第4章 第1节 导数的概念及运算-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第四章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 基础知识必备 1.函数y=f(x)在x=x。处的导数 续表 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定 f(x)=sin x f(x)= 义，xo∈(a,b),若△x无限趋近于0 f(x)=cos x f(x)= 定义 时，比值会 无限趋近于一 f(x)=a" 个 ,则称常数A为函数f(x) f(x)= (a>0且a≠1) 在x=x。处的导数，记作f(x) f(x)=e" f(x)= 记法 当△x→0时， f(x)=logax 几何 是曲线y=f(x)在点 处的 f(x)= (x>0,a>0且a≠1) 意义 ,相应的切线方程为 f(x)=In z(x>0) f(x)= 2.函数f(x)的导函数：称函数f'(x)= 为f(x)的导函数. @)微点拔 微点拔 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是 函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数 奇函数；周期函数的导数还是周期函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|(x)|反映了变化的 4.导数的运算法则 快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线 (1)[f(x)士g(x)]'=f'(x)士g(x). 越“陡”. (2)[cf(x)]'=cf'(x). (3)[f(x)·g(x)]'= 3.基本初等函数的导数公式 4)「fx= g(z) 原函数 导函数 5.复合函数的求导法则 f(x)=c(c为常数) f(x)= 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= f(u),u=g(x)的导数间的关系为y',= f(x)=x"(n∈Q) f(x)= 41 名师大课堂数学 考点知能突破 考点一导数的计算 C.(xcos x)'=-sin x >例工（多选)下列结论中不正确的是( D(-y-1+ A若y=60s士则=-m士 考点二 导数的几何意义 B.若y=sinx2,则y=2 rcos x2 角度一 求切线方程 C.若y=cos5.x,则y=-sin5x 例2(2026·全国I卷)曲线y=5.x+8lnx 在点(1,5)处的切线方程为 () D.若y=sin2x,则y/=sm2r A.y=3x+2 B.y=5x 【解析】对子Ay=s周-m C.y=8x-3 D.y=13x-8 【解析】导数的几何意义 故错误；对于B,y=sinx,则y=2 rcos x,故 因为y=5女十8n,所以y=5+8,所以 正确；对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x, y1-1=13,所以曲线y=5x十8lnx在点 故错误，对于Dy=号sin2x则y=3sin2z 1 (1,5)处的切线方程为y-5=13(x-1),即 十xC0s2x,故错误. y=13x-8,故选D. 【答案】ACD 【答案】D 名师点评 @名师点评 函数求导应遵循的原则 求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等变换 等对函数进行化简，然后求导，这样可以减 数，即曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo)处 切线的斜率. 少运算量，提高运算速度，减少差错 (2)由点斜式方程求得切线方程为y一 (2)进行导数运算时，要牢记导数公式和导 f(x)=f'(x)·(x-x0). 数的四则运算法则，切忌记错记混， [注意]“过”与“在”：曲线y=f(x)“在点 (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复 P(xoy)处的切线”与“过点P(x0,yo)的 合层次，通过设中间变量，确定复合过程， 切线”的区别：前者P(x0,yo)为切点，而后 然后求导. 者P(x0,yo)不一定为切点. [提醒]当函数解析式中含有待定系数 (例如f(x。),a,b)等)，求导时把待定系 角度二 求切点坐标 数看成常数，再根据题意求解即可· 例3若曲线y=xlnx上点P处的切线平行 于直线2x一y+1=0,则点P的坐标是 [针对训练] 1.(多选)下列求导运算不正确的是 ( 【解析】设切，点P的坐标为(xoyo), A(品a广=x 因为y=lnx+1, B.(x2e)'=2x+e 所以切线的斜率k=lnxo十1， 42 第四章导数及其应用 由题意知k=2,得xo=e, ),则十1=2，得4=-合则6=2。 代入曲线方程得y=e. 故，点P的坐标是(e,e). +1=0,所以0=ln(-2+1)十a,所以a 【答案】(e,e) In 2. 名师点评 【答案】ln2 求切点坐标的思路 )名师点评 利用导数的几何意义求参数的基本方法 (1)已知切线方程（或斜率）求切点的一般 思路是先求函数的导数，再让导数等于切 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的 线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐 方程等得到关于参数的方程（组）或者参数 标代入函数解析式求出切点的纵坐标。 满足的不等式（组），进而求出参数的值或 (2)已知曲线外一点求切点的一般思路是 取值范围. [提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围； 先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代 入曲线方程，已知点代入切线方程联立方 (2)谨记切点既在切线上又在曲线上， 程求出切点坐标. [针对训练] 角度三已知切线方程求参数 2.已知函数y=x2与y=lnx+a的图象在交 例4(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x 点处有公共的切线，则a= () 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1) A.1+1n2 B.1-In 2 十a的切线，则a= 【解析】由题，令f(x)=e+x,则f'(x)= C.1+ 2 D.1-In 2 2 e+1,所以f'(0)=2,所以曲线y=e+x 3.已知函数f(x)=e2,则过原点且与曲线 在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令 y=f(x)相切的直线方程为 sx)=lhx+1D十a,则g(x)=中设直 4.(2025·全国一卷)若直线y=2x十5是曲线 y=e十x十a的一条切线，则a= 线y=2x十1与曲线y=g(x)相切于点(x。, 432.答案：(1)120(2)80 解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而 且当t=60和t=180时种植成本相等，再结合题中给出 的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系 应该用二次函数Q=at2十bt十c,即Q=a(t-120)2十n 描述，将表中数据代入可得 aC60-120+n=116解得a=0.01, a(100-120)2+m=84, {m=80, 所以Q=0.01(t一120)2+80，故当上市天数为120时，种 植成本取到最低值80元/100kg. 3.答案：10 解析：设该养殖场x(x∈N)天购买一次饲料可使平均每天 支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元， 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200 0.03=6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+…十6=3.x2-3.x(元).从而有y= (3x2-3x+300)+200×1.8=300+3x+357≥417，当 x 且仅当300=3x,即x=10时，y有最小值，故该养殖场10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 第四章导数及其应用 第一节导数的概念及运算 基础知识必备 1.f0+△)-fxo) 常数A f(xro+Ar)-f(ro) A △x △x (.xo,f(.xo)切线斜率y-f(xo)=f(xo)(x-xo) 2.lim(r)-f(r) 3.0 nr"I cos r -sinr a"In a ex 1 xln a x 4.(3)f(x)g(x)+f(x)g'(x) （4)f()g)=fx)g2(gr)≠0) Lg(x)2] 5.y'4·wx 考点知能突破 针对训练 1.Ac对于A:(/=·nV= xIn2 r 对于B:(x2e)′=(x2+2.x)ex 对于C:(rcos x)'=cosx-rsin x, 对于D:(-广-1+之故递AC 2.A函数y=x2与y=lnx十a的导函数分别为y'=2x, y=之，谈切点的横坐标为>0 it2=Int+a, 则{2= 解得a=1+n2故选A 2 3.答案：2ex-y=0 解析：设切点坐标为(t,e2t), 因为f(.x)=e2x,所以f(x)=2e2x,f(t)=2e2,则曲线 y=f(x)在点(t,e2)处的切线方程为y-e=2e(x-t). 由于该直线过原点，故一e21=-21e2,得t=2,则过原点 且与曲线y=f(.x)相切的直线方程为y=2ex,即2ex-y =0. 4.答案：4 解析：设直线y=2.x十5与曲线y=e十x十a的切点坐标 为(x0,e2。十xo十a),由y=e2+x十a得y'=e2+1,所以 3 yx=x,=e十1=2，解得x0=0,所以切点坐标为(0,1十 a),又切点(0,1十a)在切线y=2x十5上，所以1十a=5, 解得a=4. 第二节 导数与函数的单调性 基础知识必备 1.单调递增单调递减常数函数 考点知能突破 针对训练 1.解：函数f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)=a(x-1)-1+1=-1)(a.x-1) 1 令f(x)=0,则x1=1,x2=a, ①若a=1,则f(x)≥0恒成立，所以fx)在(0，十∞)上是增 函数； ②若0<<1，则1>1， a 当x∈(0,1)时，f(x)>0,f(.x)是增函数， 当x(1,)时，f)<0fx)是减画戴. 当∈（合十）时，f(x>0,fx)是增函数： ⑧若a>1,则0<1<1， 当x∈(0，）时f(x)>0,f(x)是增函数，当x∈ (日，1)时fx)<0f)是减画数， 当x∈(1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)是增函数. 综上所述，当a=1时，f(x)在(0，十∞)上是增函数； 当0<a<1时，f(x)在(0,1)上是增画数，在(1，)上是 减函数，在（仔十∞）上是增函数： 当>1时fx)在(0，)上是增通数，在（合1）上足 减函数，在(1，十∞)上是增函数. 2.C国为画数f(x)=ac-lnx,所以f'(x)=ae-子.因 为函数f(x)=aex-lnx在(1,2)单调递增，所以f(x) ≥0在(1,2)恒成立，即ae-≥0在(1,2)恒成立，易知 a>0,则0<<e在1,2)证成主.授8x)=e2,则 g'(x)=(x+1)e.当x∈(1,2)时，g'(x)>0,g(x)单调 递增，所以在(1,2)上，g(x)>g(1)=e,所以1≤e,即a≥ =el,故选C. e 3.A因为f(x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)sin(-x)= rsin=f(x).所以函数f(x)是偶函数，所以f(-牙） f(）.又x∈(o,)时，得f(x)=sinx+xosx>0, 所以f()在(0，)上是增画数.所以f(等)<f(1)< f(5)所以f(-号)>f)>f()故选A. 4.解：(1)因为f(x)在(-∞，十o∞)上是增函数，所以f(x) =3x2一u≥0在（一∞，十∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈ R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a=0时， f'(x)=3x2≥0，f(x)=x3一1在R上是增函数，所以a 0,即实数a的取值范围为（一∞，0]. 05