第4章 第2节 导数与函数的单调性-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

名师大课堂数学 第二节 导数与函数的单调性 基础知识必备 1.函数的单调性与导数的关系 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤 条件 结论 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x); f(x)在(a,b)内 、 f'(x)>0 (3)由f(x)>0(或<0)解出相应的x的取值 范围。 函数y= f(x)在 当f(x)>0时，f(x)在相应的区间内是增函数； f'(x)<0 f(x)在(a,b)内 区间(a, 当f(x)<0时，f(x)在相应的区间内是减函数. b)上可导 @微点拔 f(x)在(a,b)内是 (1)(x)>0(或f(x)<0)是f(x)在(a,b)内 f(x)=0 单调递增（或递减）的充分不必要条件， (2)f(x)≥0（或f(x)≤0）(f(x)不恒等 目微点拔 于0)是f(x)在(a,b)内单调递增（或递 (1)解决一次、二次函数的单调性问题不必 减)的充要条件. 用导数 (2)有些初等函数（如f(x)=x3+x)的单 3.单调性的应用 调性问题也不必用导数. 若函数y-f(x)在区间(a,b)上单调，则y= (3)利用导数研究函数的单调性，要在函数 f'(x)在该区间上不变号 的定义域内讨论导数的符号 目)微点拔 (4)判断函数的单调性时，个别导数等于零 (1)根据单调性求参数常用导数不等式 的点不影响所在区间内的单调性. f(x)≥0或f(x)≤0求解，注意检验等号. (5)对函数划分单调区间时，需确定导数等 (2)根据单调性求参数要注意函数、导函数 于零的点、函数的不连续点和不可导点. 的定义域 考点知能突破 考点一 函数的单调性 令f(x)<0,解得：x<2, 故f(x)在（一∞，2）上单调递减， 例I(1)(2026·北京模拟)函数f(x)=(x (2)由已知，函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 一3)e”的单调递减区间是 g(x)=f(x)=2(x-a)-2nx-2(1+g), (2)已知函数f(x)=-2(x十a)lnx十x2 2a.x-2a2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的 所以g10=2-2+9 导函数，讨论g(x)的单调性。 【解析】(1)因为f(x)=(x-3)e, 2c》+2a- 所以f'(x)=(x-2)e, 44 第四章 导数及其应用 当0<a<寻时，g(x)在区间0,1一-=如 [针对训练] 2 (1十1=0，十∞)上是增函数， L.已知函数f)-号(x-1)-x+lnx(a>0), 讨论f(x)的单调性。 在区间(-=40,1+=4@)上是减 2 2 函数； 当a≥寻时，g()在区间(0，十o)上是增 函数 【答案】(1)(-∞，2) (2)见解析 目名师点评 求函数单调性的三点注意 一是含参数的函数的单调性，要依据参数 对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二 次三项式常考虑二次项系数、对应方程的 判别式以及根的大小关系，以此来确定分 界点，分情况讨论. 考点二函数单调性的应用问题 二是划分函数的单调区间时，要在函数定 角度一 比较大小或解不等式 义域内讨论，还要确定导数为0的点和函 例2(1)(2026·河北枣强中学高三月考)已 数的间断点. 知定义在R上的函数f(x)满足f(x)一 三是个别导数为0的点不影响在区间的单调 f(-x)-6x+2sinx=0,且x≥0时，f(x) 性，如f(x)=x3,f(x)=3x≥0(f(x)=0在 ≥3一cosx恒成立，则不等式f(x)≥ x=0时取到)，f(x)在R上是增函数. [小积累]用导数f(x)确定函数f(x) f(经-x)-竖+6x+Ecos(x+)的解集 单调区间的三种类型及方法： 为 (1)当不等式f(x)>0或f(x)<0可解 A.(年，+∞】 时，根据函数的定义域，解不等式f(x) 经∞ >0或f'(x)<0求出单调区间. c.(g,+∞) D[吾+e) (2)当方程f(x)=0可解时，根据函数的 (2)(多选)(2026·山东新泰二中高三模拟) 定义域，解方程f(x)=0,求出实数根，把 函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点） 已知f(x)是定义在(0,2)上的函数f(x) 的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起 的导函数，且cosz f'(x)+sin xf(x)<0恒 来，把定义域分成若干个小区间，再确定 成立，则 '(x)在各个区间内的符号，从而确定单 调区间. A.f()>2f(F) (3)当不等式f(x)>0或f(x)<0及方 程f(x)=0均不可解时，对f(x)化简，根 B.f)>f() 据f'(x)的结构特征，选择相应的基本初 c.) 等函数，利用其图象与性质确定(x)的 符号，得单调区间. D.f)>f() 45 名师大课堂数学 【解析】(1)由题意得f(x)-3x十sinx= f(-x)+3x-sin x, 【解】1)易知h(x)=1nx-方ar2-2, 令g(x)=f(x)-3x十sinx,则g(x)=g(-x), re0,+∞)N)=} 一ax-2.因为 则g(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)≥3-cosx, h(x)在(0，十∞)上存在单调递减区间，所 则g'(x)≥0，则g(x)在R上单调递增.由f(x) 以当E(0,十0)时，-a-2<0有解， ≥f(-x-+6x+2os(x+于)， 期a>-有解，令)=-2z 得fx)-3x+simx≥f5-x-(-十 (0,十∞)，所以只要a>G(x)mim即可.而 sin(5-x小，即g(x)≥g(受-x G)=(日-1)-1，所以G)m=-1,所 以a>-1且a≠0. 则z≥受-x,所以x≥不故选B, (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当 （2)限据延意：令g)=∈0，号》： x[1,4]时，K(x)=1-ax-2≤0恒成 则g'(x)=f(）·cosx十sinx·f(z） 立印a≥-子担成主，令6r)=一2 x2 x cosx x∈[1,4]，则a≥G(x)max.因为x∈[1,4] 由x∈(0，)，且cosx·f(x)+sinx· f(x)<0恒成立，得g'(x)<0, 以G(x)max= 6所以a≥- 即函数g(x)为减函数. 且a0 目名师点评 动后京释：语》》圆 1.利用导数比较函数值的大小或解不等式 cos 6 的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较函数 r(】 值的大小或求解不等式的问题转化为先利 ,整理可得()>f(): 用导数研究函数的单调性问题，再由单调 性比较函数值的大小或解不等式. 2.由函数的单调性求参数的取值范围的 由吾<，得g()>g) 方法 (1)可导函数在区间(a,b)上单调，实际 )() 上就是在该区间上f(x)≥0（或f'(x) ,整理可得2f)>f于) ≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从 而转化为求函数的最值的问题，求出参 故选CD, 数的取值范围. (2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区 【答案】(1)B(2)CD 间，实际上就是f(x)>0(或f(x)<0) 角度二根据函数的单调性求参数 在该区间上存在解集，即f'(x)max>0 例8已知函数f(x)=lnx,g(x)=号a 2a.x2+ (或∫(x)mn<0)在该区间上有解，从而 转化为不等式问题，求出参数的取值 2x,a≠0. 范围. (1)若函数h(x)=f(x)一g(x)存在单调递 (3)若已知f(x)在区间I上的单调性， 减区间，求a的取值范围. 当区间I上含有参数时，可先求出f(x) (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上 的单调区间，令I是其单调区间的子集， 单调递减，求a的取值范围. 从而求出参数的取值范围. 46 第四章导数及其应用 [针对训练] (3)若函数f(x)的单调递减区间为（一1,1）， 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ae 求实数a的值； 一lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最 (4)若函数f(x)在区间（一1,1）上不单调， 小值为 求实数a的取值范围. A.e2 B.e C.e D.e-2 3.已知函数f(x)=xsin,x∈R,则f(), f),f(-)的大小关系为 A.f(-)>f1)>f() B.f1)>f-)>f() C.f)>f)>f(-) D.f(-3)>f()>f(D 4.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取 值范围； (2)若函数f(x)在（一1,1）上为单调减函 数，求实数a的取值范围； 第三节 导数与函数的极值、最值 基础知识必备 1.函数的极值与导数 @微点拔 (1)极大值与导数 (1)f(x)=0与x,是f(x)极值点的关系. x,左侧 x,右侧 函数f(x)可导，则f(xo)=0是x。为 f(x)的极值点的必要不充分条件.例如， f'(x) f'(x)>0 f'(x。)=0 f'(x)<0 f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点. (2)极大值（或极小值）可能不止一个，可能 f(x) 增入 减 没有，极大值不一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间内部，区 (2)极小值与导数 间的端点不能成为极值点。 x左侧 To x,右侧 2.函数的最值与导数 求y=f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤： f'(x) f'(x)<0 f'(x0)=0 f'(x)>0 第一步求函数y=f(x)在(a,b)内的 f(z) 减 增入 第二步将第一步求得的极值与 比 较，得到f(x)在[a,b]的最大值与最小值. 472.答案：(1)120(2)80 解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而 且当t=60和t=180时种植成本相等，再结合题中给出 的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系 应该用二次函数Q=at2十bt十c,即Q=a(t-120)2十n 描述，将表中数据代入可得 aC60-120+n=116解得a=0.01, a(100-120)2+m=84, {m=80, 所以Q=0.01(t一120)2+80，故当上市天数为120时，种 植成本取到最低值80元/100kg. 3.答案：10 解析：设该养殖场x(x∈N)天购买一次饲料可使平均每天 支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元， 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200 0.03=6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+…十6=3.x2-3.x(元).从而有y= (3x2-3x+300)+200×1.8=300+3x+357≥417，当 x 且仅当300=3x,即x=10时，y有最小值，故该养殖场10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 第四章导数及其应用 第一节导数的概念及运算 基础知识必备 1.f0+△)-fxo) 常数A f(xro+Ar)-f(ro) A △x △x (.xo,f(.xo)切线斜率y-f(xo)=f(xo)(x-xo) 2.lim(r)-f(r) 3.0 nr"I cos r -sinr a"In a ex 1 xln a x 4.(3)f(x)g(x)+f(x)g'(x) （4)f()g)=fx)g2(gr)≠0) Lg(x)2] 5.y'4·wx 考点知能突破 针对训练 1.Ac对于A:(/=·nV= xIn2 r 对于B:(x2e)′=(x2+2.x)ex 对于C:(rcos x)'=cosx-rsin x, 对于D:(-广-1+之故递AC 2.A函数y=x2与y=lnx十a的导函数分别为y'=2x, y=之，谈切点的横坐标为>0 it2=Int+a, 则{2= 解得a=1+n2故选A 2 3.答案：2ex-y=0 解析：设切点坐标为(t,e2t), 因为f(.x)=e2x,所以f(x)=2e2x,f(t)=2e2,则曲线 y=f(x)在点(t,e2)处的切线方程为y-e=2e(x-t). 由于该直线过原点，故一e21=-21e2,得t=2,则过原点 且与曲线y=f(.x)相切的直线方程为y=2ex,即2ex-y =0. 4.答案：4 解析：设直线y=2.x十5与曲线y=e十x十a的切点坐标 为(x0,e2。十xo十a),由y=e2+x十a得y'=e2+1,所以 3 yx=x,=e十1=2，解得x0=0,所以切点坐标为(0,1十 a),又切点(0,1十a)在切线y=2x十5上，所以1十a=5, 解得a=4. 第二节 导数与函数的单调性 基础知识必备 1.单调递增单调递减常数函数 考点知能突破 针对训练 1.解：函数f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)=a(x-1)-1+1=-1)(a.x-1) 1 令f(x)=0,则x1=1,x2=a, ①若a=1,则f(x)≥0恒成立，所以fx)在(0，十∞)上是增 函数； ②若0<<1，则1>1， a 当x∈(0,1)时，f(x)>0,f(.x)是增函数， 当x(1,)时，f)<0fx)是减画戴. 当∈（合十）时，f(x>0,fx)是增函数： ⑧若a>1,则0<1<1， 当x∈(0，）时f(x)>0,f(x)是增函数，当x∈ (日，1)时fx)<0f)是减画数， 当x∈(1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)是增函数. 综上所述，当a=1时，f(x)在(0，十∞)上是增函数； 当0<a<1时，f(x)在(0,1)上是增画数，在(1，)上是 减函数，在（仔十∞）上是增函数： 当>1时fx)在(0，)上是增通数，在（合1）上足 减函数，在(1，十∞)上是增函数. 2.C国为画数f(x)=ac-lnx,所以f'(x)=ae-子.因 为函数f(x)=aex-lnx在(1,2)单调递增，所以f(x) ≥0在(1,2)恒成立，即ae-≥0在(1,2)恒成立，易知 a>0,则0<<e在1,2)证成主.授8x)=e2,则 g'(x)=(x+1)e.当x∈(1,2)时，g'(x)>0,g(x)单调 递增，所以在(1,2)上，g(x)>g(1)=e,所以1≤e,即a≥ =el,故选C. e 3.A因为f(x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)sin(-x)= rsin=f(x).所以函数f(x)是偶函数，所以f(-牙） f(）.又x∈(o,)时，得f(x)=sinx+xosx>0, 所以f()在(0，)上是增画数.所以f(等)<f(1)< f(5)所以f(-号)>f)>f()故选A. 4.解：(1)因为f(x)在(-∞，十o∞)上是增函数，所以f(x) =3x2一u≥0在（一∞，十∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈ R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a=0时， f'(x)=3x2≥0，f(x)=x3一1在R上是增函数，所以a 0,即实数a的取值范围为（一∞，0]. 05 (2)由题意知f'(x)=3.x2一a≤0在（一1,1）上恒成立，所 以a≥3.x2在(-1,1)上恒成立， 因为当-1<x<1时，3.x2<3,所以a≥3，所以a的取值 范围为[3，十∞). (3)由题意知f(x)=3.x2-a,则f(.x)的单调递减区间 为（要） 又f(x)的单调递减区间为（一1,1）， 所以@=1，解得a=3. 3 (4)由题意知：f(x)=3x2一a,当a≤0时，f'(x)≥0，此 时f(x)在（一∞，十∞）上为增函数，不合题意，故a>0. 令f(x)=0,解得x=±3@ 3 因为f(x)在区间（一1,1）上不单调，所以f'(x)=0在 （-1,1)上有解，需0<3@<1，得0<<3， 3 所以实数a的取值范围为(0,3). 第三节导数与函数的极值、最值 基础知识必备 1.(1)极大值f(xo)(2)极小值f(x0) 2.极值端点处的函数值f(a),f(b) 考点知能突破 针对训练 1.ABD根据导函数f'(x)的图象可知，f(x)在区间 [一子0]上单润递诚，在区间[0，]上单词遂增，所以 f(x)在x=0处取得极小值，没有极大值.所以选项A、B、 D正确，选项C错误. 2.答案：-4 解析：f(x)=(x-2)'[(.x-1)(x-a)]+(x-2)[(.x-1) (x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)],因 为x=2是函数f(x)的极值点，所以f(2)=0,即(2-1) (2一a)=0,则a=2,经检验，满足题意，所以f(x)=(x 1)(x-2)2,所以f(0)=一4. 3.B利用导数求函数最值 解法一（导数法）由f(x)=十2，得f(x) ex+a (er+a)2 (e+a),因为f(x)的定义城 e2+a)-(x+2)e_a-(.x+1)e 为开区间，f(x)有最大值，所以f(x)在极值点处取最大 值，设f()=0,得a=e,(+1),代入fo)=+2 ex。十a =1,得x0十2 c(0十2=1.即e5=1.解得0=0，所以a e。(x0+1)=e0(0十1)=1.故选B. 解法二（分离参数法）由选项知a>0,所以ex十a恒大 于0.由f()=十2≤1对任意x∈R恒成立，得r十2≤ exta ex十a,即x十2一era对任意x∈R恒成立且等号成立 设g(x)=x十2-e2,则g'(x)=1-e.当x<0时，g'(x) >0,g(x)单调递增；当x>0时，g(x)<0,g(x)单调递 减.所以g(x)max=g(0)=1,所以a=1.故选B. 4.解：(1)易知f(x)的定义域为(0，十∞)，当a=一1时， )=-x+nf)=-1+上，◆f)=0, 得x=1.当0<x<1时，f'(x)>0;当x>1时，f(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，十o∞)上是减函数. 所以f(x)nmax=f(1)=一1.所以当a=一1时，函数f(x)在 (0,十∞)上的最大值为一1. 3 2fx)=a+xeo.e,e[g+o)月 ①若a≥-1，则f(r)≥0，从而f(.x)在(0，]上是增函 e 数，所以f(x)max=f(e)=ae十1≥0，不符合题意； ②若a<-1,令f(x)>0得a+上>0，结合r∈(0，e], e 解得0<-2◆f(x0得a+0,结合re0, ,解得-<≤0从而f)在(0，日)上为增高数， 在(-日上为减西数，所以f)=(日) -1+1(-2) 令-1+1n(-）=-3得1n(-）】 -2,即a=-e2. 因为一e2<一】，所以a=一e为所求，故实数a的值为 e -e2. 2 5.答案：270 解析：容积V=(a-2x)2x,0<x<号，则V=2(a-2x) ×(-2x)+(a-2.x)2=(a-2x)(a-6.x),由V'=0得 x=合或x=号（含去），则=合为V在定义战内唯一的 极大旋点也是最大位点，此时Vx=品c。 第四节导数的综合应用 第一课时导数与不等式 考点知能突破 针对训练 1.解：(1)解法一：第1步：求f(x) 因为f(x)=5cosx-cos5.x, 所以f'(x)=-5sinx+5sin5.x. 第2步：令f(x)=0,求出导函数的零点，讨论函数f(x) 的单调性 令f(x)=0,得sinx=sin5x,又xe0,,所以x= 5x或x=π-5x, 所以x=0或x=6, 所以x,f(x),f(x)的关系如表所示： 0 (o.) 6 (] f'(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求八)在区间[0，至]的最大值 因为f(晋）=50s吾-0誓-3， 所以高数fr)=5cosr-c0s5r在区间[0，]的装大 值为3√3. 解法二：第1步：求f(x) 因为f(x)=5cosx-cos5.c,所以f(x)=-5sinx+5sin5.x. 第2步：对f(x)提取公因式，进行分析 f'(r)=5(sin .rcos 4x+sin 4.xcos r-sin x)=5sin x (cos4x+4cos2x·cos2x-1)=5sinx·4cos2x(1- 4sinx), 06