第4章 微专题 (1) 导数中函数的构造问题-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第四章 导数及其应用 (2)由1)得)=号-司2-2x+c :[针对训练 函数f(x)在（一∞，-1），(2，+∞)上是增 2.已知函数f(x)=e'十a.x-a(a∈R且a≠0). 函数，在（一1,2)上是减函数， (1)若f(0)=2,求实数a的值，并求此时 所以画数)的权大值方-1)=号+c, f(x)在[一2,1]上的最小值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取 极小值为f(2)=(-3 10 值范围. 7 6 十c>0, 而函数f(x)恰有三个零点，故必有 10∠0 3 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的 取值范周是（一看，骨 710 目名师点评 和函数零点有关的参数范围问题 (1)函数在定义域上单调，满足零点存在性 定理 (2)若函数不是严格的单调函数，则求最小 值或最大值结合图象分析· (3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在 直线与函数图象交点的个数 微专题（一）导数中函数的构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一 【解析】 设函数g(x)=fx), 个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等 x+1x≥0， 式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比 因为f'(x)<fx) r十1x≥0， 较大小、解不等式、恒成立等问题， 所以(x+1)f(x)-f(x)<0, 考点一导数型构造函数 则g)=+Df()f)<0, (x+1)2 考向一利用f(x)与x构造 所以g(x)在定义域上是减函数， 例1已知函数f(x)的定义域为[0，十∞)， 从而g(1)>g(2)>g(3)>g(5), 面效为f),老f(x)<号恒成立， 即f1)>f2)>f(3)f(5) 2 3 4 6 则 A.f(2)>f(3) B.2f(1)>f(3) 所以4f(2)>3f(3),2f(1)>f(3),2f(2) >f(5),3f(1)>f(5). C.f(5)>2f(2) D.3f(5)>f(1) 【答案】B 55 名师大课堂数学 【规律方法】(1)出现nf(x)+xf(x)的形 式，构造函数F(x)=x”f(x); g()>g1),即 (2)出现xf'(x)一nf(x)的形式，构造函数 F(x)=f(z) 即fI)<ef(),故D不正确. x 【答案】C [跟踪训练] 【规律方法】(1)出现f(x)十nf(x)的形 1.(2026·常州模拟)已知f(x)是定义在 式，构造函数F(x)=e"f(x); (一∞，0)U(0,十∞)上的奇函数，f(x)是 (2)出现f'(x)一nf(x)的形式，构造函数 f(x)的导函数，当x>0时，xf'(x)+ 2f(x)>0,若f(2)=0,则不等式xf(x)> F(x)=f(z) 0的解集是 [跟踪训练] 考向二利用f(x)与e构造 例2(2026·黄山模拟)已知定义域为R 2.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意 的函数f(x),其导函数为f(x),且满足 x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式e· f'(x)-2f(x)<0,f(0)=1,则 ( f(x)>er+1的解集为 () A.e2f(-1)<1 A.{xlx>0》 B.f(1)>e B.{xx<0} C.f(z)<e C.{xlx<-1或x>1》 D.{x|x<-1或0<x<1} D.f1)>ef(2) 考向三利用f(x)与sinx,cosx构造 例3(2026·重庆模拟)已知偶函数f(x》 【解析】设g(x)=fx) 的定义域为（一受受引，其导函数为f(), 则g(x)=f(x）·e2r-2f(x)e2 (e2r)2 当0≤x<时，有f(x)cosx+f(x)sinx =f(x)-2f(x) >0成立，则关于x的不等式f(x)> 因为f'(x)-2f(x)<0在R上恒成立， 2f(5)cosx的解集为 ( 所以g'(x)<0在R上恒成立， 故g(x)是减函数， A(别 所以g(-1)>g(0), D=ef(-1)>f0)=1,故A不 B(答》 正确； c.（-,-U(, g(1)<g(0),即f(1)<f(0) D.(.)U(. 即f(1)<e2f(0)=e2,故B不正确； 【解析】 构造函数g(x)=f(x), Cosx 2 g(分)<g(0), 即 8()=f()cos z-f(a)(cos x) e e (cosz) 即f()<e,故C正确： f (r)cos z+f(z)sin z (cos2x) 56 微专题（一）导数中函数的构造问题 当0≤1<受时，g(x)>0, 成立，则 ( 所以画数g)在0，罗)上单调递增， A.f(-)>f-F) 因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)也 B.f)>-f(-) 为偶函数， c.) 且函数g()在0，)上单调递增， D.2f(-F)>-Bf() 所以函数g()在（一0上单羽递减， 考点二构造函数比较大小 因为x∈(-受，引，所以cosx>0, 例4 (1)(2026·榆林统考)已知a= 关于x的不等式f(x)>2f(贺)0sx可变 ni6n In 9 e=2h是-则( 6 为(x) f( 即gu)>g(5）) A.a<c<b B.b<a<c cos x C.a<b<c D.c<b<a 1 所以gz)>g(5): (2)(2026·减阳模拟)已知a=2023,b= 1> e器 C= c052023,则 1 则 2023 << -2 2, A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b 【解折】Da=1n9。=2n2- 31 【答案】C 4Je 【规律方法】函数f(x)与sinx,cosx相结 16 6=In =21n3-3' 41 合构造可导函数的几种常见形式 9 (1)F(x)=f(x)sin x, 构造函数f(x)=2ln(x+1)-x(0<x<1), F'(x)=f(x)sin x+f(x)cos x; 则rw)=异-1-异 (2)F(x)=f() sin (x)' 当0<x<1时，f(x)>0,f(x)在(0,1)上 ()-f()sin af(a)cos sin'x 单调递增，所以f(宁)<f(号)<f(分)，所 (3)F(x)=f(x)cos x, 以c<b<a. F'(x)=f(x)cos x-f(x)sin x; （2)设f(x)=e-x-1, (4)F(x)=f(x)/cos x, 所以f(x)=e-1, F()-f(x)eos x+f(a)sin z 令f(x)<0→x<0,令f'(x)>0→x>0, cosx 所以函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，在 [跟踪训练] (0,十∞)上单调递增， 3.(2026·成都统考)记函数f(x)的导函数为 则f(x)≥f(0)=0,即e-x-1≥0， f(x),若f(x)为奇函数，且当x∈ 得e≥x+1. (-受，0)时恒有fx)cosx+f(x)simx>0 所以6=e端>-名02+1= 1 2023 2023=a, 57 名师大课堂数学 即b>a; [跟踪训练] 又0<cos2023<1, 4.(1)(2026·山西联考)设a=号 2π 1 1 所以c c0s2023 a, c=ln5,则 ( 2023 2023 3 即a>c,所以b>a>c. A.b>c>a B.b>a>c 【答案】(1)D(2)B C.a>b>c D.a>c>b 【规律方法】构造函数比较大小的常见类型 (2)已知a=1012,b=111,c=1210,则a,b,c (1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数 的大小关系为 ( 值的大小； A.b>c>a B.b>a>c (2)构造不同的函数，通过比较两个函数的 C.a>c>b D.a>b>c 函数值进行比较大小. 微专题（二） 函数的公切线问题 函数的公切线问题，是导数的重要应用之 [跟踪训练] 一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理， 1.(2026·南平模拟)已知曲线y=alnx和曲 从而转化为零点问题，主要利用消元与转化， 线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该 考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、 公共点处有相同的切线1，则直线1的方程 数学运算素养 为 考点一 求两函数的公切线 考点二与公切线有关的求值问题 例1(2026·湘潭模拟)已知直线1是曲线 y=e-1与y=lnx+1的公切线，则直线l 例2(2026·德阳模拟)已知曲线y=e”在 的方程为 点(x1,y1)处的切线与曲线y=lnx在点 【解析】设直线l与曲线y=e'一1相切于 (x2y2)处的切线相同，则(x1+1)(x2一1) 点P(a,e“-1),与曲线y=lnx+1相切于 等于 () 点Q(b,lnb+1), A.-1 B.-2 则e=名-血e+2。 C.1 D.2 b-a 【解析】根据常用函数的导数可知 整理得(a-1)(e“-1)=0, y=e'→y'=e, 解得a=1或a=0, 1 当a=1时，l的方程为y=ex-1; y=Iny- 当a=0时，l的方程为y=x. 则两函数在点（x1,y1)和(x2,y2)处的切线 【答案】y=ex-1或y=x 分别为 【规律方法】求切线方程时，注意区分曲线 y-y1=（x-x1), 在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y=f(x)在点P(xo,f(x)处的切线方程 y-y2=(x-x2), 是y-f(xo)=f(xo)·(x-xo);求过某点 化简得y=ex十(1一x1), 的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已 1 知点在切线上求解. y=+x+In x2-1, 58所以h'(x)=1-飞 一1≤0在(0，十∞)上恒成立， x 故当0时-+=-（合》+行板成2， 又-（一)+则≥实数的取范 )+4≤4 是[+ 第二课时导数与函数零点 考点知能突破 针对训练 1.解：(1)f(x)=- er? 令f'(.x)>0,解得x>1,令f(x)<0,解得0<x<1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，十∞)上单调递增. (2)F'(x)=fx)=1+g-3, 由(1)得3x1,x2,满足0<x1<1<c2, 使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1,x2)上小于0，在(x2, 十∞)上大于0， 即F(.x)在(0，x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在 (x2,十∞)上单调递增， 而F(1)=0,x*0时， F(x)→一∞，x→十∞时， F(x)→+∞， 画出函数F(x)的草图，如图 所示. 01 1X2 故F(x)在(0，十∞)上的零点 有3个 2.解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R, 又f(0)=1-a=2,得a=-1, 所以f(x)=e2-x+1,求导得f'(x)=ex-1. 易知f(x)在[一2,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增， 所以当x=0时，f(x)在[一2,1]上取得最小值2. (2)由(1)知f'(x)=ex+a,由于ex>0, ①当a>0时，f'(x)>0,f(x)在R上是增函数， 当x>1时，f(x)=ex+a(x-1)>0; 当x<0时，取x=一1 则（日k+a(&-)-a<0, 所以函数f(x)存在零点，不满足题意， ②当a<0时，令f(x)=0,得x=ln(-a) 在(-o∞，ln(-a)上，f(x)<0,f(x)单调递减， 在(ln(-a),十o∞)上，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=ln(一a)时，f(x)取最小值. 函数f(.x)不存在零点，等价于f(In(-a)=eln(-a)十 aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0, 解得-e2<au0. 综上所述，实数a的取值范围是（一e2,0) 微专题（一）导数中函数的构造问题 跟踪训练 1.答案：(-2,0)U(2,十∞) 解析：构造函数g(x)=xf(x),其中f(x)为奇函数 且x≠0， 则g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x), 所以函数g(x)为奇函数， 且g(2)=0,g(-2)=-g(2)=0, 当x>0时，g(x)=x2f(x)+2.xf(x)=x[xf(x)+ 2f(x)]>0, 所以函数g(x)在(0，十o∞)上单调递增， 3 因为函数g(x)为奇函数，故函数g(.x)在(-o∞，0)上单调 递增， 故x2f(x)>0→g(x)>0, 当x<0时，g(x)>0=g(-2),可得-2<x<0; 当x>0时，g(x)>0=g(2),可得x>2. 综上所述，不等式xf(x)>0的解集为（一2,0）U(2,十∞). 2.A令p(x)=e'f(x)-e,x∈R, 则9'(x)=erf(x)十ef'(x)-e =e[f(x)+f(x)-1]. 又f(x)+f'(x)>1,.f(x)+f(x)-1>0, .9(x)>0, .o(x)在定义域上是增函数， 不等式exf(x)>ex十1可化为exf(x)一ex>1, 又p(0)=e°f(0)-e°=1， .原不等式等价于(x)>o(0),故x>0, .原不等式的解集为{x|x>0}. 3.B4g(r)=f(r)sin r,g(r)=f(r)cos r+f(r)sin r, 当x∈(-受，0）时恒有f(x)cosx十fx)sinx>0,所以 g(x)>0,则g(x)=f(x)sinx在(-，0）上单调递增， 所以g（-百)>g(-)则-2f(-)> (-平)即(-晋)<(-至)选项A储 误(-晋)>g-.则-2f(-晋>-号1(-哥 又f(x)为奇函数，所以-f(-x)=f(x),即f(否)> -f(-苔)，选项B正确：g(-)<g(-于)，则 f(-苓)>f(-),所以f(受)<f(),选 项C错误：由5f(-于)>Ef(-平)，得-5f(于)> 巨f(-于)，选项D错误。 1Ine 4.(1)D(2)D(1)易知a=2e=2e b=Inz.=In3 In 3 32×3' 令fx)=l9(r>0), 2.x 则r=l22f0a>e 所以f(x)在(e,十∞)上单调递减， 又因为e<3<π， 所以f(e)>f(3)>f(π)，即a>c>b. (2)构造函数f(x)=(22一x)lnx,x≥10， f(x)=-lnx+2-1, f(x)=-1nx+22-1在[10，十o)上单调递减， x 且f10)=-h10+号-1=号-ln10<号-1ne= g-2<0. 所以(x)=-lnx+2-1<0在[10，十o0)恒成立， 故f(x)=(22一x)lnx在[10，十o∞)上单调递减， 所以f(10)>f(11)>f(12), 即12ln10>11ln11>10ln12, 所以1012>1111>1210，即a>b>c. 8