第3章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第三章 函数及其应用 第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.函数的奇偶性 圈)微点拨 奇偶性 定义 图象特点 不是所有的周期函数都有最小正周 如果对于函数f(x)的 期，如f(x)=5. 关于 定义域内任意一个x, 偶函数 常用结论 都有 ,那么函 对称 数f(x)是偶函数 1.函数奇偶性常用结论 如果对于函数f(x)的 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) 关于 定义域内任意一个x, =f(|x). 奇函数 都有 ,那么函 (2)奇函数在两个对称的区间上具有相 对称 数f(x)是奇函数 同的单调性，偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性 目微点拔 (3)在公共定义域内有：奇士奇=奇，偶 奇、偶函数定义域的特点是关于原点 士偶=偶，奇×奇=偶，偶X偶=偶，奇 对称，函数的定义域关于原点对称是函数 ×偶=奇. 具有奇偶性的必要不充分条件， 2.函数周期性常用结论 2.函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在 (1)若f(x+a)=-f(x),则T= 一个非零常数T,使得当x取定义域内的任 2a(a>0). 何值时，都有 那么就称函数y= (2)若f(x十a)= fo'则T=2a(a>0. f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (3)若f(x十a)=- f(x),则T= 1 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有 周期中存在一个 的正数，那么这个 2a(a>0). 正数就叫做f(x)的最小正周期. 考点知能突破 考点一 函数的奇偶性 C.f(x)=e"-z x+1 角度一 判断函数的奇偶性 D.f(r)=sin z+4x 例1(2024·天津卷)下列函数是偶函数的 是 ( 【解析】对于A,f(-x)=e-（一) A.f(c)=e'-a2 (-x)2+1 x2+1 x+1≠f),故f(x)不是偶函数：对于 ex-x2 B.f(z)=cos z+22 x2+1 19 名师大课堂数学 B.f(-z)=cos(-z)+(-z)2cosz+x2 (2)(2026·贵州贵阳检测)若函数f(x)是 (-x)2+1 x2+1 定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)= =f(x),故f(x)是偶函数；对于C,f(x)的 1og2(x十2)-1，则f(-6)= () 定义域为{xx≠一1}，不关于原，点对称，故f(x) A.2 B.4 C.-2D.-4 不是偶函数；对于D,f(一x)= (3)(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当 sin(-x)+4(一x）_一sinx-4x=-sinx+4z x>0时，f(x)=x2-x,则当x<0时，函数 e f(x)的最大值为 =一f(x),故f(x)是奇函数.故选B. 【答案】B 【解标】(（1)因为f八)=2，则f(-) 名师点评 =e。e=-f(x).所以f(x)是奇函数， 2 判定函数奇偶性的3种常用方法 一f(x)是奇函数，因为f(一x)=f(|x),所 (1)定义法 以f(|x)是偶函数，f(x)f(x)|是奇函数，所 定义域 确定定义域 否 既不是奇函数 以f(x|)f(x)是奇函数.故选ABC. 关于原点对称 也不是偶函数 (2)根据题意得f(一6)=一f(6)=1一 是 1og2(6+2)=1-3=-2.故选C. 确定f(x）与f(-x)的关系 (3)解法一：当x<0时，一x>0,所以 结论 f(-x)=x2+x. (2)图象法 又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)= 关于原点对称 fx)为奇函数 fx)的图象 -f-0=-2-x=-(+2}+ 关于y轴对称 几x)为偶函数 (3)性质法 所以当x<0时，函数f(x)的最大值为 ①设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2, 解法二：当x>0时，f（x)=x2一x 那么在它们的公共定义域上：奇十奇=奇， (x-)-子，最小值为一子因为函数 奇×奇=偶，偶十偶=偶，偶×偶=偶，奇 ×偶=奇； f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x) ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇， 的装大债为 一偶则偶” [提醒]对函数奇偶性的判断，不能用特 【答案】(1)ABC (2)C(3) 殊值法，如存在x使f(一x)=一f(xo), 目名师点评 不能判断函数f(x)是奇函数， 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 角度二函数奇偶性的应用 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为 已知区间上的函数值求解 例☑(1)（多选）设函数f(x)=e-e 一，则 (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化 下列结论正确的是 到已知区间上，再利用奇偶性求出， A.|f(x)是偶函数 (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求 B.一f(x)是奇函数 解，根据f(x)士f(一x)=0得到关于参数 C.f(x)If(x)|是奇函数 的恒等式，由系数的对等性得参数的方程 或方程（组），进而得出参数的值. D.f(x)f(x)是偶函数 20 第三章 函数及其应用 [针对训练] 圈)名师点评 1.(多选)下列函数是偶函数的是 函数周期性的判定与应用 A.f(x)=x2-cos x (1)判断函数的周期性时证明f(x+T) B.)- f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且 周期为T,函数的周期性常与函数的其他 C.f(x)=x2+tan x 性质综合命题. D.f(x)=x.In(z2+1-x) (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的 性质得到函数的整体性质，在解决具体问 2.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)若f(x)=（x十 题时，要注意结论：若T是函数的周期，则 ah为倡函数.则a kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. A.-1 B.0 [针对训练] c号 D.1 3.已知定义在R上的函数满足f(x+2)= 考点二函数的周期性及其应用 f,当xe(0,2]时，f()=2x-1.则 1 例3(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在 f(17)= ,f(20)= R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时， 考点三函数性质的综合应用 fx)=5-2x,则f(-) 角度一 单调性与奇偶性的综合问题 例4已知定义域为（一1,1）的奇函数f(x) A- B- 是减函数，且f(a一3)+f(9一a2)<0,则实 数a的取值范围是 () c D.z A.(2√2,3) B.(3,w√/10) 【解析】通解：当x∈[-1,0]时，-x+2∈ C.(2√2,4) D.（-2,3) [2,3],所以当x∈[-1,0]时，f(x)=f(-x) 【解析】由f(a-3)+f(9-a2)<0得 f(-x+2)=5-2(-x+2)=1+2x,所以 f(a-3)<-f(9一a2).又由奇函数性质得 f)-1-是=-2故选A f(a-3)<f(a2-9).因为f(x)是定义域为 -1<a-3<1, 光速解：f-)=(保)=f(径+2)=5-2 (-1,1)的减函数，所以-1<a2-9<1,解 ×(+2)=-2 a-3>a2-9, 得2√2<a<3.故选A. 【答案】A 【答案】A 21 名师大课堂数学 目名师点评 一1≤x≤1时，f(x)=x3.当1<x≤3时， 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 -1<x-2≤1，f(x)=-(x-2)3, (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇 所以f()=-(号-2)=-8 函数在关于原点对称的两个区间上具有相 同的单调性，偶函数在关于原点对称的两 【答案】 个区间上具有相反的单调性. 圈)名师点评 (2)解决不等式问题时一定要充分利用已 函数性质综合应用的注意点 知的条件，把已知不等式转化成f(x1)> (1)函数单调性与奇偶性综合：注意函数单 f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函 调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象 数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要 的对称性. 注意函数定义域对参数的影响， (2)周期性与奇偶性综合：此类问题多考查 求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变 角度二周期性与奇偶性的综合问题 换，将所求函数值的自变量转化到已知解 例5(2026·武昌区调研考试)（一题多解） 析式的函数定义域内求解。 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数 (3)周期性、奇偶性与单调性综合：解决此 y=f(x-1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)= 类问题通常先利用周期性转化到自变量所 x,则f(号)= 在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 【解析】解法一：因为f(x)是R上的奇函 数，y=f(x一1)为偶函数，所以f(x一1)= [针对训练] f(-x-1)=-f(x+1),所以f(x+2)= 4.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且 一f(x),f(x+4)=f(x),即f(x)的周期 f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是 T=4.因为0≤x≤1时，f(x)=x3,所以 减函数，则f(x) () A.在区间[一2，一1]上是增函数，在区间 f)=f(-4)=f(-）=-f()= [3,4]上是增函数 -1+2)=(-2)=-2)=-8 B.在区间[一2，一1]上是增函数，在区间 [3,4]上是减函数 解法二：因为f(x)是R上的奇函数，y=f(x C.在区间[一2，一1]上是减函数，在区间 1)为偶函数，所以f(x一1)=f(-x-1) [3,4]上是增函数 -f(x十1)，所以f(x+2)=-f(x) D.在区间[一2，一1门上是减函数，在区间 由题意知，当一1≤x<0时，f(x)=x3,故当 [3,4]上是减函数 22第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 {xx>x2或x<x1〉 R {x|x1<x<x,}心必 考点知能突破 针对训练 1.答案(-，号]U5.+o) 解析：#原不等式移项通分得>0。 等价于{3x-520·解得x>5或≤专 x-5≠0， 所以原不等式的解桑为{女≤青或x>5。 2.答案：[+∞） 解析：要使y=√mx2一(1一n)x十m有意义，即mx2一 (1一m)x十m≥0对V∈R恒成立， 则/n>0, 1(1-m)2-4m2≤0. 得m≥子 第三章函数及其应用 第一节函数的概念及其表示 基础知识必备 1.实数集任意一个数x唯一确定A→B y=f(x)取值范围A 3.解析法4.对应关系 考点知能突破 针对训练 1B要货画旅有含又则，解得1<<2，所以 3x 函数f(x)= 十ln(2x一x2)的定义域为(1,2).故 W/x-1 选B. 1一工，得x=1十1' 2.A令t=1+元 1-t 1- 1+t 2t 所以f(t) 2x 1- 2所以f(x)=1十x2,故 1+（1+t 选A. 3.D当a>0时，不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ a-3a>0,解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a) f(一a)]>0可化为一a2一2a<0,解得a<一2.综上所述， a的取值范围为（一∞，一2）U(2,十∞). 4.答案：8 解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)=f(a-1),得2a=a, 解得a=子则（日）=f4)=8 当a≥1时，由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解。 第二节函数的单调性与最值 基础知识必备 1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降 2.单调递增单调递减区间D 3.f(x)≤Mf(x)≥mf(x0)=m 考点知能突破 针对训练 1.解：函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下： 任取x1,x2∈[1,2]，且x1<x2, 30 则f(x2)-f(m1)=a号+1-ax好- x1 =(x2-x1)a(x1+x2)- 17 x1x2」 由1≤x1<x2≤2，得x2-x1>0,2<c1十x2<4,1<c1x2 <4,-1< 因为1<a<3,所以2<a(x1十x2)<12 得a(x1十x2)- 10 I1x2 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增 2.答案：(1)C(2)022-3 解析：1)因为)=22十3-22+1)+1=2+，1 1+x21+x2 1+.x2 且2+1ptp2<2+十3 所以f(x)的值域为(2,3]，故选C. (2)因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, 所以f[f(一3)]=f(1)=0. 当x≥1时，f(x)=x+2-3≥22-3， 了 当且仅当x=√2时，取等号，此时f(x)min=2W2-3<0; 当x<1时，f(x)=1g(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 时，取等号，此时f(x)min=0. 所以函数f(x)的最小值为2√2-3. 3.D因为函数f(x)是定义在区间[0，十∞)上的增函数， 满足f(2x-1D<f(兮），所以0<2x-1<号，解得号≤ r<子，故选D 4.B因为f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)= f4-x),所以f(号)=f(是)（经）=（分）.又0< 合<1<名<2)在[0,2]上单调递塔，所以f(号） f1)<f(号)即f(2)）Kf1)<f(号).故选B 5.答案：-6 解析：由图象（图略）易知函数f(x)=|2.x十a的单调递 增区间是[-名，十∞）令-号=3，得a=-6. 第三节函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.f(-x)=f(x)y轴f(一x)=-f(x)原点 2.(1)f(.x+T)=f(.x)(2)最小最小 考点知能突破 针对训练 1.AD 2.B通解：设发()=n票引号知g)的定又线为 (-0一号（合+小且x-)=二号 n号-n会品-g,所以)为奇通数若 2x-1 )=（x+a为偶函数，则y=x+a也应为 函数，所以a=0,故选B. 优解：图为)=(x十a)n为偶画数，f(-1》 (a-1)ln3,f1)=(a+1)ln3=-(a+1)ln3,所以 (a-1)ln3=-(a十1)ln3,解得a=0,故选B. 02 3.答案：1日 解析：因为f(x十2)=一所以f(x+4)= f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)的周期T=4. f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1. f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2)= 1 f(2) 1 4.B由f(x)=f(2-x)得f(x)的图象关于直线x=1对 称.又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区 间「一2，一1]上是增函数，在区间「3,4]上是减函数.故 选B. 第四节幂函数与二次函数 基础知识必备 2.(-2) [+∞）（-，) 考点知能突破 针对训练 1,AD因为暴函数y=x的图象过点(2,8)，所以2=8， 解得&=3，所以y=x3.函数y=x3的图象过原点，所以A 选项中说法正确；函数y=x3是奇函数，所以B选项中说 法错误；函数y=x3在R上递增，所以C选项中说法错 误；函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确. 2.A因为二次函数f(x)=a.x2十bx十5的图象的对称轴 是直线x=1,所以2名1①，又f(-1)=a-6+5 11,所以a一b=6②.联立①②，解得a=2,b=一4，所以 a十b=一2，故选A. 3.D当a=0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函 数f(x)=a.x2-2x十3的图象的对称轴为x=工，要使 a<0,fa>0, fx)在区间[13]上为增函数，则1≥3或1≤1.解得 a a≥1.故选D. 第五节指数、指数函数 基础知识必备 1.(1)根式 2.(1)vam 1 a 没有意义(2)①a'+s②a③a'b 3.(2)上方(0，十∞)单调递增单调递减y=10< y<1y>1y>10<y<1 考点知能突破 针对训练 1.解：1)原式=1+}×（号）-()》广-1+×号 0-1+日-0-8 (2)原式=(a3b2ab) =u+-1+6+子-2-寸= ab2ab定 2.D由f(x)=a-b的图象可以观察出函数f(x)=a2-b在 定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图 象是在f(x)=a2的基础上向左平移得到的，所以b<0. 故选D. 3 3.C设1=2+2x-1,则y=(3)儿因为0<号<1，所以 y=(2)厂'为关于1的减画数.因为=(x+1)2-2≥-2 所以0<y=(分)广≤()厂-4，故所求品数的值线为 (0,4].故选C. 4.C因为x>0时，1<b,所以b>1.因为x>0时，b2< a,所以r>0时，（号）>1，所以分>1，所以a>b.所以 1<ba.故选C. 5.答案：{xx>4或x<0》 解析：因为f(x)为偶函数， 当x<0时，一x>0,则f(x)=f(-x)=2x一4. (2x-4,x≥0， 所以f(x)= 2x-4,x<0. 当g一8>0时有台010 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{xx>4或x<0}. 第六节对数、对数函数 基础知识必备 1.log N 2.(1)①N(3)①log,M+logN②logM-logN 3.(0,十∞)(1,0)增函数减函数 4.y=x 考点知能突破 针对训练 1.答案：0 解析：原式=3十2×0一3×1十3×0=0. 2.A由题意，a>0且a≠1，所以函数g(x)=lg单调递 减，故排除B、D; 对于A、C,由函数f(x)= 的图象可知0<a<l,对于函 数g(x)=lg兰g(1)=lga<0,故A正确，C错误 3.C由题意得a>0且a≠1，故必有a2+1>2a,又loga(a2 +1D<1g,2a<0.所以0<a<1,且2a>1,所以a>故 口的取值范国是（合）故选C 4.BCDf(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)], 由6二0，得函数的定义拔为(2,6).令1=(x一2)· (6-x),因为二次函数t=(x一2)(6-x)=一x2十8x一12 在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，且当x=4时， t=4,所以t=(x一2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上单调递增，所以由复合函数的单调性可得 f(x)在(2,4)上单调递增，在[4,6)上单调递减，故A错 误.因为t∈(0,4]，所以y=lnt∈(-∞，2ln2],即f(x)∈ (-∞，2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值，故B,C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)十ln(6 4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x-2) +ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) f(4十x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称，故D正 确.故选BCD. 5.解：1)当a=号时1x)=log4(宁r2-,由号2-> 0,得x2一2x>0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的定 义域为（一∞，0）U(2,十∞) 03