第2章 第2节 二次函数与一元二次方程、不等式-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第二章 不等式 所以最多调整出500名员工从事第三产业. 目名师点评 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 有关函数最值的实际问题的解题技巧 10(。一品上万元，从事原来产业的员工创造 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利 用基本不等式求得函数的最值； 的年总利润为10(1000-x)(1十写0)万元. (2)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数； 则由题意知，当0<x≤500时，恒有 (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意 1o(a-)2≤101000-x1+: 义及其取值范围； (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等 整理得a≤土000+1在0<x≤500时 号取不到，可利用函数的单调性求解. x 恒成立 [针对训练] 因为20+100 ≥2 x.1000 二4 4.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积 W250 为162m2的三级污水处理池，平面图如图 当且仅当 x1000 所示，水池的深度为1m.如果水池四周墙 250 的建造费用为400元/m2,中间两道隔墙的 即x=500时等号成立， 建造费用为248元/m,池底建造费用为 所以a≤5. 80元/m2,水池的所有墙的厚度忽略不计， 又因为a>0, 则最低总造价为 所以0<a≤5， 所以a的取值范围是(0,5]. 第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二 续表 次方程的关系 判别式 △>0 △=0 △<0 ax2+bx+c △=b2-4ac >0(a>0) 二次函数 的解集 ↑y y=ax2+bx +c(a>0)的 0丙 / 0x1=x2 0■ 图象 一元二次方 有两个相 有两个相 ax2+bx+c 异实数根 等实数根 <0(a>0) 程ax2十bx 没有实 的解集 +c=0(a>0) X1x2 x1=x2 数根 的根 b (x1<x2） 2a 名师大课堂数学 【知识拓展】 (2)f>0(<0)台f(x)g(x)>0(<0). 1.倒数性质的四个必备结论 g(x) (1)a>b,ab>0→1<1 3.解不等式ax2+bx十c>0(<0)时，不要忘 记讨论当a=0时的情形. (2)a<0<b1<1 4.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件 ab 要结合其对应的函数图象确定. (3)a>b>0,0<c<d→g>b (1)不等式ax2+bx十c>0对任意实数x恒 C d a>0, (40<aKrb或a<0方士日 成立台 1a=b=0或 c>0, △<0. 2.简单分式不等式 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒 2器o0 f(x)g(x)≥0（≤0）， a=b=0, a<0, 成立台 或 g(x)≠0. c<0, △<0. 考点知能突破 考点一 一元二次不等式的解法 令(4x十a)(3x-a)=0, 1x2+2x,x0, 解得1=一导=号 例1(1)已知函数f(x)= 则 -x2+2x,x<0, 不等式f(x)>3的解集为 ①当a>0时，-号<号 4>3, (2)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是 解桑为{女<-或>号引： {-2<<-3,则不等式2-6x ②当a=0时，x2>0, 解集为{x|x∈R,且x≠0}； a≥0的解集是 (3)解关于x的不等式：12x2-a.x>a(a∈R). ③当a<0时，-号>登 x≥0， 【解】(1)由题意，得 或 x2+2x>3 解集为x<号或x>-号： x<0, 综上所述，当a>0时，不等式的解集为 解得x>1.故填{xx>1}. -x2+2x>3, (女<-号或>号}：当a=0时，不等式 (2)由题意，知一名-吉是方程a-6x-1 的解集为{xx∈R,且x≠0}；当a<0时，不 =0的两个根，且a<0, 等式的解集为女号或>- a 4 a 1a=-6, 所以 解得 @微点拨 ×-= 1 b=5. 1.解一元二次不等式的方法和步骤 a 故不等式x2-bx-a≥0为x2-5.x+6≥0， 化→把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 解得x≥3或x≤2.故填{xx≥3或x≤2}. 判 一计算对应方程的判别式 (3)因为12x2-ax>a2, 求出对应的一元三次方程的根，或根据判别 式说明方程有没有实根 所以12x2-ax-a2>0, 写 利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 即(4x+a)(3x-a)>0. 10 第二章不等式 微点拔 所以g(x)mx=g(3)=7m一6<0，解得m< 2.解含参数的一元二次不等式的步骤 ，则0<m<号 6 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于 当m<0时，易知g(x)在[1,3]上是减函数， 0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为一次不等式或二次项系数为正的一元二 所以g(x)max=g(1)=m-6<0, 次不等式； 解得m<6,所以<0. 综上所述，m的取值范围是 (2)判断一元二次不等式所对应的方程实 根的个数，即讨论判别式△与0的关系； n0<m<号或m<0. (3)确定方程无实根或有两个相同实根时， 可直接写出解集；确定方程有两个相异实 【答案】 m0<m<号或m<0 根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定 角度三 给定参数范围的恒成立问题 解集形式 例4对任意m∈[-1,1]，函数f(x)=x2十 (m一4)x十4一2m的值恒大于零，求x的取 [针对训练] 值范围， 1.不等式2x十1 x-5≥-1的解集为 【解】f(x)=x+(m-4)x十4-2m= (x-2)m+x2-4x+4, 考点二一元二次不等式恒成立问题 令g(m)=（x-2)m+x2-4x+4.由题意 知，在[-1,1]上，g(m)的值恒大于零， 角度一在R上恒成立问题 所以 例2(2026·黑龙江大庆实验中学期中)若 不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对于任 g(-1)=(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0, 意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 g(1)=x-2+x2-4x+4>0, 解得x<1或x>3. ( A.(-∞，2) 故当x∈(-∞，1)U(3,+∞)时，对任意 B.(-o∞，2] C.(-2,2) D.(-2,2] m∈[一1,1]，函数f(x)的值恒大于零 @)名师点评 【解析】当a-2=0,即a=2时，-4<0恒 成立；当a一2≠0，即a≠2时， 1.一元二次不等式在给定区间上恒成立问 有0-20， 题的求解方法： △=[-2(a-2)]2-4×(a-2)×(-4)<0, (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即 解得一2<a<2.综上，实数a的取值范围是 集合A是不等式f(x)>0的解集的子 (-2,2]. 集，可以先求解集，再由子集的含义求解 【答案】D 参数的值（或取值范围） 角度二在给定区间上恒成立问题 (2)转化为函数的值域问题，即已知函数 例3设函数f(x)=m.x2-m.x-1(m≠0)，若 f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成 对于任意x∈[1,3]，f(x)<-m十5恒成 立→f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒 立，则m的取值范围是 成立→f(x)mx≤a,n≤a. 【解析】f(x)<一m十5可化为mx2一mx 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元， +m-6<0,令g(x)=mx2-m.x+m-6= 谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就 m-+m-6,m≠0，e[1.3.委 是主元，求谁的范围，谁就是参数 使g(x)<0在[1,3]上恒成立，则g(x)在 [针对训练] [1,3]上的最大值小于零， 2.若函数y=√mx2-(1-m)x+m的定义域 当m>0时，易知g(x)在[1,3]上是增函数， 为R,则m的取值范围是第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 {xx>x2或x<x1〉 R {x|x1<x<x,}心必 考点知能突破 针对训练 1.答案(-，号]U5.+o) 解析：#原不等式移项通分得>0。 等价于{3x-520·解得x>5或≤专 x-5≠0， 所以原不等式的解桑为{女≤青或x>5。 2.答案：[+∞） 解析：要使y=√mx2一(1一n)x十m有意义，即mx2一 (1一m)x十m≥0对V∈R恒成立， 则/n>0, 1(1-m)2-4m2≤0. 得m≥子 第三章函数及其应用 第一节函数的概念及其表示 基础知识必备 1.实数集任意一个数x唯一确定A→B y=f(x)取值范围A 3.解析法4.对应关系 考点知能突破 针对训练 1B要货画旅有含又则，解得1<<2，所以 3x 函数f(x)= 十ln(2x一x2)的定义域为(1,2).故 W/x-1 选B. 1一工，得x=1十1' 2.A令t=1+元 1-t 1- 1+t 2t 所以f(t) 2x 1- 2所以f(x)=1十x2,故 1+（1+t 选A. 3.D当a>0时，不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ a-3a>0,解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a) f(一a)]>0可化为一a2一2a<0,解得a<一2.综上所述， a的取值范围为（一∞，一2）U(2,十∞). 4.答案：8 解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)=f(a-1),得2a=a, 解得a=子则（日）=f4)=8 当a≥1时，由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解。 第二节函数的单调性与最值 基础知识必备 1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降 2.单调递增单调递减区间D 3.f(x)≤Mf(x)≥mf(x0)=m 考点知能突破 针对训练 1.解：函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下： 任取x1,x2∈[1,2]，且x1<x2, 30 则f(x2)-f(m1)=a号+1-ax好- x1 =(x2-x1)a(x1+x2)- 17 x1x2」 由1≤x1<x2≤2，得x2-x1>0,2<c1十x2<4,1<c1x2 <4,-1< 因为1<a<3,所以2<a(x1十x2)<12 得a(x1十x2)- 10 I1x2 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增 2.答案：(1)C(2)022-3 解析：1)因为)=22十3-22+1)+1=2+，1 1+x21+x2 1+.x2 且2+1ptp2<2+十3 所以f(x)的值域为(2,3]，故选C. (2)因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, 所以f[f(一3)]=f(1)=0. 当x≥1时，f(x)=x+2-3≥22-3， 了 当且仅当x=√2时，取等号，此时f(x)min=2W2-3<0; 当x<1时，f(x)=1g(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 时，取等号，此时f(x)min=0. 所以函数f(x)的最小值为2√2-3. 3.D因为函数f(x)是定义在区间[0，十∞)上的增函数， 满足f(2x-1D<f(兮），所以0<2x-1<号，解得号≤ r<子，故选D 4.B因为f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)= f4-x),所以f(号)=f(是)（经）=（分）.又0< 合<1<名<2)在[0,2]上单调递塔，所以f(号） f1)<f(号)即f(2)）Kf1)<f(号).故选B 5.答案：-6 解析：由图象（图略）易知函数f(x)=|2.x十a的单调递 增区间是[-名，十∞）令-号=3，得a=-6. 第三节函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.f(-x)=f(x)y轴f(一x)=-f(x)原点 2.(1)f(.x+T)=f(.x)(2)最小最小 考点知能突破 针对训练 1.AD 2.B通解：设发()=n票引号知g)的定又线为 (-0一号（合+小且x-)=二号 n号-n会品-g,所以)为奇通数若 2x-1 )=（x+a为偶函数，则y=x+a也应为 函数，所以a=0,故选B. 优解：图为)=(x十a)n为偶画数，f(-1》 (a-1)ln3,f1)=(a+1)ln3=-(a+1)ln3,所以 (a-1)ln3=-(a十1)ln3,解得a=0,故选B. 02