第4章 第3节 导数与函数的极值、最值-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第四章导数及其应用 [针对训练] (3)若函数f(x)的单调递减区间为（一1,1）， 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ae 求实数a的值； 一lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最 (4)若函数f(x)在区间（一1,1）上不单调， 小值为 求实数a的取值范围. A.e2 B.e C.e D.e-2 3.已知函数f(x)=xsin,x∈R,则f(), f),f(-)的大小关系为 A.f(-)>f1)>f() B.f1)>f-)>f() C.f)>f)>f(-) D.f(-3)>f()>f(D 4.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取 值范围； (2)若函数f(x)在（一1,1）上为单调减函 数，求实数a的取值范围； 第三节 导数与函数的极值、最值 基础知识必备 1.函数的极值与导数 @微点拔 (1)极大值与导数 (1)f(x)=0与x,是f(x)极值点的关系. x,左侧 x,右侧 函数f(x)可导，则f(xo)=0是x。为 f(x)的极值点的必要不充分条件.例如， f'(x) f'(x)>0 f'(x。)=0 f'(x)<0 f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点. (2)极大值（或极小值）可能不止一个，可能 f(x) 增入 减 没有，极大值不一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间内部，区 (2)极小值与导数 间的端点不能成为极值点。 x左侧 To x,右侧 2.函数的最值与导数 求y=f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤： f'(x) f'(x)<0 f'(x0)=0 f'(x)>0 第一步求函数y=f(x)在(a,b)内的 f(z) 减 增入 第二步将第一步求得的极值与 比 较，得到f(x)在[a,b]的最大值与最小值. 47 名师大课堂数学 目微点拨 (1)极值是一个局部性概念，反映的是函数 (2)连续函数在某一个闭区间上的最值必 在某个点附近的大小情况，并不意味它在 在极值点或区间端点处取得；定义在开区 函数的整个定义域内最大或最小；最值是 间(a,b)内的函数不一定存在最大（小）值. 一个整体性的概念，函数的最值是比较某 (3)连续函数的极值个数不确定，而函数在某 个区间内的所有函数值得出的， 一闭区间上的最大值和最小值是唯一的. 考点知能突破 考点一用导数解决函数的极值问题 易知f(x)=a有四个根； 当1<f(2)<2,1<a<2时， 角度一 根据图象判断函数的极值 易知f(x)=a不一定有四个根， 例1（多选）已知函数f(x)的定义域为[一1,5]， 故函数y=f(x)一a有4个零点不一定正确， 部分对应值如表， 故D中结论错误，故选AB. x 【答案】AB f(.x) 2 目名师点评 由图象判断函数y=f(x)的极值，要 f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，下列 抓住两点：(1)由y=f(x)的图象与x轴 关于函数f(x)的结论正确的是 的交点，可得函数y=f(x)的可能极值点； (2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y =(x)的值的正负，从而可得函数y f(x)的单调性.两者结合可得极值点. A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0,2]上是减函数 角度二求函数的极值 C.当x∈[-1，t]时，f(x)的最大值是2，则 例2（多选)(（2024·新课标I卷)设函数 t的最大值为4 f(x)=(x-1)2(x-4),则 () D.当1<a<2时，函数y=f(x)-a有4个 A.x=3是f(x)的极小值点 零点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x) 【解析】由f(x)的图象可知，当x=0时， C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 函数f(x)取得极大值；当x=4时，函数 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大 【解析】因为f(x)=(x一1)2(x一4)，所以 值点，故A中结论正确； f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x 易知函数f(x)在[0,2]上是减函数，故B 1)(x-3),令f(x)=0,解得x=1或x=3, 中结论正确； 当x<1或x>3时，f'(x)>0,当1<x<3 当x∈[-1，t]时，f(x)的最大值是2，则t 时，f(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区 满足0≤t≤5，即t的最大值是5， 间为（一∞，1），(3，+∞)，单调递减区间为 故C中结论错误； (1,3),故x=1是函数f(x)的极大值点， 令y=f(x)-a=0,得f(x)=a, x=3是函数f(x)的极小值，点，所以A正确. 当f(2)≤1,1<a<2时， 当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,即0< 48 第四章 导数及其应用 x2<x<1,又函数f(x)在(0,1)上单调递 十∞)上单调递增， 增，所以f(x2)<f(x),所以B错误 第3步：根据极值的定义给出结论 当1<x<2时，1<2x-1<3,函数f(x)在 所以当x=0时，f(x)取得极小值，为f(0) (1,3)上单调递减，所以一4=f(3)<f(2x =0,f(x)无极大值， -1)<f(1)=0,所以C正确. (2)第1步：求导 当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(2-x f(x)=(1-a.x)ln(1+x)-x,x∈(-1，+o), -1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=(x 则f(r=-aln(1+x)-a+),设g( 1)2(-x-2)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2 1+x (-2x+2)=-2(x-1)3>0,所以f(2-x) =-aln (1+x)-(atD)z,g () 1+x >f(x),所以D正确.综上，选ACD. 【答案】ACD a .a+1 1+x(1+x)21 目名师点评 第2步：找出原不等式成立的一个必要条件 1.求函数f(x)的极值的一般解题步骤 因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)=0, (1)确定函数的定义域； f'(0)=0, (2)求导数f(x); (3)解方程f(x)=0,求出函数定义域 所以g'0)=-2a-1≥0，得a≤-， 内的所有根； 故a≤一}是原不等式成立的一个必要 2 (4)列表检验f(x)在f(x)=0的根xo 左右两侧值的符号. 条件 2.根据函数的极值（点）求参数的两个要领 第3步：证明该必要条件也是充分条件 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值 下面证明其充分性： 这两个条件列方程组，利用待定系数法 当a≤- 2x≥0时，g（x)>201+） 求解. 1 (2)验证：求解后验证根的合理性， 21+x)221+)≥0， 角度三已知函数的极值求参数 所以f(x)在[0，十∞)上单调递增，且 例3(2024·全国甲卷（理）)已知函数f(x) f'(x)≥f(0)=0, =(1-ax)ln(1+x)-x. 所以f(x)在[0，十o∞)上单调递增，且f(x) (1)当a=-2时，求f(x)的极值； ≥f(0)=0. (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 综上a的取值范国是(-0， 【解】(1)第1步：给出定义域，并求导 当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x) [针对训练] x,x∈(-1，十∞)， 1.(多选)定义在区间 4 f(x)=2n1+x)+1,+2x-1=21n1+) 1+x [，上的函数 1 1x+1. f(x)的导函数 f'(x)的图象如图 第2步：判断函数的单调性 所示，则下列结论正确的是 易知f'(x)在(-1，十∞)上单调递增，且 A.函数f(x)在区间[0,4]上单调递增 f'(0)=0, 所以当x∈（一1,0）时，f(x)<0,当x∈(0， B函数f(x在区间-2,0上单调递藏 十∞)时，f'(x)>0, C.函数f(x)在x=1处取得极大值 所以f(x)在（一1,0）上单调递减，在(0， D.函数f(x)在x=0处取得极小值 名师大课堂数学 2.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)= 自名师点评 (x一1)(x一2)(x-a)的极值点，则f(0)= (2)若函数在区间[a,b]内有极值，则要先 求出函数在[a,b]上的极值，再与f(a), f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最 考点二利用导数求函数的最值 小值，可列表完成， 例4(2026·贵州贵阳市检测)已知函数 （3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个 f(x)=x二1-ln. 极值点，这个极值点就是最大（或最小）值 x 点，此结论在导数的实际应用中经常用到. (1)求f(x)的单调区间： [提醒]求函数在无穷区间（或开区间）上 (2)求函数fx)在[合心上的最大值和最 的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究 其单调性，并通过单调性和极值情况，画出 小值（其中e是自然对数的底数）， 函数的大致图象，然后借助图象观察得到 【解】(1)fx)=二1-lnx=1-1-lnx, 函数的最值. x f(x)的定义域为(0，十∞) [针对训练] 因为(x)= 11_1-x 3.(2026·全国I卷)已知函数f(x)=x+2 x2 x x2 eta 的最大值为1，则a= () 所以f(x)>0→0x<1,f(x)<0→x>1,所 以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上 A号 B.1 单调递减。 c D.2 (2)由(1)得f(x) [上单调增，在 4.(2026·广东五校联考)已知函数f(x)=ax (1,e]上单调递减， +lnx,其中a为常数. (1)当a=-1时，求f(x)的最大值； 所以x)在合上的板大值为) (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为一3， 求a的值. 1-}-m1=0. 又日)-1-e-n是-2-e,e)-1- -lne=-。,且f)fe). 所以f)在[日上的最大位为0，最小位 为2-e. 目名师点评 求函数f(.x)在[a,b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递 减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为 最小值. 50 第四章 导数及其应用 考点三用导数解决生活中的优化问题 又1=644 3,2-3>0→1<2， 例5某企业拟建造如图所 所以定义域为(0,2). 示的容器（不计厚度，长度 单位：米)，其中容器的中间 (2)因为y=-128m+16xr=16元(，-8) r 为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计 所以令y>0,得2<r<2; 要求容器的体积为”立方米.假设该容器 令y'<0,得0<r<2, 的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形 当r∈(2,2)时，f(r)为增函数； 部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分 当r∈(0,2)时，f(r)为减函数， 每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建 8 所以当r=2,1=3时， 造费用为y千元. 该容器的建造费用最小为96π千元. (1)将y表示成r的函数f(r),并求该函数 的定义域 @名师点评 (2)讨论函数f(r)的单调性，并确定r和1 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出 （1)分析实际问题中各量之间的关系，建立 最小建造费用. 实际问题的数学模型，写出实际问题中变 【解】（①国为客器的体积为“立方来， 量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0. 所以十1=，解得1--r (3)比较函数在区间端点和f(x)=0处的 3r231, 点的函数值的大小，最大（小）者为最大 所以圆柱的侧面积为 (小)值， 2=2- ）=128π8πr2 (4)回归实际问题作答. 3r 3, 两端两个半球的表面积之和为4π2， [针对训练] 所以)-器-】 5.现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角 3/ ×3+4πr2×4 截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一 _128+8元2， 个无盖方盒，该方盒容积的最大值是 第四节 导数的综合应用 第一课时 导数与不等式 考点知能突破 考点一导数法证明不等式 【解】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x) =lnx十1-2=lnx-l,令f(x)=0得x=e. 例1已知函数f(x)=xlnx-2x. 将x,f(x),f(x)变化情况列表： (1)求f(x)的单调区间、极值； (0,e) e (e,十o∞) (2)若x>y>0,试确定f(x)-f(y)与 f'(z) 0 + xlny一ylnx的大小关系，并给出证明. f(x) 极小值 51(2)由题意知f'(x)=3.x2一a≤0在（一1,1）上恒成立，所 以a≥3.x2在(-1,1)上恒成立， 因为当-1<x<1时，3.x2<3,所以a≥3，所以a的取值 范围为[3，十∞). (3)由题意知f(x)=3.x2-a,则f(.x)的单调递减区间 为（要） 又f(x)的单调递减区间为（一1,1）， 所以@=1，解得a=3. 3 (4)由题意知：f(x)=3x2一a,当a≤0时，f'(x)≥0，此 时f(x)在（一∞，十∞）上为增函数，不合题意，故a>0. 令f(x)=0,解得x=±3@ 3 因为f(x)在区间（一1,1）上不单调，所以f'(x)=0在 （-1,1)上有解，需0<3@<1，得0<<3， 3 所以实数a的取值范围为(0,3). 第三节导数与函数的极值、最值 基础知识必备 1.(1)极大值f(xo)(2)极小值f(x0) 2.极值端点处的函数值f(a),f(b) 考点知能突破 针对训练 1.ABD根据导函数f'(x)的图象可知，f(x)在区间 [一子0]上单润递诚，在区间[0，]上单词遂增，所以 f(x)在x=0处取得极小值，没有极大值.所以选项A、B、 D正确，选项C错误. 2.答案：-4 解析：f(x)=(x-2)'[(.x-1)(x-a)]+(x-2)[(.x-1) (x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)],因 为x=2是函数f(x)的极值点，所以f(2)=0,即(2-1) (2一a)=0,则a=2,经检验，满足题意，所以f(x)=(x 1)(x-2)2,所以f(0)=一4. 3.B利用导数求函数最值 解法一（导数法）由f(x)=十2，得f(x) ex+a (er+a)2 (e+a),因为f(x)的定义城 e2+a)-(x+2)e_a-(.x+1)e 为开区间，f(x)有最大值，所以f(x)在极值点处取最大 值，设f()=0,得a=e,(+1),代入fo)=+2 ex。十a =1,得x0十2 c(0十2=1.即e5=1.解得0=0，所以a e。(x0+1)=e0(0十1)=1.故选B. 解法二（分离参数法）由选项知a>0,所以ex十a恒大 于0.由f()=十2≤1对任意x∈R恒成立，得r十2≤ exta ex十a,即x十2一era对任意x∈R恒成立且等号成立 设g(x)=x十2-e2,则g'(x)=1-e.当x<0时，g'(x) >0,g(x)单调递增；当x>0时，g(x)<0,g(x)单调递 减.所以g(x)max=g(0)=1,所以a=1.故选B. 4.解：(1)易知f(x)的定义域为(0，十∞)，当a=一1时， )=-x+nf)=-1+上，◆f)=0, 得x=1.当0<x<1时，f'(x)>0;当x>1时，f(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，十o∞)上是减函数. 所以f(x)nmax=f(1)=一1.所以当a=一1时，函数f(x)在 (0,十∞)上的最大值为一1. 3 2fx)=a+xeo.e,e[g+o)月 ①若a≥-1，则f(r)≥0，从而f(.x)在(0，]上是增函 e 数，所以f(x)max=f(e)=ae十1≥0，不符合题意； ②若a<-1,令f(x)>0得a+上>0，结合r∈(0，e], e 解得0<-2◆f(x0得a+0,结合re0, ,解得-<≤0从而f)在(0，日)上为增高数， 在(-日上为减西数，所以f)=(日) -1+1(-2) 令-1+1n(-）=-3得1n(-）】 -2,即a=-e2. 因为一e2<一】，所以a=一e为所求，故实数a的值为 e -e2. 2 5.答案：270 解析：容积V=(a-2x)2x,0<x<号，则V=2(a-2x) ×(-2x)+(a-2.x)2=(a-2x)(a-6.x),由V'=0得 x=合或x=号（含去），则=合为V在定义战内唯一的 极大旋点也是最大位点，此时Vx=品c。 第四节导数的综合应用 第一课时导数与不等式 考点知能突破 针对训练 1.解：(1)解法一：第1步：求f(x) 因为f(x)=5cosx-cos5.x, 所以f'(x)=-5sinx+5sin5.x. 第2步：令f(x)=0,求出导函数的零点，讨论函数f(x) 的单调性 令f(x)=0,得sinx=sin5x,又xe0,,所以x= 5x或x=π-5x, 所以x=0或x=6, 所以x,f(x),f(x)的关系如表所示： 0 (o.) 6 (] f'(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求八)在区间[0，至]的最大值 因为f(晋）=50s吾-0誓-3， 所以高数fr)=5cosr-c0s5r在区间[0，]的装大 值为3√3. 解法二：第1步：求f(x) 因为f(x)=5cosx-cos5.c,所以f(x)=-5sinx+5sin5.x. 第2步：对f(x)提取公因式，进行分析 f'(r)=5(sin .rcos 4x+sin 4.xcos r-sin x)=5sin x (cos4x+4cos2x·cos2x-1)=5sinx·4cos2x(1- 4sinx), 06