能大于在M点的电势能 【答案】AC 【解析】小球受到重力、电场力、支持力三个恒力作用，沿斜面匀速运动，必有mgsin θ＝Eqcos θ，解得：E＝，A正确，B错误；UMN＝E·Lcos θ＝，C正确；因电场力对小球做正功，小球的电势能减少，故小球在N点的电势能小于在M点的电势能，D错误． 【变式训练4-2-2】(多选)如图所示，长为L＝0.5 m、倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，一带电荷量为＋q，质量为m的小球(可视为质点)，以初速度v0＝2 m/s恰能沿斜面匀速上滑，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法中正确的是 (　　)． A．小球在B点的电势能大于在A点的电势能 B．水平匀强电场的电场强度为 C．若电场强度加倍，小球运动的加速度大小为3 m/s2 D．若电场强度减半，小球运动到B点时速度为初速度v0的一半 【答案】BD 【解析】在小球由A到B的过程中，重力做负功，电场力做正功，小球电势能减少，A错；由动能定理知qELcos θ－mgLsin θ＝0，所以水平匀强电场的电场强度为，B对；电场强度加倍后，则有q·2Ecos θ－mgsin θ＝ma，所以a＝0.6g＝6 m/s2，C错；电场强度减半后，则有mgsin θ－qcos θ＝ma1，a1＝0.3g＝3 m/s2，由v－v2＝2a1L代入数值得v＝1 m/s，D对． 【变式训练4-2-3】（多选）如图所示，在水平向左的匀强电场中，可视为质点的带负电物块，以某一初速度从足够长的绝缘斜面上的A点，沿斜面向下运动，经C点到达B点时，速度减为零，然后再返回到A点。已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，整个过程斜面均保持静止，物块所带电量不变。则下列判断正确的是(　 　) A．物块在上滑过程中机械能一定减小 B．物块在上滑过程中，增加的重力势能一定大于减少的电势能 C．物块下滑时经过C点的动能一定大于上滑时经过C点的动能 D．物块在下滑过程中，斜面与地面之间的摩擦力一定为零 【答案】CD 【解析】上滑过程中满足qEcos θ＞Ff＋mgsin θ，则电场力做的功大于克服摩擦力做的功，即除重力以外的其他力对物体做正功，则物体的机械能增加，选项A错误；上滑过程中由动能定理W电－Wf－WG＝ΔEk，则W电＞WG，则物块在上滑过程中，增加的重力势能一定小于减少的电势能，选项B错误；由于摩擦力做功，由能量关系可知物块下滑时经过C点的动能一定大于上滑时经过C点的动能，选项C正确；当不加电场力时，由于斜面对物体的支持力为FN＝mgcos 30°，摩擦力Ff＝μmgcos 30°＝mgsin 30°，可知支持力和摩擦力的合力方向竖直向上；当加电场力后，支持力和摩擦力成比例关系增加，则摩擦力和支持力的合力仍竖直向上，根据牛顿第三定律，则物块给斜面的摩擦力和压力的方向竖直向下，可知斜面在水平方向受力为零，则斜面所受地面的摩擦力为零，选项D正确。 【变式训练4-2-4】如图所示，在一个倾角θ＝30°的斜面上建立x轴，O为坐标原点，在x轴正向空间有一个匀强电场，场强大小E＝4.5×106 N/C，方向与x轴正方向相同，在O处放一个电荷量q＝5.0×10－6 C、质量m＝1 kg带负电的绝缘物块。物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，沿x轴正方向给物块一个初速度v0＝5 m/s，如图所示。(g取10 m/s2)求： (1)物块沿斜面向下运动的最大距离； (2)物块最终停止时系统因摩擦产生的热量。 【答案】(1)0.5 m　(2)10.5 J 【解析】(1)设物块向下运动的最大距离为xm，由动能定理得 mgsin θ·xm－μmgcos θ·xm－qExm＝0－mv 代入数据解得xm＝0.5 m。 (2)因qE＞mgsin θ＋μmgcos θ，mgsin θ＜μmgcos θ，物块不可能停止在x轴正向，设物块最终停在x轴负向且离O点为x处，整个过程电场力做功为零，由动能定理得 －mgxsin θ－μmgcos θ(2xm＋x)＝0－mv，代入数据解得x＝0.4 m，因摩擦产生的热量Q＝μmgcos θ(2xm＋x)，代入数据解得Q＝10.5 J。 （三）带电体在绝缘圆弧轨道上的运动 【典型例题】（多选）如图所示，一绝缘光滑半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E.在与环心等高处放有一质量为m、带电荷量＋q的小球，由静止开始沿轨道运动，下述说法正确的是(　 　) A．小球经过环的最低点时速度最大 B．小球在运动过程中机械能守恒 C．小球经过环的最低点时对轨道的压力为mg＋qE D．小球经过环的最低点时对轨道的压力为3(mg＋qE) 【答案】AD 【解析】根据动能定理知，在运动到最低点的过程中，电场力和重力一直做正功，到达最低点的速度最大，故A正确；小球在运动的过程中除了重力做功以外，还有电场力做功，机械能不守恒，故B错误；根据动能定理得：mgR＋qER＝mv2，根据牛顿第二定律得：FN－qE－mg＝m，解得：FN＝3(mg＋qE)，则球对轨道的压力为3(mg＋qE)，故C错误，D正确． 【变式训练4-3-1】如图所示，内表面光滑绝缘的半径为1.2 m的圆形轨道处于竖直平面内，有竖直向下的匀强电场，场强大小为3×106 V/m。有一质量为0.12 kg、电荷量为1.6×10－6 C，带负电的小球，小球在圆轨道内壁做圆周运动，当运动到最低点A时，小球与轨道压力恰好为零，g取10 m/s2，求： (1)小球在A点处的速度大小； (2)小球运动到最高点B时对轨道的压力。 【答案】(1)6 m/s　(2)21.6 N 【解析】(1)重力G＝mg＝0.12×10 N＝1.2 N，电场力F＝qE＝1.6×10－6×3×106 N＝4.8 N 在A点，有qE－mg＝m，代入数据解得v1＝6 m/s。 (2)设球在B点的速度大小为v2，从A到B，由动能定理有(qE－mg)·2R＝mv－mv，在B点，设轨道对小球弹力为FN，则有FN＋mg－qE＝m，由牛顿第三定律有FN′＝FN，代入数据解得FN′＝21.6 N。 【变式训练4-3-2】(多选)如图，ABC是竖直面内的固定半圆形光滑轨道，O为其圆心，A、C两点等高，过竖直半径OB的虚线右侧足够大的区域内存在沿AC方向的匀强电场．一带正电小球从A点正上方P点由静止释放，沿轨道通过B、C两点时的动能分别为Ek和1.5Ek，离开C点后运动到最高点D(图中未画出)．已知P与A间距离等于轨道半径，则(　　) A. D点与P点等高 B. 小球在电场中受到的静电力是其重力的两倍 C. 小球在C点处对轨道的压力是其重力的两倍 D. 小球通过D点时的动能大于1.5Ek 【答案】BD 【解析】若在A点速度等于C点的速度，在竖直方向由对称性可知，D点与P点等高，而由动能定理可知A点的速度小于C点的速度，所以D点高于P点，故A错误；设小球在电场中所受静电力为F，轨道半径为R，小球从P点到B点过程，由动能定理得mg·2R＝Ek，小球从P点到C点过程，由动能定理得mg·R＋FR＝1.5Ek，联立可得F＝2mg，故B正确； 由动能定理的表达式1.5Ek＝mvC2，在C点时，由牛顿第二定律得FN－F＝m， 结合mg·2R＝Ek，联立可得FN＝8mg，由牛顿第三定律得小球在C处对轨道的压力大小FN′＝FN＝8mg，故C错误； 因为F＝2mg，可知小球从C点飞出后，竖直方向的加速度小于水平方向的加速度，竖直方向由逆向思维可看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则小球从C点到D点过程中，水平方向的位移大于竖直方向的位移，根据W＝Fx，可知静电力所做正功大于重力做所负功，则小球通过D点时的动能大于1.5Ek，故D正确． （四）带电体的组合运动 【典型例题1】如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R.质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道BO运动．以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R区域有方向与x轴夹角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg.小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g.求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）小球经过O点时的速度大小； （3）小球过O点后运动的轨迹方程． 【答案】(1)mgR　(2)　(3)y2＝6Rx 【解析】(1)小球从A到B，根据能量守恒定律得Ep＝mvB2＝mgR (2)小球从B到O，根据动能定理有－mgR＋mg×R＝mvO2－mvB2解得vO＝ (3)小球运动至O点时速度方向竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有mgcos 45°＝max，y轴方向有mgsin 45°－mg＝may解得ax＝g，ay＝0 说明小球过O点后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有x＝gt2，y＝vOt联立解得小球过O点后运动的轨迹方程为y2＝6Rx. 【典型例题2】如图所示，在水平线MN上方区域有竖直向下的匀强电场，在电场内有一光滑绝缘平台，平台左侧靠墙，平台上有带绝缘层的轻弹簧，其左端固定在墙上，弹簧不被压缩时右侧刚好到平台边缘，光滑绝缘平台右侧有一水平传送带，传送带A、B两端点间距离L＝1 m，传送带以速率v0＝4 m/s顺时针转动，现用一带电小物块向左压缩弹簧，放手后小物块被弹出，从传送带的B端飞出。小物块经过MN边界上C点时，速度方向与水平方向成45°角，经过MN下方M′N′水平线上的D点时，速度方向与水平方向成60°角。传送带B端距离MN的竖直高度h1＝0.4 m，MN与M′N′平行，间距h2＝1.6 m，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，小物块的质量为m＝0.1 kg，带电量q＝1×10－2 C，平台与传送带在同一水平线上，二者连接处缝隙很小，不计小物块经过连接处的能量损失，重力加速度为g＝10 m/s2，＝1.732，＝2.236。求： （1）匀强电场的电场强度E； （2）弹簧弹性势能的最大值； （3）当小物块在传送带上运动因摩擦产生的热量最大时，小物块在传送带上发生相对运动的时间t。 【答案】(1)100 N/C　(2)1 J　(3)0.268 s 【解析】(1)设小物块从B点飞出的速度为vB，在C点、D点时的速度分别为v1、v2。 在C点小物块的速度方向与水平方向成45°角，则由几何关系可知v1x＝v1y＝vB，小物块从B点运动到C点，在竖直方向上有2ah1＝v＝v，在D点由＝tan60°，解得v2y＝vB 小物块从C点运动到D点的过程中，在竖直方向上有2gh2＝v－v＝(vB)2－v＝2v 解得vB＝4 m/s将其代入2ah1＝v＝v，解得a＝20 m/s2。 小物块从B点运动到C点的过程中，有qE＋mg＝ma，解得E＝100 N/C。 (2)小物块被弹簧弹开，恰好减速到B端与传送带同速，则小物块从A端运动到B端由v－v2＝－2a0L，ma0＝μ(Eq＋mg)，小物块在A点具有的动能即为弹簧具有的最大弹性势能，则Ep＝Ek＝mv2＝1 J。 (3)小物块在传送带上摩擦产生热量的最大值是物块在传送带上相对位移最长的情况，有两种情况，一种是物块一直加速运动到B端与传送带共速，一种是物块在传送带上减速到B端与传送带共速。 第一种情况：传送带的位移：x0＝v0t1，物块的位移为L：v－v2＝2a0L，物块的速度变化为v0＝v＋a0t1联立即得t1＝(2－)s。第二种情况：传送带的位移：x0′＝v0t2，物块的位移为L：v－v2＝－2a0L，物块的速度变化为v0＝v－a0t2，联立解得t2＝(－2)s，计算可得第1种情况相对位移大于第2种情况的相对位移，则t＝t1，小物块在传送带上运动因摩擦产生的热量最大时，小物块在传送带上发生相对运动的时间t＝0.268 s。 【变式训练4-4-1】如图所示，在光滑的水平桌面上，水平放置的粗糙直线轨道AB与水平放置的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，整个轨道位于水平桌面内，圆心角∠BOC＝37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R。整个轨道处于电场强度为E的匀强电场中，电场强度方向平行于水平桌面所在的平面且垂直于直线OD。现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力。求： （1）小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小FNC1； （2）小物块第一次通过D点后离开D点的最大距离； （3）小物块在直线轨道AB上运动的总路程。 【答案】(1)5.4qE　(2)R　(3)15R 【解析】(1)设小物块第一次到达C点时的速度大小为vC1，根据动能定理有 qE[Lsin 37°＋R(1－cos 37°)]－μqELcos 37°＝mv－0，解得vC1＝，在C点根据向心力公式得FNC1′－qE＝m，解得FNC1′＝5.4qE，根据牛顿第三定律得FNC1＝5.4qE (2)设小物块第一次到达D点时的速度大小为vD1，根据动能定理有qE(Lsin 37°－Rcos 37°)－μqELcos 37°＝mv－0，解得vD1＝，小物块第一次到达D点后先以速度vD1沿电场方向做匀减速直线运动，设运动的最大距离为xm，根据动能定理得－qExm＝0－mv，解得xm＝R (3)分析可知小物块最终会在圆弧轨道上做往复运动，到达B点的速度恰好为零时，动能和电势能之和不再减小。设小物块在直线轨道AB上运动的总路程为s，则根据功能关系得qELsin 37°＝μqEscos 37°，解得s＝＝15R 【变式训练4-4-2】如图所示，在竖直平面内固定一光滑圆弧轨道AB，轨道半径为R＝0.4 m，轨道最高点A与圆心O等高．有一倾角θ＝30°的斜面，斜面底端C点在圆弧轨道B点正下方、距B点H＝1.5 m．圆弧轨道和斜面均处于场强大小E＝100 N/C、竖直向下的匀强电场中．现将一个质量为m＝0.02 kg、带电荷量为＋2×10－3 C的带电小球从A点由静止释放，小球通过B点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D点时速度方向恰与斜面垂直，并刚好与一个以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇．若物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，空气阻力不计，g取10 m/s2，小球和物块都可视为质点．求： (1)小球经过B点时对轨道的压力FNB； (2)B、D两点间电势差UBD； (3)物块上滑初速度v0满足条件的最小值． 【答案】(1)1.2 N，竖直向下　(2)120 V　(3)3.10 m/s 【解析】(1)设小球到达B点的速度大小为vB，从A到B的过程只有重力和静电力做功，根据动能定理有：mgR＋qER＝mvB2－0，得vB＝4 m/s，B点是圆周运动最低点，合力提供向心力即FNB′－(mg＋qE)＝m，得FNB′＝1.2 N，根据牛顿第三定律，小球对轨道压力大小等于轨道对其弹力大小，即FNB＝1.2 N，方向竖直向下． (2)设小球由B点到D点的运动时间为t，受到竖直向下的重力和静电力，竖直方向做初速度0的匀加速直线运动，加速度为a，水平方向做匀速直线运动．下落高度为h的过程，根据速度合成有＝tan θ，竖直方向由牛顿第二定律有Eq＋mg＝ma，h＝at2，UBD＝Eh，联立解得UBD＝120 V (3)设C、D间的距离为x，由几何关系有：x＝，设物块上滑加速度为a′，由牛顿运动定律有：mgsin θ＋μmgcos θ＝ma′，根据题意，要使物块与小球相遇，v0的最小值满足：v02＝2a′x，联立解得：v0＝ m/s≈3.10 m/s. 【变式训练4-4-3】如图，一质量为m1＝1 kg，带电荷量为q＝＋0.5 C的小球以速度v0＝3 m/s，沿两正对带电平行金属板(板间电场可看成匀强电场)左侧某位置水平向右飞入，极板长0.6 m，两极板间距为0.5 m，不计空气阻力，小球飞离极板后恰好由A点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道ABC，圆弧轨道ABC的形状为半径R<3 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，在过A点竖直线OO′的右边界空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E＝10 V/m.(取g＝10 m/s2)求： (1)两极板间的电势差大小U； (2)欲使小球在圆弧轨道运动时不脱离圆弧轨道，求半径R的取值应满足的条件． 【答案】(1)10 V　(2)3 m>R≥ m或R≤ m 【解析】(1)在A点，竖直分速度vy＝v0tan 53°＝4 m/s 带电粒子在平行板中运动时间t＝＝0.2 s，vy＝at，得a＝20 m/s2，又mg＋E′q＝ma，E′＝，得U＝10 V (2)在A点速度vA＝＝5 m/s ①若小球不超过圆心等高处，则有mv≤(mg＋qE)Rcos 53°，得R≥ m，故3 m>R≥ m ②若小球能到达最高点C，则有mv＝(mg＋qE)R·(1＋cos 53°)＋mv，在C点：mg＋Eq≤m，可得vC≥，联立解得：R≤ m，故圆弧轨道半径R的取值条件为：3 m>R≥ m或R≤ m 【变式训练4-4-4】如图所示，在E＝103 V/m的竖直匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道QPN与一水平绝缘轨道MN在N点平滑相接，半圆形轨道平面与电场线平行，其半径R＝40 cm，N为半圆形轨道最低点，P为QN圆弧的中点，一带负电q＝10－4 C的小滑块质量m＝10 g，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.15，位于N点右侧1.5 m的M处，取g＝10 m/s2，求： (1)要使小滑块恰能运动到圆轨道的最高点Q，则小滑块应以多大的初速度v0向左运动？ (2)这样运动的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？ 【答案】(1)7 m/s　(2)0.6 N 【解析】(1)设小滑块到达Q点时速度为v，由牛顿第二定律得mg＋qE＝① 小滑块从开始运动至到达Q点过程中，由动能定理得 －mg·2R－qE·2R－μ(mg＋qE)x＝mv2－mv② 联立方程①②，解得v0＝7 m/s (2)设小滑块到达P点时速度为v′，则从开始运动至到达P点过程中，由动能定理得 －(mg＋qE)R－μ(qE＋mg)x＝mv′2－mv③ 又在P点时，由牛顿第二定律得FN＝m④ 代入数据， 解得FN＝0.6 N⑤ 由牛顿第三定律得小滑块对轨道的压力大小为FN′＝FN＝0.6 N⑥ 带电体在重力场和水平电场中的圆周运动 （一）带电体在竖直圆周轨道上的运动 【典型例题1】如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g. (1)求小球所受的静电力大小； (2)求小球在A点的速度v0为多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小． 【答案】(1)mg　(2)2 【解析】(1)小球在C点时速度最大，则静电力与重力的合力沿DC方向，如图所示， 所以小球受到的静电力的大小F＝mgtan 60°＝mg. (2)要使小球经过B点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过D点时的速度最小，即在D点小球对圆轨道的压力恰好为零，在D点，有＝m，解得v＝，在小球从圆轨道上的A点运动到D点的过程中，有mgr(1＋cos 60°)＋Frsin 60°＝mv02－mv2，解得v0＝2. 【典型例题2】(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，将一内壁光滑、半径为R的固定绝缘圆轨道放置在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径．一个质量为m、电荷量为＋q的带电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度后，能够在轨道内做圆周运动．已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度为E＝，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A. 小球运动到B点时的电势能最大 B. 小球运动到D点时的动能最小 C. 小球运动到A、D两点时的动能相等 D. 若小球恰能在轨道内做圆周运动，则小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg 【答案】CD 【解析】小球带正电，小球运动到B点时静电力做正功最多，电势能最小，小球运动到A点时电势能最大，A错误；小球在等效重力场中做变速圆周运动，M点为等效最低点，N点为等效最高点，如图所示， 设等效重力加速度的方向与竖直方向的夹角为θ，有tanθ＝＝1，即θ＝45°，故在等效重力场中构成绳—球模型，在等效最高点的速度最小，动能最小，即小球运动到N点时的动能最小，B错误；A、D两点关于等效重力场最高点对称，故从N点分别运动到A、D点时合外力做功相同，故小球运动到A、D两点时的动能相等，C正确；在等效重力场中的等效重力加速度为g效＝＝g，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动，则在等效最高点N时由等效重力提供向心力，有mg效＝m，可得vN＝＝，在等效最低点M点时速度最大，轨道对球的支持力最大，球对轨道的压力也最大，由N点到M点由动能定理mg效2R＝mvM2－mvN2，在M点由牛顿第二定律，有FNM－mg效＝m，解得FNM＝6mg，由牛顿第三定律可知小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg，D正确． 【典型例题3】(多选)如图，光滑水平桌面上固定一圆形光滑绝缘轨道，整个轨道处于水平向右的匀强电场中。一质量为m，带电量为q的带正电小球，在轨道内做完整的圆周运动。小球运动到A点时速度大小为v，且该位置轨道对小球的弹力大小为N。其N­v2图像如图2，则下列说法正确的是(　　) A．圆形轨道半径为 B．小球运动过程中通过A点时速度最小 C．匀强电场电场强度为 D．当v2＝b时，小球运动到B点时轨道对小球的弹力大小为6a 【答案】ABD 【解析】对A点处的小球受力分析，由牛顿第二定律可得：N＋qE＝m，则：N＝v2－qE；所以N­v2图像的斜率k＝＝＝、图像的截距－a＝－qE，解得：匀强电场电场强度E＝、圆形轨道半径R＝。故A项正确，C项错误；小球带正电，在圆轨道上A点的电势最高，小球运动过程中通过A点时的电势能最大，由能量守恒定律知小球通过A点时速度最小。故B项正确；当v2＝b时，小球恰过A点，则：qE＝m；对小球从A到B过程，应用动能定理得：qE·2R＝mvB2－mv2；小球在B点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律可得：NB－qE＝m；联立解得：当v2＝b时，小球运动到B点时轨道对小球的弹力NB＝6qE＝6a。故D项正确。 【变式训练4-1-1】如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m的带电小球(可视为质点)恰好能静止在C点．若在C点给小球一个初速度使它在轨道内侧恰好能做完整的圆周运动(小球的电荷量不变)．已知C、O、D在同一直线上，它们的连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.求： (1)小球所受的电场力F的大小； (2)小球做圆周运动，在D点的速度大小及在A点对轨道压力的大小． 【答案】(1)mg　(2)　9mg 【解析】(1)小球在C点静止，受力分析如图所示 由平衡条件得F＝mgtan 60°，解得：F＝mg (2)小球在光滑轨道内侧恰好做完整的圆周运动，在D点小球速度最小，对轨道的压力为零， 则＝m，解得小球在D点的速度vD＝，小球由轨道上A点运动到D点的过程，根据动能定理得－mgr(1＋cos θ)－Frsin θ＝mvD2－mvA2，解得小球在A点的速度vA＝2，小球在A点，根据牛顿第二定律得：FNA－mg＝m，解得：FNA＝9mg，根据牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小为FNA′＝9mg. 【变式训练4-1-2】（多选）如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向平行于轨道平面水平向左，P、Q分别为轨道上的最高点、最低点，M、N是轨道上与圆心O等高的点．质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速度为g，电场强度E＝，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是(　 　) A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大 B．小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M点 C．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为6mg D．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为7.5mg 【答案】BC 【解析】根据等效场知识可得，电场力与重力的合力大小为mg等＝＝mg，故等效重力加速度为g等＝g，如图所示，tan θ＝＝，即θ＝37°，若小球刚好能通过C点关于圆心O对称的D点，那么小球就能做完整的圆周运动．小球在D点时的动能最小，但D点并非是其电势能最大的位置，小球电势能最大的位置在N点，选项A错误；小球在轨道上运动的过程中遵守能量守恒定律，小球在轨道上M点的电势能最小，机械能最大，选项B正确；小球过Q点和P点时，由牛顿第二定律可得FQ－mg＝m，FP＋mg＝m，小球从Q点到P点，由动能定理可得－2mgR＝mvP2－mvQ2，联立解得FQ－FP＝6mg，选项C正确，D错误． 【变式训练4-1-3】如图所示，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带电荷量为＋q的珠子，现在圆环平面内加一个匀强电场，使珠子由最高点A从静止开始释放(AC、BD为圆环的两条互相垂直的直径)，要使珠子沿圆弧经过B、C刚好能运动到D.(重力加速度为g) （1）求所加电场的场强最小值及所对应的场强的方向； （2）当所加电场的场强为最小值时，求珠子由A到达D的过程中速度最大时对环的作用力大小； （3）在（1）问电场中，要使珠子能完成完整的圆周运动，在A点至少应使它具有多大的初动能？ 【答案】(1)，方向沿∠AOB的角平分线方向指向左上方． (2)mg.(3)mgr. 【解析】(1)根据题述，珠子运动到BC弧中点M时速度最大，作过M点的直径MN，设电场力与重力的合力为F，则其方向沿NM方向，分析珠子在M点的受力情况，由图可知，当F电垂直于F时，F电最小，最小值为：F电min＝mgcos 45°＝mg，F电min＝qEmin，解得所加电场的场强最小值Emin＝，方向沿∠AOB的角平分线方向指向左上方． (2)当所加电场的场强为最小值时，电场力与重力的合力为F＝mgsin 45°＝mg，把电场力与重力的合力看做是“等效重力”，对珠子由A运动到M的过程，由动能定理得F＝mv2－0，在M点，由牛顿第二定律得：FN－F＝m联立解得FN＝mg，由牛顿第三定律知，珠子对环的作用力大小为FN′＝FN＝mg. (3)由题意可知，N点为等效最高点，只要珠子能到达N点，就能做完整的圆周运动，珠子在N点速度为0时，所需初动能最小，此过程中，由动能定理得： －F＝0－EkA，解得EkA＝mgr. （二）带电体直线运动+竖直圆周运动 【典型例题1】如图所示，水平绝缘光滑轨道AB的B端与处于竖直平面内的半圆弧形光滑绝缘轨道BCD平滑连接，半圆弧的半径R＝0.50 m。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E＝1.0×104 N/C。现将一质量m＝0.06 kg的带电小球(可视为质点)放在水平轨道上与B端距离s＝1.0 m的位置，由于受到电场力的作用，带电小球由静止开始运动。已知带电小球所带的电荷量q＝8.0×10－5 C，取g＝10 m/s2，问： (1)小球能否到达半圆弧最高点D? (2)半圆弧轨道对小球的支持力的最大值为多少？ 【答案】(1)小球能到达半圆弧最高点D　(2)5 N 【解析】(1)假设小球能到达D点，且速度为vD，从A到D过程，由动能定理得qEs－mg·2R＝mvD2，可得小球在D点所需要的向心力为Fn＝＝0.8 N，而重力G＝mg＝0.6 N，Fn＞G，故小球能到达半圆弧最高点D。 (2)小球在电场中受到的电场力和重力的合力大小为F＝＝1 N，方向与竖直方向的夹角正切值为tan θ＝＝，当F的方向通过圆心O向外时，小球速度达到最大，设此位置为P，小球从开始运动到P点的过程，由动能定理得qE(s＋Rsin θ)－mg(R－Rcos θ)＝mvP2，在P点，由牛顿第二定律得N－F＝，解得N＝5 N。 【典型例题2】如图所示，粗糙程度不均匀的水平面ABC与半径为R的竖直光滑半圆轨道CDM相切于C点，CM为半圆的直径，O为圆心，D点是弧CM的中点，在半圆CDM下半部分有水平向左的匀强电场，电场强度大小E＝(g为重力加速度)。现把可视为质点、质量为2m的小物块P置于水平面的A点，并在水平恒力F(大小未知)的作用下由静止向左运动，运动到B点撤掉水平恒力F，小物块P恰好运动到C点静止。现把与小物块P材料相同、质量是小物块P质量一半、带电荷量为＋q的绝缘小物块Q同样置于A点，在同样水平恒力F作用下也从静止开始向左运动，到B点撤掉水平恒力F，带电小物块Q离开水平面BC后沿着圆弧轨道CDM运动恰好能过最高点M。求： (1)小物块Q经过水平面C点时的速度大小； (2)小物块Q在半圆轨道CDM上运动过程中对轨道的最大压力； (3)小物块Q在运动过程中所受摩擦力做的功。 【答案】(1)　(2)(3＋1)mg，方向与竖直方向夹角为45°斜向左下方 (3)－mgR 【解析】(1)小物块Q在最高点M由牛顿第二定律得mg＝m，从C点到M点的过程中，对Q由动能定理得qER－mg·2R＝mv－mv，解得vC＝。 (2)根据题意并结合受力分析知，小物块Q运动到与圆心的连线和竖直方向的夹角为45°的位置时，对轨道的压力最大，设此位置小物块Q对应的速度为v，根据动能定理得qERsin 45°－mgR(1－cos 45°)＝mv2－mv，由牛顿第二定律有FN－＝，联立解得FN＝(3＋1)mg，由牛顿第三定律得，小物块Q对轨道的最大压力为FN′＝(3＋1)mg，方向与竖直方向夹角为45°斜向左下方。 (3)设小物块Q从A到C过程中所受摩擦力做的功为Wf，对小物块P，由功能关系得WF＋2Wf＝0，对小物块Q有WF＋Wf＝mv，解得Wf＝－mv＝－mgR。 【变式训练4-2-1】如图所示，在xOy平面内竖直固定一个“9字型”轨道，圆形部分的半径R＝0.2 m，圆心位于C点；直线轨道AB与圆形部分相切于B点，其长度L＝3R，CB连线与竖直方向的夹角为53°；在x>0区域有范围很大的匀强电场，场强大小E＝5×104 N/C，方向沿x轴正方向。现在A点处由静止释放质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋2×10－5C的小物块(可看作质点)，已知sin 53°＝0.8，不计物块与“9字型”轨道的摩擦，g取10 m/s2。求： (1)物块滑到圆周轨道最低点O处时受到的支持力大小； (2)物块在圆周轨道上速度最大的位置P；(可用PC连线与竖直方向夹角表示) (3)物块在圆周轨道上运动一圈后，从O′点滑出(轨道B′O′与BO段错开且靠近)，其后的水平面上铺设了一种特殊的材料，材料不同位置处的动摩擦因数满足μ＝0.2＋x(x为所在处的横坐标值)，物块在材料面上滑行过程的最大动能是多少？ 【答案】(1)6.6 N　(2)45°　(3)0.88 J 【解析】(1)物块从A滑至O过程，由机械能守恒定律得mgh＝mv，其中h＝Lsin 53°＋R(1－cos 53°)＝2.8 R，圆周最低点O处FN－mg＝m，代入得FN＝6.6mg＝6.6 N。 (2)设物块在圆周轨道(右半侧)P点处的速度最大，PC与竖直方向的夹角为θ，此时有mgsin θ＝qEcos θ，tan θ＝＝1，θ＝45°。 (3)分析知，在水平面上a＝0时，即qE－μmg＝0，解得μ＝1代入μ＝0.2＋x，解得x＝0.8 m(速度最大)，据动能定理W电－Wf＝Ekm－EkO其中W电＝qE·x＝0.8 J，Wf＝·x＝×1×0.8 J＝0.48 J代入数据，得Ekm＝0.88 J。 【变式训练4-2-2】如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B点与一条水平轨道相连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E的匀强电场，从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为s.已知小球受到的静电力大小等于小球重力的倍，C点为圆形轨道上与圆心O的等高点．(重力加速度为g) (1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小； (2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值． 【答案】(1)　(2) 【解析】(1)当小球从A点释放，在静电力作用下运动，从A到C点静电力做正功，重力做负功，应用动能定理得：qE·3R－mgR＝mvC2，到达C点时，小球受到的支持力和静电力提供向心力，即：FN－qE＝m，由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小与小球受到的支持力大小相等，则FN′＝FN＝ (2)为了使小球刚好在圆周轨道内运动，小球到达D点时恰好仅重力和静电力，如图所示，此时有： F＝＝mg，F＝m，从A点到D点时据动能定理有：qE(s－0.6R)－mg(1.8R)＝mv2，则可以计算得：s＝. 【变式训练4-2-3】如图一光滑绝缘半圆环轨道固定在竖直平面内，与光滑绝缘水平面相切于B 点，轨道半径为R。整个空间存在水平向右的匀强电场E，场强大小为，一带正电小球质量为m、电荷量为q，从距离B点为处的A点以某一初速度沿AB方向开始运动，经过B点后恰能运动到轨道的最高点C。重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则： （1）带电小球从A 点开始运动时的初速度v0多大？ （2）带电小球从轨道最高点C经过一段时间运动到光滑绝缘水平面上D点(图中未标出)，B 点与D 点的水平距离多大？ 【答案】(1)　(2)(＋)R 【解析】(1)小球在半圆环轨道上运动时，当小球所受重力、电场力的合力方向与速度垂直时，速度最小。设F合与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝＝，则θ＝37°，故F合＝＝mg。设此时的速度为 v，由于合力恰好提供小球圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得＝m，解得v＝，从A点到该点由动能定理－mgR(1＋cos 37°)－(＋sin 37°)＝mv2－mv解得v0＝。 (2)设小球运动到C点的速度为vC，小球从 A 点到 C 点由动能定理－2mgR－×＝mv－mv解得vC＝，当小球离开C点后，在竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀加速直线运动，设C点到D点的运动时间为t。设水平方向的加速度为a，B点到D点的水平距离为x，水平方向上有＝ma，x＝vCt＋at2，竖直方向上有2R＝gt2联立解得x＝(＋)R。 【变式训练4-2-4】如图所示，在方向水平向左、范围足够大的匀强电场中，固定一由内表面绝缘光滑且内径很小的圆管弯制而成的圆弧BD，圆弧的圆心为O，竖直半径OD＝R，B点和地面上A点的连线与地面成θ＝37°角，AB＝R。一质量为m、电荷量为q的小球(可视为质点)从地面上A点以某一初速度沿AB方向做直线运动，恰好无碰撞地从管口B进入管道BD中，到达管中某处C(图中未标出)时恰好与管道间无作用力。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小为g。求： (1)匀强电场的场强大小E和小球到达C处时的速度大小v； (2)小球的初速度大小v0以及到达D处时的速度大小vD。 【答案】(1)　　(2)　 【解析】(1)小球做直线运动时的受力情况如图甲所示， 甲 小球带正电，则qE＝，得E＝，小球到达C处时电场力与重力的合力恰好提供小球做圆周运动的向心力，如图乙所示， 乙 OC∥AB，则＝m，得v＝。 (2)小球“恰好无碰撞地从管口B进入管道BD”，说明AB⊥OB，小球从A点运动到C点的过程，根据动能定理有－·2R＝mv2－mv，得v0＝，小球从C处运动到D处的过程，根据动能定理有(R－Rsin θ)＝mv－mv2，得vD＝。 题型05：在电场中运动带电连接体的力与功能关系 带电轻绳连接体的力与功能关系的问题 （一）带电轻绳连接体在竖直匀强电场中的运动 【典型例题1】如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为B．不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A. 小球带负电 B. 静电力与重力平衡 C. 小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小 D. 小球在运动过程中机械能守恒 【答案】B 【解析】由于小球在竖直平面内做匀速圆周运动，所以重力与静电力的合力为0，即静电力与重力平衡，知静电力方向竖直向上，所以小球带正电，A错误，B正确；从a→b，静电力做负功，电势能增大，C错误；由于静电力对小球做功，故小球在运动过程中机械能不守恒，D错误． 【典型例题2】(多选)如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为m小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则(　　) A．小球在最高点的速度大小为 B．当小球运动到最高点时电势能最小 C．小球运动到最低点时，机械能最大 D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L 【答案】CD 【解析】小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则在最高点由重力和静电力的合力提供向心力，则有mg＋Eq＝m，解得v＝，故A错误；小球向上运动时，静电力做负功，电势能增加，当小球运动到最高点时电势能最大，故B错误；小球向下运动时，静电力做正功，机械能增大，运动到最低点时，小球的机械能最大，故C正确；从最高点到最低点的过程中，根据动能定理得Ek－mv2＝(mg＋Eq)·2L，解得Ek＝(mg＋Eq)L，故D正确． 【变式训练5-1-1】如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则(　 　) A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小 B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大 C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小 D．小球在运动过程中机械能守恒 【答案】C 【解析】若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大．若qE<mg，球在a处速度最小，对细线的拉力最小．若qE>mg，球在a处速度最大，对细线的拉力最大．故A、B错．a点电势最高，负电荷在电势最高处电势能最低，故C正确．小球在运动过程中除重力外，还有电场力做功，机械能不守恒，D错误． 【变式训练5-1-2】如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的小球(可视为质点)与绝缘不可伸长的轻绳相连，绳子另一端固定在拉力传感器上的O点(拉力传感器没有画出)，O点距离水平地面的高度为2R，空间存在竖直向下的匀强电场．现使小球获得一初速度后绕O点在竖直平面内做半径为R的圆周运动，拉力传感器显示出绳子拉力的最小值为0，最大值为12mg，g为重力加速度．求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)若小球运动到最低点时绳子断裂，小球落地点到O点的水平距离． 【答案】(1)　(2)R 【解析】(1)依题意，小球通过最高点时， 由牛顿第二定律mg＋qE＝m① 从最高点到最低点，据动能定理可得 (mg＋qE)·2R＝mv2－mv02② 通过最低点时12mg－(mg＋qE)＝m③ 解得E＝④ (2)绳断后小球做类平抛运动 R＝at2⑤ x＝vt⑥ 据牛顿第二定律可得mg＋qE＝ma⑦ 解得x＝R. （二）带电轻绳连接体在水平匀强电场中静止释放运动模型 【典型例题】如图所示，真空中存在一个水平向左的匀强电场，场强大小为E，一根不可伸长的绝缘细线长度为l，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。把小球拉到使细线水平的A点，由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成θ＝60°角的B点时速度为零。以下说法中正确的是(　 　) A．小球在B点处于平衡状态 B．小球受到的重力与电场力的关系是 qE＝mg C．小球将在A、B之间往复运动，且幅度将逐渐减小 D．小球从A运动到B的过程中，电场力对其做的功为－qEl 【答案】D 【解析】根据动能定理得：mglsinθ－qEl(1－cosθ)＝0，解得：qE＝mg，故B错误；tan α＝＝，解得：α＝30°<θ，在B点电场力与重力的合力和细线拉力不共线，所以小球在B点不是处于平衡状态，故A错误；类比单摆，小球将在A、B之间往复运动，能量守恒，幅度不变，故C错误；小球从A运动到B的过程中电场力做功：W＝－qEl(1－cos θ)＝－qEl，故D正确。 【典型例题2】用长为1.4 m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为1.0×10－2 kg、电荷量为2.0×10－8 C 的小球，细线的上端固定于O点。现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°角，如图6所示。现向左拉小球使细线水平且拉直，静止释放，则(sin 37°＝0.6，取g＝10 m/s2)(　　) A.该匀强电场的场强为3.75×107 N/C B.平衡时细线的拉力为0.17 N C.经过0.5 s，小球的速度大小为6.25 m/s D.小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7 m/s 【答案】C 【解析】小球处于平衡状态时，受力分析如图所示，则可知qE＝mgtan 37°，则该匀强电场的电场强度E＝＝3.75×106 N/C，选项A错误；细线的拉力 F＝＝0.125 N，故选项B错误；在外力作用下，小球拉至细线水平时，由静止释放，如图所示，小球在电场力和重力的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动至B点，∠OAB＝∠OBA＝53°，OA＝OB＝l＝1.4 m，在此过程中，细线处于松弛状态，无拉力作用，小球运动至B点时，细线绷紧，匀加速直线运动结束。根据牛顿第二定律可知小球匀加速直线运动时的加速度a＝＝＝ m/s2＝12.5 m/s2，假设经过0.5 s后，小球仍在沿AB方向做匀加速直线运动，则小球的速度v＝at＝6.25 m/s，经过的距离x＝at2＝×12.5×0.52 m＝1.562 5 m，A、B间的距离|AB|＝2×l×cos 53°＝1.68 m，x＜|AB|，假设成立，故0.5 s时，小球的速度大小为6.25 m/s，故选项C正确；小球运动至B点时，细线绷紧，小球沿细线方向的分速度减为零，动能减小，假设细线绷紧过程小球机械能损失ΔE，此后在电场力、重力和细线拉力作用下沿圆弧运动至O点正下方，根据能量守恒定律，可知(qE＋mg)·l－ΔE＝mv2，可得v＜7 m/s，故选项D错误。 【变式训练5-2-1】(多选)如图所示，在竖直平面内有一匀强电场，其方向与水平方向成α＝30°角斜向上，在电场中有一质量为m，带电荷量为q的带电小球，用长为L不可伸长的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线恰好水平，位置如图中M点。现用外力将小球拉到最低点P，然后无初速度释放，重力加速度为g，则以下判断正确的是(　　) A.小球能上升的最大高度在O点正上方L高度处 B.小球从P到M过程中，静电力对它做功为mgL C.小球从P运动到M时，绝缘细线对小球的拉力为mg D.小球从P到M过程中，机械能增加了(＋1)mgL 【答案】AD 【解析】当小球静止于M点时，细线恰好水平，说明重力和静电力的合力方向水平向右，M点为等效最低点，OP方向与OM方向垂直，由对称性可知，小球能上升的最大高度在O点正上方L高度处，故A正确；在M点，静电力与重力的合力为F合＝＝mg，小球在合力方向上位移为L，由动能定理知动能增加量为mgL，重力势能增加量为mgL，则机械能的增加量为(＋1)mgL，由功能关系知，机械能增加量即为静电力做的功，故B错误，D正确；小球从P运动到M的过程，根据动能定理得mgL＝mv，设小球从P运动到M时，绝缘细线对小球的拉力为F，则由牛顿第二定律得F－mg＝m，联立解得F＝3mg，故C错误。 【变式训练5-2-2】 (多选)如图，一根不可伸长绝缘的细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则(　　) A．小球在B点时速度最大 B．小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少 C．小球在B点时的细线拉力最大 D．从B点到C点的过程中小球的电势能一直增加 【答案】BD 【解析】小球所受重力和电场力恒定，重力和电场力的合力恒定，小球相当于在重力和电场力的合力及细线的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动。当小球运动到重力和电场力的合力和细线的拉力共线时(不是B点)，小球的速度最大，此时细线的拉力最大，故A、C错误；从A点到C点的过程中，因为重力做正功，小球摆到C点时速度为0，所以电场力对小球做负功，小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少，B正确；从B点到C点的过程中，小球克服电场力做功，小球的电势能一直增加，D正确。 【变式训练5-2-3】(多选)如图所示，空间存在一水平向右的匀强电场，长为L且不可伸长的绝缘细绳一端固定于O点，另一端系有一带正电小球，小球静止于B点，此时绳与竖直方向的夹角为45°。现将小球拉至与O点同高度的A点，由静止释放，小球沿圆弧经B点运动到O点正下方的C点。不计空气阻力，下列关于小球的叙述正确的是(　　) A.每下降相同高度，电势能的增加量都相等 B.每下降相同高度，重力势能的减少量都相等 C.A到B的过程中，重力势能的减少量大于动能的增加量 D.A到C的过程中，克服电场力做的功小于重力势能的减少量 【答案】BC 【解析】设小球开始下降高度h时细绳与水平方向夹角为θ，则水平方向的距离为x＝L－，则可知，每下降相同高度，水平方向发生距离不相等，则电场力对小球做功不等，所以电势能的增加量不相等，故A错误；每下降相同高度，重力对小球做正功相同，则重力势能的减少量都相等，故B正确；由题意可知，小球在B点的速度最大，从A到B的过程中，由能量守恒可知，重力势能的减小量等电势能的增加量与动能增加量之和，则重力势能的减少量大于动能的增加量，故C正确；由对称性可知，小球达到C点时的速度为0，从A到C的过程中，由能量守恒可知，重力势能的减小量等于电势能的增加量，故D错误。 【变式训练5-2-4】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为L＝0.4 m的绝缘细线把质量为m＝0.20 kg，带有q＝6.0×10－4 C正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为θ＝37°.已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)A、B两点间的电势差UAB. (2)将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，小球通过最低点C时细线对小球的拉力F的大小． (3)如果要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则小球在A点时沿垂直于OA方向运动的初速度v0的大小． 【答案】(1)－400 V　(2)3 N　(3) m/s 【解析】(1)带电小球在B点静止受力平衡，根据平衡条件得：qE＝mgtan θ， 得：E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m，由U＝Ed有：UAB＝－EL(1－sin θ)＝－2.5×103×0.4×(1－sin 37°) V＝－400 V. (2)设小球运动至C点时速度为vC，则：mgL－qEL＝mv，解得：vC＝ m/s，在C点，小球所受重力和细线的合力提供向心力：F－mg＝m，联立解得：F＝3 N. (3)分析可知小球做完整圆周运动时必须通过B点关于O点的对称点，设在该点时小球的最小速度为v，则：mgcos θ＋qEsin θ＝，－mgLcos θ－qEL(1＋sin θ)＝mv2－mv，联立解得：v0＝ m/s. （三）带电轻绳连接体水平匀强电场中作完整圆周运动的问题 【典型例题1】（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球．小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g.下列说法正确的是(　 　) A．匀强电场的电场强度E＝ B．小球动能的最小值为Ek＝ C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【答案】AB 【解析】小球静止时悬线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有：mgtan θ＝qE，解得E＝，选项A正确； 小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有：＝m，则最小动能Ek＝mv2＝，选项B正确；小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误． 【典型例题2】（（多选）如图所示，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆周运动，AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD圆弧运动 C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动过程中的最小速度为 D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达D点 【答案】AC 【解析】除重力和弹力外其它力做功等于机械能增加量，小球到B点时，电场力做功最多，故到B点时机械能最大，A正确；小球所受合力方向与电场方向夹角45°斜向下，由静止释放，将沿合力方向做匀加速直线运动，B错误；重力和电场力合力为mg，根据mg＝m得，小球在等效最高点v＝ ，C正确；由于A点速度小于等效最高点的速度，故小球不可能从A到达等效最高点到D点，D错误，故选AC. 【变式训练5-3-1】(多选)如图所示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，绳长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为E＝，小球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　) A.小球在运动过程中机械能守恒 B.小球在运动过程中机械能不守恒 C.小球在运动过程的最小速度至少为 D.小球在运动过程的最大速度至少为 【答案】BD 【解析】小球在运动的过程中，电场力做功，机械能不守恒，故A错误，B正确；如图所示，小球在电场中运动的等效最高点和最低点分别为A点和B点，等效重力G′＝mg，小球在最高点的最小速度v1满足G′＝m，得v1＝，故C错误；小球由最高点运动到最低点，由动能定理有G′·2L＝mv－mv，解得v2＝，故D正确。 【变式训练5-3-2】(多选)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动．AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝.下列说法正确的是(　　) A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点 【答案】BD 【解析】因为电场强度E＝，所以小球所受静电力大小也为mg，故小球所受合力大小为mg，方向斜向右下方，与竖直方向夹角为45°，故小球通过圆弧AD的中点时速度最小，此时满足mg＝m，因此小球在竖直面内做圆周运动的最小速度vmin＝，A项错误；由功能关系知，小球机械能的变化等于除重力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，运动到B点时，静电力做功最多，故运动到B点时小球的机械能最大，B项正确；小球在A点由静止开始释放后，将沿合外力方向做匀加速直线运动，C项错误；若将小球以的速度竖直向上抛出，由对称性知经时间t＝回到相同高度，其水平位移s＝·t2＝2L，故小球刚好运动到B点，D项正确． 【变式训练5-3-3】如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m，电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点由静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0。 (1)求小球的带电性质及电场强度E。 (2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度vA的大小(可含根式)。 【答案】(1)正电　　(2) 【解析】(1)根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电。小球由A点释放到速度等于零，由动能定理有EqLsin α－mgL(1－cos α)＝0，解得E＝。 (2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G′，则G′＝mg，方向与竖直方向成30°角偏向右下方。若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点：m＝mg，由A点到等效最高点，根据动能定理得－mgL(1＋cos 30°)＝mv2－mvA2，联立解得vA＝ 。 【变式训练5-3-4】如图所示，在水平向右的匀强电场中，一质量为m、带正电的小球用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止在B点时，细线与竖直方向的夹角为θ.现给小球一个垂直于细线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(重力加速度为g) (1)小球做圆周运动的过程中，在哪一位置时速度最小？速度最小值为多大？ (2)小球在B点的初速度为多大？ 【答案】(1)与B点关于O点对称的位置　 (2) 【解析】(1)如图所示， 小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝.重力场与电场的叠加场为等效重力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g′＝，其方向与F同向，因此B点为等效最低点，A点为等效最高点，小球在A点速度最小，设为vA，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则mg′＝m，解得小球的最小速度为vA＝. (2)设小球在B点的初速度为vB，由能量守恒定律得mvB2＝mvA2＋mg′·2l，解得vB＝. 带电轻杆连接体的力与功能关系的问题 （一）带电轻杆连接体的转动模型 【典型例题】（多选）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球(不计重力)。开始时，两小球分别静止在A、B位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，小球绕轻杆中点O转到水平位置。取O点的电势为0。下列说法正确的有(　 　) A．电场E中A点电势低于B点 B．转动中两小球的电势能始终相等 C．该过程静电力对两小球均做负功 D．该过程两小球的总电势能增加 【答案】AB　 【解析】沿电场线方向电势降低，则B点的电势比A点的电势高，A正确；由对称性可知，两小球所处位置的电势的绝对值始终相等，则由Ep＝qφ可知两小球的电势能始终相等，B正确；该过程中，带正电荷的小球所受的电场力方向向右，带负电荷的小球所受的电场力方向向左，则电场力对两小球均做正功，C错误；电场力做正功，电势能减少，所以该过程中两小球的总电势能减少，D错误。 【变式训练5-1-1】如图所示，在竖直面内，长为L的轻杆一端用铰链固定在O点，另一端连接带正电的小球M，与O点等高的N、P两点到O点的距离均为L，在N点固定带正电的小球，轻杆初始时与水平方向夹角为30°。小球M由静止释放，运动到Q点速度为零。小球M由静止向Q点运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.小球M的电势能先减小后增大 B.小球M运动到P点时动能最大 C.小球M的机械能先增大后减小 D.小球M到最低点时重力功率最大 【答案】AC 【解析】小球M由静止到Q点的运动过程中，电场力先做正功后做负功，小球的电势能先减小后增大，机械能先增大后减小，选项A、C正确；小球运动到P点时，加速度有竖直向下的分量，小球M的速度继续增大，选项B错误；小球M运动到最低点时，重力的功率为零，选项D错误。 【变式训练5-1-2】如图所示，水平向右的匀强电场中电场强度大小E＝，质量分别为m、2m的小球A、B固定在直角形轻质绝缘轻杆两端，顶点O处有固定的光滑转动轴，BO＝2AO＝l，B球带电量为＋q，A球不带电，重力加速度为g，此装置从图示位置由静止释放后的转动过程中，下列说法中正确的是(　　) A. A球、B球和杆组成的系统机械能守恒 B. 小球A的最大速度为vm＝ C. 转动过程中静电力不可能做正功 D. B球达到O点正下方时机械能最大 【典例1拔尖题】【解析】转动过程中，由于静电力做功，因此A球、B球和杆组成的系统机械能不守恒，A错误；在B球转回到初始位置的过程中，静电力做正功，C错误；设OA转动θ角时球A的速度为v，由系统的动能定理可得2mglsinθ－qEl(1－cosθ)－mg·l·(1－cosθ)＝×2m(2v)2＋mv2，解得mv2＝2mglsinθ＋mglcosθ－mgl，A球速度最大，需要2mglsinθ＋mglcosθ最大，解得tanθ＝，θ＝53°，则A球速度最大为vm＝，B正确；B球在初始位置时克服静电力做功为零，其他位置都克服静电力做功，因此B球在初始位置时系统机械能最大，D错误． （二）带电轻杆连接体的平动模型 【典型例题】在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B.A球的带电荷量为＋2q，B球的带电荷量为－3q，组成一带电系统，如图所示，虚线MP为A、B两球连线的垂直平分线，虚线NQ与MP平行且相距5L.最初A和B分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚线NQ的距离为4L.若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP、NQ间加上水平向右、场强大小为E的匀强电场后，试求： (1)B球刚进入电场时，带电系统的速度大小； (2)带电系统向右运动的最大距离； (3)带电系统从开始运动到速度第一次为零时，B球电势能的变化量． 【答案】(1) 　(2)3L　(3)6qEL 【解析】(1)设B球刚进入电场时，系统的速度为v1， 对A、B系统应用动能定理：2qEL＝×2mv，则v1＝. (2)设球A向右运动s时，系统速度为零，由动能定理，得：2qEs＝3qE(s－L)，则s＝3L. (3)带电系统的速度第一次为零时，B球克服电场力做功WFB＝6qEL， 则B球电势能增加了6qEL. 【变式训练5-2-1】初始时刻，由轻质刚性杆连接的质量相等的A、B两个小球静止于光滑的水平面上，杆平行于轴，整个体系处于平行于轴的均强电场中，如果小球A、B带电量均为，稳定状态下体系的总能量和总动量分别为，；若小球A带电量为，小球B不带电，则稳定状态下体系的总能量和总动量分别为，，请分析两种状态下体系的动量与能量关系，并证明。 【答案】见解析 【解析】若A、B两球所带电荷电性相同，则稳定匀加速运动，则稳定时速度为零，则动量和动能都为零，无异议，若A、B两球所带电荷电性相反，以A、B整体为研究对象，可知稳定时，A、B做匀速直线运动，如图所示 或 设杆与水平方向的夹角为，设杆的长度为，由几何关系得则由动能定理得则若小球A带电量为，小球B不带电，对A、B组成系统受力分析可知，则稳定状态下，A、B一起做匀加速直线运动，稳定时，加速度则杆对B水平方向的分力 如图所示 由几个关系可知，杆与水平方向的夹角仍然为，则由动能定理得 则此时的总动量为对系统，由于两种过程中仅有电场力和重力做功，则机械能和电势能之和相等，联立可得； 可得； 【变式训练5-2-2】如图所示，在光滑绝缘水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B.A球的带电量为＋2q，B球的带电量为－3q，两球组成一带电系统．虚线MN与PQ平行且相距3L，开始时A和B分别静止于虚线MN的两侧，虚线MN恰为AB两球连线的垂直平分线．若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MN、PQ间加上水平向右的电场强度为E的匀强电场后，系统开始运动．试求： （1）B球刚进入电场时，带电系统的速度大小； （2）带电系统向右运动的最大距离和此过程中B球电势能的变化量； （3）A球从开始运动至刚离开电场所用的时间． 【答案】(1) (2)4qEL(3)(3－2) 【解析】(1)设B球刚进入电场时带电系统速度为v1，由动能定理得2qEL＝·2mv 解得v1＝ .(2)带电系统向右运动分三段：B球进入电场前、带电系统在电场中、A球出电场．设A球出电场的最大位移为x，由动能定理得2qEL－qEL－3qEx＝0解得x＝则s总＝L，B球从刚进入电场到带电系统从开始运动到速度第一次为零时位移为L，其电势能的变化量为ΔEp＝－W＝3qE·L＝4qEL。 (3)取向右为正方向，第一段加速　a1＝＝，t1＝＝ ，第二段减速a2＝－，设A球刚出电场速度为v2，由动能定理得－qEL＝×2m(v－v)解得　v2＝ ，t2＝＝2(－1) 。解得总时间t＝t1＋t2＝(3－2) 带电轻弹簧连接体的力与功能关系的问题 （一）弹簧伸长模型 【典型例题1】如图所示，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上,上端连接一带正电小球P,小球所处的空间存在着竖直向上的匀强电场，小球平衡时,弹簧恰好处于原长状态：现给小球一竖直向上的初速度，小球最高能运动到M点，在小球从开始运动至达到最高点M的过程中,以下说法正确的是(　　) A．小球机械能的改变量等于电场力做的功 B．小球电势能的减少量大于小球重力势能的增加量 C．弹簧弹性势能的增加量等于小球动能的减少量 D．小球动能的减少量等于电场力和重力做功的代数和 【答案】C 【解析】小球除受重力外,还受电场力和弹簧弹力,小球机械能的改变量等于电场力和弹力做的功,A错；由于弹簧一开始恰好处于原长,说明电场力等于重力,电场力做的功等于克服重力做的功,B错；由动能定理：W电－WG－W弹＝ΔEk,由于W电＝WG,所以C对,D错. 【典型例题2】如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B的质量分别为2m和m，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾角为θ斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦。开始时，物体B在一沿斜面向上的外力的作用下保持静止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度（已知弹簧形变量为x时弹性势能为为），则在此过程中（　　） A．物体B带负电，受到的电场力大小为 B．物体B的速度最大时，弹簧的伸长量为 C．撤去外力F的瞬间，物体B的加速度为 D．物体B的最大速度为 【答案】D 【解析】当施加外力时，对B分析可知解得沿斜面向下，故B带负电，故A错误；当B受到的合力为零时，B的速度最大，由解得故B错误；当撤去外力瞬间，弹簧弹力还来不及改变，即弹簧的弹力仍为零，当撤去外力F的瞬间物体AB受到的合外力为解得故C错误；设物体B的最大速度为，由功能关系可得解得故D正确。 【变式训练5-1-1】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N点，弹簧恰好处于原长状态．保持小球的带电荷量不变，现将小球提高到M点由静止释放．则释放后小球从M运动到N的过程中(　　) A．小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变 B．小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加量 C．弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量 D．小球动能的增加量等于静电力和重力做功的代数和 【答案】BC 【解析】由于有静电力做功，故小球的机械能与弹簧的弹性势能之和是改变的，故A错误；由题意，小球受到的静电力与重力大小相等，在小球从M运动到N过程中，重力做了多少正功，重力势能就减少多少，静电力做多少负功，电势能就增加了多少，又两力做功一样多，可知B正确；由动能定理可知，弹力对小球做的功等于小球动能的增加量，又弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，故C正确；静电力和重力做功的代数和为零，故D错误． 【变式训练5-1-2】在如图所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的光滑斜面上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对应平面平行．劲度系数k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的光滑小环D与A相连，弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为mA ＝0.1 kg和mB＝0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6 C．设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物体B的带电量不变．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37° ＝0.8. （1）求B所受静摩擦力的大小； （2）现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．A从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔEp＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率． 【答案】(1)0.4 N　(2)0.528 W 【解析】(1)据题意静止时由平衡条件得：对物体A，有mAgsin θ＝FT，对物体B，有qE＋f0＝FT′，又FT＝FT′，代入数据得f0＝0.4 N. (2)据题意对物体A运动到N点时受力分析如图所示： 由牛顿第二定律得：对物体A，有F＋mAgsin θ－FT－Fksin θ＝mAa,对物体B，有FT′－qE－Ff＝mBa,其中Ff＝μmBg,Fk＝kx,FT＝FT′,由电场力做功与电势能的关系得ΔEp＝qEd 由几何关系得x＝－,物体A由M运动到N，由v2＝2ad,得物体A运动到N点时的速度v＝，拉力F在N点的瞬时功率P＝Fv,由以上各式代入数据得P＝0.528 W. （二）弹簧压缩模型 【典型例题】如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧直立于地面上，上面放一个质量为m的带正电的小球，小球与弹簧不连接．现将小球向下压到某位置后由静止释放，若小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力和电场力对小球做功的大小分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中(　　) A．带电小球电势能增加W2 B．弹簧弹性势能最大值为W1＋mv2 C．弹簧弹性势能减少量为W2＋W1 D．带电小球和弹簧组成的系统机械能增加W2 【答案】D 【解析】电场力对小球做了W2的正功，根据功能关系可知，小球的电势能减少了W2，选项A错误；对于小球在上述过程中，有W2＋W弹－W1＝mv2，根据功能关系可知，弹簧弹性势能最大值为W1＋mv2－W2，选项B、C错误；根据功能关系知，选项D正确． 【典型例题2】如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是(　　) A．该匀强电场的电场强度为 B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h) D．弹簧的弹性势能的增加量为 【答案】D 【解析】带电物块由静止开始下落时的加速度为g，根据牛顿第二定律得：mg－qE＝ma，解得：E＝，故A错误；从A到C的过程中，除重力和弹簧弹力以外，只有电场力做功，电场力做功为：W＝－qE(H＋h)＝－，可知机械能减少量为，故B错误；从A到C过程中，电场力做功为－，则电势能增加量为，故C错误；根据动能定理得：mg(H＋h)－＋W弹＝0－0，解得弹力做功为：W弹＝－，即弹簧弹性势能增加量为，故D正确． 【变式训练5-2-1】如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，一质量为m的带正电小球在外力F的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处于压缩状态．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧弹力对小球做的功分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则上述过程中(　　) A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．小球重力势能的变化为W1 C．小球动能的变化为W1＋W2＋W3 D．小球机械能的变化为W1＋W2＋W3 【答案】C 【解析】由于电场力做功，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒，选项A错误．重力对小球做的功为W1，小球重力势能的变化为－W1，选项B错误．由动能定理可知，小球动能的变化为W1＋W2＋W3，选项C正确．由功能关系可知，小球机械能的变化为W2，选项D错误． 【变式训练5-2-2】（多选）A、B两物体质量均为m，其中A带正电，电荷量为＋q，B不带电，通过劲度系数为k的绝缘竖直轻质弹簧相连放在水平面上，如图2所示，开始时A、B都处于静止状态．现在施加竖直向上的匀强电场，电场强度E＝，式中g为重力加速度，若不计空气阻力，不考虑A物体电荷量的变化，则以下判断正确的是(　 　) A．刚施加电场的瞬间，A的加速度大小为2g B．从施加电场开始到B刚要离开地面的过程中，A物体速度大小一直增大 C．从施加电场开始到B刚要离开地面的过程中，A物体的机械能增加量始终等于A物体电势能的减少量 D．B刚要离开地面时，A的速度大小为2g 【答案】ABD 【解析】在未施加电场时，A物体处于平衡状态，当施加电场的瞬间，A物体受到的合力为A所受的电场力，故qE＝ma，解得a＝2g，方向向上，故A正确；B刚要离开地面时，地面对B弹力为0，即F弹＝mg，对A物体Eq＝mg＋F弹，即A物体所受合力为0，因此从施加电场开始到B刚要离开地面过程，A物体做加速度逐渐变小的加速运动，即A物体速度大小一直增大，故B正确；从施加电场开始到弹簧恢复原长的过程，A物体的机械能增加量等于电势能的减少量与弹性势能的减少量之和，从弹簧恢复原长到B刚要离开地面的过程，A物体的机械能增加量等于电势能的减少量与弹性势能的增加量之差，故C错误；当B刚要离开地面时，此时B受到弹簧的弹力等于B的重力，从施加电场到B离开地面，弹簧的弹力做功为零，A上升的距离为x＝，根据动能定理可知qEx－mgx＝mv2，解得v＝2g，故D正确． 【变式训练5-2-3】如图甲所示，绝缘、光滑水平面上方，有水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。在水平面右端固定一轻弹簧，一带电物块（可视为质点）质量为m，电量为+q，将带电物块由静止释放，以物块出发点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立坐标系，物块动能Ek与它通过的距离x之间的关系如图乙，其中坐标x1处为弹簧原长位置，O~x1段为直线，坐标x2处动能最大，坐标x4处动能为零。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为 B．从坐标x1处到坐标x4处，物块所受力的合力先增加后减小 C．从坐标x1处到坐标x3处弹簧弹性势能增加了 D．从坐标x1处到坐标x2处，弹簧弹性势能增加量的大小等于电势能减少量的大小 【答案】AC 【解析】由动能定理可知，物体做匀加速直线运动，则在处物体动能最大，此时物体加速度为零，则即解得故A正确； 从坐标x1处到坐标x4处，在处所以阶段，变大，则变小，而从到对应，变大，变大，所以合力先减小后增大，故B错误；从坐标x1处到坐标x3处，弹簧弹性势能变大，而电场力做功全部转化为弹簧的弹性势能，即有故C正确；从坐标x1处到坐标x2处，弹性势能增加、动能增加，电场力做正功，电势能减小，可知弹簧弹性势能增加量和动能的增加量之和大小等于电势能减少量的大小，故D错误。故选AC。 题型06： 带电粒子在电场中的运动和功能关系综合 【典型例题1】如图所示，在竖直平面内有水平向左场强E的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。在A点让小球获得一定的初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，小球带负电，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．小球对细绳的最大拉力为 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 D．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 【答案】D 【解答】解：小球带负电，所受电场力方向与电场方向相反，即水平向右。电场力大小为F＝qE，重力大小为mg。由于，则，故电场力与重力大小相等。两力的合力为等效重力，大小为，方向与竖直方向成45°角斜向右下方。等效重力加速度。 A、机械能与电势能之和守恒，机械能最小对应电势能最大。小球带负电，电场力方向向右，电势能最大的位置为电场力做负功最多的位置，即圆周轨迹的最左端点（电场力方向与位移方向夹角最大）。最高点并非电势能最大位置，故机械能不是最小，故A错误。 B、小球恰能做圆周运动，在等效最高点速度最小，此时等效重力提供向心力：解得最小速度。从等效最高点到等效最低点（与等效最高点关于圆心对称，即与竖直方向成45°角斜向左下方），等效重力做功。由动能定理：W＝ΔEk，即，代入，解得。在等效最低点，细绳拉力T、等效重力的合力提供向心力：，代入数据得，故B错误。 C、小球从初始位置（A点，圆周最低点）运动一周，电场力方向始终向右。运动过程中，电场力先做正功（向右运动时），后做负功（向左运动时），再做正功（向右运动时），因此电势能先减小后增大再减小，故C错误。 D、小球在等效最高点速度最小，动能最小。由等效重力提供向心力：，最小动能，故D正确。 故选：D。 【典型例题2】手机电容式触摸屏的核心部件可简化为平行板电容器。当手指靠近触摸屏时，电容器两极板和手指间的电场线分布如图所示。下列说法正确的是（   ） A．A点的电场强度大于B点的电场强度 B．将一电子从A点移到B点，电子的电势能增大 C．极板上表面C点的电势等于下表面D点的电势 D．若电子在E点释放，仅受静电力作用将沿电场线ab运动 【答案】C 【详解】A．电场线越密的地方场强越大，电场线越疏的地方场强越小，由图可知，A点的电场强度小于B点的电场强度，故A错误； B．顺着电场线电势逐渐降低，由图可知A点电势低于B点电势，根据可知将一电子从A点移到B点，电子的电势能减小，故B错误； C．同一金属极板上，达到静电平衡后，电势处处相等，则极板上表面C点的电势等于下表面D点的电势，故C正确； D．由于电场线ab是曲线，则若电子在E点释放，仅受静电力作用不可能沿电场线ab运动，故D错误。 故选C。 【典型例题3】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定于倾角为的光滑绝缘斜面顶端的挡板上，另一端连接绝缘带正电可视为质点的小球A，小球的质量为m，电量为q，弹簧处于原长时小球在O点。在空间中加一平行于斜面向上的匀强电场，电场强度大小为E，将小球从O点由静止释放，小球沿斜面运动至M点时加速度为零，重力加速度为g，则小球从O点运动至M点过程中，小球的（　　） A．机械能一直增加 B．机械能先增大后减小 C．位移大小为 D．电势能的增加量等于重力势能的减少量 【答案】C 【详解】AB．小球沿斜面运动至M点时加速度为零，该过程中弹力和电场力均做负功，所以机械能减小，故AB错误； C．在M点时 位移大小 故C正确； D．根据能量守恒可知，电势能和弹性势能的增加量等于重力势能的减少量，故D错误。 故选C。 【典型例题4】（多选）一种静电透镜的简化模型如图所示，以为球心的球形边界外部各处的电势均为，内部各处的电势均为，。一束离轴很近的电子束沿平行于轴的方向运动，在越过球形边界“壳层”的过程中，电子运动速度将发生变化。已知电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用力，则电子（    ） A．进入“壳层”过程动能增加了 B．进入“壳层”过程动量增加了 C．进入“壳层”后可能沿着轨迹a运动 D．进入“壳层”后可能沿着轨迹b运动 【答案】AC 【详解】A．因，即球形边界外电势低于球形内部电势，根据电场线指向电势低的方向则有电场线从球心处指向外，则进入“壳层”过程由能量关系 动能增加了 选项A正确； B．根据 但是 况且电子进入“壳层”过程前后速度不共线，可知动量增加量不等于，选项B错误； CD．由于是电子所带电荷为负电荷，所以受力方向与电场线方向相反，电场力方向偏向圆心，可知进入“壳层”后可能沿着轨迹a运动，故C正确，D错误。 故选AC。 【典型例题5】如图，在xOy竖直平面内分布着与水平方向呈45°角斜向右上方的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从O点由静止开始沿电场线做匀加速直线运动，经过时间t恰好到达电场线上P（d，d）点，粒子仅受电场力作用，求： （1）电场强度E的大小； （2）粒子从O点运动到P点过程中，电场力做的功W； （3）粒子从O点运动到P点过程中，电势能的改变量及机械能的变化量（说明增减）。 【答案】（1）电场强度大小为。 （2）电场力做的功为。 （3）电势能减少了，机械能增加了。 【分析】（1）粒子从静止沿电场线方向做匀加速直线运动，已知运动时间t和终点坐标可求出位移大小。结合匀变速直线运动的位移公式与牛顿第二定律，利用电场力提供加速度建立关系，从而求解电场强度E。 （2）电场力做功可直接由功的定义式求解，其中力为电场力，位移为粒子沿电场线方向的位移。将第一问求得的电场强度代入计算即可。 （3）电势能的改变量由电场力做功决定，电场力做正功则电势能减少。机械能的变化量则取决于除重力外其他力做的功，本题中仅有电场力做功，其做正功则机械能增加。 【解答】解：（1）粒子做匀加速直线运动，其位移大小，根据运动学公式及牛顿第二定律qE＝ma，联立解得电场强度； （2）根据功的定义W＝qEL，将E的表达式代入，解得电场力做的功； （3）根据电场力做功与电势能变化的关系ΔEp＝﹣W，电势能改变量为，即电势能减少了； 除重力以外的力（本题仅有电场力）做的功等于机械能的变化量ΔE机＝W，机械能改变量为，即机械能增加了。 答：（1）电场强度大小为。 （2）电场力做的功为。 （3）电势能减少了，机械能增加了。 【变式训练6-1】静电卡盘是芯片制造中的重要设备，如图为双极型静电卡盘吸附原理简图，双电极接高压电源后，晶片靠近卡盘的一侧带上与电极极性相反的电荷，在电场力作用下向卡盘运动并被吸附。在晶片运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．电场力对晶片做负功 B．晶片在电场中的电势能逐渐减少 C．晶片与卡盘电极之间表现为斥力 D．晶片与卡盘电极之间电场强度处处相同 【答案】B 【详解】AC．晶片在电场力作用下向卡盘运动并被吸附，则晶片与卡盘电极之间表现为引力，晶片所受电场力方向指向卡盘，与晶片向卡盘运动的位移方向同向，电场力对晶片做正功，AC错误； B．电场力对晶片做正功，则晶片在电场中的电势能逐渐减少，故B正确； D．根据题意可知该电场不是匀强电场，晶片与卡盘电极之间电场强度并不是处处相同，故D错误。 故选 B。 【变式训练6-2】宝安湾区书城球形报告厅的玻璃幕墙采用新型导电玻璃制作，兼具装饰与防静电功能，在雷雨天气中，玻璃幕墙因上方带负电的云层引起静电感应而带电。玻璃幕墙表面A、B两点位置如图所示（A点更靠近云层）。关于玻璃幕墙下列说法正确的是（　　） A．玻璃幕墙靠近云层端带正电荷 B．A点的电势高于B点的电势 C．云层的电势高于玻璃幕墙的电势 D．负电荷从云层移动到A点，电势能增大 【答案】A 【详解】A．静电感应使导体中电荷重新分布，云层带负电，靠近云层端玻璃幕墙带正电荷，故A正确； B．幕墙是导体，因导体中电荷会根据外部电场重新分布，直至导体中电势处处相等，故A点电势等于B点，故B错误； C．电场线从玻璃幕墙指向云层（负电荷），电势沿电场线降低，故玻璃幕墙的电势高于云层的电势，故C错误； D．电子带负电，由于云层的电势低于A点的电势，根据可知，负电荷从云层移动到A点，电势能减小，故D错误。故选A。 【变式训练6-3】如图为某款细胞仪对细胞进行分类收集的原理图。含有不同类型细胞的小液滴从喷嘴喷出后穿过激光束、充电环时被充电，不同类型的细胞分别带上正、负电荷，在电极板间水平向右的匀强电场中发生偏转，最终被分别收集在、收集管中。下列说法正确的是（　　） A．带正电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 B．带正电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 C．带负电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 D．带负电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 【答案】D 【详解】AB．带正电荷细胞的液滴进入向右的匀强电场中受到向右的电场力，则向右偏转，落入A收集管中，电场力做正功，电势能减小，故AB错误； CD．带负电荷细胞的液滴进入向右的匀强电场中受到向左的电场力，则向左偏转，落入B收集管中，电场力做正功，电势能减小，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练6-4】真空中存在点电荷产生的静电场，其电场线的分布如图所示，图中两点关于点电荷水平对称。两点电场强度的大小分别为，电势分别为。一个带电粒子沿虚线轨迹从移动至，则（　　） A．， B．和带同种电荷， C．从移动至，加速度先减小再增大 D．粒子带负电，从至它的电势能先变大后变小 【答案】D 【详解】A．根据电场线的疏密程度表示场强的大小，由图可知 P、Q两点关于点电荷水平对称，P到之间场强较大，电势降低较快，可知 故A错误； B．由电场线分布可知，带负电，带正电，由电场线的疏密可知，的电荷量绝对值大于的电荷量绝对值，故B错误； C．由电场线分布可知，从移动至，电场强度先增大后减小，则加速度先增大再减小，故C错误； D．粒子带负电，从至电场力先做负功后做正功，它的电势能先变大后变小，故D正确。 故选D。 【变式训练6-5】量子计算是新一轮科技革命的核心领域，超导量子干涉器件（SQUID）是构建量子计算机的关键元件。在SQUID的约瑟夫森结附近，会形成一种特殊的非匀强电场。如图所示，虚线a、b、c、d为该电场在纸面内的等差等势面，实线为一电子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是轨迹与等势面a、c的交点。下列说法正确的是（　　） A．等势面a的电势低于等势面c的电势 B．电子在M点的加速度小于其在N点的加速度 C．电子在M点的电势能大于其在N点的电势能 D．电子从M点运动到N点的过程中，电场力对其做负功 【答案】D 【详解】A．从电子运动的轨迹和等势面的分布可以判断，电子在N点受到的电场力向左，因此电场线向右，即电场线垂直等势面从a指向d，可知等势面a的电势高于等势面c的电势，故A错误； B．等差等势面越密场强越大，因此M点场强大于N点场强，根据可知，电子在M点的加速度大于其在N点的加速度，故B错误； CD．由A选项可知，M点电势高于N点电势，又因为电子带负电，因此电子在M点的电势能小于其在N点的电势能，且电子从M点运动到N点的过程中，电场力对其做负功，故C错误、D正确。 故选D。 【变式训练6-6】如图所示，竖直放置的半径为的四分之一光滑圆弧轨道与粗糙绝缘水平轨道在B处平滑连接，为圆弧轨道的圆心，OB左侧空间存在竖直向下的匀强电场，场强大小为。一质量为带负电的物块，电荷量，以一定的初速度从A点沿切线进入圆弧轨道。物块与水平轨道间的动摩擦因数为。已知重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．无论在A点的初速度多大，物块一定能沿圆弧轨道运动到B点 B．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑到B点，其在B点的速度最小为0 C．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑过B点后，最终可停在距B点的位置 D．物块沿圆弧轨道滑过B点后，最终停在上，因摩擦产生的热量最小值为 【答案】D 【详解】AB．物块带负电，电场力竖直向上且大于重力，故B点为圆轨道等效最高点，物块不一定能沿圆弧轨道运动到B点；物块运动到B点的临界条件为物块在B点与轨道的压力为0，由牛顿第二定律 得B点的最小速度 在轨道，由动能定理 可得 故点也存在速度的最小值，故AB错误； C．在BC轨道，由动能定理 得 可知物块停止位置到B点的最小距离为 故C错误； D．根据能量守恒与转化，摩擦产生的热量 故D正确。 故选D。 【变式训练6-7】（多选）空间某区域电场线分布如图所示，带正电小球（质量为m，电荷量为q），在A点速度为v1，方向水平向右，至B点速度为v2，v2与水平方向间夹角为，A、B间高度差为H，以下判断不正确的是（　　） A．A、B两点间电势差 B．小球由A至B，电势能的减少量为 C．小球由A运动到B的过程中，机械能一定增加 D．小球重力在B点的瞬时功率为mgv2cos 【答案】AD 【详解】AB．小球由A点运动至B点过程中，重力和电场力做功，由动能定理得 得电场力做功 所以电势能减小量为 由电场力做功 得A、B两点间的电势差 故A错误，B正确； C．电场力做正功，机械能增大。故C正确； D．小球运动到B点时所受重力与速度方向不同，则其重力的瞬时功率 故D错误。 本题选错的，故选AD。 一、单选题 1．静电植绒技术的植绒流程如图所示，需要植绒的布在滚轮带动下匀速向右运动，将绒毛放在带负电荷的容器中，使绒毛带负电，容器与带电极板之间加恒定的电压，绒毛成垂直状加速飞到需要植绒的布表面上，假设每根绒毛规格相同。则（    ）    A．绒毛在飞往布的过程中电势能增大 B．绒毛带电量越多，到达布的表面时速率越大 C．滚轮的转速变大，植绒会变密 D．容器与带电极板之间的距离变大，植绒会变密 【答案】B 【详解】A．绒毛在飞往需要植绒的布的过程中，绒毛成垂直状加速飞到需要植绒的布表面上，电场力做正功，电势能不断减小，故A错误； B．由动能定理 质量相同的绒毛，带电荷量越多，到达需要植绒的物体表面时速率越大，故B正确； C．若只增大滚轮的转速，布运动的速度越大，植上相邻两个绒毛的距离越大，植绒越疏，故C错误； D．若增大容器与带电极板之间的距离，而电势差不变，由 可知，电场强度变小，绒毛受力变小，加速度减小，根据 到达布上时间边长，植绒会变稀疏，故D错误。 故选B。 2．如图所示，正方形的两个顶点上固定两个等量正点电荷，将一电子从顶点A由静止释放，电子仅在静电力的作用下运动到顶点的图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】如图所示    因为场强最大点与B的连线和连线的夹角的正切值为 由图可知得 明显 可得电子是从小于电场强度最大值位置释放，则电子所受的合电场力先增大后减小再增大最后减小，那么加速度也是先增大后减小再增大最后减小，而图像任意点的斜率表示加速度大小，所以在运动过程中图像点的斜率也应先增大后减小再增大最后减小。 故选C。 3．两个点电荷的电荷量分别为、，、为其连线的中垂线上的两点，电子在、两点所受电场力的方向如图中箭头所示，则（　　） A．为正电荷 B．为负电荷 C．小于 D．大于 【答案】C 【详解】根据电子在M点的受力情况可知为负电荷，为正电荷，根据库仑定律结合矢量的合成可知小于。 故选C。 4．如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，质量为3m、带电荷量＋3Q小圆环A穿在右边杆上，质量为m、带电荷量＋Q小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为，重力加速度为g。则（　　） A．右边杆与水平面夹角为 B．A环对B环库仑力大小为3mg C．左边杆对B环支持力大小为 D．右边杆对A环支持力大小为 【答案】A 【详解】A．分别对小圆环A、B受力分析，如图所示 根据平衡条件，对小圆环A，有 3mgsinα=Fcosα 对小圆环B，有 mgcosα=F′sinα 联立解得 故A正确； BD．对小圆环A，据平衡条件可得 Ncosα=3mg F=3mgtanα 解得A环所受支持力 A、B间的库仑力 故BD错误； C．对小圆环B，据平衡条件可得 故C错误。 故选A。 5．某一区域的电场线分布如图所示，M、N、P是电场中的三个点，电场强度分别为、、，电势分别为、、。下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．沿着电场线方向，电势逐渐降低，故A错误，B正确； CD．电场中，电场线越密集的地方电场强度越大，故，故CD错误。 故选B。 6．如图所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为d，电荷量分别为和。在它们的中垂线上水平固定一根内壁光滑的绝缘细管，一电量为的小球缓慢经过细管，则小球（　　） A．小球的加速度先减小后增加 B．小球的速度先减小后增加 C．受到的库仑力最大值为 D．管壁对小球的弹力最大值为 【答案】C 【详解】AB．根据等量异种点电荷电场线分布特点可知，带电小球运动过程中一直受到水平向右的电场力，电场力与细管对其水平弹力平衡，小球的合力为零，加速度为零，小球做匀速直线运动，速度保持不变，故AB错误； C．等量异种点电荷连线的中垂线上，连线中点处场强最大，小球在该处受到的库仑力最大，则有 故C正确； D．根据C选项分析可知，在等量异种点电荷连线中点处，管壁对小球的水平弹力与库仑力平衡，则此时管壁对小球的水平弹力大小为，故D错误。 故选C。 7．如图所示，A、B为两个等量的正点电荷，在其连线中垂线上的P点放一个负电荷q（不计重力）由静止释放后，下列说法中正确的是（　　） A．负电荷在从P点到O点运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大 B．负电荷在从P点到O点运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大 C．负电荷运动到O点时加速度为零，速度达最大值 D．负电荷越过O点后，速度越来越小，加速度越来越大，直到速度为零 【答案】C 【详解】在等量同种电荷连线中垂线上电场强度方向，从AB连线的中点到无穷远处电场强度先增大后减小，负点电荷q从P点到O点运动的过程中，电场力方向，速度越来越大，越过O点后，根据电场线的对称性可知，负电荷q做减速运动，直到速度为零，故点电荷运动到O点时速度最大，由于P点的位置不确定，故负电荷运动过程中电场强度变化情况不确定，电场力大小变化的情况就不确定，加速度变化情况无法判断。 故选C。 8．电场线能直观地反映电场的分布情况，如图甲是等量异种点电荷形成的电场的电场线，图乙是该电场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于О对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于О对称的两点，则（　　） A．A、D两点电场强度不同 B．E、F两点电场强度相同 C．B、O、C三点中，О点电势最低 D．电子沿着中垂线从E点运动到F点，电场力先做正功后做负功 【答案】B 【详解】A．根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，所以A、D病点电场强度相同。故A错误； B．等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故B正确； C．顺着电场线电势逐渐降低，由题图甲看出，B、O、C三点比较，C点处的电势最低，故C错误； D．由题图可知，电子沿着中垂线从E点运动到F点，所受电场力总是与运动方向垂直，因此电场力不做功。故D错误。 故选B。 9．如图所示，一个均匀的带电圆环，其带电荷量为+Q、半径为R，圆心为O点，放在绝缘水平桌面上。过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷+q，则+q在A点所受的电场力为（　　）    A．，方向向上 B．，方向向上 C．，向水平向左 D．，方向水平向右 【答案】B 【详解】假设把带电圆环分成很多个小部分，每一小部分都可视为一个点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上相互抵消，竖直方向上的电场力大小为 方向向上。 故选B。 10．如图平行板电容器与电动势为E的直流电源连接，下极板接地，静电计所带电荷量很少，可忽略，开关闭合，稳定时一带电的油滴静止于两极板间的P点，若断开开关K，将平行板电容器的上极板竖直向上平移一小段距离，则下列说法正确的是（  ） A．带电油滴向上运动 B．静电计指针的张角变大 C．P点电势变大 D．带电油滴的电势能变小 【答案】B 【详解】B．断开开关K，电容器带电量不变，则由 可得 将平行板电容器的上极板竖直向上平移一小段距离，板间间距增大，则电压增大，可知静电计指针的张角变大，故B正确； ACD．电场强度为 改变间距，电场强度不变，带电油滴不动，由 由于P到下极板距离不变，则可知P点电势不变，则带电油滴的电势能 电势能不变，故ACD错误。 故选B。 11．如图所示，A、B、C、D是真空中一正四面体的四个顶点（正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形），E为CD的中点，现在A、B两点分别固定电荷量为和的两个点电荷，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．C点的场强方向与E点的场强方向相同 B．C点的场强大于E点的场强 C．C点电势高于E点电势 D．将一负电荷从C点移动到E点，其电势能减小 【答案】A 【详解】AC．由题意可知，、是两个等量异种点电荷，通过AB的中垂面是一等势面，C、E在同一等势面上，电势相等；C、E两点的场强都与等势面垂直，方向指向B的一侧，方向相同，故A正确，C错误； B．设正四面体的边长为a，两个点电荷在C点产生的场强大小分别为 其方向的夹角为，则C点的合场强为 两个点电荷在E点产生的场强大小分别为 其方向的夹角为，则E点的合场强为 C点的场强小于E点的场强，故B项错误； D．由之前的分析可知，C、E两点的电势相等，由 可知负电荷在两点的电势能相等，故D项错误。 故选A。 12．竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B,两球分别静止在竖直墙和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（    ）    A．地面对小球B的支持力不变 B．推力F将不变 C．两小球之间的距离变小 D．竖直墙面对小球A的弹力变大 【答案】A 【详解】以A球为研究对象，分析受力，如图1所示，    设B对A的库仑力F库与墙壁的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为 N1=mAgtanθ 将小球B向左推动少许时，θ减小，则竖直墙面对小球A的弹力N1减小；库仑力 θ减小，cosθ增大，F库减小，根据库仑定律分析得知，两球之间的距离增大； 再以AB整体为研究对象，分析受力如图2所示，由平衡条件得：    F=N1 N2=（mA+mB）g N1减小，则F减小，地面对小球B的支持力一定不变，故A正确，BCD错误； 故选A。 13.如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 【答案】C 【详解】对小球受力分析如图所示    由正弦定理有 其中 ∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO 其中△APO中 同理有 其中 ， 联立有 Q1：Q2= 2n3：1 故选C。 14.如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°、和30°。若P点处的电场强度为零，q > 0，则三个点电荷的电荷量可能为（   ）      A．Q1= q，，Q3= q B．Q1= －q，，Q3= －4q C．Q1= －q，，Q3= －q D．Q1= q，，Q3= 4q 【答案】D 【详解】AB．选项AB的电荷均为正和均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P点的场强不可能为零，AB错误； C．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有 解得 而Q2产生的场强大小为      则P点的场强不可能为零，C错误； D．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有 解得 而Q2产生的场强大小为 则P点的场强可能为零，D正确。 故选D。 15.半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于延长线上距O点为的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　） A．正电荷， B．正电荷， C．负电荷， D．负电荷， 【答案】C 【详解】取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有 由图可知，两场强的夹角为，则两者的合场强为 根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为 根据 联立解得 故选C。 16.如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，两者之间为库仑斥力设为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示 对Q物体在沿着斜面方向有 可得 而对P物体动摩擦因数最小时有 联立解得 故选D。 二、多选题 1．如图，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为、质量为m的小球在力F（大小可以变化）的作用下沿图中虚线由A至B做竖直向上的匀速运动。已知力F和AB间夹角为，A、B间距离为d，重力加速度为g。则（　　） A．力F的最大值为 B．电场强度E的最小值为 C．小球从A运动到B电场力一定做正功 D．若电场强度时，小球从A运动到B电势能变化量大小可能为 【答案】BD 【详解】A．分析小球受力情况：小球受到重力mg、拉力F与电场力qE，因为小球做匀速直线运动，合力为零，则F与qE的合力与mg大小相等、方向相反，作出F与qE的合力，如图所示 拉力F的取值随着电场强度方向的变化而变化，如果电场强度方向斜向右下方，则F的值将大于，故A错误； B．由图可知，当电场力qE与F垂直时，电场力最小，此时场强也最小。则得 qE=mgsinθ 所以电场强度的最小值为 故B正确； C．当电场力qE与AB方向垂直时，小球从A运动到B电场力不做功，故C错误； D．若电场强度时，即 电场力qE可能与AB方向垂直，如图1位置，电场力不做功，电势能变化量为0；电场力的方向也可能电场力位于位置2方向，则电场力做功为 故D正确。 故选BD。 2．如图，一半径为R的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑绝缘水平面相切于B点，整个空间存在水平向右的匀强电场。一质量为m的带电小球从A点以某一初速度向左运动，经过P点时恰好对圆弧轨道没有压力。已知轨道上的M点与圆心O等高，OP与竖直方向夹角为，取，，重力加速度大小为g，则小球（　　） A．带电小球经过C点的速度大小为 B．带电小球所受电场力大小为 C．带电小球经过P点的速度为 D．带电小球经过M点时对圆弧轨道的压力大小为 【答案】CD 【详解】BC．根据题意可知，小球经过P点时恰好对圆弧轨道没有压力，电场力和重力的合力提供向心力，且合力指向圆心，如图所示 由几何关系有 由牛顿第二定律有 解得 故B错误，C正确； A．小球从点到点，由动能定理有 解得 故A错误； D．小球从点到点，由动能定理有 在点，由牛顿第二定律有 联立解得 由牛顿第三定律可知，带电小球经过M点时对圆弧轨道的压力大小为，故D正确。 故选CD。 3．一质量为、带电量为的小球，以初速度冲上一质量为，半径为的四分之一绝缘光滑圆槽。整个空间置于竖直向下，电场强度为的匀强电场中。所有接触面均光滑，则从小球开始冲上圆槽到上升到最高点过程中，下列说法正确的是（　　）（重力加速度） A．小球和槽组成系统机械能守恒 B．小球和槽之间的弹力对槽做正功 C．整个过程小球的电势能增加了 D．小球离开槽后继续上升的高度为 【答案】BD 【详解】A．小球和槽组成系统除了重力做功之外，还有电场力做功，所以机械能不守恒。故A错误； B．小球对槽的弹力斜向右下，地面光滑，槽的位移水平向右，所以该弹力对槽做正功。故B正确； C．整个过程电场力对小球做功为 可知小球的电势能增加了10J。故C错误； D．小球开始冲上圆槽到上升到最高点过程，系统水平方向动量守恒，可得 设小球离开槽后继续上升的高度为h，由能量守恒，可得 联立，解得 故D正确。 故选BD。 4．两点电荷分别固定在和坐标原点处，所形成电场的电势在轴上的分布如图所示，图线与轴交于处，处电势最低，取无穷远处电势为0，一正电荷自处由静止释放，则（　　） A．处的电场强度为0 B．电荷所带电量大小之比为 C．正电荷运动的过程中，加速度先增大后减小 D．正电荷运动的过程中，电势能先减小后增大 【答案】BD 【详解】A．图像，斜率表示电场强度，在处的图像斜率不为零，则电场强度也不为零，故A错误； B．处图像斜率为零，则满足 所以电荷所带电量大小之比为 故B正确； C．一正电荷自处由静止释放，根据电势变化情况可知，自处右侧场强方向先沿轴正方向后沿轴负方向，场强先减小为零后反向增大再减小，根据牛顿第二定律，有 可知正电荷运动的过程中，加速度先减小为零后反向增大再减小，故C错误； D．一正电荷自处由静止释放，根据电势变化情况可知，自处右侧场强方向先沿轴正方向后沿轴负方向，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，故D正确。 故选BD。 5．如图所示表示某电场等势面的分布情况，下列说法正确的有（　　） A．A点的电场强度小于B点的电场强度 B．A、B两点的电势相等 C．如果把电子从b等势面移动到d等势面，电势能减少10eV D．如果把电子从b等势面移动到e等势面，静电力做功是-15eV 【答案】BC 【详解】A．等差等势面越密集，电场越强，则A点的电场强度大于B点的电场强度，A错误； B．A、B两点在同一等势面上，电势相等，B正确； C．电子带负电，则把电子从b等势面移动到d等势面，电势升高10V，电势能减少10eV，C正确； D．把电子从b等势面移动到e等势面，电势升高15V，电势能减小15eV，电场力做正功为15eV，D错误。 故选BC。 5．如图所示，光滑水平面内固定着半径的三分之二光滑圆弧轨道ABC，空间有水平向右的匀强电场，电场强度，以圆心O为原点建立沿电场线方向的坐标轴x，其中A点和C点关于x轴对称，OA和OC均与x轴间夹角为，一带正电小球从x轴上M点垂直x轴方向以速度沿水平面方向抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，已知小球电荷量、质量，以下说法正确的是（    ） A．小球初速度大小为4m/s B．M点坐标为 C．小球对轨道的最大压力为24N D．小球运动具有周期性 【答案】CD 【详解】A．小球先做类平抛运动，有 解得 ， 故A错误； B．根据几何关系可知M点坐标 故B错误； C．小球到达B点时速度最大，小球对轨道压力最大，由动能定理，有 由牛顿第二定律，有 解得 故C正确； D．小球达到C点时速度大小与在A点时相等，小球从C点离开轨道后做类斜上抛运动，恰好再经过M点并恢复初始状态，故小球运动具有周期性，故D正确。 故选CD。 6．如图甲所示，粗糙、绝缘的水平地面上，一质量m=1kg的带负电小滑块(可视为质点)在x=1m处以v0=2m/s的初速度沿x轴正方向运动，滑块与地面间的动摩擦因数μ=0.05。在x=0 及x=5m处有两个电性未知，电荷量分别为 的点电荷场源，滑块在不同位置所具有的电势能Ep如图乙所示，P点是图线最低点，虚线AB是图像在x=1m处的切线，下列说法正确的选项是（    ） A．滑块在x=3m处所受合外力小于 0.5N B．两场源电荷均带负电，且|Q1|>|Q2| C．滑块向右运动过程中，速度始终减小 D．滑块向右一定可以经过x=4m处的位置 【答案】BD 【详解】A．Ep-x图像斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小，滑块在 x=3m处所受电场力为0，所受合外力 故A错误； B．在x=3m处电场力为0，电场强度为0，则 由于，所以 滑块在x=3m处电势能最低，因为滑块带负电，所以x=3m处的电势最高，两场源电荷均带负电，故B正确； C．滑块在x=1m处所受电场力大小为 所以在处，滑块所受电场力与滑动摩擦力方向相反，电场力大于摩擦力，则滑块加速运动，故C错误； D．滑块在x=1m处的电势能与在x=4m处的电势能相等，根据能量守恒定律，若滑块能够经过x=4m处，则应满足 由 ， 根据题中数据可知实际情况并满足上式，所以滑块一定可以经过x=4m处的位置，故D正确。 故选BD。 7．如图所示，两个固定的等量正点电荷相距4L，共连线的中点为O，以O为圆心、L为半径的圆与两正点电荷间的连线及连线的垂直平分线分别交于a、b和c、d，以O为坐标原点、垂直ab向上为正方向建立Oy轴。已知a点的电场强度大小为E。则下列说法正确的是（　　） A．a点与b点的电场强度相同，电势也相等 B．c点的电场强度为，方向沿y轴正方向 C．在c点由静止释放一电子，电子运动到O点动能最大 D．若将一正电荷由O移到b点，电场力先做负功后做正功 【答案】BC 【详解】A．根据两等量正点电荷电场特点，a、b两点的电场强度大小相同，方向相反，故A错误； B．由库仑定律可知 可得 方向沿轴正方向，故B正确； C．根据等量同种正电荷的电场分布特点，可知cO之间的电场线方向向上，Od之间的电场线方向向下，O点的电场强度为零，故在c点由静止释放一电子，电子先受到向下的电场力，做加速运动，到O点加速度为零，速度达到最大，进入Od之间，受到向上的电场力，做减速运动，故电子在O点的速度最大，动能最大，故C正确； D．根据等量同种正电荷的电场分布特点，O点的电场强度为零，Ob之间的电场强度方向向左，故若将一正电荷由O移到b点，所受的电场力向左，故电场力做负功，故D错误。 故选BC。 8．光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示。一质量m=1kg的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点，其运动过程的v-t图象如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定（　　）    A．中垂线上B点电场强度最大 B．两点电荷是负电荷 C．B点是A、C连线的中点 D．UBC>UAB 【答案】AD 【详解】A．根据v-t图象的斜率表示加速度，知小物块在B点的加速度最大，所受的电场力最大，所以中垂线上B点电场强度最大，选项A正确； B．小物块从B到C动能增大，电场力做正功，且小物块带正电，可知两点电荷是正电荷，选项B错误； C．中垂线上电场线分布不均匀，不能确定B点是A、C连线的中点，选项C错误； D．小物块从A→B的过程中，根据动能定理有 qUAB=mvB2-mvA2=×1×42J-0=8J 小物块从B→C的过程中，根据动能定理有 qUBC=mvC2-mvB2=×1×72J-×1×42J=16.5J 对比可得 UBC>UAB 选项D正确。 故选AD。 9．已知球面均匀带电时，球内的电场强度处处为零。如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，垂直于AB将带正电的球面均分为左右两部分，OA = OB。C、D为截面上同一直线上的两点，OC = OD。现移去左半球面只保留右半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布。下列说法正确的是（   ） A．C点与D点电场强度大小相等方向相同 B．A点与B点电场强度大小相等、方向相反 C．将一正电荷从C点沿直线移到D点，电势能始终不变 D．将一正电荷从A点沿直线移到B点，电势能先增大后减小 【答案】AC 【详解】A．对于完整带电球面，在其内部AB的中垂面上各点场强为零，可知左右半球面在此中垂面上各点的场强等大反向，因左右半球面的电场关于中垂面对称，则左右半球面各自在中垂面上各点的场强方向均垂直于中垂面，则左半球面移走之后，右半球面在中垂面上各点场强均垂直于中垂面，由于C点与D点关于AB对称，则根据场强的叠加原理可知，C点与D点电场强度大小相等方向相同，A正确； B．将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 E1 = E2 根据对称性，左右半球在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，且 E1 = E2 在图示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，B错误； C．对于完整带电球面，在其内部AB的中垂面上各点场强为零，可知左右半球面在此中垂面上各点的场强等大反向，因左右半球面的电场关于中垂面对称，则左右半球面各自在中垂面上各点的场强方向均垂直于中垂面，则左半球面移走之后，右半球面在中垂面上各点场强均垂直于中垂面，则中垂面为等势面，将一正电荷从C点沿直线移到D点，电势能始终不变，C正确； D．根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，将一正电荷从A点沿直线移到B点，电势能一直增大，D错误。 故选AC。 10．如图是一种测量未知电荷q的实验装置。其中q、Q1固定在A、B两点，2用一根绝缘细线拴接在A、B连线上的O点，平衡时夹角为θ。已知q、Q1、Q2到O点的距离分别为a、b、c，三者均为正电荷，且均放置于光滑绝缘的水平桌面上。下列说法正确的是（　　）    A．该实验装置需要同时已知Q1、Q2的电荷量大小 B．该实验装置只需要已知1的电荷量大小 C．根据实验数据可以得到 D．根据实验数据可以得到 【答案】BC 【详解】令Q1、Q2间的距离为e，q、Q2间的距离为d，如图所示，根据库仑定律 ，    利用三角形可知 利用几何关系可知 根据余弦定理可知 联立解得 因此该实验装置只需要已知1的电荷量大小及a、b、c的大小就可以算出q的电荷量。 故选BC。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 电场力与功能关系 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 12 题型归纳 13 题型01：同种或异种点电荷周围电势和电场强度的分布 13 题型02：多点电荷或带电体周围电势和电场强度叠加问题 16 题型03：等量点电荷在空间的电势和电场强度分布 20 题型04：在电场中运动带电体的力与功能关系的问题 25 带电体在点电荷电场中的运动 25 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 25 （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 27 （三）带电体在绝缘细杆上的运动 29 （四）带电体在绝缘圆弧轨道中的运动 30 带电体在匀强电场中的运动 31 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 31 （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 33 （三）带电体在绝缘圆弧轨道上的运动 34 （四）带电体的组合运动 35 带电体在重力场和水平电场中的圆周运动 38 （一）带电体在竖直圆周轨道上的运动 38 （二）带电体直线运动+竖直圆周运动 39 题型05：在电场中运动带电连接体的力与功能关系 41 带电轻绳连接体的力与功能关系的问题 41 （一）带电轻绳连接体在竖直匀强电场中的运动 41 （二）带电轻绳连接体在水平匀强电场中静止释放运动模型 43 （三）带电轻绳连接体水平匀强电场中作完整圆周运动的问题 44 带电轻杆连接体的力与功能关系的问题 46 （一）带电轻杆连接体的转动模型 46 （二）带电轻杆连接体的平动模型 47 带电轻弹簧连接体的力与功能关系的问题 48 （一）弹簧伸长模型 48 （二）弹簧压缩模型 49 题型06： 带电粒子在电场中的运动和功能关系综合 51 巩固提升 55 1. 考查频次：高考高频中档考点，几乎每套试卷都会涉及。既可单独选择题定性分析，也常在计算题中和动力学、磁场综合命题。 2. 题型分布 ①选择题：以定性判断为主，比较电场力做功、电势能、动能大小变化，结合电场线、等势面图像出题。 ②计算题：多以带电粒子在电场运动为载体，将电场力做功与动能定理、能量守恒结合，进行定量计算，经常与重力、弹力做功混合考查。 3. 命题角度 ①电场力做功特点、电场力做功与电势能变化的对应关系； ②正负电荷在电场中移动，做功正负、电势能增减判断； ③电场、重力场复合场中的功能转化； 4. 易错点：正负号处理混乱；混淆电势、电势能；忽略重力做功，漏计重力势能变化；把电场力做功和路径挂钩。 1. 知识理解层面 ①掌握电场力做功特点：只由初末位置决定，与运动路径无关，清楚电场力做功的两个计算方式 W＝qUAB、W=qEd（匀强电场）。 ②牢固掌握功能对应关系：WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB，电场力做正功电势能减少；电场力做负功电势能增加。 2. 定性分析层面 ①给出电场线、等势面，能够判断电势高低，结合电荷电性，判断电势能大小、电场力做功正负。 ②复合场中，区分电场力、重力做功，分别判断电势能、重力势能、动能的增减变化。 3. 计算应用层面 ①熟练将动能定理应用于电场问题：合外力做功等于动能变化，合功包含电场力做功、重力做功等。 ②理解电场中能量守恒：只有电场力、重力做功时，动能+电势能+重力势能总和保持不变，会列式进行简单计算。 4. 应试能力层面 ①规避符号陷阱，会处理q、U的正负取值； ②遇到带电粒子运动图像类题目，可以按“电势→电场力做功→势能→动能”逻辑链条推导。 知识点一：电场线 几种常见的电场的电场线： 一：电场线概念 1.电场线定义： 为了形象描述电场而假想的一条条有方向的曲线。曲线上每一点的切线的方向表示该点的电场强度的方向。 注意：电场线不是实际存在的线，是为了形象地描述电场而假想的线。电场线上每点的切线方向就是该点电场强度的方向。电场线不是带电粒子的运动轨迹，带电粒子在电场力作用下的运动轨迹可能与电场线重合，也可能不重合。 2.电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的关系： 一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合． (1)电场线为直线； (2)带电粒子初速度为零，或速度方向与电场线平行； (3)带电粒子仅受电场力或所受其他力的合力方向与电场线平行． 3.电场线与轨迹问题判断方法： (1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况． (2)“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向．若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况． 二：等量点电荷电场线分布 1.等量同号点电荷的电场（电场线分布如图1） （1）两点电荷连线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大． （2）两点电荷连线的中垂线上由中点O到无限远，场强先变大后变小． （3）关于中心点O对称的点，场强等大反向． 图1　　　　　　　　　　图2 2．等量异号点电荷的电场（电场线分布如图2） （1）两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小． （2）两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大． （3）关于中心点对称的点，场强等大同向． 比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线分布图 电荷连线上的 电场强度 沿连线先变小后变大 O点最小,但不为零 O点为零 中垂线上的 电场强度 O点最大,向外逐 渐减小 O点最小,向外先 变大后变小 关于O点对 称位置的电 场强度 A与A'、B与B'、C与C' 等大同向 等大反向 三：电场线的特点 1.电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷． 2.电场线在电场中不相交． 3.在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏． 4.电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向． 5.沿电场线方向电势逐渐降低． 6.电场线和等势面在相交处相互垂直． 四：电场线的应用 1.判断电场力的方向：正电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相同，负电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相反。 2.判断电场强度的大小(定性)：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小。 3.判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线的方向电势降低最快，且电场线密的地方比疏的地方降低更快。 4.判断等势面的疏密：电场线越密的地方，等差等势面越密集；电场线越疏的地方，等差等势面越稀疏。 五：“电场线+运动轨迹”组合模型处理 模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现象”,其实质为“运动与力”的关系。运用牛顿运动定律的知识分析: 1.“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。 2.“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。若已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。 知识点二：电势与电势能 一：电势 1.定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 2.性质： 标量性 电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 相对性 电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置 固有性 电势是电场的固有性质，由电场本身的条件决定，与在该点是否放着电荷、电荷的电性、电荷量均无关。 3.理解： （1）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 （2）沿电场线线方向电势逐减降低。 （3）沿着电场线方向电势降低最快。 4.电势高低的判断方法 （1）电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。 （2）电势差与电势的关系：根据＝，（将、q的正负号代入公式分析计算），由的正负判断、的高低。 （3）Ep与φ的关系：由φ＝（将q、Ep正负号代入公式分析计算），正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。 （4）场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低． （5）标量求和法：点电荷产生的电势φ＝k（将Q正负号代入公式计算），空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和，可以比较电势的高低。 4. 等势面 （1）定义：电场中电势大小相同的各点构成的面叫作等势面。 （2）特点： ①.在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功； ②.在空间中两等势面不相交； ③.电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面； ④.在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏； ⑤.等势面是为描述电场的性质而假想的面； ⑥.等势面的分布与电势零点的选取无关； ⑦.当导体处于静电平衡状态时，导体是一个等势体，导体上各点电势都相等。 （3）应用： ①.根据等势面的分布确定电场线的分布。 ②.由等差等势面的疏密程度判断电场的强弱。 ③.由等势面判断电场中各点电势的高低。 ④.由等势面判断在电场中移动电荷时静电力的做功情况。 （4）几种典型电场的等势能面 电场类型 点电荷的电场 等量异种点电荷的电场 等量同种正点电荷的电场 匀强电场 图示 特点 等势面是以点电荷为球心的一簇球面。 两点电荷连线的中垂面上是电势为零的等势面。 在两点电荷中心连线上，中点电势最低；而在中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 等势面为垂直于电场线的一簇等间距平面。 二：电势能 1.定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 ①电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。 ②电势能的大小等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正号表示电势能大于零势能点位置，负号表示电势能小于零势能点位置。通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 2.性质： 标量性 电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能． 相对性 电势能是相对于零势能面来说的，零势能面选取不同，对于同一个点来讲电势能可能不同。 系统性： 电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 3.理解： （1）无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小． （3）正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小 4.电势能的大小判断“四法” （1）做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 （2）电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。 （3）公式法： 任何电场中Ep＝qφ（将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行计算判断） 点电荷电场中电势能Ep＝k（将q、Q的大小、正负号一起代入公式进行计算判断） （4）能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。 5.电势能与重力势能的比较 物理量 电势能 重力势能 定义 电场中的电荷具有的势能 重力场中的物体具有的势能 做功特点 只与初末位置有关，与经路径无关，所做的功等于势能的减少量 系统性 电荷和电场 物体和地球 相对性 电荷在某点的电势能等于把电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功 物体在某点的重力势能等于把物体从该点移到零势能位置时重力做的功 区别 电荷有极性 物体无极性 6.电势与电势能的比较 物理量 电势φ 电势能Ep 定义 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 电荷在电场中具有的能叫做电势能 单位 伏特V 焦耳J 物理意义 反映电场能的性质的物理量 反映电荷在电场中某点所具有的能量 影响因素 电势大小只跟电场本身有关，跟点电荷q无关 电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的 大小 规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，为负值。 对于正点电荷，其电势能的正负跟电势 的正负相同；对于负点电荷，其电势能 的正负跟电势的正负相反。 联系 φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。 知识点三：电场力做功与电势能的关系 1. 静电力做功 特点：在匀强电场中电场力做功W＝qE·Lcosθ，其中θ为电场力与位移间夹角，不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。 正电荷沿着电场线方向移动时电场力做正功，负电荷沿着电场线方向移动时电场力做负功。 【注意】当静电力与位移两者的方向小于90°时，静电力做正功；当静电力与位移两者的方向等于90°时，静电力不做功；当静电力与位移两者的方向大于90°时，静电力做负功。 2.电场力做功的求解 求法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB (1)既适用于匀强电场也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 W＝qUAB＝q(φA－φB) 功能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 3.电场中常见的功能关系 （1）若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。 （2）除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。 （3）所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。 （4）若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。 【注意】对静电力做功的相关理解： ①.静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与具体路径无关，与重力做功特点相似。 ②.静电力做功的特点不受物理条件限制，不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，电场力做功的特点不变。 ③.电场力方向和位移方向的夹角为锐角，电场力做正功；夹角为钝角，电场力做负功． ④.电场力方向和瞬时速度方向的夹角是锐角，电场力做正功；夹角是钝角，电场力做负功；电场力方向和瞬时速度方向垂直时，电场力不做功。 ⑤.电势能增加时，电场力做负功；电势能减小，则电场力做正功。 ⑥.若物体的动能增加，电场力做正功；若物体的动能减少，则电场力做负功。 知识点四：电场强度与电势差的关系 1. 电势差 （1）定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。若A点电势为φA，B点电势为φB.则＝φA－φB；＝φB－φA。 （2）性质： 电势差的性质 标量性 电势差是标量，有正负，无方向。正负表示电场中两点间的电势的高低。 固有性 电势差是表述电场性质的物理量，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关。 绝对性 电势差的大小是绝对的，与零电势的选取无关。 （3）静电力做功与电势差的关系：电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。电荷在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功 与电荷量q的比值叫做AB两点间的电势差，即。 （4）电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电量比值。 电场中两点间电势的之差。 公式 φ＝ U＝（） 影响因素 由电场和在电场中位置决定。 由电场内两点位置决定。 相对性/绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关。 具有绝对性，与零势能点选取无关。 联 系 数值关系 ＝φA－φB，当φB＝0时，＝φA。 单位 相同，均为V。 固有性 都是表示电场性质（电场能）的物理量。 标量性 都是标量，但均具有正负。 2. 电势差与电场强度的关系 （1）关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积：＝Ed(注：公式中d是两点沿电场方向距离) 【注意】电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向，电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢。 （2）在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论” 3.等分法及其应用 (1)等分法：如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 (2)“等分法”的应用思路： 补充：E＝在非匀强电场中的定性分析 公式中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度。 电势差一定时，场强越大，则沿场强方向的距离越小，此时等差等势面越密。 距离相等的两点间的电势差：场强越大，电势差越大；场强越小，电势差越小。可以用来判断电势的高低。 利用－x图像的斜率判断电场强度：曲线斜率，斜率表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。 1.几种常见的典型电场等势面的对比分析 电场 等势面(实线)图样 重要描述 匀强电场 垂直于电场线的一簇等间距平面 点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面 等量异种点电荷的电场 连线的中垂面上的电势为零 等量同种正点电荷的电场 连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高．关于中点左右对称或上下对称的点电势相等 2．电势高低的判断 判断角度 判断方法 依据电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低 依据场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低 依据电场力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低 依据电势能的高低 正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大 3.电势能大小的判断 判断角度 判断方法 做功判断法 电场力做正功，电势能减小 电场力做负功，电势能增加 电荷电势法 正电荷在电势高的地方电势能大 负电荷在电势低的地方电势能大 公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小 能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加 4．求电场力做功的四种方法 (1)定义式：WAB＝Flcos α＝qEdcos α(适用于匀强电场)． (2)电势的变化：W＝qUAB＝q(φA－φB)． (3)动能定理：W电＋W其＝ΔEk. (4)电势能的变化：WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB. 5．电场中的功能关系 (1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变． (2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量． (4)所有外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化． 题型01： 同种或异种点电荷周围电势和电场强度的分布 【典型例题1】等量异种点电荷的电场线分布如图所示，点为两点电荷连线中点。下列说法正确的是（    ） A．两电荷连线上，点的电场强度最大 B．两电荷连线的中垂线上，点的电场强度最小 C．两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度相同 D．两电荷连线的中垂线上，电势处处不相等 【典型例题2】（多选）如图所示，等量的异种点电荷＋Q、-Q在x轴上并关于O点对称放置，虚线是其在空间中产生的电场的等势线，空间的点a、b、c连线与x轴平行，b点在y轴上，并且ab=bc，则下列说法正确的是（　　） A．a、c两点的电势关系为φa=φc B．a、c两点的电场强度的大小关系为Ea=Ec C．若在a点由静止释放一个质子，则质子经过y轴后一定不能通过c点 D．若从O点以初速度v0沿y轴正方向射出一电子，则电子将沿y轴运动 【典型例题3】（多选）如图所示，在x轴上处固定两个带电量均为的点电荷，一电子仅在静电力的作用下沿x轴从处移动到处或沿y轴从处移动到处。下列说法中正确的是（　　） A．沿x轴移动时电子的动能先增大后减小 B．沿y轴移动时电子的动能先增大后减小 C．在处固定电荷量为的负点电荷，可使处的电场强度为0 D．在处固定电荷量为的正点电荷，可使处的电场强度为0 【变式训练1-1】电场线能直观、方便地反映电场的分布情况。如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；是电荷连线的中点，、是连线中垂线上关于对称的两点，、和、是两电荷连线上关于对称的两点。则（    ） A．、两点场强相同 B．、两点电势不等 C．、、三点中，点场强最大 D．从点向点运动的电子加速度逐渐减小 【变式训练1-2】水平直线上有A、B、C三点，在B、C两点各固定一点电荷，电荷量分别为和，周围的等势面分布示意图如图所示。在A点固定一根竖直光滑绝缘细杆，一带正电的小环（重力不可忽略）套在细杆上从D点无初速度释放到达A点。下列说法正确的是（　　） A．小环在D点与在A点所受电场力的方向相同 B．小环运动到A点时的加速度大于重力加速度 C．小环在D点的电势能小于在A点的电势能 D．小环最终以A点为中心做往复运动 【变式训练1-3】如图所示为两个异种点电荷A、B形成电场线和等势线，其中正电荷的电荷量为+q，负电荷的电荷量为-2q。已知N、M点在A、B两个点电荷的连线上，P、Q点同在某一条电场线上，下列说法正确的是（　　） A．点电荷B的电荷量为+q B．若N点电势为0，则M点电势必小于0 C．在P点由静止释放一个带正电的试探电荷，它可沿电场线运动到Q点 D．N、M之间的电势差小于P、Q之间的电势差 【变式训练1-4】等量正点电荷的电场线（实线带箭头表示）及等差等势面（虚线表示）分布图如图所示。将一带正电的试探电荷从点沿直线经、移动到点，、、、均在等势面上。取无限远处的电势为零，则（　　） A．从点沿直线到点运动过程中电势不变 B．点的电场强度大小比点的大 C．该试探电荷在点的电势能比在点的大 D．、间的电势差比、间的电势差大 【变式训练1-5】（多选）如图甲所示，两个等量正点电荷固定在绝缘水平面上，、、、是其连线中垂线上位于竖直方向上的四点，一带电量为，质量为的小球从A点静止释放，其运动的图像如图乙所示，其中点处为整条图线切线斜率最大的位置（图中标出了该切线），点处的切线平行于轴，运动过程中小球电荷量保持不变，已知、两点间距离为0.8m，、两点间的距离为2.7m，，下列说法中正确的是（　　） A．两点电势差 B．小物块从点到点电场力做的功 C．点为间电场强度最大的点，场强大小 D．由到的过程中小物块的电势能先减小后变大 题型02：多点电荷或带电体周围电势和电场强度叠加问题 【典型例题1】（多选）如图，在轴上放置四个点电荷和位于点两侧，位于点两侧。点在轴上，且。取无穷远处电势为零，电荷位置与电荷量满足一定关系，使得以点为球心、以为半径的球面上各点的电势均为零。下列说法正确的是（　　） A．两点电场强度的方向一定沿轴正方向 B．若在点放一正点电荷，则两点的电势一定升高 C．试探电荷沿轴运动过程中，若静电力始终不做功，则它受到的静电力始终为零 D．试探电荷沿轴运动过程中，若静电力始终不做功，则点的电场强度一定为零 【典型例题2】如图所示，边长为L的等边三角形的三个顶点a、b、c上各放置一个点电荷，电荷量分别为+q、+q、−q，O为等边三角形外接圆的圆心，d为ab边的中点。已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，若将无限远处的电势规定为零，则距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。则（　　） A．O点的电场强度大小为 B．O点的电势为 C．d点的电势为 D．系统的总电势能为 【典型例题3】（多选）理论表明，将无限远处的电势规定为零时，距离点电荷Q为r处的电势，其中k为静电力常量。如图所示，真空中有四个可视为点电荷的带正电的小球，约束在边长为的正方形的顶点上。已知各小球所带电荷量均为q，P为正方形的几何中心，则（　　） A．P点的电场强度大小为 B．P点的电势为 C．小球1的电势能为 D．将小球1从位置1沿直线移至P的过程中电势能增加 【变式训练2-1】如图所示，真空中为边长为的等边三角形三个顶点，在两点分别固定电荷量为的点电荷，在点固定电荷量为的点电荷，点为三角形中心，点为三角形三边中点，设点电荷在某点产生电势为为点电荷电量，为到点电荷的距离，关于四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是() A.点场强大小，电势为 B.点场强大小为，电势为 C.点和点场强大小相等，电势不同 D.电子由点沿直线移动到点过程中，加速度减小，电势能增大 【变式训练2-2】如图所示，等边三角形的三个顶点A、B、C上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为q、+q、+q，已知M、N、P分别为AC、BC、AB的中点，设无穷远的电势为零，下列关于M、N、P三点说法正确的是（　　） A．M、N两点电势相等 B．N点电势最低 C．M、P两点电场强度大小相同 D．N点的电场强度最大 【变式训练2-3】如图所示，ABC为正三角形，AB和AC边上放有带等量异种电荷的绝缘细棒，O为BC边中点，D为BC中垂线上O点右侧的一点，P为BC上的一点，选无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（　　）    A．O点和D点场强可能大小相等，方向相同 B．D点的电势一定低于P点 C．将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电势能不变 D．将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电场力做负功 【变式训练2-4】“彭宁离子阱”是一个可以用来储存带电粒子的装置，它主要由一对左右对称的环电极和一对上下对称的端电极构成，如图所示，其内部某一截面的部分电场线和等势线分布，则（　　） A．P、M两点电场强度相同 B．P、Q两点电场强度 C．P、Q两点电势 D．M、N两点电势 【变式训练2-5】（多选）如图所示，三个等长绝缘细棒构成正三角形，棒上带有等量负电荷且电荷分布均匀。P为正三角形中心，O为边中点，P、D关于O点对称，选取无穷远处电势为0，P点电势为，D点电势为，则下列说法正确的是（　　） A．P点电势大于D点电势 B．撤去棒，P、D两点电势差不变 C．撤去棒，则D点电势变为 D．撤去棒，则D点电势变为 【变式训练2-6】（多选）边长为的正方形的四个顶点上放置如图所示的点电荷，以正方形中心O为原点建立坐标系，为另一正方形的四个顶点，中心也为O。以下说法正确的是（　　） A．O点场强大小为零 B．O点场强大小为，方向沿轴方向 C．带正点的检验电荷沿方向移动，电场力不做功 D．带负点的检验电荷从A点移到D点，电势能增大 【变式训练2-7】（多选）如图所示，等腰直角三角形ABC中，，在A、B、C三个顶点分别固定电荷量为、、的点电荷，P为AB边的中点，F、Q、G三点将AC边四等分，取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是（    ） A．F点和G点电场强度相同 B．F点和G点电势相等 C．一正电荷在P点的电势能比在Q点的电势能小 D．将一负电荷沿直线从F点移到G点，电势能先减小后增大 题型03：等量点电荷在空间的电势和电场强度分布 【典型例题1】如图所示，真空中一正方体空间ABCD—A′B′C′D′，带电量为Q的正点电荷固定于A点，则（　　）    A．B点位置与C点位置的电场强度大小之比为 B．正方体所有顶点中，C′点位置的电势最低 C．C、D′、B′三点所在位置的电势相等、场强相同 D．电子从D′点沿直线运动到B′点的过程中，电势能先增大后减小 【典型例题2】如图，真空中的正三棱柱，在A点固定一个电荷量为的点电荷，C点固定一个电荷量为的点电荷，已知，静电力常量为k，选取无穷远处电势为0。则正确的是（　　） A．将一负试探电荷从点移到点，其电势能先增加后减小 B．、两点的电势差大于、两点的电势差 C．将一正试探电荷沿直线从B点移到点，电场力不做功 D．点的电场强度大小为 【典型例题3】如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A，D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法中正确的是（ ） A．F′点与C′点的电场强度相同 B．A′点与F′点的电势差等于O′点与D′点的电势差 C．将试探电荷＋q由O点沿直线运动到O′点，其电势能先减小后增大 D．将试探电荷＋q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 【典型例题4】如图所示，空间有一正三棱锥OABC，点A′、B′、C′分别是三条棱的中点。现在顶点O处固定一正的点电荷，则下列说法中正确的是（ ） A．A′，B′，C′三点的电场强度相同 B．△ABC所在平面为等势面 C．将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，静电力对该试探电荷先做正功后做负功 D．若A′点的电势为φA′， A点的电势为φA， 则A′A连线中点D处的电势φD一定小于 【变式训练3-1】如图所示，正方体，在和处放置电量分别为、的点电荷，则下列说法正确的是（    ） A．点和点电场强度相同 B．点和点电势相同 C．点和点两点电场强度之比为 D．将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电场力不做功 【变式训练3-2】如图，真空中电量均为Q的两正点电荷，固定于一绝缘正方体框架的两侧面ABB1A1和DCC1D1中心连线上，且两电荷关于正方体中心对称，则（ ） A．A、B、C、D四个点的电势相同 B．A1、B1、C1、D1四个点的电场强度相同 C．负检验电荷q在A点的电势能小于在C1点的电势能 D．正检验电荷q从C点移到C1点过程电场力对其做正功 【变式训练3-3】如图所示，四根完全相同的均匀带负电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边上，点为长方体几何中心。现将处的绝缘棒替换为总带电量与相同，均匀带正电荷的绝缘棒。假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于替换后点处电场强度方向和替换前后点处电势的变化，下列说法正确的是（　　） A．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 B．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 C．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 D．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 【变式训练3-4】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（    ）    A．b、c、d三点的电场强度相同 B．b、c、d三点的电势相等 C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大 D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功 【变式训练3-5】如图所示，ABCD为真空中一正四面体区域，M和N分别为AC边和AD边的中点，A处和C处分别有等量异种点电荷+Q和-Q。则（　　） A．B、D处场强大小相等，方向不同 B．电子在M点的电势能小于在N点的电势能 C．将一试探正电荷从B沿直线BD移动到D电场力做正功 D．将位于C处的电荷-Q移到B处时M、N点场强大小相等 【变式训练3-6】如图所示，ABCD是边长为L的正三棱锥，M、N、P分别为BD、AB和AD边的中点，正三棱锥的顶点A、B和D分别固定有电荷量为+Q、+Q和-Q的点电荷，则（　　）      A．M点的电势高于Р点的电势 B．将质子由C移动到M，电场力做负功 C．将电子由Р移动到N，电势能增大 D．M、P两点的电场强度相同 【变式训练3-7】如图所示，、、、、、是以为球心的球面上的点，平面与平面相互垂直，分别在、两点放上等量异种点电荷，则下列说法正确的是() A.、、、四点电场强度大小相同，但方向不同 B.、、、四点电势不同 C.若电子沿直线运动过程中，电子受到的电场力大小一直不变 D.若电子沿圆弧运动过程中，电势能保持不变 【变式训练3-8】（多选）如图所示，在正方体中，O为的中点，在和处固定电荷量分别为、的点电荷。下列说法正确的是（     ） A．B、两点的电势相同 B．A、C两点的电场强度相同 C．O、两点的电场强度大小的比值为 D．将一电子从O点移到C点，电子的电势能减少 【变式训练3-9】（多选）如图所示， 空间中正四面体的棱及中点处分别固定等量异种点电荷。 下列判断正确的是（　　） A．点和处电场强度大小相等， 方向相同 B．点和处电场强度大小相等， 方向不同 C． D． 【变式训练3-10】（多选）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（    ）     A．点与点的电场强度大小相等 B．点与点的电场强度方向相同 C．点与点的电势差小于点与点的电势差 D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 题型04：在电场中运动带电体的力与功能关系的问题 带电体在点电荷电场中的运动 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 【典型例题1】 (多选)如图所示，在绝缘光滑水平面上固定两个等量同种电荷A、B，在AB连线上的P点由静止释放一带电滑块，则滑块会在A、B之间往复运动，则以下判断正确的是(　　)． A．滑块一定带的是与A、B异种的电荷 B．滑块一定带的是与A、B同种的电荷 C．滑块在由P向B运动过程中，电势能一定是先减小后增大 D．滑块的动能与电势能之和一定减小 【典型例题2】如图所示，O、A、B、C为一粗糙绝缘水平面上的四点，不计空气阻力，一电荷量为－Q的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)，从A点由静止沿它们的连线向右运动，到B点时速度最大，其大小为vm，小金属块最后停止在C点。已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为μ，A、B间距离为L，静电力常量为k，则(　　) A．在点电荷－Q形成的电场中，A、B两点间的电势差UAB＝ B．在小金属块由A向C运动的过程中，电势能先增大后减小 C．O、B间的距离为 D．从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能 【变式训练4-1-1】如图所示，一个电荷量为－Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O点．另一个电荷量为＋q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动，运动到B点时的速度为v，且为运动过程中速度的最小值．已知点电荷乙受到的阻力大小恒为Ff，A、B间距离为L0，静电力常量为k，则下列说法正确的是(　 　) A．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大 B．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小 C．OB间的距离为 D．在点电荷甲形成的电场中，AB间电势差UAB＝ 【变式训练4-1-2】（多选）如图所示，在绝缘水平地面上固定两个等量同种点电荷A、B，在AB连线上的P点由静止释放一带电滑块(可视为质点)，则滑块会由静止开始一直向右运动到AB连线上的一点M而停下．则以下判断正确的是(　　) A．滑块一定带的是与A、B异种的电荷 B．滑块的电势能一定是先减小后增大 C．滑块的动能与电势能之和一定减小 D．AP间距一定小于BM间距 【变式训练4-1-3】如图所示，在绝缘水平面上，相距为L的A、B两点分别固定着等量正点电荷。图中AC＝CO＝OD＝DB＝L。一质量为m、电荷量为＋q的小滑块(可视为质点)以初动能E0从C点出发，沿直线AB向D运动，滑块第一次经过O点时的动能为nE0(n>1)，到达D点时动能恰好为零，小滑块最终停在O点，求： (1)小滑块与水平面之间的动摩擦因数μ； (2)O、D两点之间的电势差UOD； (3)小滑块运动的总路程x。 （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 【典型例题1】如图甲，倾角为θ的光滑绝缘斜面，底端固定一带电量为Q的正点电荷。将一带正电小物块(可视为质点)从斜面上A点由静止释放，小物块沿斜面向上滑动至最高点B处，此过程中小物块的动能和重力势能随位移的变化图像如图乙(E1和x1为已知量)。已知重力加速度为g，静电力常量为k，由图像可求出(　　) A．小物块的带电量 B．A、B间的电势差 C．小物块的质量 D．小物块速度最大时到斜面底端的距离 【典型例题2】如图所示，A、B、C是光滑绝缘斜面上的三个点，Q是一带正电的固定点电荷，Q、B连线垂直于斜面，Q、A连线与Q、C连线长度相等，带正电的小物块从A点以初速度v沿斜面向下运动．下列说法正确的是(　　) A．小物块在B点电势能最小 B．小物块在C点的速度也为v C．小物块在A、C两点的机械能相等 D．小物块从A点运动到C点的过程中，一定先减速后加速 【变式训练4-2-1】(多选)如图所示，斜面粗糙绝缘，A点处固定一点电荷甲，将一带电小物块乙从斜面上B点处由静止释放，乙沿斜面运动到C点时静止．则(　　) A．乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能 B．甲、乙有可能带异种电荷 C．从B到C的过程中，乙可能做匀减速运动 D．从B到C的过程中，乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功 【变式训练4-2-2】（多选） 如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O点处有一正点电荷，带负电的小物体以初速度v1从M点沿斜面上滑，到达N点时速度为零，然后下滑回到M点，此时速度为v2(v2＜v1)．若小物体电荷量保持不变，OM＝ON，则(　 　) A．小物体上升的最大高度为 B．从N到M的过程中，小物体的电势能逐渐减小 C．从M到N的过程中，电场力对小物体先做负功后做正功 D．从N到M的过程中，小物体受到的摩擦力和电场力均是先增大后减小 【变式训练4-2-3】(多选)如图所示，斜面粗糙绝缘，A点处固定一点电荷甲，将一带电小物块乙从斜面上B点处由静止释放，乙沿斜面运动到C点时静止．则(　　) A．乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能 B．甲、乙有可能带异种电荷 C．从B到C的过程中，乙可能做匀减速运动 D．从B到C的过程中，乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功 【变式训练4-2-4】(多选)如图所示，带电荷量为Q的正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面底端C点，斜面上有A、B、D三点，A和C相距为L，B为AC的中点，D为AB的中点．现将一带电小球从A点由静止释放，当带电小球运动到B点时速度恰好为零．已知重力加速度为g，带电小球在A点处的加速度大小为，静电力常量为k.则(　　) A．小球从A到B的过程中，速度最大的位置在AD之间 B．小球运动到B点时的加速度大小为 C．BD之间的电势差UBD大于DA之间的电势差UDA D．AB之间的电势差UAB＝ （三）带电体在绝缘细杆上的运动 【典型例题1】水平地面上方分布着水平向右的匀强电场，一光滑绝缘轻杆竖直立在地面上，轻杆上有两点A、B。轻杆左侧固定一带正电的点电荷，电荷量为＋Q，点电荷在轻杆AB两点的中垂线上，一个质量为m，电荷量为＋q的小球套在轻杆上，从A点静止释放，小球由A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是(　　) A.小球受到的电场力先减小后增大 B.小球的运动速度先增大后减小 C.小球的电势能先增大后减小 D.小球的加速度大小不变 【典型例题2】(多选)如图所示，相距为2d的A、B两个点电荷固定于竖直线上，电荷量分别为＋Q和－Q。MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，与AB连线间的距离为d，C、D是细杆上与A、B等高的两点，O点是CD中点。一个质量为m、电荷量为＋q的带电小球P(可视为点电荷，放入电场后不影响电场的分布)穿过细杆，由C点静止开始释放，向下运动到O点时速度大小为v。已知静电力常量为k，重力加速度为g。则(　　) A.C、D两点电势φC＝φD B.C、D两点的电场强度大小相等 C.O点处的电场强度大小E＝ D.小球P经过D点时的速度大小为2v 【变式训练4-3-1】（多选）如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以电荷＋Q为圆心的某一圆周交于H、L两点，从圆心到K点的连线垂直于细杆。质量为m、带电荷量为－q(q≪Q)的有孔小球套在杆上，从F点由静止开始下滑。则带电小球从H点运动到L点的过程中，下列说法正确的是(　 　) A．到达K点的加速度是g B．整个过程中机械能守恒 C．电势能的变化量不为零 D．电场力先做正功后做负功 【变式训练4-3-2】（多选）如图甲所示，一光滑绝缘细杆竖直放置，距细杆右侧d的A点处有一固定的正电荷，细杆上套有一带电小环，设小环与点电荷的竖直高度差为h，将小环无初速度地从h高处释放后，在下落至h＝0的过程中，其动能Ek随h的变化曲线如图乙所示，则(　　) A．小环可能带负电 B．从h高处下落至h＝0的过程中，小环电势能增加 C．从h高处下落至h＝0的过程中，经过了加速、减速、再加速三个阶段 D．小环将做以O点为中心的往复运动 【变式训练4-3-3】（多选）如图所示，在重力加速度为g的空间，有一个带电荷量为＋Q的场源电荷置于O点，B、C为以O为圆心、半径为R的竖直圆周上的两点，A、B、O在同一竖直线上，AB＝R，O、C在同一水平线上。现在有一质量为m、电荷量为－q的有孔小球，沿光滑绝缘细杆AC从A点由静止开始滑下，滑至C点时速度的大小为，下列说法正确的是(　 　) A．从A到C小球做匀变速运动 B．B、A两点间的电势差为 C．从A到C小球的机械能守恒 D．若从A点自由释放，则下落到B点时的速度大小为 （四）带电体在绝缘圆弧轨道中的运动 【典型例题】（多选）如图所示，在绝缘水平面上固定着一光滑绝缘的圆形槽，在某一过直径的直线上有O、A、D、B四点，其中O为圆心，D在圆上，半径OC垂直于OB。A点固定电荷量为Q的正电荷，B点固定一个未知电荷，使得圆周上各点电势相等。有一个质量为m，电荷量为－q的带电小球在滑槽中运动，在C点受的电场力指向圆心，根据题干和图示信息可知(　　 ) A．固定在B点的电荷带正电 B．固定在B点的电荷电荷量为Q C．小球在滑槽内做匀速圆周运动 D．C、D两点的电场强度大小相等 【变式训练4-4-1】如图所示，AB⊥CD且A、B、C、D位于一半径为r的竖直圆上，在C点有一固定点电荷，电荷量为＋Q。现从A点将一质量为m，电荷量为－q的小球由静止释放，小球沿光滑绝缘轨道ADB运动到D点时速度为，g为重力加速度，不考虑运动电荷对静电场的影响，求： (1)小球运动到D点时对轨道的压力； (2)小球从A点到D点过程中电势能的改变量。 【变式训练4-4-2】（多选）如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平．a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零．则小球a(　　 ) A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 B．从N到P的过程中，速率先增大后减小 C．从N到Q的过程中，电势能一直增加 D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量 带电体在匀强电场中的运动 （一）带电体在绝缘水平轨道上的运动 【典型例题1】在一个水平面上建立x轴，在过原点O垂直于x轴的平面的右侧空间有一个匀强电场，场强大小E＝6.0×105 N/C，方向与x轴正方向相同．在O点处放一个带电荷量q＝－5.0×10－8 C，质量m＝1.0×10－2 kg的绝缘物块．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.20，沿x轴正方向给物块一个初速度v0＝2.0 m/s，如图所示．(g取10 m/s2)求： (1)物块向右运动的最大距离； (2)物块最终停止的位置． 【典型例题2】(多选)如图甲所示，绝缘水平面上存在方向水平向右的匀强电场，一带电物块以一定的初速度从O点开始向右运动．取O点为电势零点，该物块的电势能与动能之和E总、电势能Ep随它离开O点的距离x变化的关系如图乙所示．由此能够确定的是(　　) A．物块受到的电场力大小 B．匀强电场的场强大小 C．物块返回O点时的动能 D．物块与水平面间的动摩擦因数 【变式训练4-1-1】如图所示，在绝缘平面上方存在着足够大的水平向右的匀强电场，带正电的小金属块以一定初速度从A点开始沿水平面向左做直线运动，经L长度到达B点，速度变为零．此过程中，金属块损失的动能有转化为电势能．金属块继续运动到某点C(图中未标出)时的动能和A点时的动能相同，则金属块从A开始运动到C整个过程中经过的总路程为(　　) A．1.5L　　　B．2LC．3L D．4L 【变式训练4-1-2】（多选）如图所示，带正电的金属滑块质量为m、电荷量为q，与绝缘水平面间的动摩擦因数为μ(μ＜1)，水平面上方有水平向右的匀强电场，电场强度为E＝。如果在A点给滑块一个向左的大小为v的初速度，运动到B点速度恰好为零，则下列说法正确的是(　 　) A．滑块运动到B点后将返回向A运动，来回所用时间相同 B．滑块运动到B点后将返回向A运动，到A点时速度大小仍为v C．滑块回到A点时速度大小为 v D．A、B两点间电势差为－ 【变式训练4-1-3】在地面附近，存在着一个有界电场，边界MN将空间分成左、右两个区域，在右区域中有水平向左的匀强电场，在右区域中离边界MN某一位置的水平地面上由静止释放一个质量为m的带电滑块(滑块的电荷量始终不变)，如图甲所示，滑块运动的v－t图象如图乙所示，不计空气阻力，则(　　) A．滑块在MN右边运动的位移大小与在MN左边运动的位移大小相等 B．在t＝5 s时，滑块经过边界MN C．滑块受到的滑动摩擦力与电场力之比为2∶5 D．在滑块运动的整个过程中，滑动摩擦力做的功小于电场力做的功 （二）带电体在绝缘斜面轨道上的运动 【典型例题1】（多选）如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是(　 　) A．金属块带正电荷 B．金属块的机械能减少12 J C．金属块克服电场力做功8 J D．金属块的电势能减少4 J 【典型例题2】如图所示，一带电荷量为＋q、质量为m的小物块处于一倾角为37°的光滑斜面上，当整个装置被置于一水平向右的匀强电场中，小物块恰好静止．重力加速度取g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)水平向右电场的电场强度； (2)若将电场强度减小为原来的，物块的加速度是多大； (3)电场强度变化后物块下滑距离L时的动能． 【变式训练4-2-1】如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中．一电荷量为＋q，质量为m的小球，以初速度v0由斜面底端的M点沿斜面上滑，到达斜面顶端N的速度仍为v0，则(　　) A．电场强度等于 B．电场强度等于 C．M、N两点的电势差为 D．小球在N点的电势能大于在M点的电势能 【变式训练4-2-2】(多选)如图所示，长为L＝0.5 m、倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，一带电荷量为＋q，质量为m的小球(可视为质点)，以初速度v0＝2 m/s恰能沿斜面匀速上滑，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法中正确的是 (　　)． A．小球在B点的电势能大于在A点的电势能 B．水平匀强电场的电场强度为 C．若电场强度加倍，小球运动的加速度大小为3 m/s2 D．若电场强度减半，小球运动到B点时速度为初速度v0的一半 【变式训练4-2-3】（多选）如图所示，在水平向左的匀强电场中，可视为质点的带负电物块，以某一初速度从足够长的绝缘斜面上的A点，沿斜面向下运动，经C点到达B点时，速度减为零，然后再返回到A点。已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，整个过程斜面均保持静止，物块所带电量不变。则下列判断正确的是(　 　) A．物块在上滑过程中机械能一定减小 B．物块在上滑过程中，增加的重力势能一定大于减少的电势能 C．物块下滑时经过C点的动能一定大于上滑时经过C点的动能 D．物块在下滑过程中，斜面与地面之间的摩擦力一定为零 【变式训练4-2-4】如图所示，在一个倾角θ＝30°的斜面上建立x轴，O为坐标原点，在x轴正向空间有一个匀强电场，场强大小E＝4.5×106 N/C，方向与x轴正方向相同，在O处放一个电荷量q＝5.0×10－6 C、质量m＝1 kg带负电的绝缘物块。物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，沿x轴正方向给物块一个初速度v0＝5 m/s，如图所示。(g取10 m/s2)求： (1)物块沿斜面向下运动的最大距离； (2)物块最终停止时系统因摩擦产生的热量。 （三）带电体在绝缘圆弧轨道上的运动 【典型例题】（多选）如图所示，一绝缘光滑半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E.在与环心等高处放有一质量为m、带电荷量＋q的小球，由静止开始沿轨道运动，下述说法正确的是(　 　) A．小球经过环的最低点时速度最大 B．小球在运动过程中机械能守恒 C．小球经过环的最低点时对轨道的压力为mg＋qE D．小球经过环的最低点时对轨道的压力为3(mg＋qE) 【变式训练4-3-1】如图所示，内表面光滑绝缘的半径为1.2 m的圆形轨道处于竖直平面内，有竖直向下的匀强电场，场强大小为3×106 V/m。有一质量为0.12 kg、电荷量为1.6×10－6 C，带负电的小球，小球在圆轨道内壁做圆周运动，当运动到最低点A时，小球与轨道压力恰好为零，g取10 m/s2，求： (1)小球在A点处的速度大小； (2)小球运动到最高点B时对轨道的压力。 【变式训练4-3-2】(多选)如图，ABC是竖直面内的固定半圆形光滑轨道，O为其圆心，A、C两点等高，过竖直半径OB的虚线右侧足够大的区域内存在沿AC方向的匀强电场．一带正电小球从A点正上方P点由静止释放，沿轨道通过B、C两点时的动能分别为Ek和1.5Ek，离开C点后运动到最高点D(图中未画出)．已知P与A间距离等于轨道半径，则(　　) A. D点与P点等高 B. 小球在电场中受到的静电力是其重力的两倍 C. 小球在C点处对轨道的压力是其重力的两倍 D. 小球通过D点时的动能大于1.5Ek （四）带电体的组合运动 【典型例题1】如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R.质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道BO运动．以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R区域有方向与x轴夹角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg.小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g.求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）小球经过O点时的速度大小； （3）小球过O点后运动的轨迹方程． 【典型例题2】如图所示，在水平线MN上方区域有竖直向下的匀强电场，在电场内有一光滑绝缘平台，平台左侧靠墙，平台上有带绝缘层的轻弹簧，其左端固定在墙上，弹簧不被压缩时右侧刚好到平台边缘，光滑绝缘平台右侧有一水平传送带，传送带A、B两端点间距离L＝1 m，传送带以速率v0＝4 m/s顺时针转动，现用一带电小物块向左压缩弹簧，放手后小物块被弹出，从传送带的B端飞出。小物块经过MN边界上C点时，速度方向与水平方向成45°角，经过MN下方M′N′水平线上的D点时，速度方向与水平方向成60°角。传送带B端距离MN的竖直高度h1＝0.4 m，MN与M′N′平行，间距h2＝1.6 m，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，小物块的质量为m＝0.1 kg，带电量q＝1×10－2 C，平台与传送带在同一水平线上，二者连接处缝隙很小，不计小物块经过连接处的能量损失，重力加速度为g＝10 m/s2，＝1.732，＝2.236。求： （1）匀强电场的电场强度E； （2）弹簧弹性势能的最大值； （3）当小物块在传送带上运动因摩擦产生的热量最大时，小物块在传送带上发生相对运动的时间t。 【变式训练4-4-1】如图所示，在光滑的水平桌面上，水平放置的粗糙直线轨道AB与水平放置的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，整个轨道位于水平桌面内，圆心角∠BOC＝37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R。整个轨道处于电场强度为E的匀强电场中，电场强度方向平行于水平桌面所在的平面且垂直于直线OD。现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力。求： （1）小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小FNC1； （2）小物块第一次通过D点后离开D点的最大距离； （3）小物块在直线轨道AB上运动的总路程。 【变式训练4-4-2】如图所示，在竖直平面内固定一光滑圆弧轨道AB，轨道半径为R＝0.4 m，轨道最高点A与圆心O等高．有一倾角θ＝30°的斜面，斜面底端C点在圆弧轨道B点正下方、距B点H＝1.5 m．圆弧轨道和斜面均处于场强大小E＝100 N/C、竖直向下的匀强电场中．现将一个质量为m＝0.02 kg、带电荷量为＋2×10－3 C的带电小球从A点由静止释放，小球通过B点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D点时速度方向恰与斜面垂直，并刚好与一个以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇．若物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，空气阻力不计，g取10 m/s2，小球和物块都可视为质点．求： (1)小球经过B点时对轨道的压力FNB； (2)B、D两点间电势差UBD； (3)物块上滑初速度v0满足条件的最小值． 【变式训练4-4-3】如图，一质量为m1＝1 kg，带电荷量为q＝＋0.5 C的小球以速度v0＝3 m/s，沿两正对带电平行金属板(板间电场可看成匀强电场)左侧某位置水平向右飞入，极板长0.6 m，两极板间距为0.5 m，不计空气阻力，小球飞离极板后恰好由A点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道ABC，圆弧轨道ABC的形状为半径R<3 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，在过A点竖直线OO′的右边界空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E＝10 V/m.(取g＝10 m/s2)求： (1)两极板间的电势差大小U； (2)欲使小球在圆弧轨道运动时不脱离圆弧轨道，求半径R的取值应满足的条件． 【变式训练4-4-4】如图所示，在E＝103 V/m的竖直匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道QPN与一水平绝缘轨道MN在N点平滑相接，半圆形轨道平面与电场线平行，其半径R＝40 cm，N为半圆形轨道最低点，P为QN圆弧的中点，一带负电q＝10－4 C的小滑块质量m＝10 g，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.15，位于N点右侧1.5 m的M处，取g＝10 m/s2，求： (1)要使小滑块恰能运动到圆轨道的最高点Q，则小滑块应以多大的初速度v0向左运动？ (2)这样运动的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？ 带电体在重力场和水平电场中的圆周运动 （一）带电体在竖直圆周轨道上的运动 【典型例题1】如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g. (1)求小球所受的静电力大小； (2)求小球在A点的速度v0为多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小． 【典型例题2】(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，将一内壁光滑、半径为R的固定绝缘圆轨道放置在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径．一个质量为m、电荷量为＋q的带电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度后，能够在轨道内做圆周运动．已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度为E＝，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A. 小球运动到B点时的电势能最大 B. 小球运动到D点时的动能最小 C. 小球运动到A、D两点时的动能相等 D. 若小球恰能在轨道内做圆周运动，则小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg 【典型例题3】(多选)如图，光滑水平桌面上固定一圆形光滑绝缘轨道，整个轨道处于水平向右的匀强电场中。一质量为m，带电量为q的带正电小球，在轨道内做完整的圆周运动。小球运动到A点时速度大小为v，且该位置轨道对小球的弹力大小为N。其N­v2图像如图2，则下列说法正确的是(　　) A．圆形轨道半径为 B．小球运动过程中通过A点时速度最小 C．匀强电场电场强度为 D．当v2＝b时，小球运动到B点时轨道对小球的弹力大小为6a 【变式训练4-1-1】如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m的带电小球(可视为质点)恰好能静止在C点．若在C点给小球一个初速度使它在轨道内侧恰好能做完整的圆周运动(小球的电荷量不变)．已知C、O、D在同一直线上，它们的连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.求： (1)小球所受的电场力F的大小； (2)小球做圆周运动，在D点的速度大小及在A点对轨道压力的大小． 【变式训练4-1-2】（多选）如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向平行于轨道平面水平向左，P、Q分别为轨道上的最高点、最低点，M、N是轨道上与圆心O等高的点．质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速度为g，电场强度E＝，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是(　 　) A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大 B．小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M点 C．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为6mg D．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为7.5mg 【变式训练4-1-3】如图所示，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带电荷量为＋q的珠子，现在圆环平面内加一个匀强电场，使珠子由最高点A从静止开始释放(AC、BD为圆环的两条互相垂直的直径)，要使珠子沿圆弧经过B、C刚好能运动到D.(重力加速度为g) （1）求所加电场的场强最小值及所对应的场强的方向； （2）当所加电场的场强为最小值时，求珠子由A到达D的过程中速度最大时对环的作用力大小； （3）在（1）问电场中，要使珠子能完成完整的圆周运动，在A点至少应使它具有多大的初动能？ （二）带电体直线运动+竖直圆周运动 【典型例题1】如图所示，水平绝缘光滑轨道AB的B端与处于竖直平面内的半圆弧形光滑绝缘轨道BCD平滑连接，半圆弧的半径R＝0.50 m。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E＝1.0×104 N/C。现将一质量m＝0.06 kg的带电小球(可视为质点)放在水平轨道上与B端距离s＝1.0 m的位置，由于受到电场力的作用，带电小球由静止开始运动。已知带电小球所带的电荷量q＝8.0×10－5 C，取g＝10 m/s2，问： (1)小球能否到达半圆弧最高点D? (2)半圆弧轨道对小球的支持力的最大值为多少？ 【典型例题2】如图所示，粗糙程度不均匀的水平面ABC与半径为R的竖直光滑半圆轨道CDM相切于C点，CM为半圆的直径，O为圆心，D点是弧CM的中点，在半圆CDM下半部分有水平向左的匀强电场，电场强度大小E＝(g为重力加速度)。现把可视为质点、质量为2m的小物块P置于水平面的A点，并在水平恒力F(大小未知)的作用下由静止向左运动，运动到B点撤掉水平恒力F，小物块P恰好运动到C点静止。现把与小物块P材料相同、质量是小物块P质量一半、带电荷量为＋q的绝缘小物块Q同样置于A点，在同样水平恒力F作用下也从静止开始向左运动，到B点撤掉水平恒力F，带电小物块Q离开水平面BC后沿着圆弧轨道CDM运动恰好能过最高点M。求： (1)小物块Q经过水平面C点时的速度大小； (2)小物块Q在半圆轨道CDM上运动过程中对轨道的最大压力； (3)小物块Q在运动过程中所受摩擦力做的功。 【变式训练4-2-1】如图所示，在xOy平面内竖直固定一个“9字型”轨道，圆形部分的半径R＝0.2 m，圆心位于C点；直线轨道AB与圆形部分相切于B点，其长度L＝3R，CB连线与竖直方向的夹角为53°；在x>0区域有范围很大的匀强电场，场强大小E＝5×104 N/C，方向沿x轴正方向。现在A点处由静止释放质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋2×10－5C的小物块(可看作质点)，已知sin 53°＝0.8，不计物块与“9字型”轨道的摩擦，g取10 m/s2。求： (1)物块滑到圆周轨道最低点O处时受到的支持力大小； (2)物块在圆周轨道上速度最大的位置P；(可用PC连线与竖直方向夹角表示) (3)物块在圆周轨道上运动一圈后，从O′点滑出(轨道B′O′与BO段错开且靠近)，其后的水平面上铺设了一种特殊的材料，材料不同位置处的动摩擦因数满足μ＝0.2＋x(x为所在处的横坐标值)，物块在材料面上滑行过程的最大动能是多少？ 【变式训练4-2-2】如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B点与一条水平轨道相连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E的匀强电场，从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为s.已知小球受到的静电力大小等于小球重力的倍，C点为圆形轨道上与圆心O的等高点．(重力加速度为g) (1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小； (2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值． 【变式训练4-2-3】如图一光滑绝缘半圆环轨道固定在竖直平面内，与光滑绝缘水平面相切于B 点，轨道半径为R。整个空间存在水平向右的匀强电场E，场强大小为，一带正电小球质量为m、电荷量为q，从距离B点为处的A点以某一初速度沿AB方向开始运动，经过B点后恰能运动到轨道的最高点C。重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则： （1）带电小球从A 点开始运动时的初速度v0多大？ （2）带电小球从轨道最高点C经过一段时间运动到光滑绝缘水平面上D点(图中未标出)，B 点与D 点的水平距离多大？ 【变式训练4-2-4】如图所示，在方向水平向左、范围足够大的匀强电场中，固定一由内表面绝缘光滑且内径很小的圆管弯制而成的圆弧BD，圆弧的圆心为O，竖直半径OD＝R，B点和地面上A点的连线与地面成θ＝37°角，AB＝R。一质量为m、电荷量为q的小球(可视为质点)从地面上A点以某一初速度沿AB方向做直线运动，恰好无碰撞地从管口B进入管道BD中，到达管中某处C(图中未标出)时恰好与管道间无作用力。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小为g。求： (1)匀强电场的场强大小E和小球到达C处时的速度大小v； (2)小球的初速度大小v0以及到达D处时的速度大小vD。 题型05：在电场中运动带电连接体的力与功能关系 带电轻绳连接体的力与功能关系的问题 （一）带电轻绳连接体在竖直匀强电场中的运动 【典型例题1】如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为B．不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A. 小球带负电 B. 静电力与重力平衡 C. 小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小 D. 小球在运动过程中机械能守恒 【典型例题2】(多选)如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为m小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则(　　) A．小球在最高点的速度大小为 B．当小球运动到最高点时电势能最小 C．小球运动到最低点时，机械能最大 D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L 【变式训练5-1-1】如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则(　 　) A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小 B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大 C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小 D．小球在运动过程中机械能守恒 【变式训练5-1-2】如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的小球(可视为质点)与绝缘不可伸长的轻绳相连，绳子另一端固定在拉力传感器上的O点(拉力传感器没有画出)，O点距离水平地面的高度为2R，空间存在竖直向下的匀强电场．现使小球获得一初速度后绕O点在竖直平面内做半径为R的圆周运动，拉力传感器显示出绳子拉力的最小值为0，最大值为12mg，g为重力加速度．求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)若小球运动到最低点时绳子断裂，小球落地点到O点的水平距离． （二）带电轻绳连接体在水平匀强电场中静止释放运动模型 【典型例题】如图所示，真空中存在一个水平向左的匀强电场，场强大小为E，一根不可伸长的绝缘细线长度为l，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。把小球拉到使细线水平的A点，由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成θ＝60°角的B点时速度为零。以下说法中正确的是(　 　) A．小球在B点处于平衡状态 B．小球受到的重力与电场力的关系是 qE＝mg C．小球将在A、B之间往复运动，且幅度将逐渐减小 D．小球从A运动到B的过程中，电场力对其做的功为－qEl 【典型例题2】用长为1.4 m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为1.0×10－2 kg、电荷量为2.0×10－8 C 的小球，细线的上端固定于O点。现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°角，如图6所示。现向左拉小球使细线水平且拉直，静止释放，则(sin 37°＝0.6，取g＝10 m/s2)(　　) A.该匀强电场的场强为3.75×107 N/C B.平衡时细线的拉力为0.17 N C.经过0.5 s，小球的速度大小为6.25 m/s D.小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7 m/s 【变式训练5-2-1】(多选)如图所示，在竖直平面内有一匀强电场，其方向与水平方向成α＝30°角斜向上，在电场中有一质量为m，带电荷量为q的带电小球，用长为L不可伸长的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线恰好水平，位置如图中M点。现用外力将小球拉到最低点P，然后无初速度释放，重力加速度为g，则以下判断正确的是(　　) A.小球能上升的最大高度在O点正上方L高度处 B.小球从P到M过程中，静电力对它做功为mgL C.小球从P运动到M时，绝缘细线对小球的拉力为mg D.小球从P到M过程中，机械能增加了(＋1)mgL 【变式训练5-2-2】 (多选)如图，一根不可伸长绝缘的细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则(　　) A．小球在B点时速度最大 B．小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少 C．小球在B点时的细线拉力最大 D．从B点到C点的过程中小球的电势能一直增加 【变式训练5-2-3】(多选)如图所示，空间存在一水平向右的匀强电场，长为L且不可伸长的绝缘细绳一端固定于O点，另一端系有一带正电小球，小球静止于B点，此时绳与竖直方向的夹角为45°。现将小球拉至与O点同高度的A点，由静止释放，小球沿圆弧经B点运动到O点正下方的C点。不计空气阻力，下列关于小球的叙述正确的是(　　) A.每下降相同高度，电势能的增加量都相等 B.每下降相同高度，重力势能的减少量都相等 C.A到B的过程中，重力势能的减少量大于动能的增加量 D.A到C的过程中，克服电场力做的功小于重力势能的减少量 【变式训练5-2-4】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为L＝0.4 m的绝缘细线把质量为m＝0.20 kg，带有q＝6.0×10－4 C正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为θ＝37°.已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)A、B两点间的电势差UAB. (2)将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，小球通过最低点C时细线对小球的拉力F的大小． (3)如果要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则小球在A点时沿垂直于OA方向运动的初速度v0的大小． （三）带电轻绳连接体水平匀强电场中作完整圆周运动的问题 【典型例题1】（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球．小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g.下列说法正确的是(　 　) A．匀强电场的电场强度E＝ B．小球动能的最小值为Ek＝ C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【典型例题2】（（多选）如图所示，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆周运动，AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD圆弧运动 C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动过程中的最小速度为 D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达D点 【变式训练5-3-1】(多选)如图所示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，绳长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为E＝，小球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　) A.小球在运动过程中机械能守恒 B.小球在运动过程中机械能不守恒 C.小球在运动过程的最小速度至少为 D.小球在运动过程的最大速度至少为 【变式训练5-3-2】(多选)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动．AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝.下列说法正确的是(　　) A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点 【变式训练5-3-3】如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m，电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点由静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0。 (1)求小球的带电性质及电场强度E。 (2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度vA的大小(可含根式)。 【变式训练5-3-4】如图所示，在水平向右的匀强电场中，一质量为m、带正电的小球用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止在B点时，细线与竖直方向的夹角为θ.现给小球一个垂直于细线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(重力加速度为g) (1)小球做圆周运动的过程中，在哪一位置时速度最小？速度最小值为多大？ (2)小球在B点的初速度为多大？ 带电轻杆连接体的力与功能关系的问题 （一）带电轻杆连接体的转动模型 【典型例题】（多选）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球(不计重力)。开始时，两小球分别静止在A、B位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，小球绕轻杆中点O转到水平位置。取O点的电势为0。下列说法正确的有(　 　) A．电场E中A点电势低于B点 B．转动中两小球的电势能始终相等 C．该过程静电力对两小球均做负功 D．该过程两小球的总电势能增加 【变式训练5-1-1】如图所示，在竖直面内，长为L的轻杆一端用铰链固定在O点，另一端连接带正电的小球M，与O点等高的N、P两点到O点的距离均为L，在N点固定带正电的小球，轻杆初始时与水平方向夹角为30°。小球M由静止释放，运动到Q点速度为零。小球M由静止向Q点运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.小球M的电势能先减小后增大 B.小球M运动到P点时动能最大 C.小球M的机械能先增大后减小 D.小球M到最低点时重力功率最大 【变式训练5-1-2】如图所示，水平向右的匀强电场中电场强度大小E＝，质量分别为m、2m的小球A、B固定在直角形轻质绝缘轻杆两端，顶点O处有固定的光滑转动轴，BO＝2AO＝l，B球带电量为＋q，A球不带电，重力加速度为g，此装置从图示位置由静止释放后的转动过程中，下列说法中正确的是(　　) A. A球、B球和杆组成的系统机械能守恒 B. 小球A的最大速度为vm＝ C. 转动过程中静电力不可能做正功 D. B球达到O点正下方时机械能最大 （二）带电轻杆连接体的平动模型 【典型例题】在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B.A球的带电荷量为＋2q，B球的带电荷量为－3q，组成一带电系统，如图所示，虚线MP为A、B两球连线的垂直平分线，虚线NQ与MP平行且相距5L.最初A和B分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚线NQ的距离为4L.若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP、NQ间加上水平向右、场强大小为E的匀强电场后，试求： (1)B球刚进入电场时，带电系统的速度大小； (2)带电系统向右运动的最大距离； (3)带电系统从开始运动到速度第一次为零时，B球电势能的变化量． 【变式训练5-2-1】初始时刻，由轻质刚性杆连接的质量相等的A、B两个小球静止于光滑的水平面上，杆平行于轴，整个体系处于平行于轴的均强电场中，如果小球A、B带电量均为，稳定状态下体系的总能量和总动量分别为，；若小球A带电量为，小球B不带电，则稳定状态下体系的总能量和总动量分别为，，请分析两种状态下体系的动量与能量关系，并证明。 【变式训练5-2-2】如图所示，在光滑绝缘水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B.A球的带电量为＋2q，B球的带电量为－3q，两球组成一带电系统．虚线MN与PQ平行且相距3L，开始时A和B分别静止于虚线MN的两侧，虚线MN恰为AB两球连线的垂直平分线．若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MN、PQ间加上水平向右的电场强度为E的匀强电场后，系统开始运动．试求： （1）B球刚进入电场时，带电系统的速度大小； （2）带电系统向右运动的最大距离和此过程中B球电势能的变化量； （3）A球从开始运动至刚离开电场所用的时间． 带电轻弹簧连接体的力与功能关系的问题 （一）弹簧伸长模型 【典型例题1】如图所示，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上,上端连接一带正电小球P,小球所处的空间存在着竖直向上的匀强电场，小球平衡时,弹簧恰好处于原长状态：现给小球一竖直向上的初速度，小球最高能运动到M点，在小球从开始运动至达到最高点M的过程中,以下说法正确的是(　　) A．小球机械能的改变量等于电场力做的功 B．小球电势能的减少量大于小球重力势能的增加量 C．弹簧弹性势能的增加量等于小球动能的减少量 D．小球动能的减少量等于电场力和重力做功的代数和 【典型例题2】如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B的质量分别为2m和m，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾角为θ斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦。开始时，物体B在一沿斜面向上的外力的作用下保持静止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度（已知弹簧形变量为x时弹性势能为为），则在此过程中（　　） A．物体B带负电，受到的电场力大小为 B．物体B的速度最大时，弹簧的伸长量为 C．撤去外力F的瞬间，物体B的加速度为 D．物体B的最大速度为 【变式训练5-1-1】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N点，弹簧恰好处于原长状态．保持小球的带电荷量不变，现将小球提高到M点由静止释放．则释放后小球从M运动到N的过程中(　　) A．小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变 B．小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加量 C．弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量 D．小球动能的增加量等于静电力和重力做功的代数和 【变式训练5-1-2】在如图所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的光滑斜面上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对应平面平行．劲度系数k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的光滑小环D与A相连，弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为mA ＝0.1 kg和mB＝0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6 C．设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物体B的带电量不变．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37° ＝0.8. （1）求B所受静摩擦力的大小； （2）现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．A从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔEp＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率． （二）弹簧压缩模型 【典型例题】如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧直立于地面上，上面放一个质量为m的带正电的小球，小球与弹簧不连接．现将小球向下压到某位置后由静止释放，若小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力和电场力对小球做功的大小分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中(　　) A．带电小球电势能增加W2 B．弹簧弹性势能最大值为W1＋mv2 C．弹簧弹性势能减少量为W2＋W1 D．带电小球和弹簧组成的系统机械能增加W2 【典型例题2】如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是(　　) A．该匀强电场的电场强度为 B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h) D．弹簧的弹性势能的增加量为 【变式训练5-2-1】如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，一质量为m的带正电小球在外力F的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处于压缩状态．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧弹力对小球做的功分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则上述过程中(　　) A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．小球重力势能的变化为W1 C．小球动能的变化为W1＋W2＋W3 D．小球机械能的变化为W1＋W2＋W3 【变式训练5-2-2】（多选）A、B两物体质量均为m，其中A带正电，电荷量为＋q，B不带电，通过劲度系数为k的绝缘竖直轻质弹簧相连放在水平面上，如图2所示，开始时A、B都处于静止状态．现在施加竖直向上的匀强电场，电场强度E＝，式中g为重力加速度，若不计空气阻力，不考虑A物体电荷量的变化，则以下判断正确的是(　 　) A．刚施加电场的瞬间，A的加速度大小为2g B．从施加电场开始到B刚要离开地面的过程中，A物体速度大小一直增大 C．从施加电场开始到B刚要离开地面的过程中，A物体的机械能增加量始终等于A物体电势能的减少量 D．B刚要离开地面时，A的速度大小为2g 【变式训练5-2-3】如图甲所示，绝缘、光滑水平面上方，有水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。在水平面右端固定一轻弹簧，一带电物块（可视为质点）质量为m，电量为+q，将带电物块由静止释放，以物块出发点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立坐标系，物块动能Ek与它通过的距离x之间的关系如图乙，其中坐标x1处为弹簧原长位置，O~x1段为直线，坐标x2处动能最大，坐标x4处动能为零。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为 B．从坐标x1处到坐标x4处，物块所受力的合力先增加后减小 C．从坐标x1处到坐标x3处弹簧弹性势能增加了 D．从坐标x1处到坐标x2处，弹簧弹性势能增加量的大小等于电势能减少量的大小 题型06： 带电粒子在电场中的运动和功能关系综合 【典型例题1】如图所示，在竖直平面内有水平向左场强E的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。在A点让小球获得一定的初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，小球带负电，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．小球对细绳的最大拉力为 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 D．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 【典型例题2】手机电容式触摸屏的核心部件可简化为平行板电容器。当手指靠近触摸屏时，电容器两极板和手指间的电场线分布如图所示。下列说法正确的是（   ） A．A点的电场强度大于B点的电场强度 B．将一电子从A点移到B点，电子的电势能增大 C．极板上表面C点的电势等于下表面D点的电势 D．若电子在E点释放，仅受静电力作用将沿电场线ab运动 【典型例题3】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定于倾角为的光滑绝缘斜面顶端的挡板上，另一端连接绝缘带正电可视为质点的小球A，小球的质量为m，电量为q，弹簧处于原长时小球在O点。在空间中加一平行于斜面向上的匀强电场，电场强度大小为E，将小球从O点由静止释放，小球沿斜面运动至M点时加速度为零，重力加速度为g，则小球从O点运动至M点过程中，小球的（　　） A．机械能一直增加 B．机械能先增大后减小 C．位移大小为 D．电势能的增加量等于重力势能的减少量 【典型例题4】（多选）一种静电透镜的简化模型如图所示，以为球心的球形边界外部各处的电势均为，内部各处的电势均为，。一束离轴很近的电子束沿平行于轴的方向运动，在越过球形边界“壳层”的过程中，电子运动速度将发生变化。已知电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用力，则电子（    ） A．进入“壳层”过程动能增加了 B．进入“壳层”过程动量增加了 C．进入“壳层”后可能沿着轨迹a运动 D．进入“壳层”后可能沿着轨迹b运动 【典型例题5】如图，在xOy竖直平面内分布着与水平方向呈45°角斜向右上方的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从O点由静止开始沿电场线做匀加速直线运动，经过时间t恰好到达电场线上P（d，d）点，粒子仅受电场力作用，求： （1）电场强度E的大小； （2）粒子从O点运动到P点过程中，电场力做的功W； （3）粒子从O点运动到P点过程中，电势能的改变量及机械能的变化量（说明增减）。 【变式训练6-1】静电卡盘是芯片制造中的重要设备，如图为双极型静电卡盘吸附原理简图，双电极接高压电源后，晶片靠近卡盘的一侧带上与电极极性相反的电荷，在电场力作用下向卡盘运动并被吸附。在晶片运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．电场力对晶片做负功 B．晶片在电场中的电势能逐渐减少 C．晶片与卡盘电极之间表现为斥力 D．晶片与卡盘电极之间电场强度处处相同 【变式训练6-2】宝安湾区书城球形报告厅的玻璃幕墙采用新型导电玻璃制作，兼具装饰与防静电功能，在雷雨天气中，玻璃幕墙因上方带负电的云层引起静电感应而带电。玻璃幕墙表面A、B两点位置如图所示（A点更靠近云层）。关于玻璃幕墙下列说法正确的是（　　） A．玻璃幕墙靠近云层端带正电荷 B．A点的电势高于B点的电势 C．云层的电势高于玻璃幕墙的电势 D．负电荷从云层移动到A点，电势能增大 【变式训练6-3】如图为某款细胞仪对细胞进行分类收集的原理图。含有不同类型细胞的小液滴从喷嘴喷出后穿过激光束、充电环时被充电，不同类型的细胞分别带上正、负电荷，在电极板间水平向右的匀强电场中发生偏转，最终被分别收集在、收集管中。下列说法正确的是（　　） A．带正电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 B．带正电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 C．带负电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 D．带负电荷细胞的液滴会被收集在收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 【变式训练6-4】真空中存在点电荷产生的静电场，其电场线的分布如图所示，图中两点关于点电荷水平对称。两点电场强度的大小分别为，电势分别为。一个带电粒子沿虚线轨迹从移动至，则（　　） A．， B．和带同种电荷， C．从移动至，加速度先减小再增大 D．粒子带负电，从至它的电势能先变大后变小 【变式训练6-5】量子计算是新一轮科技革命的核心领域，超导量子干涉器件（SQUID）是构建量子计算机的关键元件。在SQUID的约瑟夫森结附近，会形成一种特殊的非匀强电场。如图所示，虚线a、b、c、d为该电场在纸面内的等差等势面，实线为一电子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是轨迹与等势面a、c的交点。下列说法正确的是（　　） A．等势面a的电势低于等势面c的电势 B．电子在M点的加速度小于其在N点的加速度 C．电子在M点的电势能大于其在N点的电势能 D．电子从M点运动到N点的过程中，电场力对其做负功 【变式训练6-6】如图所示，竖直放置的半径为的四分之一光滑圆弧轨道与粗糙绝缘水平轨道在B处平滑连接，为圆弧轨道的圆心，OB左侧空间存在竖直向下的匀强电场，场强大小为。一质量为带负电的物块，电荷量，以一定的初速度从A点沿切线进入圆弧轨道。物块与水平轨道间的动摩擦因数为。已知重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．无论在A点的初速度多大，物块一定能沿圆弧轨道运动到B点 B．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑到B点，其在B点的速度最小为0 C．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑过B点后，最终可停在距B点的位置 D．物块沿圆弧轨道滑过B点后，最终停在上，因摩擦产生的热量最小值为 【变式训练6-7】（多选）空间某区域电场线分布如图所示，带正电小球（质量为m，电荷量为q），在A点速度为v1，方向水平向右，至B点速度为v2，v2与水平方向间夹角为，A、B间高度差为H，以下判断不正确的是（　　） A．A、B两点间电势差 B．小球由A至B，电势能的减少量为 C．小球由A运动到B的过程中，机械能一定增加 D．小球重力在B点的瞬时功率为mgv2cos 一、单选题 1．静电植绒技术的植绒流程如图所示，需要植绒的布在滚轮带动下匀速向右运动，将绒毛放在带负电荷的容器中，使绒毛带负电，容器与带电极板之间加恒定的电压，绒毛成垂直状加速飞到需要植绒的布表面上，假设每根绒毛规格相同。则（    ）    A．绒毛在飞往布的过程中电势能增大 B．绒毛带电量越多，到达布的表面时速率越大 C．滚轮的转速变大，植绒会变密 D．容器与带电极板之间的距离变大，植绒会变密 2．如图所示，正方形的两个顶点上固定两个等量正点电荷，将一电子从顶点A由静止释放，电子仅在静电力的作用下运动到顶点的图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   3．两个点电荷的电荷量分别为、，、为其连线的中垂线上的两点，电子在、两点所受电场力的方向如图中箭头所示，则（　　） A．为正电荷 B．为负电荷 C．小于 D．大于 4．如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，质量为3m、带电荷量＋3Q小圆环A穿在右边杆上，质量为m、带电荷量＋Q小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为，重力加速度为g。则（　　） A．右边杆与水平面夹角为 B．A环对B环库仑力大小为3mg C．左边杆对B环支持力大小为 D．右边杆对A环支持力大小为 5．某一区域的电场线分布如图所示，M、N、P是电场中的三个点，电场强度分别为、、，电势分别为、、。下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为d，电荷量分别为和。在它们的中垂线上水平固定一根内壁光滑的绝缘细管，一电量为的小球缓慢经过细管，则小球（　　） A．小球的加速度先减小后增加 B．小球的速度先减小后增加 C．受到的库仑力最大值为 D．管壁对小球的弹力最大值为 7．如图所示，A、B为两个等量的正点电荷，在其连线中垂线上的P点放一个负电荷q（不计重力）由静止释放后，下列说法中正确的是（　　） A．负电荷在从P点到O点运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大 B．负电荷在从P点到O点运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大 C．负电荷运动到O点时加速度为零，速度达最大值 D．负电荷越过O点后，速度越来越小，加速度越来越大，直到速度为零 8．电场线能直观地反映电场的分布情况，如图甲是等量异种点电荷形成的电场的电场线，图乙是该电场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于О对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于О对称的两点，则（　　） A．A、D两点电场强度不同 B．E、F两点电场强度相同 C．B、O、C三点中，О点电势最低 D．电子沿着中垂线从E点运动到F点，电场力先做正功后做负功 9．如图所示，一个均匀的带电圆环，其带电荷量为+Q、半径为R，圆心为O点，放在绝缘水平桌面上。过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷+q，则+q在A点所受的电场力为（　　）    A．，方向向上 B．，方向向上 C．，向水平向左 D．，方向水平向右 10．如图平行板电容器与电动势为E的直流电源连接，下极板接地，静电计所带电荷量很少，可忽略，开关闭合，稳定时一带电的油滴静止于两极板间的P点，若断开开关K，将平行板电容器的上极板竖直向上平移一小段距离，则下列说法正确的是（  ） A．带电油滴向上运动 B．静电计指针的张角变大 C．P点电势变大 D．带电油滴的电势能变小 11．如图所示，A、B、C、D是真空中一正四面体的四个顶点（正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形），E为CD的中点，现在A、B两点分别固定电荷量为和的两个点电荷，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．C点的场强方向与E点的场强方向相同 B．C点的场强大于E点的场强 C．C点电势高于E点电势 D．将一负电荷从C点移动到E点，其电势能减小 12．竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B,两球分别静止在竖直墙和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（    ）    A．地面对小球B的支持力不变 B．推力F将不变 C．两小球之间的距离变小 D．竖直墙面对小球A的弹力变大 13.如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 14.如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°、和30°。若P点处的电场强度为零，q > 0，则三个点电荷的电荷量可能为（   ）      A．Q1= q，，Q3= q B．Q1= －q，，Q3= －4q C．Q1= －q，，Q3= －q D．Q1= q，，Q3= 4q 15.半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于延长线上距O点为的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　） A．正电荷， B．正电荷， C．负电荷， D．负电荷， 16.如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 1．如图，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为、质量为m的小球在力F（大小可以变化）的作用下沿图中虚线由A至B做竖直向上的匀速运动。已知力F和AB间夹角为，A、B间距离为d，重力加速度为g。则（　　） A．力F的最大值为 B．电场强度E的最小值为 C．小球从A运动到B电场力一定做正功 D．若电场强度时，小球从A运动到B电势能变化量大小可能为 2．如图，一半径为R的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑绝缘水平面相切于B点，整个空间存在水平向右的匀强电场。一质量为m的带电小球从A点以某一初速度向左运动，经过P点时恰好对圆弧轨道没有压力。已知轨道上的M点与圆心O等高，OP与竖直方向夹角为，取，，重力加速度大小为g，则小球（　　） A．带电小球经过C点的速度大小为 B．带电小球所受电场力大小为 C．带电小球经过P点的速度为 D．带电小球经过M点时对圆弧轨道的压力大小为 3．一质量为、带电量为的小球，以初速度冲上一质量为，半径为的四分之一绝缘光滑圆槽。整个空间置于竖直向下，电场强度为的匀强电场中。所有接触面均光滑，则从小球开始冲上圆槽到上升到最高点过程中，下列说法正确的是（　　）（重力加速度） A．小球和槽组成系统机械能守恒 B．小球和槽之间的弹力对槽做正功 C．整个过程小球的电势能增加了 D．小球离开槽后继续上升的高度为 4．两点电荷分别固定在和坐标原点处，所形成电场的电势在轴上的分布如图所示，图线与轴交于处，处电势最低，取无穷远处电势为0，一正电荷自处由静止释放，则（　　） A．处的电场强度为0 B．电荷所带电量大小之比为 C．正电荷运动的过程中，加速度先增大后减小 D．正电荷运动的过程中，电势能先减小后增大 5．如图所示表示某电场等势面的分布情况，下列说法正确的有（　　） A．A点的电场强度小于B点的电场强度 B．A、B两点的电势相等 C．如果把电子从b等势面移动到d等势面，电势能减少10eV D．如果把电子从b等势面移动到e等势面，静电力做功是-15eV 5．如图所示，光滑水平面内固定着半径的三分之二光滑圆弧轨道ABC，空间有水平向右的匀强电场，电场强度，以圆心O为原点建立沿电场线方向的坐标轴x，其中A点和C点关于x轴对称，OA和OC均与x轴间夹角为，一带正电小球从x轴上M点垂直x轴方向以速度沿水平面方向抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，已知小球电荷量、质量，以下说法正确的是（    ） A．小球初速度大小为4m/s B．M点坐标为 C．小球对轨道的最大压力为24N D．小球运动具有周期性 6．如图甲所示，粗糙、绝缘的水平地面上，一质量m=1kg的带负电小滑块(可视为质点)在x=1m处以v0=2m/s的初速度沿x轴正方向运动，滑块与地面间的动摩擦因数μ=0.05。在x=0 及x=5m处有两个电性未知，电荷量分别为 的点电荷场源，滑块在不同位置所具有的电势能Ep如图乙所示，P点是图线最低点，虚线AB是图像在x=1m处的切线，下列说法正确的选项是（    ） A．滑块在x=3m处所受合外力小于 0.5N B．两场源电荷均带负电，且|Q1|>|Q2| C．滑块向右运动过程中，速度始终减小 D．滑块向右一定可以经过x=4m处的位置 7．如图所示，两个固定的等量正点电荷相距4L，共连线的中点为O，以O为圆心、L为半径的圆与两正点电荷间的连线及连线的垂直平分线分别交于a、b和c、d，以O为坐标原点、垂直ab向上为正方向建立Oy轴。已知a点的电场强度大小为E。则下列说法正确的是（　　） A．a点与b点的电场强度相同，电势也相等 B．c点的电场强度为，方向沿y轴正方向 C．在c点由静止释放一电子，电子运动到O点动能最大 D．若将一正电荷由O移到b点，电场力先做负功后做正功 8．光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示。一质量m=1kg的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点，其运动过程的v-t图象如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定（　　）    A．中垂线上B点电场强度最大 B．两点电荷是负电荷 C．B点是A、C连线的中点 D．UBC>UAB 9．已知球面均匀带电时，球内的电场强度处处为零。如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，垂直于AB将带正电的球面均分为左右两部分，OA = OB。C、D为截面上同一直线上的两点，OC = OD。现移去左半球面只保留右半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布。下列说法正确的是（   ） A．C点与D点电场强度大小相等方向相同 B．A点与B点电场强度大小相等、方向相反 C．将一正电荷从C点沿直线移到D点，电势能始终不变 D．将一正电荷从A点沿直线移到B点，电势能先增大后减小 10．如图是一种测量未知电荷q的实验装置。其中q、Q1固定在A、B两点，2用一根绝缘细线拴接在A、B连线上的O点，平衡时夹角为θ。已知q、Q1、Q2到O点的距离分别为a、b、c，三者均为正电荷，且均放置于光滑绝缘的水平桌面上。下列说法正确的是（　　）    A．该实验装置需要同时已知Q1、Q2的电荷量大小 B．该实验装置只需要已知1的电荷量大小 C．根据实验数据可以得到 D．根据实验数据可以得到 1 学科网（北京）股份有限公司 $