第4章 微专题 (2) 函数的公切线问题-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

名师大课堂数学 即b>a; [跟踪训练] 又0<cos2023<1, 4.(1)(2026·山西联考)设a=号 2π 1 1 所以c c0s2023 a, c=ln5,则 ( 2023 2023 3 即a>c,所以b>a>c. A.b>c>a B.b>a>c 【答案】(1)D(2)B C.a>b>c D.a>c>b 【规律方法】构造函数比较大小的常见类型 (2)已知a=1012,b=111,c=1210,则a,b,c (1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数 的大小关系为 ( 值的大小； A.b>c>a B.b>a>c (2)构造不同的函数，通过比较两个函数的 C.a>c>b D.a>b>c 函数值进行比较大小. 微专题（二） 函数的公切线问题 函数的公切线问题，是导数的重要应用之 [跟踪训练] 一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理， 1.(2026·南平模拟)已知曲线y=alnx和曲 从而转化为零点问题，主要利用消元与转化， 线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该 考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、 公共点处有相同的切线1，则直线1的方程 数学运算素养 为 考点一 求两函数的公切线 考点二与公切线有关的求值问题 例1(2026·湘潭模拟)已知直线1是曲线 y=e-1与y=lnx+1的公切线，则直线l 例2(2026·德阳模拟)已知曲线y=e”在 的方程为 点(x1,y1)处的切线与曲线y=lnx在点 【解析】设直线l与曲线y=e'一1相切于 (x2y2)处的切线相同，则(x1+1)(x2一1) 点P(a,e“-1),与曲线y=lnx+1相切于 等于 () 点Q(b,lnb+1), A.-1 B.-2 则e=名-血e+2。 C.1 D.2 b-a 【解析】根据常用函数的导数可知 整理得(a-1)(e“-1)=0, y=e'→y'=e, 解得a=1或a=0, 1 当a=1时，l的方程为y=ex-1; y=Iny- 当a=0时，l的方程为y=x. 则两函数在点（x1,y1)和(x2,y2)处的切线 【答案】y=ex-1或y=x 分别为 【规律方法】求切线方程时，注意区分曲线 y-y1=（x-x1), 在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y=f(x)在点P(xo,f(x)处的切线方程 y-y2=(x-x2), 是y-f(xo)=f(xo)·(x-xo);求过某点 化简得y=ex十(1一x1), 的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已 1 知点在切线上求解. y=+x+In x2-1, 58 微专题（二）函数的公切线问题 e= 则f'(x)=2x 1=2x2-1 由题意可得 (1-x1)e=lnx2-1 f)>0x>9:f'<0>0x 2 化简得x1x2十x2一x1+1=0→(x1十1)(x2 2 -1)=-2. f(x)在区间(0，马)上单调递减，在区间 【答案】B 2 【规律方法】利用导数的几何意义解题，关 2,十∞)上单调递增， 键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在 切线上构造方程. fh=f=+n21+2 [跟踪训练] 即函数f(x)与y=1+ln2的图象如图 2.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+a.x(a∈ 所示， R),若经过点A(0,一1)存在一条直线1与 f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等 y=fx) y=l+In 2 于 ( A.0 B.-1 0 C.3 D.-1或3 由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1十 考点三判断公切线条数 ln2有两个交点，则方程x-lnx1=1十 例3 (2026·广州模拟)曲线C1:y=x2与 ln2有两个不相等的正根，即曲线C1:y=x 曲线C2:y=lnx公切线的条数是( 与曲线C2:y=lnx公切线的条数是2. A.0 B.1 【答案】C C.2 D.3 【规律方法】运用导数与斜率之间的关系 【解析】 设公切线与y=x2的切，点 可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造 为(x1,x), 新的函数，通过零点存在定理判断函数零点 与y=lnx的切，点为(x2,lnx2), 个数，即方程解的情况， y=x的导数为y=2x,y=lnx的导数为 [跟踪训练] 3.已知函数f(x)=x2-4x十4，g(x)=x1, 则f(x)和g(x)的公切线的条数为() 则在切点(x1,x)处的切线方程为y一x A.3 B.2 2x1（x-x1),即y=2x1x-x, C.1 D.0 则在切点(x2,lnx2)处的切线方程为 y-Inx:-1(x-z), 考点四 求参数的取值范围 即y=1 例4 x+In x2-1, (2026·保定模拟)若曲线f(x)-会 (k<0)与g(x)=e有三条公切线，则k的 取值范围为 ( (2i=1-In z2, A.(-o 整理得到x-lnx1=1+ln2, 令f(x)=x2-lnx,x∈(0，+o∞)， c.(名.o D.(-,-) 59 名师大课堂数学 【解析】设公切线为L,P(x1,y1)是1与 所以h(x)有极小值为h(一1)=一4e1, f(x)的切点，由f(z)= h(x)有极大值为h(1)=0, 因为h(x)=-e(x-1)2,e>0,(x-1)2≥ 得fx)=,设Qg)是1与g)的 0,所以h(x)≤0， 切点， 当x趋近于一∞时，h(x)趋近于0； 由g(x)=e,得g'(x)=e, 当x趋近于十∞时，h(x)趋近于一o∞， 所以1的方程为y一y=二(x一x), 故h(x)的大致图象如图」 x2 因为y=, 整理得=+2， 1' 所以当一4e1<4k<0,即一1<k<0时，直 同理y-y2=e(x-x2), 因为y2=e5, 线y=4k与曲线h(x)有三个交，点. 【答案】A 整理得y=e'x十e(1-x2), 【规律方法】利用导数的几何意义，构造参 k-e:, xi 数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转 依题意，可得 2k=e:(1-x2): 化成函数的零点问题或两函数的交点问题， 利用函数的性质或图象求解. 消去x1,得4k=一点（x2一1)2， [跟踪训练] 由题意此方程有三个不相等的实根， 设h(x)=-e(x-1)2, 4.(2026·桂林模拟)若曲线C1:y=x2与曲线 即直线y=4k与曲线h(x)有三个不同的 C2:y=g(a>0)存在公切线，则实数a的取 交点， 值范围是 ) 因为h'(x)=e(1-x2), 令h'(x)=0,则x=士1， A.(0,1) B.(1.8) 当x<-1或x>1时，h'(x)<0; 当-1<x<1时，h'(x)>0, c. 60微专题（二）函数的公切线问题 跟踪训练 1.答案：2ex-y-e=0 解析：设曲线g(x)=alnx和曲线f(x)=x2在公共点 (xo,y0)处的切线相同， 则f(x)=2x,g'(x)=4 由题意知f(xo)=g(xo),f(xo)=g'(xo), 2- 即 ro=aln ro, 解得a=2e,xo=√E 故切点为（√e,e), 切线斜率k=f(x0)=2√e, 所以切线方程为y一e=2e(x一E), 即2√ex-y-e=0. 2.D设直线l与f(x)=xlnx相切的切，点为(n,mlnm), 由f(x)=xlnx得f'(x)=1+lnx, 可得切线的斜率为1十lnm, 则切线方程为y-mlnm=(1十lnm)(.x-m), 将A(0,一1)代入切线方程可得 -1-nlnm=(1+lnn)(0-n), 解得m=1,则切线1的方程为y=x一1， 联立=x-1, y=x2+ar 可得x2+(a-1)x+1=0, 由△=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3. 3.A设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点（m,f(m)), (n,g(n)),f'(x)=2x-4, g'(x)=-x2,g'(n)=f(n)=8(n-fm） n-m 解得m=”,士2，代入化简得8n3-8m2+1=0, 构造函数h(x)=8x3一8.x2+1, h'(x)=8x(3.x-2), 则hr)在（-0.0).（子，+∞）上单调说指. 在(0，号)上单调运减，极大值(0)>0，小值（号）< 0,故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3 8n2十1=0有三个解，故公切线有3条. 4.Dy=x2在点(n,n2)处的切线斜率为2m, y号a>0)在点(m兰批的切线斜年为号， 如果两个曲线存在公切线，那么2m= a n2、ew 又由斜率公式得到2加=m一n, 由此得到m=2n一2， 则4n一4=有解， 则y=4x一4，y=的图象有公共点】 当直线y=4x一4与曲线y-号相切时，设切点为， 则g=4,且4=4s一4=e 可得t=4,s=2, e2 即有切点(2,4)，1=4· 故口的取值范隅是。≥导 3 第五章三角函数 第一节任意角和弧度制及三角函数的概念 基础知识必备 1.(1)端点(2)正负零(3)+k·360°，k∈Z 2.(1)半径1弧度的角(2)x(3)R&2R 3.(1)yx 考点知能突破 针对训练 1.答案：一675°和一315° 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： 3=45°+kX360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z), 得-765°k×360°<-45°(k∈Z), 解得-篇<<一气e 从而k=一2和k=一1， 代入得3=-675°和3=一315° 2.A设扇形的孤长为1，则号1·2=8，即1=8，所以扇形的 圆心角的孤度数为受-4，故选A 3.D因为-1≤cosx1,且sin(cosx)>0,所以0<cosx ≤l,又sinx<0,所以角x为第四象限角，故选D. 4.A由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足x= π 1 2π√3 cos3 2y=sin 3-2. 所以Q点的坐标为（一2，气” 第二节同角三角函数的基本关系与锈导公式 基础知识必备 1.(1)sin2.r+cos2r=1 (2)sin r cos .r 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a 考点知能突破 针对训练 1.C由诱导公式得sin(x-a)十cosa=ina十cosa= 3 所以(sina+cosQ)=1+2 sin acos a=。,则2 sin acos a = 1∠0 9 因为a∈(0，π)， 所以sina>0,所以cosa<0, 所以sin&-cosa>0, 因为(sina-cosa)2=1-2 sin acosa=5. 9 所以sina一cosa=手故选C 2.Dsin(+a）·ian(x+a)=cosa·tana=sina,因为 a∈(0，π)，且cosa= 贵所以sne=V-osa= √1-(》-是即sm(经+a)·am(x+a)=是故 选D. 09