第4章 第4节 第2课时 导数与函数零点-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

所以h'(x)=1-飞 一1≤0在(0，十∞)上恒成立， x 故当0时-+=-（合》+行板成2， 又-（一)+则≥实数的取范 )+4≤4 是[+ 第二课时导数与函数零点 考点知能突破 针对训练 1.解：(1)f(x)=- er? 令f'(.x)>0,解得x>1,令f(x)<0,解得0<x<1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，十∞)上单调递增. (2)F'(x)=fx)=1+g-3, 由(1)得3x1,x2,满足0<x1<1<c2, 使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1,x2)上小于0，在(x2, 十∞)上大于0， 即F(.x)在(0，x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在 (x2,十∞)上单调递增， 而F(1)=0,x*0时， F(x)→一∞，x→十∞时， F(x)→+∞， 画出函数F(x)的草图，如图 所示. 01 1X2 故F(x)在(0，十∞)上的零点 有3个 2.解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R, 又f(0)=1-a=2,得a=-1, 所以f(x)=e2-x+1,求导得f'(x)=ex-1. 易知f(x)在[一2,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增， 所以当x=0时，f(x)在[一2,1]上取得最小值2. (2)由(1)知f'(x)=ex+a,由于ex>0, ①当a>0时，f'(x)>0,f(x)在R上是增函数， 当x>1时，f(x)=ex+a(x-1)>0; 当x<0时，取x=一1 则（日k+a(&-)-a<0, 所以函数f(x)存在零点，不满足题意， ②当a<0时，令f(x)=0,得x=ln(-a) 在(-o∞，ln(-a)上，f(x)<0,f(x)单调递减， 在(ln(-a),十o∞)上，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=ln(一a)时，f(x)取最小值. 函数f(.x)不存在零点，等价于f(In(-a)=eln(-a)十 aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0, 解得-e2<au0. 综上所述，实数a的取值范围是（一e2,0) 微专题（一）导数中函数的构造问题 跟踪训练 1.答案：(-2,0)U(2,十∞) 解析：构造函数g(x)=xf(x),其中f(x)为奇函数 且x≠0， 则g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x), 所以函数g(x)为奇函数， 且g(2)=0,g(-2)=-g(2)=0, 当x>0时，g(x)=x2f(x)+2.xf(x)=x[xf(x)+ 2f(x)]>0, 所以函数g(x)在(0，十o∞)上单调递增， 3 因为函数g(x)为奇函数，故函数g(.x)在(-o∞，0)上单调 递增， 故x2f(x)>0→g(x)>0, 当x<0时，g(x)>0=g(-2),可得-2<x<0; 当x>0时，g(x)>0=g(2),可得x>2. 综上所述，不等式xf(x)>0的解集为（一2,0）U(2,十∞). 2.A令p(x)=e'f(x)-e,x∈R, 则9'(x)=erf(x)十ef'(x)-e =e[f(x)+f(x)-1]. 又f(x)+f'(x)>1,.f(x)+f(x)-1>0, .9(x)>0, .o(x)在定义域上是增函数， 不等式exf(x)>ex十1可化为exf(x)一ex>1, 又p(0)=e°f(0)-e°=1， .原不等式等价于(x)>o(0),故x>0, .原不等式的解集为{x|x>0}. 3.B4g(r)=f(r)sin r,g(r)=f(r)cos r+f(r)sin r, 当x∈(-受，0）时恒有f(x)cosx十fx)sinx>0,所以 g(x)>0,则g(x)=f(x)sinx在(-，0）上单调递增， 所以g（-百)>g(-)则-2f(-)> (-平)即(-晋)<(-至)选项A储 误(-晋)>g-.则-2f(-晋>-号1(-哥 又f(x)为奇函数，所以-f(-x)=f(x),即f(否)> -f(-苔)，选项B正确：g(-)<g(-于)，则 f(-苓)>f(-),所以f(受)<f(),选 项C错误：由5f(-于)>Ef(-平)，得-5f(于)> 巨f(-于)，选项D错误。 1Ine 4.(1)D(2)D(1)易知a=2e=2e b=Inz.=In3 In 3 32×3' 令fx)=l9(r>0), 2.x 则r=l22f0a>e 所以f(x)在(e,十∞)上单调递减， 又因为e<3<π， 所以f(e)>f(3)>f(π)，即a>c>b. (2)构造函数f(x)=(22一x)lnx,x≥10， f(x)=-lnx+2-1, f(x)=-1nx+22-1在[10，十o)上单调递减， x 且f10)=-h10+号-1=号-ln10<号-1ne= g-2<0. 所以(x)=-lnx+2-1<0在[10，十o0)恒成立， 故f(x)=(22一x)lnx在[10，十o∞)上单调递减， 所以f(10)>f(11)>f(12), 即12ln10>11ln11>10ln12, 所以1012>1111>1210，即a>b>c. 8名师大课堂数学 第二课时 导数与函数零点 考点知能突破 考点一判断函数零点个数 (1)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性； (2)判断函数F(x)在(0，十∞)上零点的个数. ◆例1(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a (x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax.当x∈ (-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有 一个交点.则a= A.-1 R古 C.1 D.2 【解析】由题意知f(x)=g(x),则a(x十 1)2-1=cos x+2ax,cos z=a(x2+1)- 1.令h(x)=cosx-a(x2+1)+1.易知 h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(-1,1)上 有唯一零，点，所以h(0)=0,即c0s0-a(0十 考点二已知零点个数求参数范围 1)+1=0,得a=2,故选D. 例2函数f(x)= 【答案】D 目微点拔 ax2+bx+c(a,b,c∈R)的 导函数的图象如图所示： 判断函数零点个数的3种方法 (1)求a,b的值并写出 f(x)的单调区间： 令f(x)=0,则方程解的个数 直接法 (2)若函数y=f(x)有三个零点，求c的取 即为零点的个数 值范围。 转化为两个易画出图象的函 【解】()因为x)=女+ax+bx十c, 画图法 数，看其交点的个数 所以f(x)=x2+2ax十b. 因为f'(x)=0的两个根为一1,2， 利用零点存在性定理判定，可 所以 定理法 -1+2=-2a·解得a=- -1×2=b, 2b=-2, 结合最值、极值去解决 由导函数的图象可知（图略），当一1<x<2 时，f(x)<0,函数f(x)单调递减， 当x<-1或x>2时，f(x)>0,函数f(x) [针对训练] 单调递增， 1.已知f()=1+e-3,F(x)=1nx+ 故函数f(x)的单调递增区间为（一∞，一1） e e 和(2，十∞)， 3x+2. 单调递减区间为（一1,2）. 54 第四章 导数及其应用 (2)由1)得)=号-司2-2x+c :[针对训练 函数f(x)在（一∞，-1），(2，+∞)上是增 2.已知函数f(x)=e'十a.x-a(a∈R且a≠0). 函数，在（一1,2)上是减函数， (1)若f(0)=2,求实数a的值，并求此时 所以画数)的权大值方-1)=号+c, f(x)在[一2,1]上的最小值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取 极小值为f(2)=(-3 10 值范围. 7 6 十c>0, 而函数f(x)恰有三个零点，故必有 10∠0 3 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的 取值范周是（一看，骨 710 目名师点评 和函数零点有关的参数范围问题 (1)函数在定义域上单调，满足零点存在性 定理 (2)若函数不是严格的单调函数，则求最小 值或最大值结合图象分析· (3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在 直线与函数图象交点的个数 微专题（一）导数中函数的构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一 【解析】 设函数g(x)=fx), 个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等 x+1x≥0， 式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比 因为f'(x)<fx) r十1x≥0， 较大小、解不等式、恒成立等问题， 所以(x+1)f(x)-f(x)<0, 考点一导数型构造函数 则g)=+Df()f)<0, (x+1)2 考向一利用f(x)与x构造 所以g(x)在定义域上是减函数， 例1已知函数f(x)的定义域为[0，十∞)， 从而g(1)>g(2)>g(3)>g(5), 面效为f),老f(x)<号恒成立， 即f1)>f2)>f(3)f(5) 2 3 4 6 则 A.f(2)>f(3) B.2f(1)>f(3) 所以4f(2)>3f(3),2f(1)>f(3),2f(2) >f(5),3f(1)>f(5). C.f(5)>2f(2) D.3f(5)>f(1) 【答案】B 55