第3章 第1节 函数的概念及其表示-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第三章 函数及其应用 第一节 函数的概念及其表示 基础知识必备 1.函数的有关概念 @名师点评 设A,B是非空的 ,如果 一个分段函数的解析式要把每一段都写在 对于集合A中 ,按照某 同一个大括号内，各段函数的定义区间端 函数的 种确定的对应关系f,在集合B 点应不重不漏！ 定义 中都有 的数y和它对 应，那么就称f: 为从集 目常用结论 合A到集合B的一个函数 1.常见的函数的定义域 函数的 (1)分式函数中分母不等于0. 记法 ,x∈A (2)偶次根式函数的被开方式大于或等 于0. x叫做自变量，x的 叫做 定义域 (3)一次函数、二次函数的定义域为R. 函数的定义域 (4)y=a(a>0且a≠1)，y=sinx,y 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 值域 cosx的定义域均为R. 函数的值域 (5)y=log.x(a>0且a≠1)的定义域 2.同一个函数的概念 为{|xx>0}. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系 (6)y=tanx的定义域为 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也 相同，那么这两个函数是同一个函数. x∈R且x≠k元+，k∈Z. 名师点评 (7)函数f(x)=x°的定义域为{x|x∈ R,且x≠0}. 判断两个函数是否相同，要抓住以下 2.基本初等函数的值域 两点：①定义域是否相同；②对应关系是否 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R, 相同，当解析式可以化简时，要注意化简过 (2)y=a.x2+bx十c(a≠0)的值域：当a>0 程的等价性， 值城为a+∞，当a<0时 3.函数的表示法 Aa 表示函数的常用方法有 、图象法和 值域为-0,4ac-b2] 4a 列表法， 4.分段函数 (3)y=色(k≠0)的值城是(yly≠0. 在函数的定义域中，对于自变量x的不同取 (4)y=a(a>0且a≠1)的值域是(0， 值范围，有着不同的 ,这样的函数 +∞). 通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分 (5)y=logx(a>0且a≠1)的值域是R. 组成，但它表示的是一个函数. 12 第三章 函数及其应用 考点知能突破 考点一求函数的定义域 [针对训练] 例1(1)(2026·安徽宣城八校联考)函数 1.函数f(x)= 3x十1n(2x-x2)的定义域 Va-1 y- √一+2x十3的定义域为 为 ( 1g(x+1) A.(-1,3] B.(-1,0)U(0,3] A.(2,+∞) B.（1,2) C.[-1,3] D.[-1,0)U(0,3] C.(0,2) D.[1,2] (2)(2026·华南师范大学附属中学月考)已 考点二 函数的解析式 知函数f(x)的定义域是[一1,1]，则函数 g(x) f(2x一1)的定义域是 例回（已知f(径+1）=1gx,则fx)的解 In(1-x) A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1] 析式为 【解析】(1)要使函数有意义，x需满足 (2)若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2) -x2+2x+3≥0， f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为 x+1>0, 解得-1<x<0或0< (3)已知函数f(x)满足f(一x)+2f(x) x+1≠1， 2x,则f(x)的解析式为 x≤3，所以函数的定义域为（一1,0）U(0,3]. 【解析】 (1)(换元法)令2+1=t, 故选B. (2)由函数f(x)的定义域为[一1,1]，得-1 2 得x=,二，因为x>0,所以>1， ≤x≤1，令-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1； 所以f(t)=lg一1， 2 又由1-x>0且1-x≠1，解得x<1且 x≠0.所以函数g(x)的定义域为(0,1)，故 选B. 即fx)的解折式是f)=lg名(>1. 【答案】(1)B(2)B (2)(待定系数法)设f(x)=a.x2十bx+c(a 目名师点评 ≠0)， 1.求给定解析式的函数定义域的方法 又f(0)=c=3,所以f(x)=ax2+bx+3. 求给定解析式的函数的定义域，其实质 所以f(x十2)-f(x)=a(x+2)2+b(x十2) 就是以函数解析式中所含式子（运算）有 +3-(a.x2+bx+3)=4a.x+4a+2b=4x+2, 意义为准则，列出不等式或不等式组求 4a=4, 所以 。解得=1， 解.对于实际问题，定义域应使实际问题 4a+2b=2 b=-1. 有意义. 所以所求函数的解析式为f(x)=x2一x十3. 2.求抽象函数定义域的方法 (3)(解方程组法)因为2f(x)十f(一x) (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b], 2x,① 则复合函数f儿g(x)门的定义域可由不等 将x换成-x得2f(-x)+f(x)=一2x,② 式a≤g(x)≤b求出. 由①②消去f(-x),得3f(x)=6x, (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a, 所以f(x)=2x. b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a, 【答案】I)-lg号(>1) b]上的值域. (2)f(x)=x2-x+3(3)f(x)=2x 3 名师大课堂 数学 名师点评 角度二 根据分段函数求参数的值 求函数解析式的常用方法 2x- 2,x≥0， 例4已知f(x) 若f(a) 由已知条件f(g(x)=F(x), x2+3,x<0, 配凑法 可将F(x)改写成关于g(x)的 =2,则a的取值为 ) 表达式，然后以x替代g(x), A.-1或2 B.士1或2 便得f(x)的表达式 C.-1 D.2 若已知函数的类型（如一次函 【解析】因为f(a)=2,所以当a≥0时，2 待定 数、二次函数)，可用待定系 -2=2,解得a=2;当a<0时，-a2+3=2, 系数法 数法 解得a=一1.综上，a的取值为-1或2.故 选A. 已知复合函数f(g(x))的解析 换元法 式，可用换元法，此时要注意新 【答案】A 元的取值范围 角度三根据分段函数解不等式 例5(2026·甘肃武威第六中学高三模拟) 已知关于f(x)与f()或 log2(x+1),x≥0， 设函数f(x)= 则满足 解方程 f(一x)等的表达式，可根据已知 J-x,x<0, 组法 条件再构造出另外一个等式组 f(x+1)<2的x的取值范围是 ( 成方程组，通过解方程组求 A.(-4,3) B.(-5,2) 出f(x) C.(-3,4) D.(-∞，-3)U(4,+∞) log2(x+1),x≥0， [针对训练] 【解析】 因为f(x)= 2.(2026·广东濠江金山中学高三月考)已知 √-x,x<0, ) 1-x2 log2(x+2),x≥-1， 1+x2,则f(x)= ( 所以f(x+1) √/-(x+1),x<-1. B.- 2x 当x≥-1时，f(x十1)<2即log2(x+2)< 1+x2 2,解得x<2,所以一1≤x<2;当x<-1 C.1+z2 D.- 1+x2 时，f(x+1)<2即√-(x+1)<2,解得x> -5,所以-5<x<-1.综上，当f(x十1)< 考点三分段函数及其应用 2时，x的取值范围是（一5,2).故选B. 角度一 分段函数求值 【答案】B log2x,x>0, 目名师点评 例3已知函数f(x)= 则 3,x≤0， 1.分段函数的求值问题的解题思路 f(】的值是 (1)求函数值：当出现f[f(a)门的形式 时，应从内到外依次求值； A.9 B.-9 C. D.-9 (2)求自变量的值：先假设所求的值在分 段函数定义区间的各段上，然后求出相 【解析】因为4>0，所 f()=og4 应自变量的值，切记要代入检验. -2,又因为-2<0，所以ff1)月=f(-2) 2.分段函数与方程、不等式问题的求解 思路 =32=1 依据不同范围的不同段分类讨论求解， 9 【答案】C 最后将讨论结果综合起来. 第三章 函数及其应用 [针对训练] C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(-∞，-2)U(2,+o∞) 3.已知函数f(x)= 2+x,0'若a[f() -3x,x<0, 4.(2026·安徽安庆二模)已知函数f(x)= f(-a)]>0,则实数a的取值范围为 ( W+1,-1<x<0'若实数a满足f(a)= A.(1,+∞) 2x,x≥0. B.(2,+∞) fa-).则（日） 第二节 函数的单调性与最值 基础知识必备 1.增函数、减函数 具有（严格的）单调性， 叫做y= 增函数 减函数 f(x)的单调区间. 3.函数的最值 设函数f(x)的定义域为I,区间D二I: 如果Hx1,x2∈D 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 前提 定 在实数M(m) 当x1<x2时，都有 当x<x2时，都有 义 ,那么就 ,那么就 (1)对于任意x∈ (3)对于任意x∈ 称函数f(x)在区 称函数f(x)在区 1,都有 1,都有 条件 间D上单调递增 间D上单调递减 (2)存在x。∈I, (4)存在x。∈I,使 y=f(x) ↑y 使得f(xo)=M 得 x2) y=f(x) 图 ifx)ifx) 结论 M为最大值 m为最小值 Tf(aa) 象 0x1 x2 x 0 )名师点评 述 自左向右看图象是 自左向右看图象 1.复合函数的单调性 的 是 的 函数y=f(u),u=p(x),在函数y=fLg (x)]的定义域上，如果y=f(u)与u 目微点拔 p(x)的单调性相同，那么y=f[(x)] 增函数与减函数形式的等价变形 单调递增；如果y=f(u)与u=p(x)的 (1)Hx1,x2∈D且x1≠x2,则(x1一x2). 单调性相反，那么y=f(9(x)单调 [f(x)-f)]>0台f)-f,>0 递减. 2.函数单调性的常用结论 台f(x)在D上单调递增； (1)若f(x)、g(x)均为区间A上的增 (2)Hx1,x2∈D且x1≠x2,则(x1一x2) (减)函数，则f(x)十g(x)也是区间A 上的增（减）函数. [fa)-f(x)]<0台fa)-fx:)<0 x1-x2 (2)若>0，则kf(x)与f(x)的单调性相 同；若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性 台f(x)在D上单调递减. 相反 2.单调性、单调区间 (3)函数y=f(x)(f(x)>0)与y=一f(x), 若函数y=f(x)在区间D上 或 y- ,则称函数y=f(x)在这一区间上 在公共定义域内的单调性相反、 15第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 {xx>x2或x<x1〉 R {x|x1<x<x,}心必 考点知能突破 针对训练 1.答案(-，号]U5.+o) 解析：#原不等式移项通分得>0。 等价于{3x-520·解得x>5或≤专 x-5≠0， 所以原不等式的解桑为{女≤青或x>5。 2.答案：[+∞） 解析：要使y=√mx2一(1一n)x十m有意义，即mx2一 (1一m)x十m≥0对V∈R恒成立， 则/n>0, 1(1-m)2-4m2≤0. 得m≥子 第三章函数及其应用 第一节函数的概念及其表示 基础知识必备 1.实数集任意一个数x唯一确定A→B y=f(x)取值范围A 3.解析法4.对应关系 考点知能突破 针对训练 1B要货画旅有含又则，解得1<<2，所以 3x 函数f(x)= 十ln(2x一x2)的定义域为(1,2).故 W/x-1 选B. 1一工，得x=1十1' 2.A令t=1+元 1-t 1- 1+t 2t 所以f(t) 2x 1- 2所以f(x)=1十x2,故 1+（1+t 选A. 3.D当a>0时，不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ a-3a>0,解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a) f(一a)]>0可化为一a2一2a<0,解得a<一2.综上所述， a的取值范围为（一∞，一2）U(2,十∞). 4.答案：8 解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)=f(a-1),得2a=a, 解得a=子则（日）=f4)=8 当a≥1时，由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解。 第二节函数的单调性与最值 基础知识必备 1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降 2.单调递增单调递减区间D 3.f(x)≤Mf(x)≥mf(x0)=m 考点知能突破 针对训练 1.解：函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下： 任取x1,x2∈[1,2]，且x1<x2, 30 则f(x2)-f(m1)=a号+1-ax好- x1 =(x2-x1)a(x1+x2)- 17 x1x2」 由1≤x1<x2≤2，得x2-x1>0,2<c1十x2<4,1<c1x2 <4,-1< 因为1<a<3,所以2<a(x1十x2)<12 得a(x1十x2)- 10 I1x2 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增 2.答案：(1)C(2)022-3 解析：1)因为)=22十3-22+1)+1=2+，1 1+x21+x2 1+.x2 且2+1ptp2<2+十3 所以f(x)的值域为(2,3]，故选C. (2)因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, 所以f[f(一3)]=f(1)=0. 当x≥1时，f(x)=x+2-3≥22-3， 了 当且仅当x=√2时，取等号，此时f(x)min=2W2-3<0; 当x<1时，f(x)=1g(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 时，取等号，此时f(x)min=0. 所以函数f(x)的最小值为2√2-3. 3.D因为函数f(x)是定义在区间[0，十∞)上的增函数， 满足f(2x-1D<f(兮），所以0<2x-1<号，解得号≤ r<子，故选D 4.B因为f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)= f4-x),所以f(号)=f(是)（经）=（分）.又0< 合<1<名<2)在[0,2]上单调递塔，所以f(号） f1)<f(号)即f(2)）Kf1)<f(号).故选B 5.答案：-6 解析：由图象（图略）易知函数f(x)=|2.x十a的单调递 增区间是[-名，十∞）令-号=3，得a=-6. 第三节函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.f(-x)=f(x)y轴f(一x)=-f(x)原点 2.(1)f(.x+T)=f(.x)(2)最小最小 考点知能突破 针对训练 1.AD 2.B通解：设发()=n票引号知g)的定又线为 (-0一号（合+小且x-)=二号 n号-n会品-g,所以)为奇通数若 2x-1 )=（x+a为偶函数，则y=x+a也应为 函数，所以a=0,故选B. 优解：图为)=(x十a)n为偶画数，f(-1》 (a-1)ln3,f1)=(a+1)ln3=-(a+1)ln3,所以 (a-1)ln3=-(a十1)ln3,解得a=0,故选B. 02