第2章 锐角的正弦、余弦、正切（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学锐角三角函数单元复习讲义通过“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”的题型框架系统梳理知识体系，将18个核心题型按基础计算、实际应用、综合创新分层，结合例题与变式呈现三角函数定义、特殊角值、互余关系等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“情境化问题”设计，如仰角俯角求高度（题型10）培养用数学眼光观察现实世界，构造直角三角形求非特殊角值（题型7）发展数学思维的推理能力，测量类综合建模（题型18）强化数学语言的模型意识。分层题型适配不同学生，教师可据此实施精准复习教学。

第2章 锐角的正弦、余弦、正切（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 根据直角三角形边长求三角函数值】 1 【题型2 由特殊角直接写出三角函数值】 4 【题型3 利用互余（同角）关系求三角函数值】 5 【题型4 根据三角函数值判断锐角大小】 7 【题型5 已知一边和一三角函数值求另一边】 10 【题型6 判断三角函数值随角度变化的趋势】 13 【进阶拔高】 15 【题型7 构造直角三角形求非特殊角三角函数值】 15 【题型8 方位角问题中的三角函数应用】 21 【题型9 坡度与坡角问题中的三角函数应用】 26 【题型10 仰角与俯角问题求高度或距离】 30 【题型11 利用三角函数值求三角形面积】 35 【题型12 含三角函数值的代数式计算】 41 【创新思辨】 44 【题型13 解非直角三角形】 44 【题型14 利用三角函数解决几何变换中的问题】 49 【题型15 求非特殊角三角函数值】 57 【题型16 三角函数与坐标系综合求点坐标】 60 【题型17 利用三角函数求最值问题】 67 【题型18 测量类实际问题中的综合建模】 72 【夯实基础】 【题型1 根据直角三角形边长求三角函数值】 【例1】（25-26九年级上·山东淄博·期中）在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）在中，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦的定义，利用定义直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵在中，，是的对边，是斜边， 又，，根据锐角正弦的定义：， ． 【变式1-2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，，， ∴在和中，， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：，则， ∴． 【题型2 由特殊角直接写出三角函数值】 【例2】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 【答案】 【详解】解： ， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）下列三角函数的值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值及有理数的判断，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键，需分别计算各选项的三角函数值，再判断是否为有理数． 【详解】解：，是无理数，故A不符合题意． ，是无理数，故B不符合题意． ，是有理数，故C符合题意． ，是无理数，故D不符合题意． 故选C． 【变式2-2】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）计算：______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ． 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊值三角函数值的相关计算，熟练掌握特殊值三角函数值是关键．直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型3 利用互余（同角）关系求三角函数值】 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数和勾股定理，利用正切值求解余弦值是解题的关键． 首先利用正切值和勾股定理表示出斜边，再根据余弦公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在Rt中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于∠C=90°，得出∠A+∠B=90°，根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴∠A+∠B=90°， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinB= cosA是解题的关键． 【变式3-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是的三个内角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和得到，从而得到． 【详解】解：，， ． 故选：A. 【点睛】本题考查了互余的两角三角函数的关系，解题的关键是了解互余的两角之间的关系． 【题型4 根据三角函数值判断锐角大小】 【例4】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 【变式4-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知α为锐角，且，则α等于____． 【答案】/40度 【分析】先根据特殊角的余弦值确定的度数，再求解α的值即可． 【详解】解：∵， 又∵α为锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）如图，，，都是锐角，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三角函数，三角形的外角，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，求出，，；延长交于点，根据三角形的外角，即可求出． 【详解】解：∵，，都是锐角，，， ∴，，， 延长交于点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级下·四川内江·期中）如图，中，，，；_______． 【答案】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，在中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出和的长；在中，利用特殊角的三角函数值求出的长；进而求出的长，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， 根据勾股定理，得， 在中，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【题型5 已知一边和一三角函数值求另一边】 【例5】（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在中，．若，，则_________． 【答案】12 【分析】过点C作于点D，根据等腰三角形性质得到，，根据，得到，根据勾股定理得，即可得到答案. 【详解】解：过点C作于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，D为AB的中点．若，则AC的长为_______． 【答案】12 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，为的中点， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边中线是斜边的一半是解题关键． 【变式5-2】（2026九年级下·全国·专题练习）在中，，，的周长为，那么为__． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理，锐角三角函数定义是解题的关键．根据，设，则，根据勾股定理求出，再根据周长求出，即可求出的长． 【详解】在中，，， 设，则， 由勾股定理，得， △ABC的周长为， ，即， 解得， ， 故答案为． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，为边上的中点，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意证出，进而设出和的值，再结合勾股定理求出的值即可得出答案； （2）根据斜中定理求出和的值，结合和的值求出和的值，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴. 又∵， ∴. 设，则. 在中， ， 则. （2）解：∵为斜边上的中点， ∴， ∴. 则， ， ∴. 【题型6 判断三角函数值随角度变化的趋势】 【例6】（25-26九年级上·全国·周测）如图①、图②，锐角的正弦和余弦都随着锐角的度数的确定而确定，也随着其变化而变化． (1)试探索随着锐角度数的增大，正弦值和余弦值的变化规律，并说明理由． (2)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，直接比较下列正弦值和余弦值的大小：． 【答案】(1) 随着锐角度数的增大，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小，理由如下： 如题图①，假设，则． 即． 如题图②，，． 即． (2) 【分析】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法． （1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且正弦值随着锐角度数的增大而增大， ∴， 即． 【变式6-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 【进阶拔高】 【题型7 构造直角三角形求非特殊角三角函数值】 【例7】（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则___．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 【答案】(1)的余弦值为 (2)边的长为 【分析】此题考查勾股定理，三角函数， （1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值； （2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在、中， ，， ． ， ． ，即． ． ． 所以，的余弦值为． （2）解：由（1）知，， 在中， ． 在中， ， ． 答：边的长为． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，． (1)直接填空：________； (2)如图，在射线上有一个动点，，作的垂直平分线，垂足为点．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接，． ①若，求的长； ②当点在同一直线上且时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）过点作于，可得，即得，再根据正切的定义解答即可； （）①得，进而得，可得，得到，即得到，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解；②当点在同一直线上时，过点作于，过点作于，可证，即得，得到，即得到，即可得，再利用面积法求出，最后根据正弦的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当点在同一直线上时，如图，过点作于，过点作于， ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由（）知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，线段垂直平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型8 方位角问题中的三角函数应用】 【例8】（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】快递小哥这个过程中总共走了 【分析】过点作于点，过点作于点．在中求出，．在中求出，进而可求出快递小哥这个过程中总共走了多少米． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由图可知，四边形是矩形， ，． 根据题意，，， ， ． ， ， ， ， ． 答：快递小哥这个过程中总共走了． 【变式8-1】（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 【变式8-2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行____小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 【变式8-3】（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1)该轮船的航行速度为 (2)点，间的距离为. 【分析】（1）易得为顶角为120度的等腰三角形，为直角三角形，作，三线合一结合勾股定理求出的长，勾股定理求出的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （2）作于点，设，则，分别解和，即可. 【详解】（1）解：由题意，得 ∴， ∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处， ∴ 作于点， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 故该轮船的航行速度为； 答：该轮船的航行速度为； （2）解：作于点， ∵点到的距离是到的距离的2倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 故点，间的距离为. 【题型9 坡度与坡角问题中的三角函数应用】 【例9】（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 【变式9-1】（2022·河北邯郸·三模）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 【变式9-2】（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 【答案】 【分析】作于点，于点，求得，得到，，设，解直角三角形求得，由，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 解得， ∴树的高度是． 【变式9-3】（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型10 仰角与俯角问题求高度或距离】 【例10】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） 【答案】米 【分析】分别在和中，利用三角函数求出，的长即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，米，，， 米， （米）． 在中，，， 米， 在中，，， ， （米） （米） 答：宝顶的高度约为米． 【变式10-1】（2026·广东广州·二模）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式10-2】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）白玉山塔（图1）是位于辽宁省大连市旅顺口区白玉山顶的侵华日军建筑遗址，原为日俄战争后日军修建的“表忠塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量白玉山塔的高度，具体过程如下：如图2，将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，此时测得白玉山塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则白玉山塔的高度约是_______．（结果保留整数．参考数据：tan） 【答案】67 【分析】过点C作，延长交于，易证得四边形是矩形，则，在中，根据求出的值，进而得到，根据进行求解即可． 【详解】解：过点C作，延长交于，如图： ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 【变式10-3】（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【题型11 利用三角函数值求三角形面积】 【例11】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是__. 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH⊥AC于H． ∵等腰直角△ABC的面积为16, ∴BA=BC=， ∵BA=BC=，∠ABC=90°，BH⊥AC， , 在Rt△BDH中， ∵∠BHD=90°，∠BDC =30°， , , . 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式11-1】如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， 设BE＝x， ∵∠ABE＝α， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝， ∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键． 【变式11-2】已知：如图，四边形ABCD中， P是BD上任意一点， (1)若∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：PA＝EF； (2)在（1）的条件下，若BD＝10，P是BD的中点，，求四边形PECF的面积． (3)连结PC，请探索之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】（1）作于点N，于点M，证得，四边形PECF和四边形PNAM都为矩形，进而由勾股定理证得． （2）由BD＝10，P是BD的中点，，求得CF、EC的长，进而求得四边形的面积． （3）作，垂足分别为H、K，进而得到的表达式，进而可得到他们之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 作于点N，于点M，则有 四边形PECF和四边形PNAM都为矩形 ∴ ∴ （2）解：∵BD＝10，P是BD的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵PE⊥BC，PF⊥CD ∴ 因为四边形PECF为矩形，所以面积为 （3）解：作，垂足分别为H、K 则 ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、解直角三角形；熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式11-3】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1) 证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 【题型12 含三角函数值的代数式计算】 【例12】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-1】（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-2】（25-26九年级下·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． （2）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式12-3】（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【创新思辨】 【题型13 解非直角三角形】 【例13】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式13-1】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式13-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____． 【答案】 【分析】过点作于，根据勾股定理求得的长，继而求得，设，则，则，根据，解得，在中，，根据即可求解． 【详解】过点作于，如图， ∠BFE＝30°， ， ∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长是解题的关键． 【变式13-3】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，已知． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠DAC=∠FCB， ∵∠ABF=∠FBC+∠DAC ， ∴∠ABF=∠FBC+∠FCB， ∵∠AFB=∠FBC+∠FCB， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AB=AF， ∴▱ABEF是菱形； （2） 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，再根据可证AB=AF，由一组临边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）作DH⊥AC于点H，根据平行四边形的性质可得，在Rt△ADH和Rt△DCH中依次解直角三角形即可求得AH和HC，从而求得AC． 【详解】（1）略 （2）解：作DH⊥AC于点H， ∵BE∥AC， ∴∠1=∠CBE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴∠2=∠1， ∴， Rt△ADH中，设DH=x，则， 根据勾股定理， 解得（舍掉负值）， 即， ∵四边形ABEF为菱形， ∴CD=AB=BE=6, 在Rt△DCH中，根据勾股定理, 即 ，解得（舍掉负值）， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数、勾股定理等．（1）中掌握菱形的判定定理，并能结合题意灵活运用是解题关键；（2）能正确构造辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【题型14 利用三角函数解决几何变换中的问题】 【例14】（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【答案】 【分析】点M作，交的延长线于点K，设，则，根据勾股定理，求得，；继而就可以确定；过点E作于点H，证明，继而得到，解答即可． 【详解】解：如图，过点M作，交的延长线于点K，根据折叠的性质，得， 由平行四边形纸片中，，，， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ∴； ，， ， ； 过点E作于点H， ，，， 由平行四边形纸片中，， 则， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【变式14-1】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线段最短，利用等边三角形性质，图形翻折的性质计算即可． 【详解】解：∵是边上的中点，， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 过点作，过点作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴， ， ∴， ∴点到的距离为． 【变式14-2】（2026·湖北荆州·二模）如图，已知矩形，，，将它绕着点按顺时针方向旋转度（）得到矩形，此时、这两边所在的直线分别与边所在的直线相交于点、，当时，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】在矩形中，，， ，设，则， 由勾股定理得，，，求出、，延长交于点H，证明四边形是矩形，得出，，在直角中，得出，根据，求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 设，则， 由勾股定理得： ，， ∵， ∴， 则， 整理得， 解得， 即； ， 如图，延长交于点H， ∵， ∴， 根据旋转可得， ∴四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式14-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，四边形是边长为5的菱形，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为、，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，线段的长为______． 【答案】10或或 【分析】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型．分三种情况，①当时，先证四边形是菱形，过点作于点，则，设，则，由菱形的性质求出，则，，再由勾股定理得，进而由勾股定理求出的长，即可得出的长；②当时，则，证、、三点共线，即可得出的长；③当，且在上方时，过点作于点，则，由锐角三角函数定义求出，，则，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】①如图4，当时， 四边形是菱形， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是菱形， 过点作于点， 则， 设，则， 由勾股定理得：， 四边形是边长为5的菱形， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图5，当时，则， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， ； ③如图6，当，且在上方时，过点作于点， 则， ， 结合，易得，， ， ； 综上所述，的长为或10或． 【题型15 求非特殊角三角函数值】 【例15】新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【答案】 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 【变式15-1】（2024·吉林·二模）构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正切函数等，能熟练利用勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．在中，，，延长到点，使，连接，结合等腰三角形的性质得，设，由正切函数得，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长到点，使，连接， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏南通·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值．如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，，所以类比这种方法，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切值的求解，勾股定理．在中，，延长使，连接，得，设，则，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，在中，，延长使，连接， 则， 设，则， ， 在中， ， 故选：B． 【变式15-3】（2025·浙江·模拟预测）如图所示，用构图法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求出的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是解直角三角形，解答本题的关键是根据阅读构造含的直角三角形，再作辅助线得角的直角三角形，再设，表示出． 同样按阅读构造，其中，延长到，使，连接，根据构造的直角三角形，设，再用表示出，即可求出的值． 【详解】构造，其中，，延长到，使，连接，    则， ， 设则，， ， ， ， 故选：B． 【题型16 三角函数与坐标系综合求点坐标】 【例16】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，过点A作轴于E，通过解，分别求出和，进一步即可求出点A的坐标． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， 过点A作轴于E， 在中， ，． ∴，， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的相关计算，坐标与图形，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【变式16-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为________． 【答案】或10/10或 【分析】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的应用，分当点B在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况，分别画出图形、根据正切的定义列方程求解即可；清晰的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：①如图：当点B在y轴的正半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：；   ②如图：当点B在y轴的负半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：． 故答案为或10． 【变式16-2】（2026·山东淄博·二模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2026次得到的点的坐标是____． 【答案】 【分析】如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于H，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标；由，则菱形每旋转6次会回到原来的位置，，则点的坐标与点的坐标相同． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于H，连接交于，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵B的坐标是， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的坐标是； ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），， ∴菱形每旋转6次会回到原来的位置，， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 【变式16-3】（2025九年级下·山东济宁·专题练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．下列结论： ①； ②当点运动到的中点处时，； ③在运动过程中，是一个定值；④当为等腰三角形时，点的坐标为． 其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①根据点坐标到坐标轴的距离，即可判断； ②根据点坐标和中点的定义，易得，，再根据勾股定理即可判断； ③过点P作轴，交x轴于点，交于点，易证，四边形是矩形，从而，根据，可得，即； ④根据为等腰三角形，分类讨论，只有当时满足题意，利用“”可得，，从而，由③可知，则，再根据三角函数值，即可求解． 【详解】解：矩形，， ； 则①结论正确； 矩形，， ，， 点运动到的中点， ， 在中，， 在中，， 则②结论错误； 如图，过点P作轴，交x轴于点，交于点， 矩形， ，， 轴， ， ， ， ，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 在中，， 在中，， ， ， 在中，，即， 在运动过程中，是一个定值， 则③结论正确； 当为等腰三角形时，当时， ， ， ， 在中，，即， ， ， ， ； 当时，， ， ，即， ， ，不可能等于，故； 当时，， 由图可知，当点和点A重合时，取得最小值，即， 不可能等于，故； 当为等腰三角形时，点的坐标为， 则④结论正确； 综上所述：正确的结论为①③④． 【题型17 利用三角函数求最值问题】 【例17】（25-26八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于两点，是线段上的一个动点，点是直线上的一动点，是轴上的两动点，连接，则当取得最小值时，的最小值为_____． 【答案】/3.9 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得， 即； 过点D作轴于点G，交直线与点H， 直线与x轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 【变式17-1】（25-26九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案. 【详解】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，，，， ∴ ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键. 【变式17-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，点E为边上的三等分点，是的三等分线，M是上一动点，求的最大值为________． 【答案】 【分析】过点B作交于点P，作点E关于的对称点，则点在上，连接，过点作，根据勾股定理求出，再根据三角形的三边长关系求出答案即可 【详解】解：过点B作交于点P，作点E关于的对称点，则点在上，连接，过点作， ∵，点E为边上的三等分点， ∴， ∵在矩形中，是的三等分线， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E关于的对称点， ∴， ∴ ∴的最大值为 【变式17-3】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】/0.7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图①，连接，根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到，从而得到，再证得点在线段的垂直平分线上，如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， 可得，再结合直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ， ， ，点G为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中，， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． 故答案为： 【题型18 测量类实际问题中的综合建模】 【例18】（2026·宁夏银川·一模）图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢．图2，图3是该装置的侧面示意图，与地面所成的锐角为，，，．第一次转轴绕点B把竖直放置垃圾桶旋转，转轴转至，使A，B，共线，在此转动过程中，转轴与转轴所成锐角为保持不变．第二次转轴绕点旋转至，使，，B，A共线．当转轴外端点D到达最高处时，点离地面的距离为______． 【答案】 【分析】过作地面于，在中利用即可求出，即最高点离地面距离． 【详解】解：依题意及旋转性质： ， 如图，过作地面于，则， 在中： ． 【变式18-1】（2026·浙江宁波·二模）如图是某机器人举起手帕的示意图，点为手帕的最高点，垂直水平地面，且，，在同一直线上，其中机械手臂，手臂与身体连接处到大腿上方，大腿和小腿长度一样都是，即，此时手臂与身体所成角度，身体与大腿所成角度的正切值为，则此时手帕最高点到水平地面的距离是_______（结果保留根号）．      【答案】 【分析】过点作垂直水平地面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，过点作垂足为，通过构造直角三角形和矩形解三角形求出即可. 【详解】解：过点作垂直水平地面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，过点作垂足为，    ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 解得：， ∴ ∴， ∴. 【变式18-2】（2026·江苏常州·二模）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示．两处是墙，是固定的两块玻璃隔板，是门框，测得，．是一扇滑动门，推动时，端点M、N分别在对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，与重合．当点N滑动到限位点P时，此时的的长度叫做通行净宽，且，则通行净宽是___（参考数据：）． 【答案】 【分析】根据题意得出滑动门 的长度等于 的长度，过点作的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，进而求出的长． 【详解】解：由题意可知，当点与点重合时，与重合， ∴， 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ 【变式18-3】（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是___________米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是___________米（精确到0.1米）（参考数据：）． 【答案】 / 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键．如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求出此支点O到小竹竿的距离出；如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 即点到小竹竿的距离为米； 如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可得，米，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴水桶水平移动的距离米． 故答案为：， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 锐角的正弦、余弦、正切（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 根据直角三角形边长求三角函数值】 1 【题型2 由特殊角直接写出三角函数值】 2 【题型3 利用互余（同角）关系求三角函数值】 2 【题型4 根据三角函数值判断锐角大小】 3 【题型5 已知一边和一三角函数值求另一边】 4 【题型6 判断三角函数值随角度变化的趋势】 5 【进阶拔高】 5 【题型7 构造直角三角形求非特殊角三角函数值】 5 【题型8 方位角问题中的三角函数应用】 7 【题型9 坡度与坡角问题中的三角函数应用】 8 【题型10 仰角与俯角问题求高度或距离】 9 【题型11 利用三角函数值求三角形面积】 11 【题型12 含三角函数值的代数式计算】 12 【创新思辨】 13 【题型13 解非直角三角形】 13 【题型14 利用三角函数解决几何变换中的问题】 14 【题型15 求非特殊角三角函数值】 15 【题型16 三角函数与坐标系综合求点坐标】 16 【题型17 利用三角函数求最值问题】 18 【题型18 测量类实际问题中的综合建模】 19 【夯实基础】 【题型1 根据直角三角形边长求三角函数值】 【例1】（25-26九年级上·山东淄博·期中）在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）在中，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型2 由特殊角直接写出三角函数值】 【例2】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）下列三角函数的值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）计算：______．（结果保留根号） 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）______． 【题型3 利用互余（同角）关系求三角函数值】 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在Rt中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是的三个内角，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据三角函数值判断锐角大小】 【例4】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【变式4-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知α为锐角，且，则α等于____． 【变式4-2】（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）如图，，，都是锐角，若，，则__________． 【变式4-3】（25-26九年级下·四川内江·期中）如图，中，，，；_______． 【题型5 已知一边和一三角函数值求另一边】 【例5】（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在中，．若，，则_________． 【变式5-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，D为AB的中点．若，则AC的长为_______． 【变式5-2】（2026九年级下·全国·专题练习）在中，，，的周长为，那么为__． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，为边上的中点，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【题型6 判断三角函数值随角度变化的趋势】 【例6】（25-26九年级上·全国·周测）如图①、图②，锐角的正弦和余弦都随着锐角的度数的确定而确定，也随着其变化而变化． (1)试探索随着锐角度数的增大，正弦值和余弦值的变化规律，并说明理由． (2)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，直接比较下列正弦值和余弦值的大小：． 【变式6-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【变式6-3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【进阶拔高】 【题型7 构造直角三角形求非特殊角三角函数值】 【例7】（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则___．（结果保留根号） 【变式7-2】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，． (1)直接填空：________； (2)如图，在射线上有一个动点，，作的垂直平分线，垂足为点．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接，． ①若，求的长； ②当点在同一直线上且时，求的值． 【题型8 方位角问题中的三角函数应用】 【例8】（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【变式8-1】（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 【变式8-2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行____小时即可到达．（结果保留根号） 【变式8-3】（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【题型9 坡度与坡角问题中的三角函数应用】 【例9】（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【变式9-1】（2022·河北邯郸·三模）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 【变式9-3】（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【题型10 仰角与俯角问题求高度或距离】 【例10】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） 【变式10-1】（2026·广东广州·二模）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）白玉山塔（图1）是位于辽宁省大连市旅顺口区白玉山顶的侵华日军建筑遗址，原为日俄战争后日军修建的“表忠塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量白玉山塔的高度，具体过程如下：如图2，将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，此时测得白玉山塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则白玉山塔的高度约是_______．（结果保留整数．参考数据：tan） 【变式10-3】（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【题型11 利用三角函数值求三角形面积】 【例11】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是__. 【变式11-1】如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 【变式11-2】已知：如图，四边形ABCD中， P是BD上任意一点， (1)若∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：PA＝EF； (2)在（1）的条件下，若BD＝10，P是BD的中点，，求四边形PECF的面积． (3)连结PC，请探索之间的数量关系，并证明． 【变式11-3】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【题型12 含三角函数值的代数式计算】 【例12】计算： (1)； (2)． 【变式12-1】（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）计算： (1) (2) 【变式12-2】（25-26九年级下·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)． 【变式12-3】（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【创新思辨】 【题型13 解非直角三角形】 【例13】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    【变式13-1】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【变式13-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____． 【变式13-3】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，已知． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若，，，求的长． 【题型14 利用三角函数解决几何变换中的问题】 【例14】（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【变式14-1】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2026·湖北荆州·二模）如图，已知矩形，，，将它绕着点按顺时针方向旋转度（）得到矩形，此时、这两边所在的直线分别与边所在的直线相交于点、，当时，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 【变式14-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，四边形是边长为5的菱形，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为、，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，线段的长为______． 【题型15 求非特殊角三角函数值】 【例15】新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【变式15-1】（2024·吉林·二模）构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出__________． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏南通·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值．如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，，所以类比这种方法，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（2025·浙江·模拟预测）如图所示，用构图法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求出的值为（   ）    A． B． C． D． 【题型16 三角函数与坐标系综合求点坐标】 【例16】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【变式16-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为________． 【变式16-2】（2026·山东淄博·二模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2026次得到的点的坐标是____． 【变式16-3】（2025九年级下·山东济宁·专题练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．下列结论： ①； ②当点运动到的中点处时，； ③在运动过程中，是一个定值；④当为等腰三角形时，点的坐标为． 其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【题型17 利用三角函数求最值问题】 【例17】（25-26八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于两点，是线段上的一个动点，点是直线上的一动点，是轴上的两动点，连接，则当取得最小值时，的最小值为_____． 【变式17-1】（25-26九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【变式17-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，点E为边上的三等分点，是的三等分线，M是上一动点，求的最大值为________． 【变式17-3】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【题型18 测量类实际问题中的综合建模】 【例18】（2026·宁夏银川·一模）图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢．图2，图3是该装置的侧面示意图，与地面所成的锐角为，，，．第一次转轴绕点B把竖直放置垃圾桶旋转，转轴转至，使A，B，共线，在此转动过程中，转轴与转轴所成锐角为保持不变．第二次转轴绕点旋转至，使，，B，A共线．当转轴外端点D到达最高处时，点离地面的距离为______． 【变式18-1】（2026·浙江宁波·二模）如图是某机器人举起手帕的示意图，点为手帕的最高点，垂直水平地面，且，，在同一直线上，其中机械手臂，手臂与身体连接处到大腿上方，大腿和小腿长度一样都是，即，此时手臂与身体所成角度，身体与大腿所成角度的正切值为，则此时手帕最高点到水平地面的距离是_______（结果保留根号）．      【变式18-2】（2026·江苏常州·二模）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示．两处是墙，是固定的两块玻璃隔板，是门框，测得，．是一扇滑动门，推动时，端点M、N分别在对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，与重合．当点N滑动到限位点P时，此时的的长度叫做通行净宽，且，则通行净宽是___（参考数据：）． 【变式18-3】（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是___________米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是___________米（精确到0.1米）（参考数据：）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $