第3章 第8节 第1课时 函数的零点与方程的解、二分法-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第三章 函数及其应用 【解析】画出函数y=f(x)与y=k的图 :[针对训练] 象，如图所示 2.(多选)(2026·福建厦门双十中学月考)对 任意两个实数a,b,定义min{a,b}= 3 y=f(x) a,ab, 2 b;a-b, 若f(x)=2-x2,g(x)=x2,F(x) ∠y=k -5-4-3-210 12345x =min{f(x),g(x)},则 () -2 A.F(x)是偶函数 -3 -4 B.方程F(x)=0有三个不同的实根 -5 C.F(x)在区间[-1,1]上单调递增 由图可知，当0<k<1时，y=k和y=f(x) D.F(x)有4个单调区间 的图象有三个交点，即方程f(x)=k有三 3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若 个不同的实根， 方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则 【答案】(0,1) 实数的取值范围是 () 名师点评 A.(o,》 B(分 当参数的不等关系不易找出时，可将函数 C.(1,2) D.(2,+∞) (或方程)等价转化为方便作图的两个函 4.函数f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,+∞) 数，再根据题设条件和图象确定参数的取 的奇函数，在(0，十∞)上单调递增，f(3)=0, 值范围 若x·[f(x)一f(-x)]<0,则x的取值范 围为 第八节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.函数的零点 3.二次函数y=a.x2+bx+c(a>0)的图象与 (1)函数零点的定义：对于函数y=f(x),把 零点的关系 使 的实数x叫做函数y=f(x)的 △>0 △=0 △<0 零点. (2)三个等价关系：方程f(x)=0有实数根 二次函数 台函数y=f(x)的图象与 有交点 y=ax2+ 台函数y=f(x)有 bx+c 2.函数零点的判定 (a>0) x1=x2 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的图象 连续不断的一条曲线，并且 ,那么 与x轴 (x1,0), 函数y=f(x)在区间 内有零点，即 (x1,0) 无交点 的交点 存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就 (x2,0) 是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函 零点个数 两个 一个 无 数零点存在性定理， 35 名师大课堂数学 考点知能突破 考点一 函数零点及其所在区间的判断 考点二 确定函数的零点个数 例1（一题多解）函数f(x)=log3x十x-2 x2+x-2,x0, 例2（一题多解）函数f(x)= 的 的零点所在的区间为 -1+In x,x>0 A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 零点个数为 ( 【解析】解法一（定理法）：函数f(x)=logx A.3 B.2 十x一2的定义域为(0，十∞)，并且f(x)在 C.1 D.0 (0,十∞)上单调递增，图象是一条连续曲线. 【解析】 解法一（方程法）：由f(x)=0, 由题意知f(1)=-1<0,f(2)=l0g32>0,根据 1x≤0， (x>0, 零点存在性定理可知，函数f(x)=log3x十x 得 或 zx2+x-2=0-1+lnx=0, 2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内. 解得x=一2或x=e.因此函数f(x)共有2 解法二（图象法）：函数 个零点.故选B. f(x)的零，点所在的区间 g(x)=log3x 解法二（图象法）：函数f(x)的图象如图 转化为函数g（x) 所示， log3x,h(x)=-x+2图 0 y 象交点的横坐标所在的 h(x)=-x+2 范围.作出两个函数的图象如图所示，可知 y=f(x) f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 01 2 【答案】B 名师点评 -4 判断函数零点所在区间的方法 由图象知函数f(x)共有2个零点.故选B. 方法 解读 适合题型 【答案】B 能够容易判 利用函数零点存 )名师点评 断区间端点 定理法 在性定理进行 判断函数零点个数的3种方法 值所对应函 判断 (1)方程法：令f(x)=0,如果能求出解，则 数值的正负 有几个解就有几个零点， 画出函数图象，通 (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间 过观察图象与x轴 容易画出函 图象法 [a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)· 在给定区间上是否数的图象 f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质 有交点来判断 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能 确定函数有多少个零点。 [针对训练] (3)图象法：转化为两个函数的图象的交点 1.设f(x)=3一x2,则在下列区间中，使函数 个数问题.先画出两个函数的图象，看其交 f(x)有零点的区间是 ( ) 点的个数，其中交点的横坐标有几个不同 A.[0,1] B.[1,2] 的值，就有几个不同的零点. C.[-2,-1] D.[-1,0] 36 第三章函数及其应用 [针对训练] 目名师点评 ln(x-1),x>1, 由函数零点个数或所在区间求参数的方法 2.已知函数f(x)= 则f(x) 2-1-1,x≤1， 的零点个数为 直接根据题设条件构建关于参 A.0 B.1 直接法 数的不等式（组），通过解不等 C.2 D.3 式（组）确定参数的取值范围 考点三函数零点的应用 先将参数分离，然后将原问题 例图1函数f)=x2-ax+1在区间(23)上 分离 转化成求函数值域的问题加以 参数法 有零点，则实数a的取值范围是 ( 解决 A.(2,+∞) B.[2,+∞) c.2,别 n.2,》 将函数解析式（方程）适当变形， er,x≤0， 转化为图象易得的函数与一个 (2)已知函数f(x)= In x,>0, (x)= 数形 含参的函数的差，在同一平面直 f(x)+x十a.若g(x)存在2个零点，则a的 结合法 角坐标系中画出这两个函数的 取值范围是 图象，结合函数的单调性、周期 【解析】(1)由题意知方程ax=x2十1在 性、奇偶性等性质及图象求解 (份3)上有解，即a=x+在（兮3）上有 解，设=x+之x(分3，则t的取值范国是 [针对训练] [2唱》所以实效。的取信范因是2，》-故 3.函数f(x)=2r- 2 一a的一个零点在区 选D. 间(1,2)内，则实数a的取值范围是 (2)函数g（x)=f(x)十x+a存在2个零 点，即关于x的方程f(x)=一x-a有2个 ( 不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y A.(1,3) B.(1,2) =一x一a有2个交点，作出直线y=一x C.(0,3) D.(0,2) Q与函数f(x)的图象，如图所示，由图可 1,x>0, 知，-a≤1，解得a≥-1. 4.已知函数f(x)= 若函数 x2-2x,x≤0， g(x)=f(x)一m有3个零点，则实数m的 取值范围是 5.(2026·全国Ⅱ卷)若函数f(x)=2+22-x 一m有两个零点，则m的取值范围是 【答案】(1)D(2)[-1,+∞) 37利用复合函数单调性可得函数f(x)的增区间为 (一∞，0)，减区间为(2，十∞). (2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上，对称 轴为x=2a ①当0<a<1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函 数，则g(x)=a.x2-x在[2,4]上单调递减，且g(x)min> 0.即品≥ 此不等式组无解 g(4)=16a-4>0, ②当>1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则 g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增，且g(x)mm>0, 中公2 解得a>2 g(2)=4a-2>0, 又a>1,所以a>1. 综上，实数a的取值范围为[1，十∞). 第七节函数的图象 基础知识必备 2.(1)f(x-a)f(x)+b(2)f(w.x)Af(x) (3)-f(x)f(-x) -f(-x)(4)f(x)fx)川 考点知能突破 针对训练 1x2,x≥0， 1.D先画出函数f(x)=1 ,x<0的图象，知图()所示， 再根据函数f(x)与一f(一x)的图象关于坐标原，点对称， 即可画出函数一f(一x)的图象，即g(x)的图象，如图(2) 所示，故选D. 2.ABD根据函数f(x)=2一x2与 g(x)=x2,画出函数F(x) minf(x),g(x)}的图象，如图.由 图象可知，函数F(x)=min{f(x), g(x)}的图象关于y轴对称，所以 A项正确：函数F(x)的图象与x 轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三个不同的实根，所 以B项正确；函数F(x)在（一∞，一1]上单调递增，在 (-1,0)上单调递减，在0,1]上单调递增，在(1，十∞)上 单调递减，所以C项错误，D项正确。 3.B先作出函数f(x)=x一2|十1的图象，如图所示，当直 线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)=x 过A点时针率为了，故)=g)有两个不相等的实根时。 k的范国为(？，1.故选B fx)=lx-2l+1 /B y=x 。” A 5 心 4.答案：（一3,0）U(0,3) 解析：函数f(x)的图象大致如图 所示， 因为f(x)为奇函数， 且x·[f(x)-f(-x)]<0, 所以2xf(x)<0. 由图可知，不等式的解集为（一3,0） U(0,3). 第八节函数的应用 第一课时函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.(1)f(x)=0(2)x轴零点 2.f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0 考点知能突破 针对训练 2∠ 1.D因为f(x)=3-x2,所以f(-1)=31-1=- 0,f(0)=30-0=1>0,所以f(-1)·f(0)<0.故选D. 2.C当x>1时，令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2;当x1 时，令f(x)=2-1一1=0，得x=1.故选C. 3.C由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一 个零，点在区间(1,2)内， 所以’即{1二、0. 解得0a3, 1f(2)>0, 故选C. 4.答案：(0,1) 解析：画出函数 f(.x)= 2x-1,x>0, 的图象，如 -x2-2.x,x≤0 图所示. 由于函数g(x)=f(x)-m有3个 70 零点，结合图象得0<m<1,即m∈ (0,1). 5.答案：(4，十∞) 解析：函数的零点十函数的图象与性质 令t=2,则>0，且221=1·方程21+22x一m=0等 价于1十生=m.因为=2与x一一对应，所以关于1的 方程t十 4=m有两个正根，即函数y=1十(>0)的图 t 象与直线)=m有两个交点，结合对勾画数y=1十上在 (0,十∞)上的图象，可知n4,故n的取值范围为(4， 十∞). 第二课时函数模型及其应用 基础知识必备 2.增函数增函数增函数越来越快越来越慢 y轴x轴 考点知能突破 针对训练 1.D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5 千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最 高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最 少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效 率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升 汽油，故选项C错：最高限速80千米/时，丙车的燃油效率 比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省 油，故选项D对.