第03讲 电场力 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理电场专题（全国通用）

该高中物理高考复习教案聚焦电场力及性质专题，涵盖库仑定律、电场强度、场强叠加及静电力参与的平衡与动力学问题，按概念规律-模型应用-综合题型逻辑展开，通过考情分析、知识梳理、方法提炼、题型训练四环节，帮助学生构建电场问题分析框架。 教案采用“概念辨析-模型建构-动态分析”教学法，如总结三个自由点电荷平衡规律培养科学思维，设计对比例题突破方向判断易错点强化相互作用观念，分层练习配合即时反馈保障效果，助力学生提升解题能力，为教师提供精准复习路径。

第03讲 电场力及性质 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：库仑定律与电荷守恒定律的结合 6 题型02：均匀带电球体（球壳）与点电荷之间电场力的计算 8 题型03：库仑力的叠加 9 题型04：三个自由点电荷平衡的问题 12 题型05：静电力参与的静态平衡问题 13 （一）绝缘接触面模型 13 （二）绝缘轻绳连接体模型 15 （三）绝缘轻弹簧连接体模型 19 题型06：静电力参与的动态平衡问题 21 （一）接触连接体模型 21 （二）绝缘细线连接体模型 23 题型07：有静电力参与的动力学问题 26 题型08：有静电力参与的动力学瞬时性问题 31 巩固提升 33 1. 题型分值：选择题必考，力学综合计算题高频出现，分值3–6分；是电场、带电粒子运动大题基础铺垫。 2. 核心命题角度 （1）电场力公式F=qE运用，大小计算、方向判断； （2）电场强度E与试探电荷q、电场力F的逻辑辨析； （3）正负电荷在电场中受力方向规律； （4）匀强电场、非匀强电场中带电体受力分析； （5）受力平衡、牛顿第二定律结合电场力综合计算。 3. 高频易错失分点 （1）概念误区：认为E随F、q变化，不清楚场强只由场源电荷决定； （2）方向判断错误：负电荷受力与电场线同向； （3）计算题漏分析重力，只算电场力导致列式错误； （4）混淆库仑力（两点电荷之间）与电场力（电荷在场中受力）。 4. 命题趋势：常结合生活静电、粒子加速偏转模型，力学电学综合化。 一：基础识记 1. 牢记电场力计算公式，分清库仑力、电场力适用场景； 2. 掌握电场力方向判断规则：正电荷受力平行电场线同向，负电荷反向。 二：理解层面 1. 理解电场是特殊物质，电荷不接触也能通过电场产生作用力； 2. 区分定义式E＝物理意义，读懂比例类选择题表述。 三：应试能力 1. 独立完成带电小球、带电粒子完整受力分析（重力、弹力、电场力）； 2. 结合平衡条件、牛顿运动定律列方程求解； 3. 快速甄别概念选择题的文字陷阱，规范简答题表述。 静电场是高考的热考点与必考点，其中电场、电势的叠加运算体现了矢量与标量运算的一般法则，电场中的轨迹问题可以很好的展现出在电磁相互作用下带电体所做的运动增强学生的运动观与相互作用观的理解。电场中的图像是又一种描述电场的“语言”学生需要通过数理结合才能解答此类问题可以很好的考场学生的关键能力。 知识点一：电场 1.电场的定义： 电荷在其周围产生的一种特殊物质，电场的性质是对放入其中的电荷有力的作用。 2.电场的理解： ①电场看不见，摸不着，与实物一样具有能量和动量，是物质存在的一种特殊形式。 ②电荷间的相互作用是通过电场发生的，不存在超距作用。电荷间的相互作用如下图所示： ③电场与实物是物质存在的两种不同形式。 3.匀强电场： 电场强度的大小相等、方向相同的电场。 【注意】①静电场：静止的电荷产生的电场； ②电场和磁场统称为电磁场，电磁场是一种客观存在的特殊物质，也有能量、动量； ③电荷周围一定存在电场，静止的电荷周围存在静电场，而运动的电荷周围存在变化的电场。 知识点二：电场强度 1.电场强度的定义： 试探电荷在电场中某个位置所受的力与其电荷量成正比，即F＝Eq，在电场的不同位置，比例常数E一般不一样，它反映了电场在这点的性质，叫做电场强度。 2.电场强度的表达式： E＝ ，单位为N/C或V/m，1 N/C＝1 V/m。 3.电场强度的方向： 电场强度是矢量，电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同。 4.电场强度的物理意义： 电场强度是描述电场的力的性质的物理量，与试探电荷受到的静电力大小无关 【注意】电场中某点的电场强度是唯一的，由电场本身特性（形成电场的电荷及空间位置）决定的，与是否放入试探电荷、放入电荷的电性、电量的多少均无关。 5.点电荷的电场： 如图所示，场源电荷Q与试探电荷q相距为r，则它们的库仑力F＝k ＝qk ，所以电荷q处的电场强度E＝＝k 。 如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，当Q为正电荷时，E的方向沿半径向外；当Q为负电荷时，E的方向沿半径向内． 知识点三：电场强度的叠加 电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这种关系叫作电场强度的叠加。电场强度是矢量，电场强度的叠加本质是矢量叠加，所以应该用平行四边形定则。 知识点四：电场强度的计算 1.电场强度的三个计算公式 2.电场强度的叠加与计算的方法： ①叠加法：多个点电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。 ②对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。 ③补偿法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想。 ④微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。 知识点五：有静电力参与的平衡问题 涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下： 【注意】库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向。 1.点电荷之间电场力（库仑力）的计算 （1）二个点电荷之间的电场力（库仑力）大小满足库仑定律F＝F＝k（将q1、q2绝对值代入公式计算），r指两点电荷间的距离。库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。带电体在电场中受到的电场力F＝qE（将q绝对值代入公式计算），正电荷的受力方向与电场场强方向相同，负电荷的受力方向与电场场强方向相反。 （2）某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。 2.两个完全相同的带电金属球接触时电荷的分配规律： （1）如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。 （2）如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于。 3.库仑力的叠加计算 某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。 4.均匀带电球体（球壳）与点电荷之间电场力的计算 （1）对于均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r指球心与点电荷间的距离。可以用挖补法思维求库仑力。 （2）对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布及不均匀分布情况，如图所示．同种电荷：F＜k；异种电荷：F＞k. 5.计算有静电力参与的三个自由点电荷平衡的问题 三个自由点电荷平衡的特点： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 6.有静电力参与的动态平衡问题 涉及库仑力的动态平衡问题，其解题思路方法与力学中的动态平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力库仑力。 7.有静电力参与的动力学问题 涉及电场力库仑力的动力学问题，其解题思路方法与力学中的动力学问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力或库仑力。 题型01：库仑定律与电荷守恒定律的结合 电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。公式：q1'＝q2'＝。 【典型例题1】两个完全相同的金属小球，所带电荷量多少不同，相距一定的距离时，两个金属球之间有相互作用的库仑力，如果将两个金属球相互接触一下后，再放到原来的位置，则两球的作用力变化情况是(　　) A．如果相互接触前两球的库仑力是引力，则相互接触后的库仑力仍是引力 B．如果相互接触前两球的库仑力是引力，则相互接触后的库仑力为零 C．如果相互接触前两球的库仑力是斥力，则相互接触后的库仑力仍是斥力 D．如果相互接触前两球的库仑力是斥力，则相互接触后的库仑力是引力 【典型例题2】如图所示，两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们之间的库仑力大小为F。两小球相互接触后分开并将其间距变为，则现在两小球间库仑力的大小为(　　) A.F B.F C.F D.12F 【变式训练1-1】半径相同的两个金属球A、B带有等量的电荷(均可视为点电荷)，相隔一定距离，两球之间相互吸引力的大小为F.今让第三个半径相同的不带电的金属球C先后与A、B两球接触后移走，这时，A、B两球之间的相互作用力的大小为(　　) A. F B. F C. F D. F 【变式训练1-2】使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q和＋5Q的电荷后，将它们固定在相距为a的两点，它们之间库仑力的大小为F1。现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a的两点，它们之间库仑力的大小为F2。则F1与F2之比为(　　) A.2∶1 B.60∶1 C.16∶1 D.15∶4 【变式训练1-3】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。球1的带电荷量为＋q，球2的带电荷量为＋nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F。现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时球1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变。由此可知(　 　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6 【变式训练1-4】(多选)在真空中两个完全相同的金属小球P、Q(可看作点电荷)，P球带电荷量大小为5.0×10－9 C，Q球带电荷量大小为7.0×10－9 C，两球相距1 m。下列说法正确的是(　　) A．它们之间的库仑力一定为斥力，大小为3.15×10－7 N B．它们之间的库仑力—定为引力，大小为3.15×10－7 N C．若把它们接触后放回原处，它们之间的相互作用力可能为3.24×10－7 N D．若把它们接触后放回原处，它们之间的相互作用力可能为9.0×10－9 N 【变式训练1-5】（多选））如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式训练1-6】(多选)把a、b两个完全相同的导体小球分别用长为l的绝缘细线拴接，小球质量均为m。先让a球带上＋q的电荷量并悬挂于O点，如图所示。现将不带电的小球b也悬挂于O点(图中未画出)，两球接触后由于静电斥力分开，平衡时两球相距l。已知重力加速度为g，静电力常量为k，带电小球可视为点电荷。关于a球所受的静电力大小F及O点处的场强大小E，下列正确的是(　　) A.F＝mg B.F＝mg C.E＝ D.E＝ 题型02：均匀带电球体（球壳）与点电荷之间电场力的计算 【典型例题1】有两个半径为r的金属球如图放置，两球表面间距离为3r。今使两球带上等量的异种电荷Q，两球间库仑力的大小为F，那么(　　) A．F＝k　　　　　 B．F>k C．F<k D．无法判定 【典型例题2】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为(　 　) A．　 B．　 C．　 D． 【变式训练2-1】如图，两个带电金属小球中心距离为r，带电荷量相等为Q，则它们之间电荷的相互作用力大小F的说法正确的是 (　　) A．若是异种电荷F<k B．若是同种电荷F>k C．若是异种电荷F>k D．不论是何种电荷F＝k 【变式训练2-2】两个完全相同的金属球半径为r，分别带上等量的异种电荷，电荷量均为Q，两球心相距R，R＝3r，则两球间的库仑力F的大小应满足(　 　) A．F＝k B．F＝k C．F＞k D．F＞k 题型03：库仑力的叠加 【典型例题1】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则(　 　) A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝ C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝ 【典型例题2】如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】如图2所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是(　　) 图2 A.2n2∶1 B.4n2∶1 C.2n3∶1 D.4n3∶1 【典型例题4】如图，边长为a的立方体ABCD­A′B′C′D′八个顶点上有八个带电质点，其中顶点A、C′电量分别为q、Q，其他顶点电量未知，A点上的质点仅在静电力作用下处于平衡状态，现将C′上质点电量变成－Q，则顶点A上质点受力的合力为(不计重力)(　　) A． B． C． D．0 【变式训练3-1】如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍 B．小球A受到五个作用力 C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和 D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动 【变式训练3-2】如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是(　 　) A．0 B． C． D． 【变式训练3-4】如图所示，边长为a的正方体的顶点A处有一电荷量为－Q的点电荷，其他7个顶点各有一电荷量为＋Q的点电荷，体心O处有一个电荷量为－q的点电荷，静电力常量为k，则O点处的点电荷受到的电场力大小为(　 　) A． B. C. D． 【变式训练3-5】(多选)如图所示，坐标系中有两个带电荷量分别为＋Q和＋3Q的点电荷。在C处放一个试探电荷，则试探电荷所受电场力的方向可能是选项图中的(　　) 【变式训练3-6】(多选)如图1所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4 cm、3 cm和2 cm，则(　　) 图1 A.球a和球b一定带同种电荷 B.球a和球b一定带异种电荷 C.＝ D.＝ 【变式训练3-7】如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（　　） A． B． C． D． 题型04：三个自由点电荷平衡的问题 【典型例题】a、b、c三个点电荷仅在相互之间的静电力的作用下处于静止状态。已知a所带的电荷量为＋Q，b所带的电荷量为－q，且Q＞q。关于电荷c，下列判断正确的是(　 　) A．c一定带负电 B．c所带的电荷量一定大于q C．c可能处在a、b之间 D．如果固定a、b，仍让c处于平衡状态，则c的电性、电荷量、位置都将唯一确定 【变式训练4-1】如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)． A．正　B的右边0.4 m处 　　 B．正　B的左边0.2 m处 C．负　A的左边0.2 m处 　　 D．负　A的右边0.2 m处 【变式训练4-2】如图，三个带电小球用等长的绝缘细线悬挂于水平天花板上，当R带负电时，三条细绳都恰好与天花板垂直，则(　　) A. P带正电荷 B. Q带负电荷 C. P带电荷量大于Q所带电荷量 D. R带电荷量小于Q所带电荷量 【变式训练4-3】如图所示的三个点电荷q1、q2、q3，固定在一条直线上，q2和q3的距离为q1和q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为 (　　) A．(－9)∶4∶(－36) B．9∶4∶36 C．(－3)∶2∶(－6) D．3∶2∶6 【变式训练4-4】(多选)如图3所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是(　　) 图3 A.若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷 B.若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷 C.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36 D.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9 题型05：静电力参与的静态平衡问题 （一）绝缘接触面模型 【典型例题1】在光滑的水平面上建立如图10所示的直角坐标系xOy，现在O点固定一个带电荷量为Q的正电荷，在x轴正半轴上的点N(d,0)点固定有带电荷量为8Q的负电荷，y轴正半轴位置固定有一根光滑绝缘细杆，细杆上套有带电荷量为＋q的轻质小球，当小球置于M点时，恰好保持静止，则M的纵坐标为(　　) A.d B.d C.d D．d 【典型例题2】如图，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是(　　) A．小球a、b、c带同种电荷 B．小球a、b带异种电荷 C．小球a、b电荷量之比为 D．小球a、b电荷量之比为 【典型例题3】如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为m，带电荷量为q的圆环a套在竖直杆上，质量为M，带电荷量为＋Q的滑块b静置于水平地面上，滑块b与地面间的动摩擦因数为μ，a、b均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为θ，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A. 圆环a带负电 B. 滑块b受到的库仑力大小为 C. 滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g D. 滑块b受到地面的摩擦力大小为μ(M＋m)g 【变式训练5-1-1】如图所示，在两个对接的绝缘光滑斜面上放置了电荷量大小均为q的两个小球A和B(均可看成质点)，两个斜面的倾角分别是30°和45°，小球A和B的质量分别是m1和m2。若平衡时，两小球均静止在离斜面底端高度为h的同一水平线上，斜面对两个小球的弹力分别是FN1和FN2，静电力常量为k，下列说法正确的是(　 　) A．q＝h B．＝ C．＝ D．若同时移动两球在斜面上的位置，只要保证两球在同一水平线上，则两球仍能平衡 【变式训练5-1-2】如图所示，粗糙程度均匀的绝缘空心斜面ABC放置在水平面上，∠CAB＝30°，斜面内部O点(与斜面无任何连接)固定有一正点电荷，一带负电的小物体(可视为质点)可以分别静止在M、N点和MN的中点P上，OM＝ON，OM∥AB，则下列判断正确的是(　　) A．小物体分别在三处静止时所受力的个数一定都是4个 B．小物体静止在P点时受到的支持力最大，静止在M、N点时受到的支持力相等 C．小物体静止在P点时受到的摩擦力最大 D．当小物体静止在N点时，地面给斜面的摩擦力为零 【变式训练5-1-3】如图所示，两个带电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为5d的光滑水平面上，另有一个带电小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q1的距离为4d，离Q2的距离为3d.现将带电小球A置于水平面上某一位置，发现A刚好静止，则此时小球A到Q1、Q2的距离之比为(　　) A.∶2 B．2∶ C．3∶4 D．4∶3 【变式训练5-1-4】（多选）内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是(　 　) A．三个小球之间的距离均等于R B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内 C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面 D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为，k为静电力常量 【变式训练5-1-5】(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面，且共处于同一竖直平面内，若用如图所示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于如图所示位置，如果将小球B稍向左推过一些，两球重新平衡时的受力情况与原来相比(　　) A．推力F将增大 B．墙面对小球A的弹力减小 C．地面对小球B的弹力减小 D．两小球之间的距离增大 【变式训练5-1-6】（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 （二）绝缘轻绳连接体模型 【典型例题1】如图所示，空间存在一方向水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则中点处的电场强度大小为（　　） A. B. C. D. 【典型例题2】如图甲所示，用OA、OB、AB三根轻质绝缘绳悬挂两个质量均为m的带等量同种电荷的小球(可视为质点)，三根绳子处于拉伸状态，且构成一个正三角形，AB绳水平，OB绳对小球的作用力大小为FT.现用绝缘物体对右侧小球施加一水平拉力F，使装置静止在图乙所示的位置，此时OA绳竖直，OB绳对小球的作用力大小为F′T.根据以上信息可以判断FT和F′T的比值为(　　) A.　　　　 　B． C. D．条件不足，无法确定 【典型例题3】两个大小相同的小球带有同种电荷，质量分别为m1和m2，带电荷量分别是q1和q2，用绝缘线悬挂后，因静电力而使两悬线张开，分别与中垂线方向成α1角和α2角，且两球处于同一水平线上，如图所示，若α1＝α2，则下述结论正确的是(　　)． A．q1一定等于q2 B．一定满足＝ C．m1一定等于m2 D．必须同时满足q1＝q2、m1＝m2 【典型例题4】(多选)如图所示，a、b、c三球分别用三根绝缘细线悬挂在同一点O，细线的长度关系为Oa＝Ob<Oc，让三球带电后它们能静止在图中位置，此时细线Oc沿竖直方向，a、b、c连线恰构成一等边三角形，则下列说法正确的是(　　) A.a、b、c三球质量一定相等 B.a、b两球所带电荷量一定相等 C.细线Oa、Ob所受拉力大小相等 D.a、b、c三球所受库仑力大小一定相等 【变式训练5-2-1】如图甲所示，两段等长绝缘轻质细绳将质量分别为m、3m的带电小球A、B(均可视为点电荷)悬挂在O点，系统处于静止状态，然后在水平方向施加一匀强电场，当系统再次达到静止状态时，如图乙所示，小球B刚好位于O点正下方(细绳始终处于绷紧状态)。则两个小球带电荷量QA与QB的大小关系正确的是(　　) A．7∶3 B．3∶1 C．3∶7 D．5∶3 【变式训练5-2-2】如图，空间存在方向水平向右的匀强电场，两个可以视为质点的带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直。N为PQ连线中点，M点位于N点正上方且MPQ构成等边三角形，不计小球间的万有引力。则下列说法正确的是 A．P带正电，Q带负电，且电量大小相等 B．P与Q的质量一定相等 C．在P、Q所产生的电场与匀强电场叠加后形成的场中，N点的场强为零P Q M N D．在P、Q所产生的电场与匀强电场叠加后形成的场中，M点的场强为零 【变式训练5-2-3】如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 【变式训练5-2-4】用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　） A．小球1带电量一定小于小球2的带电量 B．细线a拉力大小为 C．细线b拉力大小为 D．小球1与2的质量比为 【变式训练5-2-5】某同学设计如图所示的实验装置来验证库仑定律：将一个带电小球A用绝缘细线悬挂，并将另一个与小球A带同种电荷的小球B与它靠近，A球受到B球的静电斥力F而发生偏移，测得A球的质量为m，悬点到A球球心的距离为l。首先，在保持两球电荷量不变的情况下，移动小球B改变两球之间的距离，用刻度尺测量稳定后两球间的距离r和A球偏移的距离d（实验中满足）；然后，设法改变两球的电荷量，再进行相关实验。下列说法正确的是（　　） A．实验中，小球A所受静电力的测量值 B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像 C．用不带电导体球C分别与A、B两球接触后，A、B两球一定带等量同种电荷 D．实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系” 【变式训练5-2-6】如图所示，绝缘轻绳穿过有光滑孔的带正电小球A，绳两点P、Q固定，在竖直平面内，整个空间存在匀强电场。小球静止时，轻绳绷紧，AP水平、AQ竖直，小球A的质量为m，则（    ） A．球受到的电场力可以等于2mg B．球受到电场力的最小值为mg C．匀强电场方向一定水平向右 D．匀强电场方向可以竖直向下 【变式训练5-2-7】如图所示，光滑轻环用轻绳悬挂在天花板的点，一根不可伸长的绝缘轻绳穿过轻环，两端连接质量分别为、的、两个带电小球，小球可视为质点，当两球静止时过点的竖直线与的连线交于点。、两点到点距离分别为、，到点绳长分别为、。则以下说法正确的是（　　） A．大于 B． C． D．如果漏电、两个带电小球的距离可能不变 【变式训练5-2-8】（多选）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q＞0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　 　) A．M带正电荷 B．N带正电荷 C．q＝L D．q＝3L 【变式训练5-2-9】（多选）A、C是两个带电小球，质量分别是mA、mC，电荷量大小分别是QA、QC，用两条等长绝缘细线悬挂在同一点O，两球静止时如图所示，此时细线对两球的拉力分别为FTA、FTC，两球连线AC与O所在竖直线的交点为B，且AB<BC，下列说法正确的是(　 ) A．QA>QC B．mA∶mC＝FTA∶FTC C．FTA＝FTC D．mA∶mC＝BC∶AB （三）绝缘轻弹簧连接体模型 【典型例题1】有两个完全相同的小球A、B，质量均为m，带等量异种电荷，其中A所带电荷量为＋q，B所带电荷量为－q。现用两长度均为L、不可伸长的细线悬挂在天花板的O点上，两球之间夹着一根绝缘轻质弹簧。在小球所挂的空间加上一个方向水平向右、大小为E的匀强电场。如图所示，系统处于静止状态时，弹簧位于水平方向，两根细线之间的夹角为θ＝60°，则弹簧的弹力为(静电力常量为k，重力加速度为g)(　　 ) A．　　　　　　　 B．mg＋ C．qE＋ D．mg＋＋qE 【典型例题2】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接．A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列．已知静电力常量为k，重力加速度为g，则(　　) A. qC＝q0 B. 弹簧伸长量为 C. A球受到的库仑力大小为2Mg D. 相邻两小球间距为q0 【变式训练5-3-1】如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个相同的不带电小球由三根相同的绝缘轻弹簧连接构成等边三角形，轻弹簧均处于原长．现让每个小球带上相同的电荷量q，当三角形的面积增大到原来的4倍时重新达到平衡状态．已知每根弹簧的原长为l0，静电力常量为k，则每根弹簧的劲度系数为(　 　) A． B． C． D． 【变式训练5-3-2】如图所示，内壁光滑粗细均匀的玻璃管竖直固定，在玻璃管内有大小和质量均相等的A、B、C三只小球，A、B小球之间用轻质绝缘弹簧连接，C小球置于玻璃管底部。当A、B、C小球均处于静止时，A、B小球之间距离与B、C小球之间距离相等，已知A、B两只小球带电荷量均为q(q>0)，C小球带电荷量为Q(Q>0)，小球直径略小于玻璃管内径，它们之间距离远大于小球直径，则(　　) A.若Q＝3q，弹簧对小球A为向上的弹力 B.若Q＝2q，弹簧对小球A为向上的弹力 C.若Q＝3q，弹簧对小球B为向上的弹力 D.若Q＝2q，弹簧对小球B为向下的弹力 【变式训练5-3-3】如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（　　） A. 带负电 B. 运动至a点的速度大小为 C. 运动至a点的加速度大小为 D. 运动至ab中点时对斜面的压力大小为 题型06：静电力参与的动态平衡问题 （一）接触连接体模型 【典型例题1】如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m，带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，则(　　) A．电场强度的最小值为E＝ B．若电场强度E＝，则电场强度方向一定竖直向上 C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大 D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大 【典型例题2】如图所示，绝缘杆OP竖直固定在绝缘水平桌面上，带正电的小球A套在杆上，带正电的小球B右侧为绝缘竖直固定挡板。系统静止在图示位置，不计一切摩擦，两小球均可视为质点，重力加速度为g。由于空气潮湿，两球缓慢漏电，球A从a处缓慢移到b处，则此过程中 (　　) A．球B对桌面的压力逐渐增大 B．杆对球A的弹力逐渐减小 C．挡板对球B的弹力逐渐减小 D．两球间的库仑力逐渐增大 【变式训练6-1-1】如图所示，MON是固定的光滑绝缘直角杆，MO沿水平方向，NO沿竖直方向，A、B为两个套在此杆上的带有同种电荷的小球，用一指向竖直杆的水平力F作用在A球上，使两球均处于静止状态。现将A球向竖直杆方向缓慢拉动一小段距离后，A、B两小球可以重新平衡。则后一种平衡状态与前一种平衡状态相比较，下列说法正确的是(　　) A．A、B两小球间的库仑力变大 B．A、B两小球间的库仑力变小 C．A球对MO杆的压力变大 D．A球对MO杆的压力变小 【变式训练6-1-2】如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点．关于此过程，下列说法正确的是(　 　) A．地面对斜面C的摩擦力先增大后减小 B．地面对斜面C的摩擦力逐渐减小 C．物体A受到斜面的支持力一直减小 D．物体A受到斜面的支持力一直增大 【变式训练6-1-3】(多选)放在水平地面上的光滑绝缘圆筒内有两个带正电小球A、B，A位于筒底靠在左侧壁处，B在右侧筒壁上受到A的斥力作用处于静止，如图所示．若A的电荷量保持不变，B由于漏电而下降少许重新平衡，下列说法正确的是(　　) A．A对筒底的压力不变 B．B对筒壁的压力变大 C．A、B间的库仑力变小 D．A、B间的电势能减小 【变式训练6-1-4】（多选）如图所示，MON是固定的光滑绝缘直角杆，MO沿水平方向，NO沿竖直方向，A、B为两个套在杆上的带有同种电荷的小球，用一指向竖直杆的水平力F作用在A球上，使两球均处于静止状态．现将A球向竖直杆方向缓慢拉动一小段距离后，A、B两小球可以重新平衡．则后一种平衡状态与前一种平衡状态相比较，下列说法正确的是(　 　) A．A、B两小球间的库仑力变大 B．A、B两小球间的库仑力变小 C．A球对MO杆的压力变大 D．A球对MO杆的压力肯定不变 【变式训练6-1-5】(多选)如图所示，带电小球a用绝缘细线竖直悬挂，在带电小球a下方的绝缘桌面上固定着两个带电小球b、c，三个小球均可看成点电荷。当小球a处于平衡状态时，它距桌面O点的距离为7.5 cm，距小球b、c的距离均为15 cm，且三个电荷在同一竖直平面上。已知小球a的电荷量为-3.00×10－8 C，小球b、c的电荷量均为+3.00×10－4 C，OM之间的距离等于ON之间距离，下列说法错误的是(　　) A．O处的电场强度大小为4.8 N/C B．小球a与b之间作用力大小为9.6 N C．若小球a沿竖直方向向上运动，则它的电势能将减小 D．若小球b、c分别移到M、N两点，则细线的拉力将减小 （二）绝缘细线连接体模型 【典型例题1】如图所示，一带电小球A固定于定滑轮的正下方，一根绕过定滑轮的轻质绝缘细线一端系有一个带同种电荷的小球B，另一端用一拉力T拉住使小球B处于静止状态，图示位置两球球心所在高度相同。设定滑轮与小球B间的细线与竖直方向的夹角为θ（θ>0），小球A、B可视为质点。现缓慢拉动绝缘细线，使小球B移动一段距离，则在小球B移动过程中，下列说法正确的是（　　） A. 小球A、B间的距离减小 B. 细线与竖直方向的夹角θ减小 C. 小球B的运动轨迹为圆弧 D. 拉力T先减小再增大 【典型例题2】(多选)一根套有细环的粗糙杆水平放置，带正电的小球A通过绝缘细线系在细环上，另一带正电的小球B固定在绝缘支架上，A球处于平衡状态，如图7所示．现将B球稍向右移动，当A小球再次平衡(该过程A、B两球一直在相同的水平面上)时，细环仍静止在原位置，下列说法正确的是(　　) A．细线对带电小球A的拉力变大 B．细线对细环的拉力保持不变 C．细环所受的摩擦力变大 D．粗糙杆对细环的支持力变大 【典型例题3】(多选)如图所示，两个带电小球A、B穿在同一根光滑绝缘的细绳上，细绳两端固定在天花板的O点，当整个系统保持平衡时，两小球连线恰好水平，且两小球与悬点O恰好构成一个正三角形，则下列判断正确的是(　　) A.两小球质量一定相同 B.两小球带电荷量一定相同 C.细绳张力与两小球之间库仑力之比2∶3 D.A球在缓慢漏电过程，细绳张力始终保持不变 【变式训练6-2-1】如图所示，两个可视为点电荷的带正电小球A和B，A球系在一根不可伸长的绝缘细线一端，绕过定滑轮，在细绳的另一端施加拉力F，B球固定在绝缘座上，位于定滑轮的正下方。初始间的距离小于滑轮和B的距离。现缓慢拉动细绳，使A球缓慢移动到定滑轮处，此初始过程中，B球始终静止，忽略定滑轮大小和摩擦，下列判断正确的是（　　） A．B球受到的库仑力先增大后减小 B．拉力F先减小后增大 C．地面对绝缘座的支持力一直减少 D．A球的电势能一直不变 【变式训练6-2-2】如图所示，带有等量异种电荷的两个小球A、B分别套在光滑绝缘杆MN、NP上，两杆固定在一起，NP水平且与MN处于同一竖直面内，∠MNP为钝角。在加在B球上水平向右的拉力F作用下，A、B均处于静止状态，此时A、B两球间距为L1。现缓慢拉动B球向右移动一小段距离，A球也缓慢向上移动，当B球到达C点（图中未画出）时，停止拉动，A、B依然均处于静止状态，此时A、B两球间距为L2，拉力大小为F′，则（　　） A．F=F′ B．L1>L2 C．杆MN对球A的支持力不变 D．在移动过程中库仑力对A球不做功 【变式训练6-2-3】如图是研究电荷之间相互作用力的实验装置。带电荷量为Q的金属小球A用绝缘杆固定在地面上，带电量为q、质量为m的金属小球B用绝缘细线悬挂在可移动支架上，两者均可看作点电荷，且处于同一水平线上。将两小球的距离增大一倍，调整支架，使两小球仍处于同一水平线上，下列说法正确的是(　　) A.两小球可能带异种电荷 B.距离增大一倍后小球B的电势能增大 C.距离增大前与距离增大一倍后，细线与竖直方向夹角θ的正切值之比为2∶1 D.距离增大一倍后，小球B在小球A处产生的电场强度大小可表示为 【变式训练6-2-4】 如图，平行板电容器两极板竖直放置，带电量为，一质量为m的带电小球用绝缘轻线悬挂于O点，小球静止时悬线与竖直方向的夹角为60°。现将电容器缓慢放电，直到夹角减小到30°，此时电容器带电量为（　　） A B. C. D. 【变式训练6-2-5】如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1kg的小球A悬挂到水平板的MN两点，A上带有Q=3.0×10-6C的正电荷。两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为和。A的正下方0.3m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2kg（重力加速度取g=10m/s2；静电力常量k=9.0×109Nm2/C2，AB球可视为点电荷）则（ ） A．支架对地面的压力大小为2.0N B．两线上的拉力大小F1= F2=1.9N C．将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小为F1=1.225N, F2=1.0N D．将B移到无穷远处，两线上的拉力大小F1= F2=0.866N 【变式训练6-2-6】如图所示，两个可视为点电荷的带正电小球A和B，A球系在一根不可伸长的绝缘细线一端，绕过定滑轮，在细绳的另一端施加拉力F，B球固定在绝缘座上，位于定滑轮的正下方且离滑轮足够远。现缓慢拉动细绳，使A球缓慢移动到定滑轮处，此过程中，B球始终静止，忽略定滑轮大小和摩擦，下列判断正确的是（ ） A.B球受到的库仑力先增大后减小 B.拉力F先减少后增大 C.地面对绝缘座的支持力先增大后减小 D.A球的电势能一直减小 【变式训练6-2-7】(多选)如图所示，带正电的小球A用竖直立在地面上的绝缘杆支撑固定，带正电的小球B用绕过A球正上方的定滑轮的绝缘细线挂着，开始时A、B在同一水平线上并处于静止状态，不计两个小球的大小。现用手拉细线，使小球B缓慢向上移动，小球B在向上移动过程中A、B两球的电荷量保持不变，不计两球间的万有引力，则在B球缓慢移动一小段距离的过程中 (　　) A．A、B两球间的距离在减小 B．小球的运动轨迹是一段圆弧 C．细线上的张力一直减小 D．细线上的张力可能先变小后变大 【变式训练6-2-8】(多选)如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d。若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是(　　) A.丝线对B球的拉力逐渐变大 B.A球对B球的库仑力逐渐变小 C.当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的 D.当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的 【变式训练6-2-9】（多选）如图所示，在光滑定滑轮C正下方与C相距h的A处固定一电荷量为Q(Q>0)的点电荷，电荷量为q的带正电小球B，用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力F拉住，使B处于静止状态，此时B与A点的距离为R，B和C之间的细线与AB垂直．若B所受的重力为G，缓慢拉动细线(始终保持B平衡)直到B接近定滑轮，静电力常量为k，环境可视为真空，则下列说法正确的是(　 　) A．F逐渐增大 B．F逐渐减小 C．B受到的库仑力大小不变 D．B受到的库仑力逐渐增大 题型07：有静电力参与的动力学问题 【典型例题1】如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电荷量大小分别为QA＝6q，QB＝3q，QC＝8q。现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中 A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等。不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为(　　) A．F B．F C．F D．F 【典型例题2】（多选）质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是 　) A．B球的电荷量可能为＋2q B．C球的电荷量为－2q C．三个小球一起运动的加速度大小为 D．恒力F的大小为 【典型例题3】三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O，平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为，如图所示，现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C（过程中A、B之间未接触），A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为，求初始时小球C所带的电荷量。 【典型例题4】如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求： （1）C、O间的电势差； （2）小球p经过O点时的加速度。 【变式训练7-1】如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则(　　) A.小环A的加速度大小为 B.小环A的加速度大小为 C.恒力F的大小为 D.恒力F的大小为 【变式训练7-2】如图所示，足够大的光滑绝缘水平面上有三个带电质点，A和C围绕B做匀速圆周运动，B恰能保持静止，其中A、C和B的距离分别是L1和L2。不计三质点间的万有引力，则A和C的比荷(电荷量与质量之比)之比应是(　　) A．()2 B．()3 C．()2 D．()3 【变式训练7-3】如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C固定在AB的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动。已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为m，带电量均为+q，小球C的带电量大小为4q，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　）    A．小球C可能带正电 B．固定物对小球C的作用力方向竖直向下 C．小球A的角速度 D．若小球C的电荷量大小可以变化，小球B转动的角速度最大值为 【变式训练7-4】（多选）质量为m、电荷量为＋Q的带电小球A固定在绝缘天花板上，带电小球B，质量也为m，在空中水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。已知小球A、B间的距离为2R，重力加速度为g，静电力常量为k。则(　 　) A．天花板对A球的作用力大小为2mg B．小球B转动的角速度为 C．小球B所带的电荷量为 D．A、B两球间的库仑力对B球做正功 【变式训练7-5】(多选)如图所示，带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为－Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态．此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为.迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动．g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是(　　) A．带负电 B．运动至a点的速度大小为 C．运动至a点的加速度大小为2g D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg 【变式训练7-6】如图所示，电荷量Q＝2×10－7C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4kg、电荷量q＝1×10－7C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109N·m2/C2，重力加速度取g＝10m/s2。求： （1）B运动到距O点l＝0.5m处的加速度大小； （2）P、O间的距离L。 【变式训练7-7】如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为，g取，静电力常量为k，试求： （1）此带电小球在B点的加速度大小； （2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）。 【变式训练7-8】如图所示，在绝缘水平面上的O点固定一电荷量为+Q点电荷，在O点正上方高为H的A处由静止释放某带电荷量为+q的小液珠，开始运动的瞬间小液珠的加速度大小恰好等于重力加速度，方向竖直向上。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求： （1）液珠开始运动瞬间所受库仑力的大小和方向； （2）运动过程中小液珠速度最大时其离O点的距离h。（以上两问结果只能用题中已知的物理量k，Q，q，H表示） 【变式训练7-9】如图所示，光滑绝缘直杆水平放置并固定不动，其中、、的长度均为，杆上套有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点连接，直杆处固定电荷量为的点电荷，小球从点由静止开始释放，运动到点时速度恰好达到最大值。垂直于直杆，且的长度为弹簧原长，静电力常量为。 （1）求、两点间的电势差。 （2）求小球刚释放时的加速度大小。 （3）求小球运动到点时，点的电场强度大小。 【变式训练7-10】如图所示，在倾角为α的足够长光滑斜面上放置两个质量分别为和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，A、B的加速度大小之比为。已知重力加速度为g，静电力常量为k。 (1)若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性； (2)在(1)条件下求与L的比值。 【变式训练7-11】如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为的光滑固定绝缘斜面上，已知A球的质量为m，所带电荷量为+q，B球的质量为2m，所带电荷量为-q。沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上做匀加速直线运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求： (1)加速度a的大小； (2)F的大小。 【变式训练7-12】如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按分布（x是轴上某点到O点的距离）。x轴上，有一长为L的绝缘细线连接均带负电的两个小球A、B，两球质量均为m，B球带电荷量大小为q，A球距O点的距离为L。两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用。 (1)求A球的带电荷量大小qA； (2)剪断细线后，求B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0； (3)剪断细线后，求B球下落最大高度h。 题型08：有静电力参与的动力学瞬时性问题 【典型例题1】如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【典型例题2】(多选)如图所示，在夹角为2θ的V形绝缘槽里，离底端h高处有用细线相连的两个相同带电小球处于静止状态．FT为细线上的张力，每个小球的质量为m，重力加速度为g，槽面摩擦不计，则下列说法正确的是(　　) A. 改变两球之间的细线长度，小球在另一高度平衡时，小球受槽面的支持力不变 B. 两球之间库仑力大小为FT＋mgtanθ C. 烧断细线瞬间小球的加速度大小为 D. 烧断细线后小球的机械能将减小 【变式训练8-1】探究两个可以视为点电荷的带电小球之间的作用力，带电荷量为的小球固定在绝缘支架上，用轻质绝缘细线将带电荷量为的小球悬挂在铁架台上，平衡时两小球连线水平，之间的距离为，悬挂小球的细线与竖直方向的夹角为，如图所示。已知小球的质量为，静电力常量为，则剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】如图，通过绝缘轻绳将质量均为m的三个小球A、B、C连接在一起并悬于O点，其中A、B球带电，且带电荷量均为＋q，C球不带电．整个空间存在方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E＝，g为重力加速度，A、B两个小球均可视为点电荷．当把OA段细线剪断的瞬间(　 　) A． A球的加速度小于2g B． B球的加速度大于2g C． A球和B球之间的绳子拉力为0 D． B球和C球之间的绳子拉力为0 【变式训练8-3】如图，水平向右的匀强电场中有a、b两个可视为质点的带电小球，小球所带电荷量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．若a、b电性相反，则球a的质量一定大于球b的质量 B．若a、b电性相反，则球a的质量可能等于球b的质量 C．若同时剪断两根细绳，则a球可能先落地 D．若同时剪断两根细绳，则a、b两球一定同时落地 【变式训练8-4】如图所示，质量为m的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电(可视为点电荷)，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正点电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度是多大； (2)当A球的动能最大时，A球与B点间的距离。 【变式训练8-5】在竖直平面内，一根长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端拴着质量为m、电荷量为+q的小球。小球始终处在场强大小为、方向竖直向上的匀强电场中，现将小球拉到与O点等高处，且细线处于拉直状态，由静止释放小球，当小球的速度沿水平方向时，细线被拉断，之后小球继续运动并经过P点，P点与O点间的水平距离为L。重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）细线被拉断前瞬间，细线的拉力大小； （2）O、P两点间的电势差。 1.如图12所示。绝缘水平天花板上的O点用绝缘丝线悬挂一电荷量为＋q的小球A，丝线长为L，在同一水平线距离O点为L处固定另一电荷量为＋Q的点电荷(Q未知)。当小球静止时，丝线和竖直方向的夹角θ＝30°，已知小球质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) 图12 A.丝线的拉力大小为mg B.两带电体间的相互作用力为mg C.Q＝ D.由于漏电，电荷量Q减小时，丝线的拉力不变 2.如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 3.如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 4.如图所示，在真空中固定的两个等量异种点电荷、连线的中垂线上有一绝缘且粗糙程度相同的竖直固定细杆，杆上有关于电荷连线对称的A、B两点，O为电荷连线的中点。现有电荷量为+q、质量为m的带电小环套在杆上，从A点以初速度向B滑动，到达B点时速度恰好为0，则可知（    ） A．从A到B，小环的电势能始终不变，动能先增加，后减小 B．从A到B，小环受的摩擦力先减少后增加 C．小环运动到O点时的速度大小为 D．小环从A到O点的时间大于从O到B的时间 6.如图所示，一个内壁光滑的绝缘细直管竖直放置。在管子的底部固定一电荷量为的带电体。在距离底部点电荷为的管口A处，有一电荷量为、质量为的小球自静止释放，在距离底部点电荷为的处速度恰好为零，现让一个电荷量为、质量为的小球仍在A处自静止释放，已知静电力常量为，重力加速度为，则该小球（　　） A．运动到处的速度为零 B．在下落过程中加速度逐渐变大 C．向下运动了位移时速度最大 D．小球向下运动到点时的速度为 6.如图所示，真空中A、B两个质量相同的带电小球分别用10cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板的O点，平衡时O、A间细线竖直且A小球与光滑竖直绝缘墙壁接触，O、B间细线偏离竖直方向60°。已知A所带的电荷量为B所带电荷量的3倍，两个小球质量均为0.3g，取g=10m/s2，静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．两个小球可能带异种电荷 B．A小球所带的电荷量为 C．竖直墙壁对A小球的作用力大小为 D．若B小球缓慢漏电，则O、B间细线上的拉力逐渐减小 7.如图所示，圆心为O、半径为R的均匀带电圆环位于水平面内，带电量为Q。一个质量为m，带同种电荷带电量也为Q的小球，在圆心O的正上方高为h的处，处于静止状态，若与圆环上任一点的距离为L，则间的距离h为（静电力常量为k，重力加速度为g）（　　）    A． B． C． D． 8.如图所示，三根光滑绝缘细杆固定且汇交于点O，三者与竖直方向的夹角均相等且绕过O点的竖直线均匀分布。一带正电小球A固定在O点，另外三个完全相同且带电量均为+q的小球B、C、D分别穿在三根杆上。增加小球A所带的电荷量，可使上面三个小球同时升高并维持在同一高度，形成“鲜花盛开”之势。当小球A带电量为时，上面三个小球B、C、D所在位置组成的三角形边长为l，小球A到上面任一小球的距离为，此时，图中小球B受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 9.（多选）如图所示，两个等量异种点电荷A、B固定在同一条水平线上，电荷量分别为+Q和-Q。MN是水平放置的足够长的光滑绝缘细杆，细杆上套着一个中间穿孔的小球P，其质量为m，电荷量为+q（可视为试探电荷，不影响电场的分布）。现将小球从点电荷A的正下方C点由静止释放，到达点电荷B的正下方D点时，速度为，O为CD的中点。则（　　） A．小球在C点和D点所受电场力相同 B．小球运动至O点时速度为2m/s C．小球从C点至D点先做加速运动后做减速运动 D．小球在整个运动过程中的最终速度为2m/s 10.（多选）如图所示，带电量为的小球甲固定在绝缘天花板的点，带电小球乙获得一个初速度，绕点正下方的点在水平面内做半径为的匀速圆周运动，甲、乙两者的连线与竖直方向的夹角为，两小球均视为点电荷，重力加速度为，静电力常量为，，，下列说法正确的是（　　） A．乙带正电 B．乙的加速度大小为 C．乙的比荷为 D．若乙的电荷量为，则动能为 11.（多选）如图所示，带电量分别为和的小球、固定在与水平面成角放置的光滑绝缘细杆上，两球间距为，沿杆方向有斜向上的场强大小为的匀强电场，重力加速度为。若在杆上套一质量为、电量为的带电小环（图中未画出），且小环能够在某一平衡位置处于静止状态，带电体和均可视为点电荷，静电力常量已知，则下列说法正确的是（　　）（已知：①当时，；②简谐运动周期公式为回复力系数） A．未套小环时，沿杆方向不存在电场强度为0的点 B．该小环的平衡位置与球的距离为 C．将该小环拉离平衡位置一小段位移后静止释放，则其简谐运动周期为 D．若该小环带负电，仍可以在该平衡位置附近做简谐运动 12.（多选）如图所示，带电量为的小球甲固定在绝缘天花板的点，带电小球乙获得一个初速度，绕点正下方的点在水平面内做半径为的匀速圆周运动，甲、乙两者的连线与竖直方向的夹角为，两小球均视为点电荷，重力加速度为，静电力常量为，，，下列说法正确的是（　　） A．乙带正电 B．乙的加速度大小为 C．乙的比荷为 D．若乙的电荷量为，则动能为 13.（多选）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮，绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为，电荷量均为，重力加速度大小为，静电力常量为，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力，然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到小球A的正上方，下列说法正确的是（　　） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先做正功后做负功 D．把小球B拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 14.（多选）如图所示，绝缘斜面体静止于粗糙的水平面上，，，两个可视为质点的带电物体P、Q分别静止在和面上，且连线水平。已知面均足够长且光滑，斜面体和、的质量分别为、、，重力加速度为，，下列判断正确的是（    ） A．P、Q的质量之比是 B．P、Q带异种电荷，且的电荷量大于的电荷量 C．水平面对斜面体的支持力等于 D．若改变P、Q质量和电荷量使得P沿静止斜面加速上滑而Q加速下滑（斜面体保持静止），则在P、Q运动过程中斜面受到的静摩擦力水平向右 15.（多选）如图所示，与水平方向成30°角的固定光滑滑杆，滑杆正下方某位置固定带正电小球A，小球A与滑杆上N点水平距离为L，小球A与N点等高，滑杆上M点与小球A连线跟水平方向夹角为60°，P点为MN中点，带正电小球B套在滑杆上，由M点无初速释放，释放瞬间小球B的加速度大小为，方向沿杆向下，小球B质量为m，电量为q，小球A在M点的电势为，已知点电荷电势公式为（Q为点电荷电量，r为距离点电荷的距离），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球B到达P点时的加速度大小为 B．小球B电势能最大时的动能为 C．小球B到达N点时加速度大小为 D．小球B到达N点时的速度大小为 16.（多选）如图所示，真空中的某水平面上，等边三角形的三个顶点上分别固定三个点电荷，一竖直放置的绝缘长细杆正好穿过三角形的中心，套在细杆上的带电硬质小圆环（环的直径略大于杆的直径）从杆上的点以某一初速度沿杆向上运动，恰好能运动到杆上点，已知三角形边长为，小圆环质量为，电荷量为，，小圆环与细杆间的动摩擦因数为，小圆环半径远远小于边长，静电力常量为，重力加速度为，则（　　）    A．小圆环从到的过程中，电势能先减小后增大 B．每个点电荷在点的电场强度大小均为 C．小圆环在点的加速度大小为 D．小圆环在点的初速度大小为 17.（多选）如图所示，正方形的三个顶点、、分别固定三个点电荷、、，若点合场强为0，则下列说法正确的是（　　） A．三电荷的电性相同 B．与电性相同，与相反 C． D． 18.（多选）如图所示，真空中的直角坐标系xOy，以O为圆心、半径为 1m 的圆与坐标轴交于A、B、C、D四点。在x轴上-2m和2m处，分别固定电荷量为+4q和-q的两个点电荷。则（　　） A．A、C两点电场强度大小相等，方向不同 B．A、C两点电场强度大小不等，方向相同 C．B、D两点电场强度大小相等，方向不同 D．B、D两点电场强度大小不等，方向相同 19.如图13，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求： 图13 (1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负； (2)C点处点电荷的电荷量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 电场力及性质 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：库仑定律与电荷守恒定律的结合 6 题型02：均匀带电球体（球壳）与点电荷之间电场力的计算 9 题型03：库仑力的叠加 10 题型04：三个自由点电荷平衡的问题 16 题型05：静电力参与的静态平衡问题 18 （一）绝缘接触面模型 18 （二）绝缘轻绳连接体模型 22 （三）绝缘轻弹簧连接体模型 29 题型06：静电力参与的动态平衡问题 33 （一）接触连接体模型 33 （二）绝缘细线连接体模型 36 题型07：有静电力参与的动力学问题 44 题型08：有静电力参与的动力学瞬时性问题 52 巩固提升 56 1. 题型分值：选择题必考，力学综合计算题高频出现，分值3–6分；是电场、带电粒子运动大题基础铺垫。 2. 核心命题角度 （1）电场力公式F=qE运用，大小计算、方向判断； （2）电场强度E与试探电荷q、电场力F的逻辑辨析； （3）正负电荷在电场中受力方向规律； （4）匀强电场、非匀强电场中带电体受力分析； （5）受力平衡、牛顿第二定律结合电场力综合计算。 3. 高频易错失分点 （1）概念误区：认为E随F、q变化，不清楚场强只由场源电荷决定； （2）方向判断错误：负电荷受力与电场线同向； （3）计算题漏分析重力，只算电场力导致列式错误； （4）混淆库仑力（两点电荷之间）与电场力（电荷在场中受力）。 4. 命题趋势：常结合生活静电、粒子加速偏转模型，力学电学综合化。 一：基础识记 1. 牢记电场力计算公式，分清库仑力、电场力适用场景； 2. 掌握电场力方向判断规则：正电荷受力平行电场线同向，负电荷反向。 二：理解层面 1. 理解电场是特殊物质，电荷不接触也能通过电场产生作用力； 2. 区分定义式E＝物理意义，读懂比例类选择题表述。 三：应试能力 1. 独立完成带电小球、带电粒子完整受力分析（重力、弹力、电场力）； 2. 结合平衡条件、牛顿运动定律列方程求解； 3. 快速甄别概念选择题的文字陷阱，规范简答题表述。 静电场是高考的热考点与必考点，其中电场、电势的叠加运算体现了矢量与标量运算的一般法则，电场中的轨迹问题可以很好的展现出在电磁相互作用下带电体所做的运动增强学生的运动观与相互作用观的理解。电场中的图像是又一种描述电场的“语言”学生需要通过数理结合才能解答此类问题可以很好的考场学生的关键能力。 知识点一：电场 1.电场的定义： 电荷在其周围产生的一种特殊物质，电场的性质是对放入其中的电荷有力的作用。 2.电场的理解： ①电场看不见，摸不着，与实物一样具有能量和动量，是物质存在的一种特殊形式。 ②电荷间的相互作用是通过电场发生的，不存在超距作用。电荷间的相互作用如下图所示： ③电场与实物是物质存在的两种不同形式。 3.匀强电场： 电场强度的大小相等、方向相同的电场。 【注意】①静电场：静止的电荷产生的电场； ②电场和磁场统称为电磁场，电磁场是一种客观存在的特殊物质，也有能量、动量； ③电荷周围一定存在电场，静止的电荷周围存在静电场，而运动的电荷周围存在变化的电场。 知识点二：电场强度 1.电场强度的定义： 试探电荷在电场中某个位置所受的力与其电荷量成正比，即F＝Eq，在电场的不同位置，比例常数E一般不一样，它反映了电场在这点的性质，叫做电场强度。 2.电场强度的表达式： E＝ ，单位为N/C或V/m，1 N/C＝1 V/m。 3.电场强度的方向： 电场强度是矢量，电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同。 4.电场强度的物理意义： 电场强度是描述电场的力的性质的物理量，与试探电荷受到的静电力大小无关 【注意】电场中某点的电场强度是唯一的，由电场本身特性（形成电场的电荷及空间位置）决定的，与是否放入试探电荷、放入电荷的电性、电量的多少均无关。 5.点电荷的电场： 如图所示，场源电荷Q与试探电荷q相距为r，则它们的库仑力F＝k ＝qk ，所以电荷q处的电场强度E＝＝k 。 如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，当Q为正电荷时，E的方向沿半径向外；当Q为负电荷时，E的方向沿半径向内． 知识点三：电场强度的叠加 电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这种关系叫作电场强度的叠加。电场强度是矢量，电场强度的叠加本质是矢量叠加，所以应该用平行四边形定则。 知识点四：电场强度的计算 1.电场强度的三个计算公式 2.电场强度的叠加与计算的方法： ①叠加法：多个点电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。 ②对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。 ③补偿法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想。 ④微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。 知识点五：有静电力参与的平衡问题 涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下： 【注意】库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向。 1.点电荷之间电场力（库仑力）的计算 （1）二个点电荷之间的电场力（库仑力）大小满足库仑定律F＝F＝k（将q1、q2绝对值代入公式计算），r指两点电荷间的距离。库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。带电体在电场中受到的电场力F＝qE（将q绝对值代入公式计算），正电荷的受力方向与电场场强方向相同，负电荷的受力方向与电场场强方向相反。 （2）某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。 2.两个完全相同的带电金属球接触时电荷的分配规律： （1）如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。 （2）如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于。 3.库仑力的叠加计算 某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。 4.均匀带电球体（球壳）与点电荷之间电场力的计算 （1）对于均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r指球心与点电荷间的距离。可以用挖补法思维求库仑力。 （2）对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布及不均匀分布情况，如图所示．同种电荷：F＜k；异种电荷：F＞k. 5.计算有静电力参与的三个自由点电荷平衡的问题 三个自由点电荷平衡的特点： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 6.有静电力参与的动态平衡问题 涉及库仑力的动态平衡问题，其解题思路方法与力学中的动态平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力库仑力。 7.有静电力参与的动力学问题 涉及电场力库仑力的动力学问题，其解题思路方法与力学中的动力学问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力或库仑力。 题型01：库仑定律与电荷守恒定律的结合 电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。公式：q1'＝q2'＝。 【典型例题1】两个完全相同的金属小球，所带电荷量多少不同，相距一定的距离时，两个金属球之间有相互作用的库仑力，如果将两个金属球相互接触一下后，再放到原来的位置，则两球的作用力变化情况是(　　) A．如果相互接触前两球的库仑力是引力，则相互接触后的库仑力仍是引力 B．如果相互接触前两球的库仑力是引力，则相互接触后的库仑力为零 C．如果相互接触前两球的库仑力是斥力，则相互接触后的库仑力仍是斥力 D．如果相互接触前两球的库仑力是斥力，则相互接触后的库仑力是引力 【答案】C 【解析】如果相互接触前两球的库仑力是引力，且两球带不等量的异种电荷，则相互接触后的库仑力是斥力，A、B错误．如果相互接触前两球的库仑力是斥力，则两球带同种电荷，则相互接触后带等量的同种电荷，相互间的库仑力仍是斥力，C正确，D错误． 【典型例题2】如图所示，两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们之间的库仑力大小为F。两小球相互接触后分开并将其间距变为，则现在两小球间库仑力的大小为(　　) A.F B.F C.F D.12F 【答案】C 【解析】接触前两小球之间的库仑力大小为F＝k，接触后再分开，两小球所带的电荷量先中和后均分，所以两小球分开后各自带电荷量为＋Q，两小球间的距离变为，两小球间的库仑力大小变为F′＝k＝F，选项C正确。 【变式训练1-1】半径相同的两个金属球A、B带有等量的电荷(均可视为点电荷)，相隔一定距离，两球之间相互吸引力的大小为F.今让第三个半径相同的不带电的金属球C先后与A、B两球接触后移走，这时，A、B两球之间的相互作用力的大小为(　　) A. F B. F C. F D. F 【答案】A 【解析】A、B两球相互吸引，说明它们带异种电荷，假设A、B的电荷量分别为＋q和－q，当第三个不带电的C球与A球接触后，A、C两球的电荷量平分，每球所带电荷量均为q′＝＋，当再把C球与B球接触后，两球的电荷先中和，再平分，每球所带电荷量为q″＝－，由库仑定律有F＝k知，当移开C球后，由于r不变，A、B两球之间的相互作用力大小为F′＝，A正确． 【变式训练1-2】使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q和＋5Q的电荷后，将它们固定在相距为a的两点，它们之间库仑力的大小为F1。现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a的两点，它们之间库仑力的大小为F2。则F1与F2之比为(　　) A.2∶1 B.60∶1 C.16∶1 D.15∶4 【答案】B 【解析】开始时由库仑定律得F1＝k　①，现用绝缘工具使两小球相互接触后，电荷量先中和再平分，各自带电为Q，因此此时F2＝k　②，由①②得F2＝F1，则F1与F2之比为60∶1，故选项B正确。 【变式训练1-3】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。球1的带电荷量为＋q，球2的带电荷量为＋nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F。现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时球1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变。由此可知(　 　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6 【答案】D 【解析】由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷。由库仑定律F＝k知，两点电荷间距离不变时，两电荷间静电力大小与两点电荷所带电荷量的乘积成正比。由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q·nq＝· ，解得n＝6，D正确。 【变式训练1-4】(多选)在真空中两个完全相同的金属小球P、Q(可看作点电荷)，P球带电荷量大小为5.0×10－9 C，Q球带电荷量大小为7.0×10－9 C，两球相距1 m。下列说法正确的是(　　) A．它们之间的库仑力一定为斥力，大小为3.15×10－7 N B．它们之间的库仑力—定为引力，大小为3.15×10－7 N C．若把它们接触后放回原处，它们之间的相互作用力可能为3.24×10－7 N D．若把它们接触后放回原处，它们之间的相互作用力可能为9.0×10－9 N 【答案】CD　 【解析】两小球可视为点电荷，未接触时，根据库仑定律，两带电小球间库仑力大小F＝k＝9.0×109× N＝3.15×10－7 N，两小球带同种电荷为斥力，带异种电荷为引力，选项A、B错误；若两小球带同种电荷，两小球接触后，电荷均分，每个小球带电荷量为总电荷量的，根据库仑定律，F1＝k＝9.0×109×N＝3.24×10－7 N，选项C正确；若两小球带异种电荷，两小球接触后，部分电荷中和，剩余净电荷为2.0×10－9 C，由于两金属球完全相同，净电荷最后均分，各带1.0×10－9 C，此时两球间库仑力F2＝k＝9.0×109×N＝9.0×10－9 N，选项D正确。 【变式训练1-5】（多选））如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】AD 【详解】C先跟A接触后，两者电荷量均变为，C再跟B接触后，两则电荷量均变为，此时AB之间静电力大小仍为，则有 解得或； 则的绝对值可能是1或者5。 故选AD。 【变式训练1-6】(多选)把a、b两个完全相同的导体小球分别用长为l的绝缘细线拴接，小球质量均为m。先让a球带上＋q的电荷量并悬挂于O点，如图所示。现将不带电的小球b也悬挂于O点(图中未画出)，两球接触后由于静电斥力分开，平衡时两球相距l。已知重力加速度为g，静电力常量为k，带电小球可视为点电荷。关于a球所受的静电力大小F及O点处的场强大小E，下列正确的是(　　) A.F＝mg B.F＝mg C.E＝ D.E＝ 【参考答案】AD 【名师解析】　对平衡时的a球受力分析如图所示，由正交分解法可得FTsin 60°＝mg，FTcos 60°＝F，联立解得F＝mg，选项A正确，B错误；两小球接触后电荷量会平分，则每个小球的电荷量都为＋，由点电荷的场强公式可得两球分别在O点产生的场强为Ea＝Eb＝k＝，由平行四边形定则可得E＝2Eacos 30°＝，选项C错误，D正确。 题型02：均匀带电球体（球壳）与点电荷之间电场力的计算 【典型例题1】有两个半径为r的金属球如图放置，两球表面间距离为3r。今使两球带上等量的异种电荷Q，两球间库仑力的大小为F，那么(　　) A．F＝k　　　　　 B．F>k C．F<k D．无法判定 【答案】B　 【解析】异种电荷相互吸引，电荷间的距离小于5r，故B正确。 【典型例题2】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为(　 　) A．　 B．　 C．　 D． 【答案】B 【解析】实心大球对q的库仑力F1＝，挖出的实心小球的电荷量Q′＝Q＝，实心小球对q的库仑力F2＝＝，则检验电荷q所受的电场力F＝F1－F2＝，选项B正确． 【变式训练2-1】如图，两个带电金属小球中心距离为r，带电荷量相等为Q，则它们之间电荷的相互作用力大小F的说法正确的是 (　　) A．若是异种电荷F<k B．若是同种电荷F>k C．若是异种电荷F>k D．不论是何种电荷F＝k 【答案】C　 【解析】当是异种电荷时，电荷间相互吸引，导致电荷间距比r还小，因此库仑力F>k，故A错误，C正确；若是同种电荷，则出现相互排斥，导致电荷间距比r还大，因此库仑力F<k，故B、D错误。 【变式训练2-2】两个完全相同的金属球半径为r，分别带上等量的异种电荷，电荷量均为Q，两球心相距R，R＝3r，则两球间的库仑力F的大小应满足(　 　) A．F＝k B．F＝k C．F＞k D．F＞k 【答案】D 【解析】由于异种电荷相互吸收，致使两球相对的一面电荷分布比较密集，电荷中心间的距离d＜R，又d＞r，结合库仑定律知，F＞k，选项D正确。 题型03：库仑力的叠加 【典型例题1】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则(　 　) A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝ C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝ 【答案】D 【解析】由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷．a对c的库仑力Fa＝，b对c的库仑力Fb＝，设合力向左，如图所示，根据相似三角形得＝，得k＝＝＝，若合力向右，结果仍成立，D正确． 【典型例题2】如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】假设M、O两处点电荷带正电、N处点电荷带负电，依题意，M、N处两点电荷对O点的点电荷的静电力大小均为，则当N点处的点电荷移至P点时，O处点电荷所受静电力如图所示 由几何关系可知，合力大小为 则有故选B。 【典型例题3】如图2所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是(　　) 图2 A.2n2∶1 B.4n2∶1 C.2n3∶1 D.4n3∶1 答案　C 解析　如图所示，设∠OPB＝α，∠APO＝β，P球受到A、B的库仑斥力FA、FB和指向圆心的轨道弹力FN作用，三力平衡，由三角形知识和正弦定理有＝，在△APO中，有＝，同理在△BPO中，有＝，设小球的带电量为q，则FA＝k，FB＝k，联立解得Q1∶Q2＝2n3∶1，C正确。 【典型例题4】如图，边长为a的立方体ABCD­A′B′C′D′八个顶点上有八个带电质点，其中顶点A、C′电量分别为q、Q，其他顶点电量未知，A点上的质点仅在静电力作用下处于平衡状态，现将C′上质点电量变成－Q，则顶点A上质点受力的合力为(不计重力)(　　) A． B． C． D．0 【答案】B　 【解析】开始时A上质点受力平衡，A、C′间库仑力与其他六个质点对A的合力等大反向，当C′上质点电性变为－Q时，A质点受到的力为原来的FAC′的两倍。FAC′＝＝，所以A质点受的合力为2FAC′＝＝，故B正确。 【变式训练3-1】如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍 B．小球A受到五个作用力 C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和 D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动 【答案】A 【详解】A．根据受力平衡可得B、C小球带等量的正电，设小球A、B的电荷量绝对值分别为、，A、B之间的库仑力 B、C之间的库仑力 分析B受力如图所示，可得， 得故A正确； B．分析A的受力有重力、两个库仑力和弹簧弹力，共四个力，故B错误； C．把三个小球看成整体，可得弹簧弹力等于三个小球的总重力，故C错误； D．剪断弹簧后A受重力和B、C小球对A的库仑力，A下落的加速度大于重力加速度，剪断瞬间小球B、C受力不变，加速度为零，故D错误。 故选A。 【变式训练3-2】如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，两点电荷间的静电力为 由三个带正电的点电荷构成等边三角形，由几何知识可得，A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为 故选C。 【变式训练3-3】如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是(　 　) A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】b、d电荷给a的库仑力大小均为Fb＝Fd＝k，Fb方向竖直向上，Fd方向水平向右，这两个力的合力Fbd＝，方向与ad连线成45°指向右上方。c对a的库仑力Fc＝，方向由a指向c，Fc与Fbd垂直，a电荷受的电场力的大小为F＝＝，选项D正确。 【变式训练3-4】如图所示，边长为a的正方体的顶点A处有一电荷量为－Q的点电荷，其他7个顶点各有一电荷量为＋Q的点电荷，体心O处有一个电荷量为－q的点电荷，静电力常量为k，则O点处的点电荷受到的电场力大小为(　 　) A． B. C. D． 【答案】A 【解析】根据库仑定律可得电场力F＝，O点到正方体顶点的距离r＝a，则正方体任一顶点上的点电荷对O点处的点电荷的库仑力大小均为F＝k＝；库仑力方向沿两电荷连线方向，正方体体对角线两端的两个电荷电性相同时，两个库仑力等大反向；正方体体对角线两端的两个电荷电性相反时，两个库仑力等大同向．根据矢量叠加定理可知，O点处的点电荷受到的电场力大小为2F＝，A选项正确． 【变式训练3-5】(多选)如图所示，坐标系中有两个带电荷量分别为＋Q和＋3Q的点电荷。在C处放一个试探电荷，则试探电荷所受电场力的方向可能是选项图中的(　　) 【答案】BD 【解析】根据点电荷形成的电场E＝k，可在C处画出场源电荷分别为＋3Q、＋Q电场线的示意图，根据平行四边形定则作出合场强的大小及方向，若试探电荷为正电荷，则所受的电场力与场强方向相同，若试探电荷为负电荷，则所受的电场力与场强方向相反，选项B、D正确，A、C错误。 【变式训练3-6】(多选)如图1所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4 cm、3 cm和2 cm，则(　　) 图1 A.球a和球b一定带同种电荷 B.球a和球b一定带异种电荷 C.＝ D.＝ 答案　BD 解析　球c受重力及球a和球b对它的库仑力而平衡，球b对它的库仑力必须是斥力，而球a对它的库仑力必须是引力，球a和球b一定带异种电荷，故A错误，B正确；画出球c受力图，如图所示，三力平衡，设球c的带电荷量为q，在相似三角形中，有＝，整理有＝，故C错误，D正确。 【变式训练3-7】如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】采用等效替代法，在更换电荷的位置，再放一个电荷量为q的正电荷和一个电荷量为q的负电荷，对于O点电荷的受力不产生实际影响，所有正电荷对O点电荷的作用力的合力为0，更换电荷后所有电荷对O点电荷的作用力可等效为在A、B、C、D、E、F中随机两个点位置放置电荷量为2q的负电荷对O点电荷作用力的合力，有邻、间、对三种可能，如图所示 A处电荷对O点电荷的作用力 则对位时，合力 邻位时两力夹角为60°，合力 间位时两力夹角为120°，合力 故选BC。 题型04：三个自由点电荷平衡的问题 【典型例题】a、b、c三个点电荷仅在相互之间的静电力的作用下处于静止状态。已知a所带的电荷量为＋Q，b所带的电荷量为－q，且Q＞q。关于电荷c，下列判断正确的是(　 　) A．c一定带负电 B．c所带的电荷量一定大于q C．c可能处在a、b之间 D．如果固定a、b，仍让c处于平衡状态，则c的电性、电荷量、位置都将唯一确定 【答案】B 【解析】三个点电荷保持平衡，应处于同一条直线上，且“两同夹异”，“两大夹小”，因为Q＞q，所以c所带电荷量一定大于q，且c必须带正电，在b的另一侧，选项A、C错误，B正确；如果固定a、b，因Q＞q，则在a、b形成的静电场中，只有b的另一边仅存在一点电场强度为零，c放在此处时受力平衡，因位置固定，电荷量和电性均不确定，D错误。 【变式训练4-1】如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)． A．正　B的右边0.4 m处 　　 B．正　B的左边0.2 m处 C．负　A的左边0.2 m处 　　 D．负　A的右边0.2 m处 【答案】C 【解析】要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”的原则，所以选项C正确． 【变式训练4-2】如图，三个带电小球用等长的绝缘细线悬挂于水平天花板上，当R带负电时，三条细绳都恰好与天花板垂直，则(　　) A. P带正电荷 B. Q带负电荷 C. P带电荷量大于Q所带电荷量 D. R带电荷量小于Q所带电荷量 【答案】C 【解析】根据“两大夹一小，两同夹一异”，P带负电荷，Q带正电荷，P和R的带电荷量都大于Q，A、B、D错误，C正确． 【变式训练4-3】如图所示的三个点电荷q1、q2、q3，固定在一条直线上，q2和q3的距离为q1和q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为 (　　) A．(－9)∶4∶(－36) B．9∶4∶36 C．(－3)∶2∶(－6) D．3∶2∶6 【答案】A 【解析】q1、q2、q3三个点电荷中任意两个点电荷对第三个点电荷的合力为零，由此可知q1、q3为同种电荷，它们与q2互为异种电荷．q1、q2间距离设为r，对q3有＝，所以＝；对q1有＝，所以＝，考虑q1、q2、q3的电性，其电荷量之比为q1∶q2∶q3＝(－9)∶4∶(－36)，A对． 【变式训练4-4】(多选)如图3所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是(　　) 图3 A.若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷 B.若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷 C.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36 D.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9 答案　AD 解析　在同一直线上的三个点电荷都处于平衡状态，由两同夹一异知，A正确，B错误；设q2、q3间距离为r，则q1、q2间距离为2r，对q1∶k＝k，则q2∶q3＝4∶9，对q2∶k＝k，则q1∶q3＝4∶1，综上有q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，C错误，D正确。 题型05：静电力参与的静态平衡问题 （一）绝缘接触面模型 【典型例题1】在光滑的水平面上建立如图10所示的直角坐标系xOy，现在O点固定一个带电荷量为Q的正电荷，在x轴正半轴上的点N(d,0)点固定有带电荷量为8Q的负电荷，y轴正半轴位置固定有一根光滑绝缘细杆，细杆上套有带电荷量为＋q的轻质小球，当小球置于M点时，恰好保持静止，则M的纵坐标为(　　) A.d B.d C.d D．d 【答案】B 【解析】设OM为y，由平衡条件可知＝·，得＝2y，即y＝d，故B正确． 【典型例题2】如图，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是(　　) A．小球a、b、c带同种电荷 B．小球a、b带异种电荷 C．小球a、b电荷量之比为 D．小球a、b电荷量之比为 【答案】D 【解析】对c小球受力分析可得，a、b小球必须带同种电荷，c小球才能平衡；对b小球受力分析可得，b、c小球带异种电荷，b小球才能平衡，故A、B错误．设环的半径为R，a、b、c球的带电荷量分别为q1、q2和q3，由几何关系可得lac＝R，lbc＝R，a与b对c的作用力都是吸引力，它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等，则有·sin 60°＝·sin 30°，所以＝，故选项C错误，D正确． 【典型例题3】如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为m，带电荷量为q的圆环a套在竖直杆上，质量为M，带电荷量为＋Q的滑块b静置于水平地面上，滑块b与地面间的动摩擦因数为μ，a、b均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为θ，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A. 圆环a带负电 B. 滑块b受到的库仑力大小为 C. 滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g D. 滑块b受到地面的摩擦力大小为μ(M＋m)g 【答案】C 【解析】根据题意，圆环a能保持静止，故受到库仑斥力，圆环a也带正电，A错误；根据牛顿第三定律，滑块b受到的库仑力大小等于圆环a受到的库仑力大小，对圆环a进行受力分析后，得库仑力的大小为，B错误；对a、b组成的系统整体进行受力分析，竖直方向上受力平衡，故滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g，C正确；滑块b静止，根据受力分析可知，滑块b受到地面的静摩擦力大小为Ff＝·cosθ＝，D错误． 【变式训练5-1-1】如图所示，在两个对接的绝缘光滑斜面上放置了电荷量大小均为q的两个小球A和B(均可看成质点)，两个斜面的倾角分别是30°和45°，小球A和B的质量分别是m1和m2。若平衡时，两小球均静止在离斜面底端高度为h的同一水平线上，斜面对两个小球的弹力分别是FN1和FN2，静电力常量为k，下列说法正确的是(　 　) A．q＝h B．＝ C．＝ D．若同时移动两球在斜面上的位置，只要保证两球在同一水平线上，则两球仍能平衡 【答案】A 【解析】A处于静止，受力如图所示。设A受到的库仑力为F1，支持力为FN1，由平衡条件可得tan 30°＝，FN1＝，同理可得，对B满足tan 45°＝，FN2＝，由于F1＝F2＝F，对比可得＝＝，＝＝，B、C错误；两电荷间距为l＝＋＝(＋1)h，由库仑定律可得F＝k，由B、C的分析可得F＝m2gtan 45°，联立解得q＝h，A正确；若同时移动两球在斜面上的位置，由于距离变化导致库仑力变化，重力mg和支持力FN不变，不再满足原来的平衡关系，故两球不能处于原来的平衡状态，D错误。 【变式训练5-1-2】如图所示，粗糙程度均匀的绝缘空心斜面ABC放置在水平面上，∠CAB＝30°，斜面内部O点(与斜面无任何连接)固定有一正点电荷，一带负电的小物体(可视为质点)可以分别静止在M、N点和MN的中点P上，OM＝ON，OM∥AB，则下列判断正确的是(　　) A．小物体分别在三处静止时所受力的个数一定都是4个 B．小物体静止在P点时受到的支持力最大，静止在M、N点时受到的支持力相等 C．小物体静止在P点时受到的摩擦力最大 D．当小物体静止在N点时，地面给斜面的摩擦力为零 【答案】B　 【解析】　从小物体所受重力、支持力和库仑力的方向关系看，小物体在M点时可能受三个力作用，故A错；小物体静止时受到的支持力大小等于重力和库仑力在垂直斜面方向的分力之和的大小，由于P点离O点最近，且此时库仑力垂直于斜面，故小物体静止在P点时受到的支持力最大，由M、N点相对P点的对称关系可确定库仑力垂直斜面的分力相同，故小物体静止在M、N点时受到的支持力相等，B正确；在P点时，小物体所受静摩擦力大小等于重力沿斜面方向的分力大小，而在N点时静摩擦力大小等于重力和库仑力沿斜面方向的分力大小之和，故C错；小物体静止在N点时，对斜面和小物体整体受力分析可知，由于受到沿左下方的库仑力，由平衡条件知地面给斜面的摩擦力方向向右．故D错． 【变式训练5-1-3】如图所示，两个带电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为5d的光滑水平面上，另有一个带电小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q1的距离为4d，离Q2的距离为3d.现将带电小球A置于水平面上某一位置，发现A刚好静止，则此时小球A到Q1、Q2的距离之比为(　　) A.∶2 B．2∶ C．3∶4 D．4∶3 【答案】B 【解析】小球A悬浮于空中时，Q1对其库仑力F1＝k，Q2对其库仑力F2＝k，受力分析如图所示， 由几何关系知θ＝37°，由平衡条件知F1＝mgsin 37°，F2＝mgcos 37°，得＝.将A置于水平面上静止，则k＝k，得＝，故选B. 【变式训练5-1-4】（多选）内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是(　 　) A．三个小球之间的距离均等于R B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内 C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面 D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为，k为静电力常量 【答案】CD 【解析】由小球受力分析可知，三个小球受到球壳的作用力都应沿半径指向圆心，则三小球对称分布，如图所示，三个小球之间的距离均等于L＝2Rcos 30°＝R，故A错误；由小球的平衡可知，三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面，故B错误，C正确；由库仑定律可知FAC＝FBC＝k＝其合力为F＝2FACcos 30°＝由平衡条件可知，每个小球对球壳内壁的作用力大小均为FN＝，故D正确。 【变式训练5-1-5】(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面，且共处于同一竖直平面内，若用如图所示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于如图所示位置，如果将小球B稍向左推过一些，两球重新平衡时的受力情况与原来相比(　　) A．推力F将增大 B．墙面对小球A的弹力减小 C．地面对小球B的弹力减小 D．两小球之间的距离增大 【参考答案】BD　 【名师解析】　A、B球受力如图所示． 对A：FAcosθ＝GA① FAsinθ＝FNA② 对B：FBcosθ＋GB＝FNB③ FBsinθ＝F④ 当B向左推过一些后，θ角变小，由①式知，FA变小，则由②式知，FNA变小，FA与FB为作用力与反作用力，所以FB＝FA，由③式知，FNB＝GB＋GA，FNB不变，由④式知，F变小．由于FA、FB变小，所以两球间距离变大．选项BD正确。 【变式训练5-1-6】（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【答案】ABD 【详解】AB．如图，对两球进行受力分析，设两球间的库仑力大小为F，倾角为，对甲球根据平衡条件有，① 对乙球有， 联立解得② 故 同时有 解得 故AB正确； C．若将甲、乙互换位置，若二者仍能保持静止，同理可得对甲有， 对乙有， 联立可得，无解 假设不成立，故C错误； D．若撤去甲，对乙球根据动能定理 根据前面分析由①②可知 联立解得 故D正确。 故选ABD。 （二）绝缘轻绳连接体模型 【典型例题1】如图所示，空间存在一方向水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则中点处的电场强度大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由图可知，两小球均在电场力和库仑力的作用下保持平衡，根据平衡关系可知P球带负电，Q球带正电，则有，可得， 则两电荷在中点处的电场强度大小为 中点处的电场强度大小为，故ABC错误，D正确。 【典型例题2】如图甲所示，用OA、OB、AB三根轻质绝缘绳悬挂两个质量均为m的带等量同种电荷的小球(可视为质点)，三根绳子处于拉伸状态，且构成一个正三角形，AB绳水平，OB绳对小球的作用力大小为FT.现用绝缘物体对右侧小球施加一水平拉力F，使装置静止在图乙所示的位置，此时OA绳竖直，OB绳对小球的作用力大小为F′T.根据以上信息可以判断FT和F′T的比值为(　　) A.　　　　 　B． C. D．条件不足，无法确定 【答案】A 【解析】题图甲中，对B球受力分析，受重力、OB绳的拉力FT、AB绳的拉力FTA、AB间的库仑力FA，如图(a)所示： 根据平衡条件，有：FT＝＝mg； 题图乙中，先对小球A受力分析，受重力、AO绳的拉力，AB间的库仑力以及AB绳的拉力，由于A处于平衡状态，则AB绳的拉力与库仑力大小相等，方向相反，再对B球受力分析，受拉力、重力、OB绳的拉力、AB间的库仑力以及AB绳的拉力，而AB间的库仑力与AB绳的拉力的合力为零，图中可以不画，如图(b)所示． 根据平衡条件，有：F′T＝＝2mg，可见＝，故选A. 【典型例题3】两个大小相同的小球带有同种电荷，质量分别为m1和m2，带电荷量分别是q1和q2，用绝缘线悬挂后，因静电力而使两悬线张开，分别与中垂线方向成α1角和α2角，且两球处于同一水平线上，如图所示，若α1＝α2，则下述结论正确的是(　　)． A．q1一定等于q2 B．一定满足＝ C．m1一定等于m2 D．必须同时满足q1＝q2、m1＝m2 【答案】C 【解析】分别对两小球进行受力分析，如图所示，由平衡条件得F－Tsin α1＝0；Tcos α1－m1g＝0.所以tan α1＝＝.同理tan α2＝＝.因为α1＝α2，所以m1＝m2. 【典型例题4】(多选)如图所示，a、b、c三球分别用三根绝缘细线悬挂在同一点O，细线的长度关系为Oa＝Ob<Oc，让三球带电后它们能静止在图中位置，此时细线Oc沿竖直方向，a、b、c连线恰构成一等边三角形，则下列说法正确的是(　　) A.a、b、c三球质量一定相等 B.a、b两球所带电荷量一定相等 C.细线Oa、Ob所受拉力大小相等 D.a、b、c三球所受库仑力大小一定相等 【答案】BC 【解析】对a、b受力分析可知：因为a、b连线水平，则ma＝mb，但与c的质量关系不能确定，A错误；由于细线Oc沿竖直方向，而c所受重力及细线拉力均沿竖直方向，所以a对c的库仑力与b对c的库仑力关于Oc对称且相等，根据库仑定律可知qa＝qb，B正确；因c对a、b的库仑力关于Oc对称且相等，由受力分析知，细线Oa、Ob所受拉力大小相等，C正确；c所带电荷量与a、b所带电荷量不一定相等，所以a、b、c所受库仑力大小不一定相等，D错误。 【变式训练5-2-1】如图甲所示，两段等长绝缘轻质细绳将质量分别为m、3m的带电小球A、B(均可视为点电荷)悬挂在O点，系统处于静止状态，然后在水平方向施加一匀强电场，当系统再次达到静止状态时，如图乙所示，小球B刚好位于O点正下方(细绳始终处于绷紧状态)。则两个小球带电荷量QA与QB的大小关系正确的是(　　) A．7∶3 B．3∶1 C．3∶7 D．5∶3 【答案】A　 【解析】在题图乙中，设OA与竖直方向的夹角为θ，对A、B整体受力分析，由平衡条件可得TOAcos θ＝4mg，(QA－QB)E＝TOAsin θ；对B受力分析，由平衡条件可得(TAB＋F库)cos θ＝3mg，(TAB＋F库)sin θ＝QBE，由以上各式联立解得＝，故A正确。 【变式训练5-2-2】如图，空间存在方向水平向右的匀强电场，两个可以视为质点的带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直。N为PQ连线中点，M点位于N点正上方且MPQ构成等边三角形，不计小球间的万有引力。则下列说法正确的是 A．P带正电，Q带负电，且电量大小相等 B．P与Q的质量一定相等 C．在P、Q所产生的电场与匀强电场叠加后形成的场中，N点的场强为零P Q M N D．在P、Q所产生的电场与匀强电场叠加后形成的场中，M点的场强为零 【答案】D 【解析】．由图可知，两小球均在电场力和库仑力的作用下处于平衡，由于库仑力为相互作用力，大小相等，方向相反，因此两小球受到的电场力也一定是大小相等，方向相反，两小球一定带异种电荷，P小球所受库仑力向右，Q小球所受库仑力向左，匀强电场方向向右，因此正电荷受电场力方向向右，其受库仑力方向一定向左，所以Q带正电荷，P带负电荷，P所带电量的大小与Q所带电量的大小相等，A错误；B．由以上分析可知， 质量不影响电场平衡，故B不正确； 因为MPQ是等边三角形，所以P、Q两小球所带电荷在M点产生的合场强与匀强电场大小相等，方向相反，因此M点的场强是零，N点的场强不是零N，D正确。 【变式训练5-2-3】如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 【答案】C 【详解】对小球A进行受力分析如图 可得与相似，故有 又由库仑定律， 所以代入可得 小球A与三个完全相同的不带电的金属小球依次充分接触后的带电量 所以再次平衡后A、B间距离 C正确。 【变式训练5-2-4】用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　） A．小球1带电量一定小于小球2的带电量 B．细线a拉力大小为 C．细线b拉力大小为 D．小球1与2的质量比为 【答案】B 【详解】A．由 可知，不能确定小球1与小球2的带电量，故A不符合题意； C．对小球2，由平衡条件可得 解得细线b拉力大小为故C不符合题意； BD．对小球1，由平衡条件可得 解得细线a拉力大小为 小球1与2的质量比为 故B符合题意，D不符合题意。故选B。 【变式训练5-2-5】某同学设计如图所示的实验装置来验证库仑定律：将一个带电小球A用绝缘细线悬挂，并将另一个与小球A带同种电荷的小球B与它靠近，A球受到B球的静电斥力F而发生偏移，测得A球的质量为m，悬点到A球球心的距离为l。首先，在保持两球电荷量不变的情况下，移动小球B改变两球之间的距离，用刻度尺测量稳定后两球间的距离r和A球偏移的距离d（实验中满足）；然后，设法改变两球的电荷量，再进行相关实验。下列说法正确的是（　　） A．实验中，小球A所受静电力的测量值 B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像 C．用不带电导体球C分别与A、B两球接触后，A、B两球一定带等量同种电荷 D．实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系” 【答案】D 【详解】AD．设小球A受静电斥力作用发生偏移达到平衡后细丝线与竖直方向的夹角为，由于ld，可以认为两小球在一直线上，小球A所受的静电力 F=mg 由于很小，=，所以 再由库仑定律可得 所以实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系”，故A错误，D正确； B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像，得到一条倾斜的直线，故B错误； C．用完全相同的不带电导体球C先与A接触，A的电量减半；C再与B球接触时，由于C球此时已经带有一定电量，故B小球的电量不会减半，A、B两球带电量不相等，故C错误。 故选D。 【变式训练5-2-6】如图所示，绝缘轻绳穿过有光滑孔的带正电小球A，绳两点P、Q固定，在竖直平面内，整个空间存在匀强电场。小球静止时，轻绳绷紧，AP水平、AQ竖直，小球A的质量为m，则（    ） A．球受到的电场力可以等于2mg B．球受到电场力的最小值为mg C．匀强电场方向一定水平向右 D．匀强电场方向可以竖直向下 【答案】A 【详解】A．小球受重力、水平向左和竖直向上的拉力作用，根据共点力平衡条件可知，球受到的电场力可以向右，大小等于2mg，故A正确； B．如图所示电场力最小值，故B错误； CD．球受到的电场力可以斜向右下方或者右上方，匀强电场方向不会竖直向下，故CD错误； 故选A。 【变式训练5-2-7】如图所示，光滑轻环用轻绳悬挂在天花板的点，一根不可伸长的绝缘轻绳穿过轻环，两端连接质量分别为、的、两个带电小球，小球可视为质点，当两球静止时过点的竖直线与的连线交于点。、两点到点距离分别为、，到点绳长分别为、。则以下说法正确的是（　　） A．大于 B． C． D．如果漏电、两个带电小球的距离可能不变 【答案】C 【详解】BC．设绳上张力为，两球间的库仑力为，两球均受力平衡，根据相似三角形关系，分别对、两个带电小球分别分析有 联立解得，，故B错误，C正确； A．分别对、，根据平衡关系有， 与的大小关系不确定，故无法确定与的关系，故A错误； D．如果漏电，根据库仑定律知，减小，根据根据平衡关系有， 知与均减小，绳长不变，分析几何关系知，为维持平衡， AB 距离必改变，故D 错误。 故选C。 【变式训练5-2-8】（多选）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q＞0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　 　) A．M带正电荷 B．N带正电荷 C．q＝L D．q＝3L 【答案】BC 【解析】由题图可知，对小球M受力分析如图甲所示，对小球N受力分析如图乙所示，由受力分析图可知小球M带负电，小球N带正电，A错误，B正确；由几何关系可知，两小球之间的距离为r＝L，当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得mgtan 45°＝qE－k；两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得mgtan 45°＝2qE－k，整理解得q＝L，C正确，D错误。 【变式训练5-2-9】（多选）A、C是两个带电小球，质量分别是mA、mC，电荷量大小分别是QA、QC，用两条等长绝缘细线悬挂在同一点O，两球静止时如图所示，此时细线对两球的拉力分别为FTA、FTC，两球连线AC与O所在竖直线的交点为B，且AB<BC，下列说法正确的是(　 ) A．QA>QC B．mA∶mC＝FTA∶FTC C．FTA＝FTC D．mA∶mC＝BC∶AB 【答案】BD 【解析】利用相似三角形知识可得，A球所受三个力F、FTA、mAg构成的矢量三角形与三角形OBA相似，＝＝；C球所受三个力F、FTC、mCg构成的矢量三角形与三角形OBC相似，＝＝；因OA＝OC，所以mA∶mC＝FTA∶FTC；mA∶mC＝BC∶AB，选项B、D正确，C错误；因两球之间的作用力是相互作用力，无法判断两球带电荷量的多少，选项A错误． （三）绝缘轻弹簧连接体模型 【典型例题1】有两个完全相同的小球A、B，质量均为m，带等量异种电荷，其中A所带电荷量为＋q，B所带电荷量为－q。现用两长度均为L、不可伸长的细线悬挂在天花板的O点上，两球之间夹着一根绝缘轻质弹簧。在小球所挂的空间加上一个方向水平向右、大小为E的匀强电场。如图所示，系统处于静止状态时，弹簧位于水平方向，两根细线之间的夹角为θ＝60°，则弹簧的弹力为(静电力常量为k，重力加速度为g)(　　 ) A．　　　　　　　 B．mg＋ C．qE＋ D．mg＋＋qE 【答案】D 【解析】对小球受力分析如图所示，由平衡条件有FTcos＝mg,F弹＝FTsin＋qE＋k,解得F弹＝mg＋k＋qE，D正确。 【典型例题2】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接．A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列．已知静电力常量为k，重力加速度为g，则(　　) A. qC＝q0 B. 弹簧伸长量为 C. A球受到的库仑力大小为2Mg D. 相邻两小球间距为q0 【答案】：A 【解析】： 对 C 球进行受力分析可得，它受到 2 个方向相反的库仑力、重力、支持力，由于 A与B、 B 与 C 间距相等，由库仑定律可得，B 对 C 的库仑力是 A 对 C 库仑力的 4 倍，因此 C 球应为正电荷才能受力平衡。设 A、B 间距为l ，对 B 进行受力分析，由平衡条件可得： Mgsinα+k= k 对 C进行受力分析，由平衡条件可得：Mgsinα+k= k 联立解得：qC q0， 把A、B、C 三小球看作整体，设弹簧伸长量为 x ，由平衡条件可知，k0x=3Mgsinα 解得：x=3，选项B错误； 对A进行受力分析，设A 球受到的库仑力大小为F，由平衡条件可知，k0x=Mgsinα+F，解得F=2 Mgsinα，选项C错误；由Mgsinα+k= k可得l= q0，选项D错误， 【变式训练5-3-1】如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个相同的不带电小球由三根相同的绝缘轻弹簧连接构成等边三角形，轻弹簧均处于原长．现让每个小球带上相同的电荷量q，当三角形的面积增大到原来的4倍时重新达到平衡状态．已知每根弹簧的原长为l0，静电力常量为k，则每根弹簧的劲度系数为(　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】三角形的面积为S＝l2sin 60°，则当面积增大到原来的4倍时，边长变为原来的2倍，即当每个小球带上相同的电荷量时，弹簧伸长了l0，则对其中一个小球受力分析可知2Kl0cos 30°＝2kcos 30°，解得K＝，故选A. 【变式训练5-3-2】如图所示，内壁光滑粗细均匀的玻璃管竖直固定，在玻璃管内有大小和质量均相等的A、B、C三只小球，A、B小球之间用轻质绝缘弹簧连接，C小球置于玻璃管底部。当A、B、C小球均处于静止时，A、B小球之间距离与B、C小球之间距离相等，已知A、B两只小球带电荷量均为q(q>0)，C小球带电荷量为Q(Q>0)，小球直径略小于玻璃管内径，它们之间距离远大于小球直径，则(　　) A.若Q＝3q，弹簧对小球A为向上的弹力 B.若Q＝2q，弹簧对小球A为向上的弹力 C.若Q＝3q，弹簧对小球B为向上的弹力 D.若Q＝2q，弹簧对小球B为向下的弹力 【答案】A 【解析】设A、B的质量为m，AB与BC之间的距离为L，假设当弹簧处于压缩状态时，此时A球受到向上的弹力，根据平衡条件对A列出平衡方程，对A球mg＝k＋k＋F，对A、B两球整体分析k＋k＝2mg，若假设成立则F≥0，联立可以得到Q≥q，若Q＝3q>q，此时弹簧对小球A的弹力方向向上，对小球B的弹力方向向下，故A正确，C错误；若Q＝2q<q，此时弹簧对小球A的弹力方向向下，对小球B的弹力方向向上，故B、D错误。 【变式训练5-3-3】如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（　　） A. 带负电 B. 运动至a点的速度大小为 C. 运动至a点的加速度大小为 D. 运动至ab中点时对斜面的压力大小为 【答案】BCD 【意图】本题考查库仑定律、平衡条件、牛顿运动定律及其相关知识点. 【解析】 根据题图几何关系可知三小球构成一个边长为L的等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3之间的作用力一定是斥力，由于小球1带正电，所以小球3带正电，选项A错误；小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，小球2对小球3做功为0；弹簧弹力做功为0，故根据动能定理有，解得，选项B正确；小球3在b点时，设小球3的电荷量为q，根据库仑定律和平衡条件，得。设弹簧的弹力为F，根据受力平衡，沿斜面方向有 ，解得 。 小球3运动至a点时，弹簧伸长量等于，根据对称性，利用牛顿第二定律可得，解得，选项C正确；当小球3运动至ab中点时，弹簧弹力为0，此时小球2对小球3的力为 斜面对小球的支持力为 根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为，选项D正确。 题型06：静电力参与的动态平衡问题 （一）接触连接体模型 【典型例题1】如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m，带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，则(　　) A．电场强度的最小值为E＝ B．若电场强度E＝，则电场强度方向一定竖直向上 C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大 D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大 【答案】C 【解析】如图所示，电场力与支持力垂直时，所加的电场强度最小，此时场强方向沿斜面向上，mgsin θ＝qEmin，解得电场强度的最小值为Emin＝，选项A错误；若电场强度E＝，则电场力与重力大小相等，由图可知，电场力方向可能竖直向上，也可以斜向下，选项B错误；由图可知，若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场力逐渐变大，电场强度逐渐增大，选项C正确，D错误． 【典型例题2】如图所示，绝缘杆OP竖直固定在绝缘水平桌面上，带正电的小球A套在杆上，带正电的小球B右侧为绝缘竖直固定挡板。系统静止在图示位置，不计一切摩擦，两小球均可视为质点，重力加速度为g。由于空气潮湿，两球缓慢漏电，球A从a处缓慢移到b处，则此过程中 (　　) A．球B对桌面的压力逐渐增大 B．杆对球A的弹力逐渐减小 C．挡板对球B的弹力逐渐减小 D．两球间的库仑力逐渐增大 【答案】D 【解析】以两球为研究对象，受力分析可知桌面对球B的支持力FN始终与两球的总重力大小相等、方向相反，根据牛顿第三定律知球B对桌面的压力始终与两球的总重力大小相等，即不变，选项A错误；对球A受力分析，如图所示，球A缓慢移动，则受到的合外力始终为零，库仑力F＝，杆对球A的弹力FNA＝mgtan θ，球A从a处缓慢移到b处的过程中，θ逐渐增大，cos θ逐渐减小，tan θ逐渐增大，则F、FNA均逐渐增大，选项B错误，D正确；由两球受力平衡得挡板对球B的弹力FNB与FNA等大反向，则FNB逐渐增大，选项C错误。 【变式训练6-1-1】如图所示，MON是固定的光滑绝缘直角杆，MO沿水平方向，NO沿竖直方向，A、B为两个套在此杆上的带有同种电荷的小球，用一指向竖直杆的水平力F作用在A球上，使两球均处于静止状态。现将A球向竖直杆方向缓慢拉动一小段距离后，A、B两小球可以重新平衡。则后一种平衡状态与前一种平衡状态相比较，下列说法正确的是(　　) A．A、B两小球间的库仑力变大 B．A、B两小球间的库仑力变小 C．A球对MO杆的压力变大 D．A球对MO杆的压力变小 【答案】B　 【解析】A、B间的连线与竖直方向的夹角减小，对B研究，库仑力在竖直方向的分力与重力等大反向，因此A、B两小球间的库仑力减小；由整体法可知，A对杆的压力等于A、B的重力之和，A、C、D错误，B正确。 【变式训练6-1-2】如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点．关于此过程，下列说法正确的是(　 　) A．地面对斜面C的摩擦力先增大后减小 B．地面对斜面C的摩擦力逐渐减小 C．物体A受到斜面的支持力一直减小 D．物体A受到斜面的支持力一直增大 【答案】B 【解析】如图所示，以A和C整体为研究对象，设B对A的库仑力大小为F，与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件得Ff＝Fsin θ，由于F大小不变，θ减小，则知地面对斜面C的摩擦力逐渐减小，故A错误，B正确；以A为研究对象，分析可知，B对A的库仑力垂直于斜面方向的分力先逐渐增大后逐渐减小，设该分力为F′，斜面倾角为α，根据平衡条件，斜面对A的支持力FN′＝mgcos α＋F′，可知FN′先增大后减小，故C、D错误． 【变式训练6-1-3】(多选)放在水平地面上的光滑绝缘圆筒内有两个带正电小球A、B，A位于筒底靠在左侧壁处，B在右侧筒壁上受到A的斥力作用处于静止，如图所示．若A的电荷量保持不变，B由于漏电而下降少许重新平衡，下列说法正确的是(　　) A．A对筒底的压力不变 B．B对筒壁的压力变大 C．A、B间的库仑力变小 D．A、B间的电势能减小 【参考答案】AB　 【名师解析】　对A、B系统由整体法可知，A对筒底的压力不变，A项正确．对球B受力分析如图所示．当B球下降时，F库与水平方向的夹角α变小，在竖直方向上有：F库sinα＝mBg.当α变小时，F库是变大的，而FN＝F库cosα，显然FN变大，B项对，C项错误．因为B下降后更靠近A球，克服库仑斥力做功，系统电势能增大，D错．正确选项为A、B. 【变式训练6-1-4】（多选）如图所示，MON是固定的光滑绝缘直角杆，MO沿水平方向，NO沿竖直方向，A、B为两个套在杆上的带有同种电荷的小球，用一指向竖直杆的水平力F作用在A球上，使两球均处于静止状态．现将A球向竖直杆方向缓慢拉动一小段距离后，A、B两小球可以重新平衡．则后一种平衡状态与前一种平衡状态相比较，下列说法正确的是(　 　) A．A、B两小球间的库仑力变大 B．A、B两小球间的库仑力变小 C．A球对MO杆的压力变大 D．A球对MO杆的压力肯定不变 【答案】BD 【解析】A、B间的连线与竖直方向的夹角减小，对B研究，库仑力在竖直方向的分力与重力等大反向，因此A、B两小球间的库仑力减小，选项A错误，B正确；由整体法可知，A对MO杆的压力等于A、B的重力之和，故选项C错误，D正确． 【变式训练6-1-5】(多选)如图所示，带电小球a用绝缘细线竖直悬挂，在带电小球a下方的绝缘桌面上固定着两个带电小球b、c，三个小球均可看成点电荷。当小球a处于平衡状态时，它距桌面O点的距离为7.5 cm，距小球b、c的距离均为15 cm，且三个电荷在同一竖直平面上。已知小球a的电荷量为-3.00×10－8 C，小球b、c的电荷量均为+3.00×10－4 C，OM之间的距离等于ON之间距离，下列说法错误的是(　　) A．O处的电场强度大小为4.8 N/C B．小球a与b之间作用力大小为9.6 N C．若小球a沿竖直方向向上运动，则它的电势能将减小 D．若小球b、c分别移到M、N两点，则细线的拉力将减小 【答案】ABC 【解析】 由题知，电荷b、c在O点形成的合电场强度为0，故O处的合电场强度为电荷a在O处的电场强度，大小为E＝＝4.8×104 N/C，A错误；电荷a、b间的库仑力大小为E＝＝7.2 N，B错误，若小球a沿竖直方向向上运动，电场力做负功，电势能增加，C错误；若小球b、c分别移到M、N两点，a受到的库仑引力减小，故绳子拉力减小，D正确。 （二）绝缘细线连接体模型 【典型例题1】如图所示，一带电小球A固定于定滑轮的正下方，一根绕过定滑轮的轻质绝缘细线一端系有一个带同种电荷的小球B，另一端用一拉力T拉住使小球B处于静止状态，图示位置两球球心所在高度相同。设定滑轮与小球B间的细线与竖直方向的夹角为θ（θ>0），小球A、B可视为质点。现缓慢拉动绝缘细线，使小球B移动一段距离，则在小球B移动过程中，下列说法正确的是（　　） A. 小球A、B间的距离减小 B. 细线与竖直方向的夹角θ减小 C. 小球B的运动轨迹为圆弧 D. 拉力T先减小再增大 【答案】C 【解析】 设小球A、B间的距离记为，小球B到定滑轮的距离记为，小球A与滑轮间的距离记为，且为一定值，以小球B为研究对象，B球受力分析如图所示 根据相似三角形有 又 解得 即小球A、B间的距离为定值，小球B沿圆周运动，A错误，C正确； 小球B沿圆周运动一段距离，细线与竖直方向的夹角θ先增大后减小，B错误； 根据受力分析可得 随着细线的缩短，拉力T逐渐减小，D错误。故选C。 【典型例题2】(多选)一根套有细环的粗糙杆水平放置，带正电的小球A通过绝缘细线系在细环上，另一带正电的小球B固定在绝缘支架上，A球处于平衡状态，如图7所示．现将B球稍向右移动，当A小球再次平衡(该过程A、B两球一直在相同的水平面上)时，细环仍静止在原位置，下列说法正确的是(　　) A．细线对带电小球A的拉力变大 B．细线对细环的拉力保持不变 C．细环所受的摩擦力变大 D．粗糙杆对细环的支持力变大 【答案】AC 【解析】以小球A为研究对象，分析受力情况：重力mg、细线的拉力FT和电场力F，根据平衡条件得：FT＝，F增大时，FT变大，故A正确，B错误．以小球A和细环整体为研究对象，受到总重力G、杆对细环的支持力FN和摩擦力Ff和电场力F.根据平衡条件得：FN＝G，Ff＝F，电场力F增大时，杆对细环的支持力保持不变，细环所受的摩擦力变大，故C正确，D错误． 【典型例题3】(多选)如图所示，两个带电小球A、B穿在同一根光滑绝缘的细绳上，细绳两端固定在天花板的O点，当整个系统保持平衡时，两小球连线恰好水平，且两小球与悬点O恰好构成一个正三角形，则下列判断正确的是(　　) A.两小球质量一定相同 B.两小球带电荷量一定相同 C.细绳张力与两小球之间库仑力之比2∶3 D.A球在缓慢漏电过程，细绳张力始终保持不变 【答案】AC 【解析】设绳张力为FT，对A或B球所受绳子张力的合力为F＝2FTcos 30°＝FT，对两小球受力分析如图，由图可知，Fcos 60°＝mg，则m＝，由于同一根绳子，所以绳子的拉力FT相同，故F相同，则两小球质量一定相同，故A正确；由几何关系可得FAB＝Fcos 30°，FBA＝Fcos 30°，则两小球间的库仑力大小相等，由F＝k可知，不能说明两小球带电荷量一定相同，故B错误；由几何关系得＝＝＝，则＝，故C正确；A球在缓慢漏电过程，A、B球的库仑力减小，说明A、B两球间的距离减小，上面两绳的夹角变小，则绳子张力变化，故D错误。 【变式训练6-2-1】如图所示，两个可视为点电荷的带正电小球A和B，A球系在一根不可伸长的绝缘细线一端，绕过定滑轮，在细绳的另一端施加拉力F，B球固定在绝缘座上，位于定滑轮的正下方。初始间的距离小于滑轮和B的距离。现缓慢拉动细绳，使A球缓慢移动到定滑轮处，此初始过程中，B球始终静止，忽略定滑轮大小和摩擦，下列判断正确的是（　　） A．B球受到的库仑力先增大后减小 B．拉力F先减小后增大 C．地面对绝缘座的支持力一直减少 D．A球的电势能一直不变 【答案】B 【详解】A．设A球所受库仑力大小为FC，A、B两球间的距离为r，B球距定滑轮的高度为h，A球与定滑轮间的距离为l，对开始位置处的A球进行受力分析，将FC和F进行合成，如图所示 由相似三角形可得 A球缓慢移动的过程中，r先不变，等A球运动到滑轮正下方后，r再变大；整个过程中l一直减小，所以A球所受的库仑力先不变后减小，由牛顿第三定律可知，B球受到的库仑力先不变后减小，A错误； B．A球未到达滑轮正下方时，F减小；当A球到达滑轮正下方后，由平衡条件可得所以F增大，B正确； C．A球未到滑轮正下方时，库仑力大小不变，方向趋近竖直，则B球受到库仑力的竖直分量变大，地面对绝缘座的支持力变大；A球到达滑轮正下方后，B球受到库仑力减小、方向竖直向下，则地面对绝缘座的支持力减小，C错误； D．r先不变后变大，两者间的库仑斥力对A球先不做功后做正功，则A球的电势能先不变后减小，D错误。 故选B。 【变式训练6-2-2】如图所示，带有等量异种电荷的两个小球A、B分别套在光滑绝缘杆MN、NP上，两杆固定在一起，NP水平且与MN处于同一竖直面内，∠MNP为钝角。在加在B球上水平向右的拉力F作用下，A、B均处于静止状态，此时A、B两球间距为L1。现缓慢拉动B球向右移动一小段距离，A球也缓慢向上移动，当B球到达C点（图中未画出）时，停止拉动，A、B依然均处于静止状态，此时A、B两球间距为L2，拉力大小为F′，则（　　） A．F=F′ B．L1>L2 C．杆MN对球A的支持力不变 D．在移动过程中库仑力对A球不做功 【答案】B 【详解】BCD．以A球为对象，其受力如图所示 沿MN杆方向，根据受力平衡可得 缓慢拉动B球向右移动一小段距离，A球也缓慢向上移动，增大，则减小，而不变，可知A、B之间的库仑引力增大，根据 可知A、B之间的距离减小，则有 垂直MN杆方向，根据受力平衡可得 由于增大，增大，则杆MN对球A的支持力增大；在移动过程中，B对A的库仑引力方向与A球的位移夹角小于，则库仑力对A球做正功，故B正确，CD错误； A．以B球为对象，根据受力平衡可得，拉力与A球对B球库仑引力的水平分力平衡，由于库仑力增大，且库仑力与水平方向的夹角变小，则库仑引力的水平分力增大，所以拉力增大，则故A错误。故选B。 【变式训练6-2-3】如图是研究电荷之间相互作用力的实验装置。带电荷量为Q的金属小球A用绝缘杆固定在地面上，带电量为q、质量为m的金属小球B用绝缘细线悬挂在可移动支架上，两者均可看作点电荷，且处于同一水平线上。将两小球的距离增大一倍，调整支架，使两小球仍处于同一水平线上，下列说法正确的是(　　) A.两小球可能带异种电荷 B.距离增大一倍后小球B的电势能增大 C.距离增大前与距离增大一倍后，细线与竖直方向夹角θ的正切值之比为2∶1 D.距离增大一倍后，小球B在小球A处产生的电场强度大小可表示为 【答案】D 【解析】由于B球向右摆，则两球间为排斥力，说明两小球一定带同种电荷，故A错误；两球距离增大的过程中，电场力对小球B做正功，小球B的电势能减小，故B错误；结合库仑定律F＝，可知距离增大一倍，小球间的库仑力F减小原来的四分之一，则距离增大前与距离增大一倍后，细线与竖直方向夹角θ的正切值之比为4∶1，故C错误；由牛顿第三定律可知，小球A与小球B间的库仑力大小相等，方向相反，则F＝mgtan θ＝QE，得E＝，故D正确。 【变式训练6-2-4】 如图，平行板电容器两极板竖直放置，带电量为，一质量为m的带电小球用绝缘轻线悬挂于O点，小球静止时悬线与竖直方向的夹角为60°。现将电容器缓慢放电，直到夹角减小到30°，此时电容器带电量为（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 经过受力分析可得，未放电前有放电后有联立解得 BCD错误，A正确。 【变式训练6-2-5】如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1kg的小球A悬挂到水平板的MN两点，A上带有Q=3.0×10-6C的正电荷。两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为和。A的正下方0.3m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2kg（重力加速度取g=10m/s2；静电力常量k=9.0×109Nm2/C2，AB球可视为点电荷）则（ ） A．支架对地面的压力大小为2.0N B．两线上的拉力大小F1= F2=1.9N C．将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小为F1=1.225N, F2=1.0N D．将B移到无穷远处，两线上的拉力大小F1= F2=0.866N 【参考答案】　BC 【名师解析】 小球A、B间的库仑力为F库＝k＝9.0×109× N＝0.9 N，对小球B和支架整体分析受力，由平衡条件，地面对支架的支持力FN=mg-F库=2N-0.9N=1.1N，由牛顿第三定律，支架对地面的压力大小为1.1N，选项A错误。对小球A受力分析，由于三力互成120°夹角，三力大小相等，两线上的拉力大小F1= F2= mAg+F库=1N+0.9N=1.9N，选项B正确。将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两小球之间的距离变为r’= m=0.6m，两球之间的库仑力为F= k=0.225N.。由F1-F= F2= mAg解得：两线上的拉力大小F1=1.225N, F2=1.0N，选项C正确。将B移到无穷远处，两小球之间的库仑力为零，对小球A受力分析，由平衡条件可知，F1= F2= mAg，两线上的拉力大小F1= F2=1.0N，选项D错误。 　　 【变式训练6-2-6】如图所示，两个可视为点电荷的带正电小球A和B，A球系在一根不可伸长的绝缘细线一端，绕过定滑轮，在细绳的另一端施加拉力F，B球固定在绝缘座上，位于定滑轮的正下方且离滑轮足够远。现缓慢拉动细绳，使A球缓慢移动到定滑轮处，此过程中，B球始终静止，忽略定滑轮大小和摩擦，下列判断正确的是（ ） A.B球受到的库仑力先增大后减小 B.拉力F先减少后增大 C.地面对绝缘座的支持力先增大后减小 D.A球的电势能一直减小 【答案】BC 【解析】设球所受库仑力大小为，AB两球间距离为r，B球距定滑轮为h，A球与定滑轮间距离为l，对开始位置处的A球受力分析，将F和FC合成如图，由相似三角形可得，所以A示缓慢移动过程中，r先不变，等A球运动到滑轮正下方后，r再变大；整个过程l一直减小，r先不变再变大，B球受到的库仑力大小先不变后减小，选项A错误；A球未到滑轮正下方时，由相似三角形可得，所以F先减小，当A球到达滑轮正下方后，由平衡条件可得，所以F再增大，选项B正确；A球未到滑轮正下方时，库仑力大小不变，方向趋近竖直，则B球受到库仑力的竖直分量变大，地面对绝缘座的支持力先变大；A球到达滑轮正下方后，B球受到库仑力大小减小、方向竖直向下，地面对绝缘座的支持力减小，选项C正确；r先不变后变大，两者间的库仑斥力对A球先不做功后做正功，则A球的电势能先不变后减少，选项D错误。 【变式训练6-2-7】(多选)如图所示，带正电的小球A用竖直立在地面上的绝缘杆支撑固定，带正电的小球B用绕过A球正上方的定滑轮的绝缘细线挂着，开始时A、B在同一水平线上并处于静止状态，不计两个小球的大小。现用手拉细线，使小球B缓慢向上移动，小球B在向上移动过程中A、B两球的电荷量保持不变，不计两球间的万有引力，则在B球缓慢移动一小段距离的过程中 (　　) A．A、B两球间的距离在减小 B．小球的运动轨迹是一段圆弧 C．细线上的张力一直减小 D．细线上的张力可能先变小后变大 【答案】BC　 【解析】B受到的重力为mg，A、B两球的带电荷量分别为q1、q2，两球间的距离为r，A球与定滑轮的距离为h，定滑轮与B球的距离为d，在B球移动过程中任取一位置，对B球受力分析如图所示，根据相似三角形知识可知，＝＝，解得r＝，由此可见，在小球B移动过程中，r不变，因此小球的运动轨迹是一段圆弧，选项A错误、B正确；又根据F＝，由于d在减小，因此F在减小，选项C正确、D错误。 【变式训练6-2-8】(多选)如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d。若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是(　　) A.丝线对B球的拉力逐渐变大 B.A球对B球的库仑力逐渐变小 C.当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的 D.当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的 【答案】BD 【解析】对B受力分析，由B受力平衡可得：＝＝，B球缓慢漏电，可知F减小，则d逐渐减小，FT不变，A错误，B正确；当AB间距离减为时，则库仑力减小到原来的，根据F＝k可知B球的电荷量减小为原来的，C错误，D正确。 【变式训练6-2-9】（多选）如图所示，在光滑定滑轮C正下方与C相距h的A处固定一电荷量为Q(Q>0)的点电荷，电荷量为q的带正电小球B，用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力F拉住，使B处于静止状态，此时B与A点的距离为R，B和C之间的细线与AB垂直．若B所受的重力为G，缓慢拉动细线(始终保持B平衡)直到B接近定滑轮，静电力常量为k，环境可视为真空，则下列说法正确的是(　 　) A．F逐渐增大 B．F逐渐减小 C．B受到的库仑力大小不变 D．B受到的库仑力逐渐增大 【答案】BC 【解析】对B进行受力分析，如图所示，根据三力平衡和相似三角形可得：＝＝，又F1＝，则＝＝，有F′＝，且F＝F′，当L逐渐减小时，F逐渐减小，选项A错误，B正确；在B缓慢移动过程中，设B与A点的距离为x，在整个过程中，x都满足＝，对比＝，得x＝R，即B与点电荷间的距离不变，B受到的库仑力大小不变，选项C正确，D错误． 题型07：有静电力参与的动力学问题 【典型例题1】如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电荷量大小分别为QA＝6q，QB＝3q，QC＝8q。现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中 A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等。不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为(　　) A．F B．F C．F D．F 【答案】A 【解析】设小球的质量为m，以三个球为整体：F＝3ma；以A、B为整体：F1＝2ma，解得F1＝F；由牛顿第三定律知A、B对C的库仑力的合力大小为F。根据库仑定律得＝k∶k＝，A、B所受C的库仑力方向不可能相同，结合牛顿第三定律可知：FBC－FAC＝F，解得FBC＝F。 【典型例题2】（多选）质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是 　) A．B球的电荷量可能为＋2q B．C球的电荷量为－2q C．三个小球一起运动的加速度大小为 D．恒力F的大小为 【答案】BC 【解析】根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝，C球对A球的库仑引力为FCA＝，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcos 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝，故D错误。 【典型例题3】三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O，平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为，如图所示，现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C（过程中A、B之间未接触），A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为，求初始时小球C所带的电荷量。 【答案】或 【详解】设细绳的长度为，由几何关系可知，初始时A、B间的距离为，则 对A球由平衡条件可得 当C小球分别与A、B接触后，由题意结合几何关系可知，A、B间的距离变为，根据平衡条件可得 可得 此时小球A、B所带的电荷量分别为 联立解得， 【典型例题4】如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求： （1）C、O间的电势差； （2）小球p经过O点时的加速度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球由C运动到O时，由动能定理得解得 （2）小球p经过点O时受力如图所示 由边角关系知，，由库仑定律得 它们的合力为 由牛顿第二定律得 解得 【变式训练7-1】如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则(　　) A.小环A的加速度大小为 B.小环A的加速度大小为 C.恒力F的大小为 D.恒力F的大小为 【答案】B 【解析】设轻绳的拉力为FT，则对A：FT＋FTcos 60°＝k，FTcos 30°＝maA，联立解得aA＝，故B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2maA＝，故C、D错误。 【变式训练7-2】如图所示，足够大的光滑绝缘水平面上有三个带电质点，A和C围绕B做匀速圆周运动，B恰能保持静止，其中A、C和B的距离分别是L1和L2。不计三质点间的万有引力，则A和C的比荷(电荷量与质量之比)之比应是(　　) A．()2 B．()3 C．()2 D．()3 【答案】B　 【名师解析】根据B恰能保持静止可得：k＝k，A做匀速圆周运动，根据A受到的合力提供向心力得：k－k＝mAω2L1，C做匀速圆周运动有，有k－k＝mCω2L2，联立三式解得A和C的比荷应是()3。 【变式训练7-3】如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C固定在AB的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动。已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为m，带电量均为+q，小球C的带电量大小为4q，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　）    A．小球C可能带正电 B．固定物对小球C的作用力方向竖直向下 C．小球A的角速度 D．若小球C的电荷量大小可以变化，小球B转动的角速度最大值为 【答案】C 【详解】A．小球、绕过点的竖直轴转动，合力提供向心力，、间的库仑力为斥力，所以、间必须是引力才可以，所以小球一定带负电，故A错误； B．对小球受力分析可知，、两个小球给的库仑力的合力一定竖直向下，小球受到的重力也竖直向下，所以固定物给小球的作用力一定竖直向上，故B错误； C．对小球受力分析有 解得故C正确； D．若小球的电荷量可以变化，对小球受力分析，竖直方向上有因为，所以水平方向有解得故D错误。故选C。 【变式训练7-4】（多选）质量为m、电荷量为＋Q的带电小球A固定在绝缘天花板上，带电小球B，质量也为m，在空中水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。已知小球A、B间的距离为2R，重力加速度为g，静电力常量为k。则(　 　) A．天花板对A球的作用力大小为2mg B．小球B转动的角速度为 C．小球B所带的电荷量为 D．A、B两球间的库仑力对B球做正功 【答案】BC 【解析】设小球A、B连线与竖直方向的夹角为θ，对B球受力分析可知，库仑力在竖直方向的分力等于小球的重力，有kcos θ＝mg，由几何关系可知，小球A、B连线与竖直方向的夹角为30°，代入数据解得qB＝，所以C正确；小球B转动所需的向心力为F＝mgtan 30°＝mg，根据向心力公式F＝mω2R，整理得ω＝，所以B正确；A、B两球间的库仑力对B球不做功，所以D错误；天花板对A球的作用力在竖直方向的分力的大小为Fy＝2mg，天花板对A球的作用力在水平方向的分力的大小为Fx＝mg，天花板对A球的作用力大小为F＝＝mg，所以A错误。 【变式训练7-5】(多选)如图所示，带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为－Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态．此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为.迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动．g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是(　　) A．带负电 B．运动至a点的速度大小为 C．运动至a点的加速度大小为2g D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg 【答案】BCD 【解析】由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3一定是斥力，且小球1带正电，故小球3带正电，故A错误；小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，小球2对小球3做功为0，弹簧弹力做功为0，故根据动能定理有mgLsin 30°＝mv2，解得v＝，故B正确；设小球3的电荷量为q，小球3在b点时，有k＝，设弹簧的弹力大小为F，根据受力平衡，沿斜面方向有F＝k－ksin 30°－mgsin 30°，联立解得F＝mg，小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，弹力大小仍为F，则有F＋ksin 30°－mgsin 30°＝ma，解得a＝2g，故C正确；当球3运动至ab中点时，弹簧弹力为0，此时小球2对小球3的力为F23＝k＝mg，斜面对小球3的支持力大小为FN＝mgcos 30°－F23＝mg－mg＝mg，根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为mg，故D正确． 【变式训练7-6】如图所示，电荷量Q＝2×10－7C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4kg、电荷量q＝1×10－7C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109N·m2/C2，重力加速度取g＝10m/s2。求： （1）B运动到距O点l＝0.5m处的加速度大小； （2）P、O间的距离L。 【答案】（1）6.4m/s2；（2）0.3m 【详解】（1）分析电荷B的受力，得mg－＝ma代入数据得a＝6.4m/s2 （2）B运动过程中速度最大时，加速度为零，此时 mg＝代入数据得L＝0.3m 【变式训练7-7】如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为，g取，静电力常量为k，试求： （1）此带电小球在B点的加速度大小； （2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律，在A点时 在B点时解得方向竖直向上。 （2）从A到B过程，由动能定理得解得 【变式训练7-8】如图所示，在绝缘水平面上的O点固定一电荷量为+Q点电荷，在O点正上方高为H的A处由静止释放某带电荷量为+q的小液珠，开始运动的瞬间小液珠的加速度大小恰好等于重力加速度，方向竖直向上。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求： （1）液珠开始运动瞬间所受库仑力的大小和方向； （2）运动过程中小液珠速度最大时其离O点的距离h。（以上两问结果只能用题中已知的物理量k，Q，q，H表示） 【答案】（1），方向竖直向上；（2） 【详解】（1）根据库仑定律有因为同种电荷相互排斥，所以库仑力方向竖直向上。 （2）开始运动瞬间根据牛顿第二定律得 速度最大时加速度为零，则 即解得 【变式训练7-9】如图所示，光滑绝缘直杆水平放置并固定不动，其中、、的长度均为，杆上套有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点连接，直杆处固定电荷量为的点电荷，小球从点由静止开始释放，运动到点时速度恰好达到最大值。垂直于直杆，且的长度为弹簧原长，静电力常量为。 （1）求、两点间的电势差。 （2）求小球刚释放时的加速度大小。 （3）求小球运动到点时，点的电场强度大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球从点运动到点的过程中弹簧弹力做功为零，由动能定理有 解得 （2）小球在点时，设弹簧与水平方向的夹角为，则 在点时有解得 （3）设处点电荷在点产生的电场强度大小为，方向向右；带电小球运动到点时在点产生的电场强度大小为，方向向左，则 解得点的电场强度大小 【变式训练7-10】如图所示，在倾角为α的足够长光滑斜面上放置两个质量分别为和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，A、B的加速度大小之比为。已知重力加速度为g，静电力常量为k。 (1)若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性； (2)在(1)条件下求与L的比值。 【答案】(1)，带正电荷；(2) 【详解】(1)由初始B球的加速度等于零及B球带正电荷，可知A球带正电荷。 对B球受力分析，沿斜面方向B球受到的合力为零，即 根据库仑定律得解得 (2)两球距离为时，A球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有 B球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有 依题意由且解得又解得 【变式训练7-11】如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为的光滑固定绝缘斜面上，已知A球的质量为m，所带电荷量为+q，B球的质量为2m，所带电荷量为-q。沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上做匀加速直线运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求： (1)加速度a的大小； (2)F的大小。 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力 A球和B球的加速度相同，隔离B球，由牛顿第二定律有所以 (2)把A球和B球看成整体，A、B间的库仑力为系统内力，由牛顿第二定律有 【变式训练7-12】如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按分布（x是轴上某点到O点的距离）。x轴上，有一长为L的绝缘细线连接均带负电的两个小球A、B，两球质量均为m，B球带电荷量大小为q，A球距O点的距离为L。两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用。 (1)求A球的带电荷量大小qA； (2)剪断细线后，求B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0； (3)剪断细线后，求B球下落最大高度h。 【答案】(1)qA=6q；(2)x0=4L；(3)h=4L 【详解】(1)对A、B由整体法得解得qA=6q (2)当B球下落速度达到最大时，由平衡条件得解得x0=4L (3)运动过程中，电场力大小线性变化，所以由动能定理得 解得h=4L 题型08：有静电力参与的动力学瞬时性问题 【典型例题1】如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【详解】AB．根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 A球与B球间的库仑力 故AB错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小为，则加速度大小为g，故C正确； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D错误。故选C。 【典型例题2】(多选)如图所示，在夹角为2θ的V形绝缘槽里，离底端h高处有用细线相连的两个相同带电小球处于静止状态．FT为细线上的张力，每个小球的质量为m，重力加速度为g，槽面摩擦不计，则下列说法正确的是(　　) A. 改变两球之间的细线长度，小球在另一高度平衡时，小球受槽面的支持力不变 B. 两球之间库仑力大小为FT＋mgtanθ C. 烧断细线瞬间小球的加速度大小为 D. 烧断细线后小球的机械能将减小 【答案】AC 【解析】如图所示，右侧槽面上的小球进行受力分析，有FNsinθ＝mg，FN＝，可知小球所受支持力与所处高度无关，A正确；右侧槽面上的小球受到的库仑力为F＝FNcosθ＋FT，则F＝＋FT，B错误；烧断细线瞬间，小球的加速度沿槽面向上，有a＝＝，C正确；烧断细线后，小球沿槽面向上运动，静电力做正功，机械能增加，D错误． 【变式训练8-1】探究两个可以视为点电荷的带电小球之间的作用力，带电荷量为的小球固定在绝缘支架上，用轻质绝缘细线将带电荷量为的小球悬挂在铁架台上，平衡时两小球连线水平，之间的距离为，悬挂小球的细线与竖直方向的夹角为，如图所示。已知小球的质量为，静电力常量为，则剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】带电小球与之间的库仑力 根据受力分析，由平衡条件可得，细线中的拉力大小 剪断细线的瞬间，小球受重力和库仑力作用力，它们的合力大小与原拉力的大小相等，即，此时根据牛顿第二定律有 解得加速度大小故选A。 【变式训练8-2】如图，通过绝缘轻绳将质量均为m的三个小球A、B、C连接在一起并悬于O点，其中A、B球带电，且带电荷量均为＋q，C球不带电．整个空间存在方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E＝，g为重力加速度，A、B两个小球均可视为点电荷．当把OA段细线剪断的瞬间(　 　) A． A球的加速度小于2g B． B球的加速度大于2g C． A球和B球之间的绳子拉力为0 D． B球和C球之间的绳子拉力为0 【答案】D 【解析】由题知qE＝mg，剪断绳子OA的瞬间，假设AB和BC段的绳子均无作用力，对A受力分析有：mg＋qE－k＝maA，对B：mg＋qE＋k＝maB，对C：mg＝maC，则有aA<2g，aB>2g，aC＝g，结合轻绳的受力特点可知，AB段绳子绷紧，BC段绳子紧绷但无张力，故可将A、B看作一个整体，对A、B整体有：mg＋mg＋2qE＝2maAB，则aAB＝2g，故A、B错误；对A分析有：mg＋qE＋FT－k＝maAB，故FT＝k，故C错误；结合以上分析可知，BC段绳子紧绷但无张力，故BC段绳子拉力为0，故D正确． 【变式训练8-3】如图，水平向右的匀强电场中有a、b两个可视为质点的带电小球，小球所带电荷量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．若a、b电性相反，则球a的质量一定大于球b的质量 B．若a、b电性相反，则球a的质量可能等于球b的质量 C．若同时剪断两根细绳，则a球可能先落地 D．若同时剪断两根细绳，则a、b两球一定同时落地 【答案】AD 【详解】AB．若a、b电性相反，只有a带负电，b带正电才能受力平衡，a、b水平方向都有 又由， 得故A正确，B错误； CD．同时剪断两根细绳，两球竖直方向做自由落体运动，高度相同，故一定同时落地，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练8-4】如图所示，质量为m的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电(可视为点电荷)，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正点电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度是多大； (2)当A球的动能最大时，A球与B点间的距离。 【答案】(1)gsin α－　(2) 【解析】(1)小球A刚释放时，由牛顿第二定律有 mgsin α－F＝ma 根据库仑定律有F＝k，又r＝ 联立解得a＝gsin α－。 (2)当A球受到的合力为零，即加速度为零时，动能最大。 设此时A球与B点间的距离为d。 则mgsin α＝，解得d＝。 【变式训练8-5】在竖直平面内，一根长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端拴着质量为m、电荷量为+q的小球。小球始终处在场强大小为、方向竖直向上的匀强电场中，现将小球拉到与O点等高处，且细线处于拉直状态，由静止释放小球，当小球的速度沿水平方向时，细线被拉断，之后小球继续运动并经过P点，P点与O点间的水平距离为L。重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）细线被拉断前瞬间，细线的拉力大小； （2）O、P两点间的电势差。 【命题意图】本题考查动能定理、牛顿运动定律、类平抛运动规律及其相关知识点。 【解题思路】 （1）小球受到竖直向上的电场力F = qE = 1.5mg＞mg 所以小球被释放后将向上绕O点做圆周运动，到达圆周最高点时速度沿水平方向，设此时速度为v，由动能定理 ① 设细线被拉断前瞬间的拉力为FT，由牛顿第二定律 ② 联立①②式解得： FT = 1.5mg （2）细线断裂后小球做类平抛运动，加速度a竖直向上，由牛顿第二定律 F mg = ma ③ 设细线断裂后小球经时间t到达P点，则有L = vt ④ 小球在竖直方向上的位移为 ⑤（解得 ） O、P两点沿电场方向（竖直方向）的距离为d = L + y ⑥ O、P两点间的电势差 UOP = Ed ⑦ 联立①~⑦式解得 1.如图12所示。绝缘水平天花板上的O点用绝缘丝线悬挂一电荷量为＋q的小球A，丝线长为L，在同一水平线距离O点为L处固定另一电荷量为＋Q的点电荷(Q未知)。当小球静止时，丝线和竖直方向的夹角θ＝30°，已知小球质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) 图12 A.丝线的拉力大小为mg B.两带电体间的相互作用力为mg C.Q＝ D.由于漏电，电荷量Q减小时，丝线的拉力不变 答案　C 解析　小球受力情况如图所示，由几何关系可知φ＝30°，则两带电体的相互作用力FC＝mg，丝线的拉力T＝2mgcos θ＝mg，选项A、B错误；根据库仑定律有FC＝k，解得Q＝，选项C正确；由于漏电，电荷量Q减小时，FC减小，小球将下移，故图中h变大，根据相似三角形有＝，故丝线的拉力T′减小，选项D错误。 2.如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【详解】AB．根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 A球与B球间的库仑力 故AB错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小为，则加速度大小为g，故C正确； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D错误。 故选C。 3.如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 【答案】C 【详解】A．根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误； B．当场强满足 时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误； C．根据动能定理 可求出小球到B点时的速度vB，根据 可得小球的向心加速度，再根据牛顿第二定律 可得小球的切向加速度，再根据矢量合成可得B点的加速度为 故C正确； D．小球在D点受到竖直向下的重力、竖直向上的匀强电场的电场力、平行MN方向的等量异种点电荷的电场力和圆环的作用力，圆环的作用力一个分力与等量异种点电荷的电场力平衡，其与MN平行，而另一分力提供向心力，方向指向圆心，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。 故选C。 4.如图所示，在真空中固定的两个等量异种点电荷、连线的中垂线上有一绝缘且粗糙程度相同的竖直固定细杆，杆上有关于电荷连线对称的A、B两点，O为电荷连线的中点。现有电荷量为+q、质量为m的带电小环套在杆上，从A点以初速度向B滑动，到达B点时速度恰好为0，则可知（    ） A．从A到B，小环的电势能始终不变，动能先增加，后减小 B．从A到B，小环受的摩擦力先减少后增加 C．小环运动到O点时的速度大小为 D．小环从A到O点的时间大于从O到B的时间 【答案】C 【详解】AB．根据等量异种电荷电场分布特点可知，两点电荷连线的中垂线上的场强方向均与连线平行，由正点电荷指向负点电荷；带电小环从A到B运动过程中，电场力不做功，小环的电势能始终不变；电场强度先增大后减小，小环受到的电场力先增大后减小，则杆对小环的弹力先增大后减小，小环受到的摩擦力先增大后减小；由于小环到达B点时速度恰好为0，可知在到达B点时的摩擦力大于小环的重力，根据对称性可知，从A到B运动过程中，小环受到的摩擦力一直大于小环的重力，故小环的合力一直向上，合力对小环一直做负功，小环的动能一直减小，故AB错误； C．根据等量异种电荷周围的电场分布的对称性，设小环从A到B克服摩擦力做功为，根据动能定理可得从A到O，根据动能定理可得联立解得 故C正确； D．小环从A到B的过程一直做减速运动，小环从A到O点的平均速度大于从O到B的平均速度，且A到O点的距离等于O到B的距离，故小环从A到O点的时间小于从O到B的时间，故D错误。 故选C。 6.如图所示，一个内壁光滑的绝缘细直管竖直放置。在管子的底部固定一电荷量为的带电体。在距离底部点电荷为的管口A处，有一电荷量为、质量为的小球自静止释放，在距离底部点电荷为的处速度恰好为零，现让一个电荷量为、质量为的小球仍在A处自静止释放，已知静电力常量为，重力加速度为，则该小球（　　） A．运动到处的速度为零 B．在下落过程中加速度逐渐变大 C．向下运动了位移时速度最大 D．小球向下运动到点时的速度为 【答案】D 【详解】B．质量为m点电荷A，从静止释放后开始下落库仑力越来越大，所以点电荷先加速后减速。则加速度先减小后增大。当到达B点时，点电荷A停止。由动能定理可得 解得而当换成质量2m点电荷时，仍从原来位置静止释放，则点电荷先加速后减速。则加速度先减小后增大，故B错误； AD．则由动能定理可得解得故D正确，A错误； C．速度最大的位置，即加速度为0的位置，即库仑力与重力相等的位置，当质量为m时，设平衡位置距底部点电荷的距离为，则有而当质量为2m时，设平衡位置距底部点电荷距离为，则有 联立可得则向下移动的位移故C错误。故选D。 6.如图所示，真空中A、B两个质量相同的带电小球分别用10cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板的O点，平衡时O、A间细线竖直且A小球与光滑竖直绝缘墙壁接触，O、B间细线偏离竖直方向60°。已知A所带的电荷量为B所带电荷量的3倍，两个小球质量均为0.3g，取g=10m/s2，静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．两个小球可能带异种电荷 B．A小球所带的电荷量为 C．竖直墙壁对A小球的作用力大小为 D．若B小球缓慢漏电，则O、B间细线上的拉力逐渐减小 【答案】C 【详解】A．由题意知B处于静止状态，对B球受力分析，如图所示 可知B受到A的库仑斥力，B才可能处于静止，故A、B带同种电荷，故A错误； B．设A的带电量为，则B的带电量为，对B，根据平衡条件有 解得，故B错误； C．对A球受力分析，设墙壁对A球的弹力为，根据平衡条件有，故C正确； D．对B分析，根据相似三角形原理有 由于，，均不变，故拉力也不变，故D错误。 故选C。 7.如图所示，圆心为O、半径为R的均匀带电圆环位于水平面内，带电量为Q。一个质量为m，带同种电荷带电量也为Q的小球，在圆心O的正上方高为h的处，处于静止状态，若与圆环上任一点的距离为L，则间的距离h为（静电力常量为k，重力加速度为g）（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在带电圆环上取一小段长度，则该小段长度圆环带电量为 该小段带电圆环对带电小球的库仑力为 该库仑力的竖直分力为 其合力为 解得 故选A。 8.如图所示，三根光滑绝缘细杆固定且汇交于点O，三者与竖直方向的夹角均相等且绕过O点的竖直线均匀分布。一带正电小球A固定在O点，另外三个完全相同且带电量均为+q的小球B、C、D分别穿在三根杆上。增加小球A所带的电荷量，可使上面三个小球同时升高并维持在同一高度，形成“鲜花盛开”之势。当小球A带电量为时，上面三个小球B、C、D所在位置组成的三角形边长为l，小球A到上面任一小球的距离为，此时，图中小球B受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 分析A给B的力的大小 由库仑定律，有 得 分析C给B的力的大小 由库仑定律，有 其中 得 同理D给B的力的大小 依题意，小球B、C、D构成等边三角形 则C和D给B的力的大小 得 依题意，B、C、D构成等边三角形的中心的投影为A球 设等边三角形的中心为，如图所示 则 设细杆与过O点的竖直线的夹角为，如图所示 有 得 则与的夹角为 则B球所受的静电力大小为 解得，A正确。 故选A。 9.（多选）如图所示，两个等量异种点电荷A、B固定在同一条水平线上，电荷量分别为+Q和-Q。MN是水平放置的足够长的光滑绝缘细杆，细杆上套着一个中间穿孔的小球P，其质量为m，电荷量为+q（可视为试探电荷，不影响电场的分布）。现将小球从点电荷A的正下方C点由静止释放，到达点电荷B的正下方D点时，速度为，O为CD的中点。则（　　） A．小球在C点和D点所受电场力相同 B．小球运动至O点时速度为2m/s C．小球从C点至D点先做加速运动后做减速运动 D．小球在整个运动过程中的最终速度为2m/s 【答案】BD 【详解】AC．根据等量异种电荷的电场分布特点可以知道，小球从C点到D点的过程中受电场力方向在CO段向右下方，在OD段受电场力方向是右上方，受合力方向一直向右，所以小球从C到D一直做加速运动，小球在C点和D点所受电场力不相同，故AC错误； B．根据等量异种电荷的等势面分布规律可以知道，CO两点间的电势差等于OD两点间的电势差即 且O点的电势为零。小球从C到D根据动能定理有 小球运动到O点的速度为，同理有 代入数据联立方程可以解得，故B正确； D．小球到无穷远处的速度为最终速度，到无穷远处的电势为零，根据能量守恒以及电场力做功的特点可以知道，小球到无穷远处的速度等于经过O点的速度，所以小球的最终速度为2m/s，故D正确。 故选BD。 10.（多选）如图所示，带电量为的小球甲固定在绝缘天花板的点，带电小球乙获得一个初速度，绕点正下方的点在水平面内做半径为的匀速圆周运动，甲、乙两者的连线与竖直方向的夹角为，两小球均视为点电荷，重力加速度为，静电力常量为，，，下列说法正确的是（　　） A．乙带正电 B．乙的加速度大小为 C．乙的比荷为 D．若乙的电荷量为，则动能为 【答案】ACD 【详解】A．甲对乙的库仑力是引力才能让乙的向心力沿水平方向，则乙带正电，故A正确； B．由二力合成的矢量三角形可得，乙的向心力为，由牛顿第二定律可得 解得，故B错误； C．由二力合成的矢量三角形可得 则有，故C正确； D．乙的动能为，库仑力在水平方向的分力充当向心力，则有 综合可得，故D正确。 故选ACD。 11.（多选）如图所示，带电量分别为和的小球、固定在与水平面成角放置的光滑绝缘细杆上，两球间距为，沿杆方向有斜向上的场强大小为的匀强电场，重力加速度为。若在杆上套一质量为、电量为的带电小环（图中未画出），且小环能够在某一平衡位置处于静止状态，带电体和均可视为点电荷，静电力常量已知，则下列说法正确的是（　　）（已知：①当时，；②简谐运动周期公式为回复力系数） A．未套小环时，沿杆方向不存在电场强度为0的点 B．该小环的平衡位置与球的距离为 C．将该小环拉离平衡位置一小段位移后静止释放，则其简谐运动周期为 D．若该小环带负电，仍可以在该平衡位置附近做简谐运动 【答案】BC 【详解】A．根据电场的叠加原理可知，小球、之间的电场方向一定沿杆向上，而在的上端和的下端均有可能出现电场强度为0的点，设在沿杆方向距为、距为处的点电场强度为0，分别求列式有 ； 分析可知和不会同时无解，故错误； B．对小环受力分析，受沿杆向上的电场力 重力沿杆方向的分力为 所以小环在沿杆方向相当于仅受到、两个固定小球给的库仑力的作用，设在、的延长线上距离为处达到平衡（的下方），由平衡条件有 解得（舍去），，故正确； C．将小环拉离平衡位置一小段位移，受力分析有 利用题干中的近似关系简化得 回复力满足的形式，故小环做简谐运动，代入简谐运动周期公式可得，小环简谐运动周期为，故正确； D．受力分析可知，若小环带负电，则在题干中的平衡位置处受力不平衡，无法在该处附近做简谐运动，故D错误。 故选BC。 12.（多选）如图所示，带电量为的小球甲固定在绝缘天花板的点，带电小球乙获得一个初速度，绕点正下方的点在水平面内做半径为的匀速圆周运动，甲、乙两者的连线与竖直方向的夹角为，两小球均视为点电荷，重力加速度为，静电力常量为，，，下列说法正确的是（　　） A．乙带正电 B．乙的加速度大小为 C．乙的比荷为 D．若乙的电荷量为，则动能为 【答案】ACD 【详解】A．甲对乙的库仑力是引力才能让乙的向心力沿水平方向，则乙带正电，故A正确； B．由二力合成的矢量三角形可得，乙的向心力为，由牛顿第二定律可得 解得，故B错误； C．由二力合成的矢量三角形可得 则有，故C正确； D．乙的动能为，库仑力在水平方向的分力充当向心力，则有 综合可得，故D正确。 故选ACD。 13.（多选）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮，绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为，电荷量均为，重力加速度大小为，静电力常量为，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力，然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到小球A的正上方，下列说法正确的是（　　） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先做正功后做负功 D．把小球B拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 【答案】AD 【详解】A．设小球A到定滑轮的距离为，A、B间的距离为，小球B恰好离开地面时，静电力 由平衡可知 解得 选项A正确； BC．小球B被拉动后，一直处于平衡状态 可得移动过程中，两球之间的距离保持不变，小球B受到小球A的库仑力大小不变，电场力对小球B不做功，选项BC错误； D．根据功能关系可知，拉力对小球B做的功等于小球B重力势能的增加量， 选项D正确。 故选AD。 14.（多选）如图所示，绝缘斜面体静止于粗糙的水平面上，，，两个可视为质点的带电物体P、Q分别静止在和面上，且连线水平。已知面均足够长且光滑，斜面体和、的质量分别为、、，重力加速度为，，下列判断正确的是（    ） A．P、Q的质量之比是 B．P、Q带异种电荷，且的电荷量大于的电荷量 C．水平面对斜面体的支持力等于 D．若改变P、Q质量和电荷量使得P沿静止斜面加速上滑而Q加速下滑（斜面体保持静止），则在P、Q运动过程中斜面受到的静摩擦力水平向右 【答案】CD 【详解】A．由库仑力、重力和倾角的关系式为 可知，P、Q质量之比为 故A错误； B．P、Q两物体都是三力平衡，且P、Q在水平方向受到的是大小相等的库仑引力，P、Q一定是带异种电荷，电荷量大小关系不能确定，故B错误； C．由斜面和P、Q所构成的整体是二力平衡，水平面对斜面支持力等于总重力，水平面对斜面没有摩擦力，水平面对斜面的支持力为 故C正确； D．若P沿静止斜面加速上滑而Q加速下滑，故此时整体具有向右的加速度，对整体受力分析可知斜面受到的静摩擦力水平向右，故D正确； 故选CD。 15.（多选）如图所示，与水平方向成30°角的固定光滑滑杆，滑杆正下方某位置固定带正电小球A，小球A与滑杆上N点水平距离为L，小球A与N点等高，滑杆上M点与小球A连线跟水平方向夹角为60°，P点为MN中点，带正电小球B套在滑杆上，由M点无初速释放，释放瞬间小球B的加速度大小为，方向沿杆向下，小球B质量为m，电量为q，小球A在M点的电势为，已知点电荷电势公式为（Q为点电荷电量，r为距离点电荷的距离），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球B到达P点时的加速度大小为 B．小球B电势能最大时的动能为 C．小球B到达N点时加速度大小为 D．小球B到达N点时的速度大小为 【答案】BC 【详解】A．受力分析知小球B到达P点时加速度大小为 故A错误； B．由几何关系可知，M点、P点距离小球A距离分别为， 根据点电荷电势公式为 则P点电势 小球B在P点电势能最大，由能量守恒有 得 故B正确； C．小球B在M点加速度为，由牛顿第二定律有 小球B到达N点时加速度为，由牛顿第二定律有 得 故C正确； D．由于M点与N点电势相同，小球到达N点速度为，由动能定理有 得 故D错误。 故选BC。 16.（多选）如图所示，真空中的某水平面上，等边三角形的三个顶点上分别固定三个点电荷，一竖直放置的绝缘长细杆正好穿过三角形的中心，套在细杆上的带电硬质小圆环（环的直径略大于杆的直径）从杆上的点以某一初速度沿杆向上运动，恰好能运动到杆上点，已知三角形边长为，小圆环质量为，电荷量为，，小圆环与细杆间的动摩擦因数为，小圆环半径远远小于边长，静电力常量为，重力加速度为，则（　　）    A．小圆环从到的过程中，电势能先减小后增大 B．每个点电荷在点的电场强度大小均为 C．小圆环在点的加速度大小为 D．小圆环在点的初速度大小为 【答案】BCD 【详解】A．小圆环从到的过程中，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，A项错误； B．由几何关系得 每个点电荷在点产生的电场强度大小约为 B项正确； C．三个电荷在点产生的电场强度大小为 小圆环水平方向受电场力平衡，故环与杆无挤压，不受摩擦力，、两点电场对称，大小相同，小圆环由牛顿第二定律有 解得 C项正确； D．小圆环从到的过程中，电场力做功为零，只有重力做负功，由动能定理有 解得 D项正确。 故选BCD。 17.（多选）如图所示，正方形的三个顶点、、分别固定三个点电荷、、，若点合场强为0，则下列说法正确的是（　　） A．三电荷的电性相同 B．与电性相同，与相反 C． D． 【答案】BC 【详解】A．根据场强叠加可知，若三电荷的电性相同，则d点的场强不可能为零，选项A错误； BCD．若与电性相同，与相反，则与在d点的合场强与在d点的场强等大反向，则此时d点的场强为零，此时与在d点的场强大小相等，相互垂直，则由场强叠加可知 可得 即 选项BC正确，D错误。 故选BC。 18.（多选）如图所示，真空中的直角坐标系xOy，以O为圆心、半径为 1m 的圆与坐标轴交于A、B、C、D四点。在x轴上-2m和2m处，分别固定电荷量为+4q和-q的两个点电荷。则（　　） A．A、C两点电场强度大小相等，方向不同 B．A、C两点电场强度大小不等，方向相同 C．B、D两点电场强度大小相等，方向不同 D．B、D两点电场强度大小不等，方向相同 【答案】BC 【详解】AB．根据电场叠加原理可知，两个点电荷在A、C两点电场强度方向相同，合场强方向均沿x轴正方向，设+4q的点电荷到A点的距离为r，A点电场强度大小 C点电场强度大小 所以A、C两点电场强度大小不等，故A错误，B正确； CD．两点电荷在B、D两点的电场强度如图 +4q在D点的电场强度大小 -q在D点的电场强度大小 则 所以D点的合场强方向与x轴有一定夹角偏向y轴正方向，由于电场的对称性可知B点的合场强方向与x轴有一定夹角偏向y轴负方向，所以B、D两点电场强度方向不同；由于电场的对称性可知B、D两点电场强度大小相等，故C正确，D错误。 故选BC。 19.如图13，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求： 图13 (1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负； (2)C点处点电荷的电荷量。 答案　(1)q　3个点电荷均带正电　(2)q 解析　(1)题中已知M点的电场强度竖直向下，可知A、B处点电荷在M点产生的电场强度等大反向，C处点电荷带正电，又M为AB边的中点，结合点电荷的电场强度公式E＝可知A、B处两点电荷的电荷量大小相等，电性相同，即B点处点电荷的电荷量的绝对值为q。C处点电荷在N点产生的电场强度方向为N→B，假设A、B两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在N处产生的合电场强度方向不可能竖直向上，所以A、B两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电。 (2)设C点处点电荷的电荷量为qC，等边三角形的边长为2L，则AN＝L，对三个点电荷在N处产生的电场强度分析，如图所示，其中EBC是B、C处点电荷在N处产生的合电场强度，EAN是A处点电荷在N处产生的电场强度，EN为N点处的合电场强度。 根据几何关系得＝tan 30° 故＝tan 30° 解得qC＝q。 1 学科网（北京）股份有限公司 $