第2章 第1节 不等式性质与基本不等式-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

参考答案与解析 内文讲解 第一章集合与常用逻辑用语 第二章不等式 第一节集合 基础知识必备 第一节 不等式性质与基本不等式 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于不属于∈ 基础知识必备 庄(3)列举法描述法图示法 2.(2)a>c(3)>>(5)> 2.A二BA手B子集 3.(1)a>0,b>0(2)a=b 3.且且A∩B或或AUB不属于￠CA 考点知能突破 4.(1)2万(2)9 4 针对训练 考点知能突破 1.C因为1u+ba=(0,合ba≠0，所以a十6=0，则 针对训练 1.BC b=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 2.D国为<号 2.(1)D由题意知，对于集合M,当n为偶数时， 设n=2k(k∈Z),则x=k十1(k∈Z);当n为奇数时， 所以号->0f)=22十1= 2 -十x一 设n=2k+1(k∈Z),则x=+1+之(k∈Z). 所以N三M. 合-[+(]+-2+=号 (2)BDA☒B={x之=x2-y2,x∈A,y∈B)={1,0,2}, -Y 故A☒B中有3个元素，其真子集的个数为23一1=7，故 C错误，D正确. 当且仅当=-，即=一时取等号，放 当x=√2，y=√2时，之=0，故A错误. x可取两个值，y可取两个值，之=(x十y)×(x一y)共有4 有景大值一兰故选D, 个算式，分别为：(W2+1)×(W2-1),(W3+1)×(5-1),(W3+ 1 √2)X(5-√2)，(W2+②)X(W2-2),故B正确. 3.答案：2 3.D由题可得B={一1,0,1}，所以A∩B={0,1〉，故 解析：令x十1=m,y十2=n, 选D. 因为x>0,y>0, 4.D因为AUB=A,所以B二A,即n∈A,得m2≥4，解得 所以n≥0，n>0, m≥2或m≤-2. 则m十n=x十1十y十2=8， 第二节常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分必要充分不必要必要不充分充要既不充 分也不必要 吉（只+g+2)≥专2T+20= 2.(1)H(2)3 考点知能突破 当且仅当卫=加 m n 针对训练 即m=n=4时等号成立. 1.(1)B取a=2,b=0.1,满足a+b>2,但是不满足a>1 1 且b>1,充分性不成立，由a>1且b>1能推出a十b>2, 所以有十十2的最小值为号 必要性成立，所以“a十b>2”是“a>1且b>1”的必要不充 4.答案：38880元 分条件.故选B. 解析：设污水处理池的宽为x(r>0)m,则长为162m, (2)ABC 2.D 3.答案：(1)C(2)3 则总造价y=400×(2x+2X162)+248×2x+80×162 x 解析：(1)选C.命题“Hx∈[1,3]，x2-a≤0”台“Hx∈ [1,3],x2≤a”台9≤a.则a≥10是命题“Hx∈[1,3]， =1296x+1296X100+12960=1296×(x+100）+ x2一a0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. (2)由x2-x一6>0，解得x<-2或x>3. 12960>1296×2,√×10+12960=3880. 因为“x2-x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 当且仅当x=100(x>0),即x=10时，等号成立. 所以{x|x>a}是{xx<一2或x>3}的真子集， 即a≥3，故a的最小值为3. 故当长为16.2m,宽为10m时，总造价最低，为38880元. 301 第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 则f(x2)-f(x1)=a.x+1 -a.x1 1 基础知识必备 {x|x>x2或x<x1) =(x2- x)a(c1+x2) 1 x1x2] (rlI<I<x2) 由1≤x1<x2≤2，得x2-x1>0,2<x1十x2<4,1<x1x2 考点知能突破 <4,-1< x12 针对训练 因为1<a<3,所以2<a(x1十x2)<12, 1.答案：（-∞，3] 4 U(5,+∞) 得a(x1十x2)- 10 解析：将原不等式移项通分得3一4≥0， 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), x-5 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增 等价于30x一5)20解得x>5或≤专 2.答案：(1)C(2)02√2-3 (x一5≠0， 所以原不等式的解集为x 解析：)因为f()22+322十）十12计 1+x2 1+x2 1 1 2管案：[+) 且2+1>101十x≤1>2<2+1十x≤3， 所以f(x)的值域为(2,3]，故选C. 解析：要使y=√mx2一(1一m)x十m有意义，即mx2 (2)因为f(-3)=1g[(-3)2+1]=lg10=1, (1一m)x十n≥0对Vx∈R恒成立， 所以f[f(一3)]=f(1)=0. 则/n>0, (1-m)2-4m2≤0. 郎得m≥子 当x≥1时f(x)=x+2-3≥22-3， 第三章函数及其应用 当且仅当x=√2时，取等号，此时f(x)min=2V2-3<0; 第一节 函数的概念及其表示 当x<1时，f(x)=lg(.x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 基础知识必备 时，取等号，此时f(x)mim=0. 1.实数集任意一个数x唯一确定A→B 所以函数f(x)的最小值为2√2-3. y=f(x).取值范围A 3.D因为函数f(x)是定义在区间[0，十∞)上的增函数， 3.解析法4.对应关系 满足f(2x-1)<f(号)，所以0<2x-1<号，解得号≤ 考点知能突破 针对训练 r<号故选D 1B要使画数有意义，则2,2>0，解得1<2.所以 4.B因为f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x) 3x 函数f(x)= 十ln(2.x-x2)的定义域为(1,2).故 f4-x),所以f(号）=f是)f(经)=f(2）又0< 选B. 言<1<名2f)本[0,2]上单洞道0，所以f(分） 1一,得x=1十' 2.A令t=1+x 1-t f1)<f(号)，即f()f1)<f()故选B 1- 5.答案：-6 1十P,所以f(x)= 2t 2.x 所以f(t) 解析：由图象（图略）易知函数f(x)=|2.x十a的单调递 1-1 1+r2,故 1+t 增区间是[-受，十∞），令-号-3得a=-6 选A. 第三节函数的奇偶性、对称性与周期性 3.D当a>0时，不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ 基础知识必备 a一3a>0,解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)一 f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2.综上所述， 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点 、 2.(1)f(x+T)=f(x)(2)最小最小 a的取值范围为（一∞，一2）U(2,十∞). 考点知能突破 4.答案：8 针对训练 解析：由题意得a>0 1.AD 当0a1时，由f(a)=f(a-1),得2a=√a, 解得a=子则（日）=f4=8: 2B通解：设g《1=n器马知g《)的定又装为 当a≥1时，由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解. (-,一专（合+小且《-=n号 第二节函数的单调性与最值 In 2.x十1 2x-1 基础知识必备 2x-1 =一ln2十一gx),所以g(x)为奇函数.若 1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降 f)=(c十an为锅函数，到y=x十a也应为寺 2.单调递增单调递减区间D 函数，所以a=0,故选B. 3.f(x)≤Mf(x)≥mf(x0)=m 考点知能突破 优解：圆为f)=(r十a)n为偶高数，f(-1) 针对训练 1.解：函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下： (a-11n3,f1)=(a+1)ln}=-(a+1)ln3,所以 任取x1x2∈[1,2]，且x1<x2, (a-1)ln3=-(a+1)ln3,解得a=0,故选B. 302第二章 不等式 第一节 不等式性质与基本不等式 基础知识必备 1.两个实数比较大小的依据 4.利用基本不等式求最值 (1)a-b>0台a>b. 已知x>0,y>0,则： (2)a-b=0台a=b. (1)如果xy等于定值，那么当且仅当x= (3)a-b<0台ab. y时，x十y有最小值 (简记：积定 2.不等式的基本性质 和最小)； (1)对称性：a>b台b<a. (2)如果x十y等于定值q,那么当且仅当 (2)传递性：a>b,b>c→ x=y时，xy有最大值 (简记：和 (3)可加性：a>b→a十c b+c; 定积最大). a>b,c>d→a+c b+d. 常用结论 (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc, 三个重要的结论 a>b>0,c>d>0→ac>bd. (5)可乘方：a>b>0→a” b”(n∈ ≥ 2 N,n≥1). (2)2+4≥2(ab>0). a'b (6)可开方：a>b>0→a>b(n∈N,n≥2). 2 3.基本不等式 (3)1+ -(a>0, 2 2 (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅当 b>0). 微点拔 基本不等式的两种常用变形形式 学习笔记： 1ab≤（生）(a,bER,当且仅当a=6 时取等号) (2)a+b≥2√ab(a>0,b>0,当且仅当a= b时取等号). 第二章不等式 考点知能突破 考点一比较大小与不等式的性质 )名师点评 运用不等式的性质判断命题真假的策略 例1I(1)(特值法)设a,b∈R,则“a>b”是 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条 “aal>b|b”的 件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质. A.充分不必要条件 (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值 B.必要不充分条件 一定要遵循如下原则：一是满足题设条件； C.充要条件 二是取值要简单，便于验证计算. D.既不充分也不必要条件 [针对训练] (2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结 1.(多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题 i论：①ad>hc:②9+b<0:③a-c>b-d: 正确的是 () A.若a>b,c>d,则ac>bd ④a(d-c)>b(d-c).其中成立的个数是 B.若ab>0,bc-ad>0,则S-4>0 ( A.1 B.2 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c C.3 D.4 D.若a>6,>0,则号>名 【解析】(1)当b<0时，显然有a>b台 考点二利用基本不等式求最值 aa>blbl;当b=0时，显然有a>b台aa >bb1; 角度一 配凑法求最值 当b>0时，由a>b有|al>|bl, 例回1)已知x>是，则f(x)=4x-2+ 所以a>b台aa>bbl. 综上可知a>b台aal>blb,故选C. 4x一5的最小值为 1 (2)已知0<x<1,则x(3一2x)的最大值 (2)因为a>0>b,c<d<0,所以ad<0, 为 bc>0,所以ad<bc,故①错误. 因为0>b>-a,所以a>-b>0, 【解析】 1)因为x>号，所以4虹-5>0， 因为c<d<0,所以-c>-d>0, 所以f(x)=4x-2+,1 4x-5 =4x-5十 所以a(-c)>(-b)(-d), 所以ac+bd<0, 4x-5+3≥21+3=5. 所以号+白-c十d<0,故②正确. 当具仅当4红一5=写即x=多时取 1 d c cd 因为c<d,所以-c>-d, 等号 因为a>b, (2)x(3-2x)=专·2x(3-2x)≤2· 所以a+(-c)>b+(-d), (2x+8-2x)2=是 即a-c>b-d,故③正确. 2 8’ 因为a>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c), 当且仅当2x=3-2,即x=2时取等号. 故④正确.故选C 【答案】(1)C(2)C 【答案】15(2号 名师大课堂数学 目名师点评 [针对训练] 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼 系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值 2.已知函数)=2z27十<分》，则 应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用 系数的变化以及等式中常数的调整，做到 Ax)有最小值号 等价变形 (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值 R)有最小值- 为目标 (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式 Cfx)有最大值一号 的前提。 D.f有最大值一是 角度二常数代换法求最值 3.已知x>0,y>0且x十y=5,则 1 例3(2026·东北三省四市教研联考)若a>0, 6>0,a+=2,则+云的最小值为 a y十2的最小值为 【解析】解法-：+名=(+)十 考点三基本不等式的实际应用 -=1++号+2)≥(3+× 例4某国营企业集团公司现有员工1000 名，平均每人每年创造利润10万元.为了激 =8+2@. 发内部活力，增强企业竞争力，集团公司董 当且仅当b=20 事会决定优化产业结构，调整出x(x∈N*) ab 名员工从事第三产业；调整后，他们平均每 即a=2√2-2，b=4-2√2时，等号成立. 人每年创造利润10(a-6)万元a>0 解法+后=+片-安+ b Za b 剩余的员工平均每人每年创造的利润可以 +品++12+2×号-32 提高0.2x%. 2 (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低 当且仅当名-号，即a=22-2,6=4-2 于原来1000名员工创造的年总利润，则最 √2时，等号成立. 多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的 【答案】 是+ 年总利润始终不高于剩余员工创造的年总 目名师点评 利润，则实数a的取值范围是多少？ 常数代换法求最值的步骤 【解】(1)由题意，得10(1000-x)(1+ (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）； 0.2x%)≥10×1000， (2)把确定的定值（常数）变形为1； 整理得x2一500x≤0， (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相 解得0≤x≤500. 乘或相除，进而构造和或积的形式； 又x>0,x∈N*, (4)利用基本不等式求解最值. 所以0<x≤500，x∈N*, 8 第二章 不等式 所以最多调整出500名员工从事第三产业. 目名师点评 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 有关函数最值的实际问题的解题技巧 10(。一品上万元，从事原来产业的员工创造 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利 用基本不等式求得函数的最值； 的年总利润为10(1000-x)(1十写0)万元. (2)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数； 则由题意知，当0<x≤500时，恒有 (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意 1o(a-)2≤101000-x1+: 义及其取值范围； (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等 整理得a≤土000+1在0<x≤500时 号取不到，可利用函数的单调性求解. x 恒成立 [针对训练] 因为20+100 ≥2 x.1000 二4 4.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积 W250 为162m2的三级污水处理池，平面图如图 当且仅当 x1000 所示，水池的深度为1m.如果水池四周墙 250 的建造费用为400元/m2,中间两道隔墙的 即x=500时等号成立， 建造费用为248元/m,池底建造费用为 所以a≤5. 80元/m2,水池的所有墙的厚度忽略不计， 又因为a>0, 则最低总造价为 所以0<a≤5， 所以a的取值范围是(0,5]. 第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二 续表 次方程的关系 判别式 △>0 △=0 △<0 ax2+bx+c △=b2-4ac >0(a>0) 二次函数 的解集 ↑y y=ax2+bx +c(a>0)的 0丙 / 0x1=x2 0■ 图象 一元二次方 有两个相 有两个相 ax2+bx+c 异实数根 等实数根 <0(a>0) 程ax2十bx 没有实 的解集 +c=0(a>0) X1x2 x1=x2 数根 的根 b (x1<x2） 2a