专题04 平面直角坐标系中规律变换问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题04 平面直角坐标系中规律变换问题 常考题型·精准突破 题型1 平面直角坐标系中动点移动问题（重） 题型2 平面直角坐标系中图形规律排列问题（重） 题型3 平面直角坐标系中图形翻转问题（高频） 题型4 平面直角坐标系中新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1平面直角坐标系中动点移动问题 1．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第15次运动到的点的坐标是_________． 【答案】 【分析】通过观察可知右下标是（除外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，由此判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， 由变化规律可得：、、、等等在第二象限， 且坐标分别为、、、， ∴点的坐标是． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 3．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点， ， ∴点的坐标与点坐标相同，即为． ◆题型2 平面直角坐标系中图形规律-排列问题 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）横、纵坐标均为整数的点称为整点．一列有规律的整点如图排列，从第一个点开始，它们的坐标依次为，，，，，，根据这个规律，第2026个整点的坐标为______． 【答案】 【分析】观察图中点的坐标可知，当n为奇数时，第个整点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：∵第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， …… ∵， ∴第个整点的坐标为， ∴第2026个整点的坐标为． 5．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，依此类推， （1）经过第次全反射到达，则的坐标为________； （2）经过第（为正整数）次全反射到达，则的坐标为________． 【答案】 【分析】先根据点的下标的情况，得出点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：（1），，，， 下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的横坐标依次增加，下标为奇数的点的横坐标依次增加， ，即； （2）为正整数， 为奇数，且当时，，即的横坐标为首项， 又下标为奇数的点的横坐标依次增加，下标为奇数的点的纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 6．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断地移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，． （1）第12次移动到点的坐标为__________； （2）第次移动到点的坐标为__________．（用含自然数的代数式表示） 【答案】 / 【分析】根据前几个坐标分别得到移动次数和坐标之间的关系，然后求解即可． 【详解】解：（1）第2次移动到点，即， 第4次移动到点，即， 第6次移动到点，即， … ∴第次移动到点的坐标为， ∴第12次移动到点的坐标为，即； （2）第1次移动到点，即， 第3次移动到点，即， 第5次移动到点的坐标为，即， … ∴第次移动到点的坐标为． ◆题型3 平面直角坐标系中图形翻转问题 7．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】结合滚动规律，得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，从而得出的规律，最后计算出的坐标． 【详解】解：，， ，， ∵将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，又， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，横坐标为． 同理可求得，点的纵坐标为，横坐标为． 点的纵坐标为，横坐标为． …… ∴点的纵坐标恒为，横坐标为． ， 的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 8．（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2024次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为________，的坐标为________． 【答案】 【分析】找出坐标规律．根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， ， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其每个周期增加4，初始周期结束（第4次）横坐标为3， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 9．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点的坐标为，将长方形沿轴向右翻滚，经过1次翻滚，点对应点记为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2026次翻滚后点对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，， ∵长方形的周长为：， 每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次，是的对应点， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即． ◆题型4平面直角坐标系中新定义型问题 10．（25-26七年级下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是____________． 【答案】 【分析】根据友好点的定义，计算前几个点的坐标，发现序列每个点循环一次，再确定的坐标，并计算其友好点． 【详解】解：∵， ∴为的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：相同； ∴观察可知，每四次循环一次， ∵， ∴， ∴的友好点为． 11．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 12 或 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“完美点”定义，求出点A的一对“完美点”的坐标，利用重合条件列方程求解； （2）根据“完美点”的定义可得或，分别解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，，则点的一对“完美点”的坐标分别为，， ∵点的一对“完美点”重合， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）∵点B的一个“完美点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为______ （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 6 或 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出点P每秒走个半圆，然后求出点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环，进而求解即可． 【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P每秒走个半圆， ∴运动时间为1秒时，点P的坐标为； 运动时间为2秒时，点P的坐标为， 运动时间为3秒时，点P的坐标为， 运动时间为4秒时，点P的坐标为， 运动时间为5秒时，点P的坐标为， 运动时间为6秒时，点P的坐标为， …， ∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点P的坐标是． 2．（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，，，……， ∴， ∴， ∵点，，，，……， ∴点与的横坐标相同，纵坐标小2， ∴， ∴点的坐标为． 3．（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为2，宽为1．将长方形沿轴翻转1次，点落在点处，翻转2次，点落在点处，翻转3次，点落在点处（点与点重合），翻转4次，点落在点处，以此类推…翻转2026次后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探究点坐标的变化规律，发现每4次翻转为一个循环周期，横坐标增加6，纵坐标循环变化，利用规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为2，宽为1 ， 第1次翻转，点落在处，坐标为， 第2次翻转，点落在处，坐标为 ， 第3次翻转，点落在处，与重合，坐标为 ， 第4次翻转，点落在处，坐标为 ， 此时长方形回到初始相对位置，完成一个循环 ， 每4次翻转为一个循环，横坐标增加，纵坐标按循环， ， 的纵坐标与相同，为0 横坐标为， 的坐标为 ． 4．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中“→”所示方向依次排列，即点，…．按照此规律排列下去，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图形及点的坐标序列，，，，…… ∵，，，…… ∴即， ∴即． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点的坐标和平行于坐标轴的线段性质，依次计算绕行路径上每一段的长度，再求和得到“凸”图形一周的总周长．因为细线是按固定路径循环绕行，所以用细线总长度除以周长，得到循环的整圈数和剩余的长度．根据剩余长度，从起点开始沿绕行路径依次累加各段长度，判断剩余长度对应的点所在的线段，再结合线段的坐标特征计算该点的坐标． 【详解】轴，轴，，，，点、、在轴上， ，，， 根据各点坐标，依次计算每段边长： ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， ：到，长度， 总周长． 细线总长为，，即绕完圈后，还需要再走个单位长度． 从出发依次计数：走单位到，走单位到，再走单位（累计单位）刚好到达点，点坐标为， 即细线的另一端所在位置的点的坐标是． 二、填空题 6．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设，求出、、、的坐标，找到规律即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 则， ，即， ，即， ，即， …… 由此可知，每四次一循环， ∵， ∴， ∵ ∴，， 解得：，， ∴． 7．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出沿x轴向右滚动一周，圆心向右运动的距离，再求出沿横轴向右滚动2025周，圆心A向右移动的距离，又滚动过程中，圆心的纵坐标不变，问题可得解． 【详解】解：根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为， 根据题意，沿x轴向右滚动一周，圆心A向右运动的距离为：， ∴从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆心A向右移动的距离为， ∴点的坐标为． 8．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，如图所示．则连续移动2026次后，到达的点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平移规律，总结出点的坐标为，由此先求出点的坐标，再根据规律推导出点的坐标． 【详解】解：由图可知，，，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ． 9．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第n秒运动到点（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】通过观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，， 由上可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环， ∵， ∴点的坐标是． 10．（25-26七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发按图中箭头所示方向运动，第1次从点O运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，…，按这样的运动规律，经过2026次运动后，动点P的坐标是______． 【答案】 【分析】分析前几次的点的坐标，可得次一个循环，进而得出次后点的坐标，即可求解． 【详解】解：第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，…… 每次后纵坐标为，横坐标加， ， ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过第次运动后，动点的坐标是． 三、解答题 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______（用含的代数式表示）； (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)； (2)小正方形675个，大正方形675个． 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2025米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形（个），大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 12．（25-26七年级下·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“级关联点”为点，点的坐标为，即． (1)求点的“级关联点”点的坐标． (2)若点的“级关联点”点在轴上，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解； （2）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解，最后根据点在轴上，即可求解． 【详解】（1）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴， ∵， ∴，即， ∵点在轴上， ∴，解得：， ∴． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)； (2)求点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0； （2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现． ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． （3）， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 14．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动． 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； 归纳上述规律，完成下列问题． (1)写出点的坐标为_________； (2)第2024次运动后，点的坐标为_________； (3)若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据题意求出n的值，求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(n为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． （2）根据（1）的发现可知，每4次一循环， ， 所以点的坐标为． （3）解：观察图象，由动点的运动规律可知，的横坐标为的相反数，纵坐标每4次运动组成一个循环：． 根据题意，得，解得． 点的坐标为． 15．（25-26七年级下·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境：李老师和同学们利用平面镜和光屏探究光的线路． 实验简述：如图，光源点位于点，光线照射到平面镜上后反射，反射光线照射到光屏上，第一次入射光线为，反射光线为，第二次入射光线为，反射光线为，第三次入射光线为，反射光线为，按上述光线移动规律进行多次试验． 数学建模：以为原点，所在直线为轴，以垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，点都是整点（横、纵坐标均为整数）． 问题解决： (1)点的坐标为___________． (2)求的面积． (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）根据图形直接写出点的坐标即可； （2）结合图形，分别表示出的坐标，找出其变化规律，进而得到坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）结合图形，分别表示出的坐标，找出其变化规律，即可推出点的坐标，由（2）可知的变化规律，即可推出点的坐标． 解题的关键在于找出，的变化规律． 【详解】（1）解：由图知，点的坐标为； （2）解：， 依此类推，有，即， ， 则的面积为． （3）解：， 依此类推，有， ，即点的坐标为， 由（2）可知， 点的坐标为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系中规律变换问题 常考题型·精准突破 题型1 平面直角坐标系中动点移动问题（重） 题型2 平面直角坐标系中图形规律排列问题（重） 题型3 平面直角坐标系中图形翻转问题（高频） 题型4 平面直角坐标系中新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1平面直角坐标系中动点移动问题 1． 2． 3． ◆题型2 平面直角坐标系中图形规律-排列问题 4． 5． 6． / ◆题型3 平面直角坐标系中图形翻转问题 7． 8． 9． ◆题型4平面直角坐标系中新定义型问题 10． 11． 12 或 12． 6 或 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 二、填空题 6． 7． 8． 9． 10． 三、解答题 11． 【答案】(1)； (2)小正方形675个，大正方形675个． 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2025米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形（个），大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 12． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解； （2）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解，最后根据点在轴上，即可求解． 【详解】（1）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴， ∵， ∴，即， ∵点在轴上， ∴，解得：， ∴． 13． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0； （2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现． ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． （3）， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 14． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据题意求出n的值，求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(n为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． （2）根据（1）的发现可知，每4次一循环， ， 所以点的坐标为． （3）解：观察图象，由动点的运动规律可知，的横坐标为的相反数，纵坐标每4次运动组成一个循环：． 根据题意，得，解得． 点的坐标为． 15． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）根据图形直接写出点的坐标即可； （2）结合图形，分别表示出的坐标，找出其变化规律，进而得到坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）结合图形，分别表示出的坐标，找出其变化规律，即可推出点的坐标，由（2）可知的变化规律，即可推出点的坐标． 解题的关键在于找出，的变化规律． 【详解】（1）解：由图知，点的坐标为； （2）解：， 依此类推，有，即， ， 则的面积为． （3）解：， 依此类推，有， ，即点的坐标为， 由（2）可知， 点的坐标为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04平面直角坐标系中规律变换问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1平面直角坐标系中动点移动问题（重） 题型2平面直角坐标系中图形规律排列问题（重） 题型3平面直角坐标系中图形翻转问题（高频） 题型4平面直角坐标系中新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1平面直角坐标系中动点移动问题 1.(26-27八年级上四川达州开学考试)如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从 原点到4(1,0)，第2次运动到4，(，)，第3次运动到4，(-1，)，第4次运动到4，(-山，-)，第5次运动到 A(2,-1)…则第15次运动到的点As的坐标是 4 A 4 A 2.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运动 到点(1，)，第2次运动到点B(2,0),第3次运动到点(2，-)，第4次运动到点P(3,-),第5次运动到 点(3,0)…，按这样的运动规律，点P6的坐标是 P12 P10 P13P14 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(26-27八年级上广西南宁开学考试)如图，台球从点P(0,3)出发，沿图示方向运动，每当台球碰到 长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠α=∠P)，当台球第1次碰到长方形的边时，记 为点，第2次碰到长方形的边时，记为点B,,第n次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直 运动下去，则点026的坐标是 P 3 1 12345678元 ◆题型2平面直角坐标系中图形规律-排列问题 4.(25-26七年级下·安徽合肥期末)横、纵坐标均为整数的点称为整点.一列有规律的整点如图排列， 从第一个点开始，它们的坐标依次为(，0)，(2,0)，(2,1)，(，)，(1,2)，(2,2)，根据这个规律，第2026 个整点的坐标为 5.(25-26七年级下·湖北孝感期末)光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输.在一段水平笔直 放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从4，(-2，-)出发，在A(2,) 经过第1次全反射到达4，(6，-)，在4经过第2次全反射到达4，(10,1)，在4经过第3次全反射到达 A(14-1),依此类推， (1)经过第5次全反射到达A，,则A的坐标为 (2)经过第2n(n为正整数)次全反射到达A+l,则A2+的坐标为 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-3-2 1234689101112314151617x :Ao: A4...- 6.(25-26七年级下安徽阜阳期末)如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点A(0,)出发，按照一 定规律沿图中的折线依次不断地移动，第1次移动到点A(2,0),第2次移动到点A,(3,2),第3次移动到 点4，(5，)，第4次移动到点A(6,3), A (1)第12次移动到点A2的坐标为 (2)第2n+1次移动到点2m+1的坐标为. (用含自然数n的代数式表示) ◆题型3平面直角坐标系中图形翻转问题 7.(25-26七年级下·山东临沂·期中)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0沿x轴向右无滑动的滚动到 △AB,C的位置，再到△4B,C2的位置…依次进行下去，若己知点A(3,0),B(0,4),AB=5,则点B6的 坐标为一 B B A B C2 A2 8.(25-26七年级下·北京西城阶段检测)如图，将边长为1的正方形0APB沿x轴正方向连续翻转2024 次，点P依次落在点B,B,乃，，B24的位置，则B的坐标为 ,P024的坐标为」 3/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y p P P A P2(P3) 9.(25-26七年级下·黑龙江佳木斯期中)如图，长方形ABCD的两边BC,CD分别在x轴、y轴上，点 C与原点重合，点A的坐标为(-山，2)，将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为 4,经过2次翻滚，点A对应点记为4，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点226的坐标为 B O(C) ◆题型4平面直角坐标系中新定义型问题 10.(25-26七年级下河南周口期末)在平面直角坐标系中，对于点P(x,),我们把（少-1，-x-)叫作 点P的“友好点”.已知点A的“友好点”为A,点A的“友好点”为A,点A的“友好点”为A4, …,这样依次得到各点.若点4的坐标为(1,2)，则点426的“友好点”是 11.(25-26八年级上安徽宿州期中)对于平面直角坐标系中的任意一点P(x,),给出如下定义：记 a=-x,b=x-y,那么我们把点M(a,b)与点N(b,a)称为点P的一对“完美点”.例如，点P(-l,2)的一 对“完美点”是点（山，-3）与点(-3，)」 (1)若点A(6,)的一对“完美点”重合，则y的值为 (2)若点B的一个“完美点”的坐标为(-2,9)，则点B的坐标为 12.(24-25八年级上安徽马鞍山期中)对于平面直角坐标系中的任意一点P(x,),给出如下定义：记 a=-xb=x-y,那么我们把M(a,b)点与点N(b,0)称为点P的一对“和谐点”.例如，点P(-l,2)的一对 “和谐点”是点1，-3)与点（-3,1)， (1)若点B(3)的一对“和谐点”重合，则y的值为 (2)若点C的一个“和谐点”坐标为(-2，)，则点C的坐标为 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26七年级下山东德州期末)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆0， O,O,…组成一条平滑的曲线，点p从原点0出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度， 则第2026秒时，点P的坐标是() A.(2025,1) B.(2026,0) C.(2025,0) D.(2026,-1) 2.(25-26七年级下河南漯河期末)如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路 线移动，依次经过点4(-山，-)，4(-1，)，4(-2,0)，A(-2,2)…按照此规律，则点A的坐标为 () -5-4-3-2-012x A.（-1014,1014) B.（-1014,1012) C.(-1013,1013) D.（-1013,1014) 3.(25-26七年级下河北邢台期末)如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1.将长 方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在点A处，翻转2次，点A落在点A,处，翻转3次，点A落在点A处 (点4与点4重合)，翻转4次，点A落在点处，以此类推…翻转2026次后，点A2026的坐标为() A2(A3) 5/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(3041,0) B.(3039,2) C.(3035,0) D.(3033,2) 4.(25-26七年级下广东广州期末)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中“→”所示方 向依次排列，即点4，(0,0)→4(，→A(0,)→4(-1，)→A,(-2,2）,….按照此规律排列下去，点Ao 的坐标为() 珠 A16大× …4 A点，24 -43-2寸04123主 -1 A.（-2,6) B.(2,6) C.（-3,6) D.(3,6) 5.(25-26七年级下山东临沂期末)如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴， BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D、C、P、H在x轴上，A(L2),B(-L,2),C(-L,0),E(-3,-2), G(3,-2),把一条长为2026个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按 A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位 置的点的坐标是() ⊙ CO P H F G A.(-1,0) B.（-3,0) C.(（-3,-2) D.(1,-2) 二、填空题 6.(25-26七年级下黑龙江绥化期中)在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,),我们把 P(y-1,-x-)叫做点P的“友好点”.已知点A的“友好点”为4，点4的“友好点”为4，点4的 “友好点”为A,这样依次得到各点.若点4的坐标为(，2)，则点4的坐标为 7.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正 方向滚动2025周，圆上一点由原点O到达点O,圆心也由点A到达点A',则点A的坐标为 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 8.(25-26七年级下湖北宜昌·期中)在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向 下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，如图所示.则连续移动2026次后，到达的点4226的坐 标为一。 4424546A9410A3414 OA3 A4 A7 As A A12 9.(25-26七年级下湖南湘西期中)在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点A(-2,0)出发，按照 “能源探测路线”依次经过探测点“A→A→4→A→A,→A.”进行信号采集（每秒一条直角边）. 已知4，(-2,0)，4(-1，)，4(0,0)，4，(，)“设第n秒运动到点A,(n为正整数)，探测点的位置规律 如图所示，△AA4,△4,4，A,△A4A…是按规律摆放的等腰直角三角形，则点A6的坐标是 A A3 A1 A (A) 10.(25-26七年级下广东中山期中)如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点0出发按图中箭头所示 方向运动，第1次从点0运动到点(0，)，第2次运动到点(1，)，第3次运动到点（山，0），第4次运动到点 (1,-),第5次运动到点（山，-2），第6次运动到点(2，-2)，，按这样的运动规律，经过2026次运动后， 动点P的坐标是 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26九年级上：安徽阜阳期中)如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成， 将护栏的图案放在平面直角坐标系中，己知小正方形的边长为1米，则点A的坐标为(2,2)，点4的坐标 为(5,2) 0 (1)点4的坐标为， 一，点4的坐标为. (用含n的代数式表示)； (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 12.(25-26七年级下·广西玉林期中)在平面直角坐标系中，对于点A(x,),若点B的坐标为 (mx+y,x+my),其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”.例如，点A(-l,3)的“4级关联点” 为点B,点B的坐标为(1×4+3，-1+4×3)，即B(-1,1). ()求点P(L2)的“3级关联点”点9的坐标. (2)若点C(2,a的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标. 13.(2025八年级上·全国专题练习)在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点0出发，按向上、向右、向 下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示， A A11 A13 (1)填写下列各点的坐标：A4( ).Ao( (2)求点A225的坐标： (3)指出蚂蚁从点42024到点A25的移动方向. 14.(23-24七年级下·安徽芜湖期中)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动， P3(3,4) Ps(5,2) P1(-1,2） P12 P10 P6P4(4,0)P2(2,0)Ox 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一次：原点(0,0)→(-1,2)： 第二次：(-1,2)→(-2,0)： 第三次：(-2,0)→(-3,4)： 第四次：B(-3,4→P(4,0): 第五次：P(-4,0)→P(-5,2): 归纳上述规律，完成下列问题 (1)写出点的坐标为 (2)第2024次运动后，点？024的坐标为， (3)若点Pm3的横坐标为-313，求点P的坐标 15.(25-26七年级下山西忻州期中)综合与实践 问题情境：李老师和同学们利用平面镜和光屏探究光的线路 实验简述：如图，光源点位于点O,光线照射到平面镜MN上后反射，反射光线照射到光屏OP上，第一 次入射光线为OA,反射光线为AB,第二次入射光线为OA,反射光线为4，B2,第三次入射光线为OA, 反射光线为4B…,按上述光线移动规律进行多次试验 数学建模：以O为原点，OP所在直线为x轴，以垂直OP的直线为'轴建立如图所示的平面直角坐标系， 点4B,A,B,A4,B…都是整点（横、纵坐标均为整数） 问题解决： 5 A B B4 P 6 8101214618x (1)点A4的坐标为 (2)求△OAB的面积. (3)直接写出点A10和点Bo的坐标. 919