第3章 第7节 函数的图象-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

名师大课堂数学 又y=log4x在(0，十∞)上单调递增， 4.(多选)已知函数f(x)=ln(x一2)+ln(6一x), 所以f(x)的单调递增区间是（一1,1），单调 则 () 递减区间是[1,3). A.f(x)在(2,6)上单调递减 (2)若f(x)的最小值为0， B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2 则h(x)=ax2+2x十3应有最小值1， C.f(x)在(2,6)上无最小值 fa>0, D.f(x)的图象关于直线x=4对称 因此应有 1 3a-1=1, 解得a=2 5.已知函数f(x)=log.(a.x2-x). 故实数a的值为 1)若a=2,求fx)的单调区间： 2· (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实 名师点评 数a的取值范围. 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0，l),还是a ∈(1，+∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什 么性质或利用函数的某个性质，都要在其 定义域上进行. (3)转化时一定要注意对数问题转化的等 价性. [针对训练] 3.若log(a2+1)<log.2a<0,则a的取值范 围是 A.(0,1) B.(0,2) c(3 D.(0,1)U(1,+∞) 第七节 函数的图象 基础知识必备 1.利用描点法作函数的图象的步骤 a>0,右移a个单位 y=f(x) (1)确定函数的定义域 a<0,左移a个单位广y b>0,上移b个单位 (2)化简函数的解析式， y=f(x)- (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 <0,下移61个单位广y= (2)伸缩变换： 性、最值等). (4)描点连线. 0<w<1,纵坐标不变，横坐标伸长为原来的】 y=f(x)- y 2.利用图象变换法作函数的图象 ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 (1)平移变换： 32 第三章函数及其应用 y=f(r) A1,横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍 (4)翻折变换： 0<A<1,横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍y y=f(x)- 去掉y轴左边图，保留y轴右边图 将)y轴右边的图象翻折到左边去y一 (3)对称变换： y=f(x)关于z轴对称 保留x轴上方图 y= y=f(x) 关于y轴对称 将：轴下方的图象翻折到上方去y一 y=f(x)- 产y= 关于原点对称 y=f(x)- y= 考点知能突破 考点一 作函数的图象、函数图象的识别与辨析 (4)y=x2-2|x|-1= 12-2x-1(0)'的 x2+2x-1(x<0) 例1作出下列函数的大致图象， 图象如图④所示. (1)y= 1 x+1 名师点评 (3)y=log2x-1|;(4)y=x2-2|x-1. 作函数图象的一般方法 【解】(1)易知函数y= 予的定义战为 (1)直接法：当函数解析式（或变形后的解 析式)是熟悉的函数时，就可根据这些函数 {xx∈R且x≠-1}，y 2=-1+ x+1 的特征描出图象的关键点直接作出； 平由y=的因象向左平移1个单位长 3 (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本 函数的图象经过平移、翻折、对称得到，则 度，再向下平移1个单位长度即可得到函数 可利用图象变换作图，并应注意平移变换 y青的因来如国①所示。 与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的 影响。 例2（多选）(2026·山东潍坊模拟)函数 f(x)=x一的图象可能是 图① 图② (2)先作出y=(号，zE[0,+)的象， 然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图 象向左平移1个单位长度，即得到y= ! (2) x+1 的图象，如图②所示. (3)先作出y=log2x的图象，再将图象向下 平移1个单位长度，保留x轴上方的部分， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到 y=|log2x一1|的图象，如图③所示 -2 -1-2 21+2 【解析】函数f(x)= x-+a 图③ 图④ 33 名师大课堂数学 若a=0,则f)=兰=子，故C中因象可能， 图象可知函数存在最小值0.所以①②正 确.故选B. 若a>0,则函数f(x)的定义域为R,且 【答案】B f(0)=0,故B中图象可能； @)名师点评 若a<0,则x≠士√一a,故A中图象可能， 故选A、B、C 对于已知解析式或易画出其在给定区间上 【答案】ABC 图象的函数，其性质常借助图象研究： ①从图象的最高点、最低点，分析函数的最 名师点评 值、极值； 辨别函数图象的策略 ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (1)从函数的定义域，判断图象的左右位 ③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、 置；从函数的值域，判断图象的上下位置； 周期性 (2)从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； 角度二 解不等式 (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 例4函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈ (4)从函数的周期性，判断图象的循环 [0,2]时，f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0 往复； 在(-1,3)上的解集为 ( (5)从函数的特征点，排除不合要求的 A.(1,3) B.(-1,1) 图象 C.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1) [针对训练] 【解析】作出函数 2 f(x)的图象如图 1.(2026·湖北省部分重点中学4月联考)已 所示. -2个2345元 x,x0, 知函数f(x) x0,()=一f(-x),则 当x∈(-1,0)时， 由xf(x)>0得x∈(-1,0)；当x∈(0,1) 函数g(x)的图象大致是 时，由xf(x)>0得x∈；当x∈(1,3)时， 由xf(x)>0得x∈(1,3).所以x∈(-1,0) U(1,3).故选C 【答案】C 目名师点评 考点二 函数图象的应用 利用函数的图象研究不等式的思路 角度一研究函数的性质 当不等式问题不能用代数法求解但其与函 例3对于函数f(x)=1g(|x|+1),给出如 数有关时，常将不等式问题转化为两函数 下三个命题： 图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴 ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间（一∞，0） 的位置关系问题，从而利用数形结合法 上是减函数，在区间(0，十∞)上是增函数； 求解 ③f(x)没有最小值.其中正确的个数为( 角度三求参数的取值范围 A.1 B.2 C.3 D.0 【解析】作出f(x)的图象，可 例5已知函数f(x)= (-x2+1,x<1, 若关 log2x,x≥1， 知f(x)在（一∞，0）上是减函 于x的方程f(x)=k有三个不同的实根， 数，在(0，十∞)上是增函数；由 则实数的取值范围是 第三章 函数及其应用 【解析】画出函数y=f(x)与y=k的图 :[针对训练] 象，如图所示 2.(多选)(2026·福建厦门双十中学月考)对 任意两个实数a,b,定义min{a,b}= 3 y=f(x) a,ab, 2 b;a-b, 若f(x)=2-x2,g(x)=x2,F(x) ∠y=k -5-4-3-210 12345x =min{f(x),g(x)},则 () -2 A.F(x)是偶函数 -3 -4 B.方程F(x)=0有三个不同的实根 -5 C.F(x)在区间[-1,1]上单调递增 由图可知，当0<k<1时，y=k和y=f(x) D.F(x)有4个单调区间 的图象有三个交点，即方程f(x)=k有三 3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若 个不同的实根， 方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则 【答案】(0,1) 实数的取值范围是 () 名师点评 A.(o,》 B(分 当参数的不等关系不易找出时，可将函数 C.(1,2) D.(2,+∞) (或方程)等价转化为方便作图的两个函 4.函数f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,+∞) 数，再根据题设条件和图象确定参数的取 的奇函数，在(0，十∞)上单调递增，f(3)=0, 值范围 若x·[f(x)一f(-x)]<0,则x的取值范 围为 第八节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.函数的零点 3.二次函数y=a.x2+bx+c(a>0)的图象与 (1)函数零点的定义：对于函数y=f(x),把 零点的关系 使 的实数x叫做函数y=f(x)的 △>0 △=0 △<0 零点. (2)三个等价关系：方程f(x)=0有实数根 二次函数 台函数y=f(x)的图象与 有交点 y=ax2+ 台函数y=f(x)有 bx+c 2.函数零点的判定 (a>0) x1=x2 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的图象 连续不断的一条曲线，并且 ,那么 与x轴 (x1,0), 函数y=f(x)在区间 内有零点，即 (x1,0) 无交点 的交点 存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就 (x2,0) 是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函 零点个数 两个 一个 无 数零点存在性定理， 35利用复合函数单调性可得函数f(x)的增区间为 (一∞，0)，减区间为(2，十∞). (2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上，对称 轴为x=2a ①当0<a<1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函 数，则g(x)=a.x2-x在[2,4]上单调递减，且g(x)min> 0.即品≥ 此不等式组无解 g(4)=16a-4>0, ②当>1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则 g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增，且g(x)mm>0, 中公2 解得a>2 g(2)=4a-2>0, 又a>1,所以a>1. 综上，实数a的取值范围为[1，十∞). 第七节函数的图象 基础知识必备 2.(1)f(x-a)f(x)+b(2)f(w.x)Af(x) (3)-f(x)f(-x) -f(-x)(4)f(x)fx)川 考点知能突破 针对训练 1x2,x≥0， 1.D先画出函数f(x)=1 ,x<0的图象，知图()所示， 再根据函数f(x)与一f(一x)的图象关于坐标原，点对称， 即可画出函数一f(一x)的图象，即g(x)的图象，如图(2) 所示，故选D. 2.ABD根据函数f(x)=2一x2与 g(x)=x2,画出函数F(x) minf(x),g(x)}的图象，如图.由 图象可知，函数F(x)=min{f(x), g(x)}的图象关于y轴对称，所以 A项正确：函数F(x)的图象与x 轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三个不同的实根，所 以B项正确；函数F(x)在（一∞，一1]上单调递增，在 (-1,0)上单调递减，在0,1]上单调递增，在(1，十∞)上 单调递减，所以C项错误，D项正确。 3.B先作出函数f(x)=x一2|十1的图象，如图所示，当直 线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)=x 过A点时针率为了，故)=g)有两个不相等的实根时。 k的范国为(？，1.故选B fx)=lx-2l+1 /B y=x 。” A 5 心 4.答案：（一3,0）U(0,3) 解析：函数f(x)的图象大致如图 所示， 因为f(x)为奇函数， 且x·[f(x)-f(-x)]<0, 所以2xf(x)<0. 由图可知，不等式的解集为（一3,0） U(0,3). 第八节函数的应用 第一课时函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.(1)f(x)=0(2)x轴零点 2.f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0 考点知能突破 针对训练 2∠ 1.D因为f(x)=3-x2,所以f(-1)=31-1=- 0,f(0)=30-0=1>0,所以f(-1)·f(0)<0.故选D. 2.C当x>1时，令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2;当x1 时，令f(x)=2-1一1=0，得x=1.故选C. 3.C由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一 个零，点在区间(1,2)内， 所以’即{1二、0. 解得0a3, 1f(2)>0, 故选C. 4.答案：(0,1) 解析：画出函数 f(.x)= 2x-1,x>0, 的图象，如 -x2-2.x,x≤0 图所示. 由于函数g(x)=f(x)-m有3个 70 零点，结合图象得0<m<1,即m∈ (0,1). 5.答案：(4，十∞) 解析：函数的零点十函数的图象与性质 令t=2,则>0，且221=1·方程21+22x一m=0等 价于1十生=m.因为=2与x一一对应，所以关于1的 方程t十 4=m有两个正根，即函数y=1十(>0)的图 t 象与直线)=m有两个交点，结合对勾画数y=1十上在 (0,十∞)上的图象，可知n4,故n的取值范围为(4， 十∞). 第二课时函数模型及其应用 基础知识必备 2.增函数增函数增函数越来越快越来越慢 y轴x轴 考点知能突破 针对训练 1.D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5 千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最 高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最 少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效 率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升 汽油，故选项C错：最高限速80千米/时，丙车的燃油效率 比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省 油，故选项D对.