第3章 第2节 函数的单调性与最值-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第三章 函数及其应用 [针对训练] C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(-∞，-2)U(2,+o∞) 3.已知函数f(x)= 2+x,0'若a[f() -3x,x<0, 4.(2026·安徽安庆二模)已知函数f(x)= f(-a)]>0,则实数a的取值范围为 ( W+1,-1<x<0'若实数a满足f(a)= A.(1,+∞) 2x,x≥0. B.(2,+∞) fa-).则（日） 第二节 函数的单调性与最值 基础知识必备 1.增函数、减函数 具有（严格的）单调性， 叫做y= 增函数 减函数 f(x)的单调区间. 3.函数的最值 设函数f(x)的定义域为I,区间D二I: 如果Hx1,x2∈D 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 前提 定 在实数M(m) 当x1<x2时，都有 当x<x2时，都有 义 ,那么就 ,那么就 (1)对于任意x∈ (3)对于任意x∈ 称函数f(x)在区 称函数f(x)在区 1,都有 1,都有 条件 间D上单调递增 间D上单调递减 (2)存在x。∈I, (4)存在x。∈I,使 y=f(x) ↑y 使得f(xo)=M 得 x2) y=f(x) 图 ifx)ifx) 结论 M为最大值 m为最小值 Tf(aa) 象 0x1 x2 x 0 )名师点评 述 自左向右看图象是 自左向右看图象 1.复合函数的单调性 的 是 的 函数y=f(u),u=p(x),在函数y=fLg (x)]的定义域上，如果y=f(u)与u 目微点拔 p(x)的单调性相同，那么y=f[(x)] 增函数与减函数形式的等价变形 单调递增；如果y=f(u)与u=p(x)的 (1)Hx1,x2∈D且x1≠x2,则(x1一x2). 单调性相反，那么y=f(9(x)单调 [f(x)-f)]>0台f)-f,>0 递减. 2.函数单调性的常用结论 台f(x)在D上单调递增； (1)若f(x)、g(x)均为区间A上的增 (2)Hx1,x2∈D且x1≠x2,则(x1一x2) (减)函数，则f(x)十g(x)也是区间A 上的增（减）函数. [fa)-f(x)]<0台fa)-fx:)<0 x1-x2 (2)若>0，则kf(x)与f(x)的单调性相 同；若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性 台f(x)在D上单调递减. 相反 2.单调性、单调区间 (3)函数y=f(x)(f(x)>0)与y=一f(x), 若函数y=f(x)在区间D上 或 y- ,则称函数y=f(x)在这一区间上 在公共定义域内的单调性相反、 15 名师大课堂数学 考点知能突破 考点一函数的单调性（区间） ①若a=-2,试证明f(x)在（一∞，一2）上 单调递增； 角度一 确定不含参函数的单调性（区间） ②若a>0,且f(x)在(1，十o∞)上单调递减， 例1(1)(2026·湖北荆州高三期末)设max 求a的取值范围 {a,b}= a,a2b,则函数f(x)=maxz2 b:a<b: 【解1①=a中-ad1+ x-1 x,1一x2}的单调递增区间为 任取x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, A.[-1,0],(号+∞ 期fa)-)-a1+-a1+ B.(-∞，1，(0,2】 (x-1D(-1因为-1Kx<x<1, a(x2-x1） c.(-,2),[0,1 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0. 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即f(x1) D.(-20[1,+∞) >f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)< (2)(2026·黑龙江大庆高三模拟)函数f(x) f(x2),函数f(x)在（一1,1）上单调递增. =√x+x一6的单调递增区间是 (2)①证明：任取x12∈（-∞，-2)，且x<x2, A.(-∞，-3) B.[2,+o∞) C.[0,2) D.[-3,2] 则f(x)-f(x2)=。-2 x1+2x2+2 【解析】(1)由x2-x=1一x2得2x2一x一 2(x1-x2) 1=0,解得x=1或=一号当x≥1或≤ =(x1+2)(2+2) 易知(x1十2)(x2十2)>0，x1-x2<0, 2时f)=maxx2-x,1-)=2 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递增 x,此时函数f(x)的单调递增区间为[1， ②任取x1,x2∈(1，+∞)，且x1<x2, 十o):当一x<1时f(x)=maxr2- 则f(x)-f(x2)=1-x xi-a x2-a x,1一x2}=1一x2,此时函数f(x)的单调递 a(x2-x1) 增区间为（方0小综上所述，函数）的单 (x1-a)(x2-a) 因为a>0,x2-x1>0, 调适谐区问为（一20），1，十0).故选D 所以要使f(x1)一f(x2)>0恒成立，只需 (x1-a)(x2-a)>0恒成立， (2)要使函数有意义，则x2+x一6≥0，解得 所以a≤1.综上所述0<a≤1. x≥2或x≤-3，易知y=x2+x-6在区间 @名师点评 (-∞，一3]上单调递减，在区间[2，+∞)上 1.求函数的单调区间时，应先求函数的定 单调递增，y=√x在定义域内单调递增，结 义域，在定义域内求单调区间，单调区间 合复合函数的单调性可得函数f(x)= 不能用集合或不等式表示，且图象不连 √x2+x一6的单调递增区间是[2，+∞). 续的单调区间要用“和”或“，”连接。 【答案】(1)D(2)B 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法； 角度二确定含参函数的单调性（区间） ②图象法；③利用已知函数的单调性；④ 例B1)试讨论函数八)=(a≠0)在 导数法· (2)函数y=f[g(x)]的单调性应根据 (一1,1)上的单调性. 外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x) (2)已知f)=产aa∈k,≠a) 的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 16 第三章函数及其应用 [针对训练] 域内均为增函数，故函数y=x十√x一1在 1.判断并证明函数f(x)=ax2+1(其中1< [1,十∞)内为增函数，所以ymn=1. (2)(基本不等式法)由题意知，当x>0时， a<3)在x∈[1,2]上的单调性. 鱼数四十≥2x·4,当且仅当 x x=2时取等号；当x≤0时，f(x)=2x+a∈ (a,1十a],因此要使f(x)有最小值，则必须 有a≥4. 【答案】(1)1 (2)[4,+∞) 名师点评 求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由 单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其 最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之 具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间 上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元 将其转化为熟悉的函数，再用相应的方法 求最值。 [针对训练] 2.(1)(2026·安徽六安一中高三月考)若函数 考点二函数的最值（值域） f(x)= 2x2+3 ,则f(x)的值域为( ) 1+x2 ◆例3(1)（一题多解）函数y=x十√x-1的最 A.（-∞，3] B.(2,3) 小值为 C.(2,3] D.[3,+∞) (2)(2026·福建漳州质检)已知函数f(x) 一3，x≥1，则 2x+a,x≤0， (2)已知函数f(x)= lg(x2+1),x<1, x+>0 有最小值，则实数a的取值 fLf(-3)]= ,f(x)的最小值是 范围是 【解析】（1)解法一（换元法）：令t= 考点三函数单调性的应用 √x-1,且t≥0，则x=t+1,所以原函数变 角度一比较两个函数值 为y=t+1+t,t≥0. 例4已知函数f(x)的图象关于直线x=1 配方得=++ 对称，当x2>x1>1时，[f(x2)-f(x1)](x2 又因为t≥0，所以y≥ +3=1 -x)<0恒成立.设a=(-号)，6=f(2), 4十4 c=f(e),则a,b,c的大小关系为 ( 故函数y=x十√x-1的最小值为1. A.c>a>b B.c>b>a 解法二：因为函数y=x和y=√x-1在定义 C.a>c>b D.b>a>c 17 名师大课堂数学 【解析】因为f(x)的图象关于直线x=1 【解析】逻辑分析法十数形结合法.因为函 对称，所以f(-）=f()当x>x1>1 数f(x)在R上单调递增，且当x<0时， f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2 时，[f(x2)一f(x1)](x2一x1)<0恒成立， 2ax-a在（一o∞，0）上单调递增，所以-a≥0， 知f(x)在(1，十∞)上单调递减.因为1< 即a≤0；当x≥0时，f(x)=e"+ln(x+1), 2<号<c,所以f2)>f(侵)>fe),所以 所以函数f(x)在[0，十∞)上单调递增.若 b>a>c. 函数f(x)在R上单调递增，则一a≤f(0) 【答案】D =1,即a≥-1.综上，实数a的取值范围是 。名师点评 [-1,0].故选B. 比较函数值大小的思路：比较函数值的大 【答案】B 小时，若自变量的值不在同一个单调区间 名师点评 内，要利用其函数性质，转化到同一个单调 利用单调性求参数的策略 区间上进行比较，对于选择题、填空题，能 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单 数形结合的尽量用图象法求解， 调性定义，确定函数的单调区间，与已知单 角度二解函数不等式 调区间比较求参数； 例5已知函数f(x)=-x|x|,x∈(-1,1)， (2)若函数在区间[a,b]上是单调的，则该 则不等式f(1-m)<f(m2-1)的解集为 函数在此区间的任意子集上也是单调的 x2,-1<x≤0， [针对训练] 【解析】由已知得f代x)=-文，0<<1， 3.已知函数f(x)是定义在区间[0，+∞)上的函 则f(x)在（一1,1）上单调递减， 数，且在该区间上单调递增，则满足 f-1<1-m<1, 所以-1<m2-1<1, f(2x-1D<f(号)的x的取值范围是 m2-1<1-m, A(层引 「12 解得0<m<1, B.33 所以所求解集为(0,1). 【答案】(0,1) c(日) D.》 目名师点评 4.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增，且函数 在求解与抽象函数有关的不等式时， f(x)的图象关于直线x=2对称，则下列结 往往是利用函数的单调性将“f”符号脱 论成立的是 ) 掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应 特别注意函数的定义域。 A.f1)<f()Kf(3 角度三求参数的值或取值范围 B.f(3)<f1)<f号》 ◆例6(2024·新课标I卷)已知函数为f(x) |-x2-2ax-a,x<0 c.f()<f)<f1) ,在R上单调递增， e+ln(x+1),x≥0 则a的取值范围是 D.f()<f()f1) A.(-∞，0] B.[-1,0] 5.若函数f(x)=|2x十a的单调递增区间是 C.[-1,1] D.[0,+∞) [3,+∞)，则a的值为 18第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 {xx>x2或x<x1〉 R {x|x1<x<x,}心必 考点知能突破 针对训练 1.答案(-，号]U5.+o) 解析：#原不等式移项通分得>0。 等价于{3x-520·解得x>5或≤专 x-5≠0， 所以原不等式的解桑为{女≤青或x>5。 2.答案：[+∞） 解析：要使y=√mx2一(1一n)x十m有意义，即mx2一 (1一m)x十m≥0对V∈R恒成立， 则/n>0, 1(1-m)2-4m2≤0. 得m≥子 第三章函数及其应用 第一节函数的概念及其表示 基础知识必备 1.实数集任意一个数x唯一确定A→B y=f(x)取值范围A 3.解析法4.对应关系 考点知能突破 针对训练 1B要货画旅有含又则，解得1<<2，所以 3x 函数f(x)= 十ln(2x一x2)的定义域为(1,2).故 W/x-1 选B. 1一工，得x=1十1' 2.A令t=1+元 1-t 1- 1+t 2t 所以f(t) 2x 1- 2所以f(x)=1十x2,故 1+（1+t 选A. 3.D当a>0时，不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ a-3a>0,解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a) f(一a)]>0可化为一a2一2a<0,解得a<一2.综上所述， a的取值范围为（一∞，一2）U(2,十∞). 4.答案：8 解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)=f(a-1),得2a=a, 解得a=子则（日）=f4)=8 当a≥1时，由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解。 第二节函数的单调性与最值 基础知识必备 1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降 2.单调递增单调递减区间D 3.f(x)≤Mf(x)≥mf(x0)=m 考点知能突破 针对训练 1.解：函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下： 任取x1,x2∈[1,2]，且x1<x2, 30 则f(x2)-f(m1)=a号+1-ax好- x1 =(x2-x1)a(x1+x2)- 17 x1x2」 由1≤x1<x2≤2，得x2-x1>0,2<c1十x2<4,1<c1x2 <4,-1< 因为1<a<3,所以2<a(x1十x2)<12 得a(x1十x2)- 10 I1x2 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增 2.答案：(1)C(2)022-3 解析：1)因为)=22十3-22+1)+1=2+，1 1+x21+x2 1+.x2 且2+1ptp2<2+十3 所以f(x)的值域为(2,3]，故选C. (2)因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, 所以f[f(一3)]=f(1)=0. 当x≥1时，f(x)=x+2-3≥22-3， 了 当且仅当x=√2时，取等号，此时f(x)min=2W2-3<0; 当x<1时，f(x)=1g(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 时，取等号，此时f(x)min=0. 所以函数f(x)的最小值为2√2-3. 3.D因为函数f(x)是定义在区间[0，十∞)上的增函数， 满足f(2x-1D<f(兮），所以0<2x-1<号，解得号≤ r<子，故选D 4.B因为f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)= f4-x),所以f(号)=f(是)（经）=（分）.又0< 合<1<名<2)在[0,2]上单调递塔，所以f(号） f1)<f(号)即f(2)）Kf1)<f(号).故选B 5.答案：-6 解析：由图象（图略）易知函数f(x)=|2.x十a的单调递 增区间是[-名，十∞）令-号=3，得a=-6. 第三节函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.f(-x)=f(x)y轴f(一x)=-f(x)原点 2.(1)f(.x+T)=f(.x)(2)最小最小 考点知能突破 针对训练 1.AD 2.B通解：设发()=n票引号知g)的定又线为 (-0一号（合+小且x-)=二号 n号-n会品-g,所以)为奇通数若 2x-1 )=（x+a为偶函数，则y=x+a也应为 函数，所以a=0,故选B. 优解：图为)=(x十a)n为偶画数，f(-1》 (a-1)ln3,f1)=(a+1)ln3=-(a+1)ln3,所以 (a-1)ln3=-(a十1)ln3,解得a=0,故选B. 02