第1章 第2节 常用逻辑用语-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第一章集合与常用逻辑用语 [针对训练] A.(-8,-4] B.(-8,+∞) +1,m∈z},N C.[-4,+o∞) D.[-8,+o∞) 2.(1)集合M={xx= 【解析】C.M={xlx2-2x+a>0},N (4,+∞)，由(CRM)∩N=(4,+∞)=N, (yy=m+ 2,m∈Z,则两集合M,N的关 得N二C.M.故Hx∈(4，+∞)，x2-2x+ 系为 a>0恒成立，所以a>-x2十2x(x∈(4， A.M∩N=0 B.M=N 十∞)恒成立，令g(x)=-x2+2x,x∈(4， C.M∈N D.N∈M 十∞)，易知g(x)=-x2+2x在(4，十∞) (2)(多选)(2026·三亚模拟)定义集合运 上单调递减，所以g(x)<g(4)=一8，所以 算：A☒B={x|之=(x+y)X(x-y),x∈ a≥一8，故选D. 【答案】D A,y∈B.设A={√2，√3}，B={1,√2}，则 名师点评 下列说法正确的是 ( 1.解决集合的基本运算问题一般应注意： A.当x=√2，y=√2时，z=1 先看元素组成，对有些集合要先进行化 B.x可取两个值，y可取两个值，x=(x十y) 简，注意数形结合思想的应用.集合的运 ×(x-y)有4个式子 算常借助于数轴和Venn图解决， C.A☒B中有4个元素 2.关于利用集合的运算求参数的值或取值 D.A☒B的真子集有7个 范围的方法：(1)与不等式有关的集合， 考点三集合的基本运算 一般利用数轴解决，要注意端点值能否 取到； 角度一 集合的运算 (2)若集合中的元素能一一列举，则先用 例3(2026·全国Ⅱ卷)已知集合A={0,1, 观察法得到不同集合中元素之间的关 3,6,9},B={x|x=x},则A∩B=( ) 系，再列方程（组）求解 A.{0,1} B.{3,6} [针对训练] C.{0,1,9} D.{0,3,9} 3.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1, 【解析】集合的交运算由√=x,得x2= 2,8},B={xlx3=x},则A∩B=（) x,即x(x一1)=0，解得x=1或x=0,所以 A.{0,1,2 B.{1,2,8} B={0,1},所以A∩B={0,1},故选A, C.{2,8} D.{0,1} 【答案】A 4.已知集合A={x|x2≥4}，B={m}.若AUB 角度二利用集合的运算求参数或参数范围 =A,则m的取值范围是 () ◆例4(2026·湖北新八校联考)已知集合 A.(-∞，-2) M={x|x2-2x+a≤0}，N={xly=ln(x B.[2,+o∞) 4)},若(CRM)∩N=(4,+∞)，则a的取值 C.[-2,2] 范围是 D.(-∞，-2]U[2,+∞) ( 第二节 常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 续表 若p→q,则p是q的 条件，q p是q的 条件 p书q且q→p 是p的 条件 p是q的 条件 台q p是q的 条件 p→q且q羚p p是q的 条件 q且qPp 名师大课堂数学 微点拨 3.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词 不能将“若p,则q”与“p→q”混为一 的命题的否定 谈，只有“若p,则g”为真命题时，才有“p 命题 语言表示 符号表示 命题的 →g”,即“p→g”台“若p,则q”为真命题. 名称 否定 2.全称量词和存在量词 全称 对M中任意 ]x∈M, (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等 量词 个x,有p(x) Hx∈M, 命题 成立 p(x) p(x) 在逻辑中通常叫做全称量词。用符号 ”表示. 存在 存在M中的元 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有 ]x∈M, Hx∈M, 量词 素x,使p(x) 个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 D(x) 力(x) 命题 成立 ”表示. 考点知能突破 考点一 充分条件、必要条件及充要条件的判断 )名师点评 小积累：利用集合判断法判断充分条件、必 例1(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3” 要条件 是“3“=3”的 若p以集合A的形式出现，q以集合B的 A.充分不必要条件 形式出现，即p:A={x|(x)},q:B={x B.必要不充分条件 q(x)},则： C.充要条件 ①若A二B,则p是g的充分条件； D.既不充分也不必要条件 ②若B二A,则力是q的必要条件； 【解析】由函数y=x3单调递增可知，若a3 ③若A军B,则p是q的充分不必要条件； =b3,则a=b;由函数y=3单调递增可知， ④若B三A,则p是q的必要不充分条件； 若3“=3，则a=b.故“a3=b3”是“3“=36”的 ⑤若A=B,则p是q的充要条件； 充要条件，故选C. ⑥若A生B且B生A,则p是q的既不充分 【答案】C 也不必要条件， 目名师点评 [针对训练] 充分必要条件的判断方法 1.(1)(2026·江苏南京一模)已知a,b∈R,则 “a+b>2”是“a>1且b>1”的 直接判断“若p,则g”“若q,则 A.充分不必要条件 利用定 p”的真假.在判断时，确定条件 B.必要不充分条件 义判断 是什么、结论是什么 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选)下列叙述中不正确的是() 从集合的 利用集合中包含思想判定，即 A.若a≠0，b,c∈R,则“a.x2+bx十c≥0”的 角度判断 可解决充分必要性的问题 充要条件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ac2>bc2”的充要条件是 条件和结论带有否定性词语的 “a>b'” 利用等价 命题，常转化为其逆否命题来判 C.“a<0”是“方程x2十x十a=0有一个正 转化法 断真假 根和一个负根”的充分不必要条件 D.“4>1"是“1<1"的充分不必要条件 0 第一章集合与常用逻辑用语 考点二全称量词命题、存在量词命题 考点三充分、必要条件的应用 例2(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R, 例3已知条件p:集合P={x|x2-8x-20 |x十1>1；命题q:3x>0,x3=x.则 ( ≤0}，条件q:非空集合S={x|1-m≤x≤1 A.p和g都是真命题 +m.若p是q的必要条件，求m的取值 B.一p和q都是真命题 范围， C.p和q都是真命题 【解】由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10， D.p和q都是真命题 所以P={x|一2≤x≤10. 【解析】因为Hx∈R,|x+1|≥0，所以命 由力是q的必要条件，知S三P, 题p为假命题，所以力为真命题.因为x3 1-m≤1+m, =x,所以x3一x=0,所以x(x2一1)=0，即 则1一m≥-2，所以0≤m≤3. x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0 1+m≤10， 或x=1,所以了x>0,使得x3=x,所以命 所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件， 题q为真命题，所以q为假命题，所以一p 即所求m的取值范围是[0,3]. 和q都是真命题，故选B. 【答案】B )名师点评 @名师点评 根据充分、必要条件求解参数 1.判定全称量词命题“Hx∈M,p(x)”是 范围的方法及注意事项 真命题，需要对集合M中的每一个元素 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要 x,证明p(x)成立；判定存在量词命题是 条件或充要条件转化为集合之间的关系， 真命题，只要在限定集合内找到一个x 然后根据集合之间的关系列出关于参数的 =xo,使p(xo)成立即可. 不等式（组）求解. 2.含量词的命题中参数的取值范围问题， (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区 可根据命题的含义，利用函数的最值 间端点值的检验，尤其是利用两个集合之 求解 间的关系求解参数的取值范围时，不等式 是否能够取等号决定端点值的取舍，处理 [针对训练] 不当容易出现漏解或增解的现象. 2.下列四个命题： p1:对任意x∈R,都有2>0： [针对训练] p2:存在x∈R,使得x2+x+1<0; 3.(1)命题“Hx∈[1,3]，x2-a≤0”为真命题 p3:对任意x∈R,都有sinx<2r; 的一个充分不必要条件是 () p4:存在x∈R,使得cosx>x2+x+1. A.a≥9 B.a≤9 其中的真命题是 C.a≥10 D.a≤10 A.p,P2 B.P2,P3 (2)若“x2一x一6>0”是“x>a”的必要不充 C.P3,p D.PiP 分条件，则a的最小值为参考答案与解析 内文讲解 第一章集合与常用逻辑用语 第二章不等式 第一节集合 基础知识必备 第一节 不等式性质与基本不等式 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于不属于∈ 基础知识必备 庄(3)列举法描述法图示法 2.(2)a>c(3)>>(5)> 2.A二BA手B子集 3.(1)a>0,b>0(2)a=b 3.且且A∩B或或AUB不属于￠CA 考点知能突破 4.(1)2万(2)9 4 针对训练 考点知能突破 1.C因为1u+ba=(0,合ba≠0，所以a十6=0，则 针对训练 1.BC b=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 2.D国为<号 2.(1)D由题意知，对于集合M,当n为偶数时， 设n=2k(k∈Z),则x=k十1(k∈Z);当n为奇数时， 所以号->0f)=22十1= 2 -十x一 设n=2k+1(k∈Z),则x=+1+之(k∈Z). 所以N三M. 合-[+(]+-2+=号 (2)BDA☒B={x之=x2-y2,x∈A,y∈B)={1,0,2}, -Y 故A☒B中有3个元素，其真子集的个数为23一1=7，故 C错误，D正确. 当且仅当=-，即=一时取等号，放 当x=√2，y=√2时，之=0，故A错误. x可取两个值，y可取两个值，之=(x十y)×(x一y)共有4 有景大值一兰故选D, 个算式，分别为：(W2+1)×(W2-1),(W3+1)×(5-1),(W3+ 1 √2)X(5-√2)，(W2+②)X(W2-2),故B正确. 3.答案：2 3.D由题可得B={一1,0,1}，所以A∩B={0,1〉，故 解析：令x十1=m,y十2=n, 选D. 因为x>0,y>0, 4.D因为AUB=A,所以B二A,即n∈A,得m2≥4，解得 所以n≥0，n>0, m≥2或m≤-2. 则m十n=x十1十y十2=8， 第二节常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分必要充分不必要必要不充分充要既不充 分也不必要 吉（只+g+2)≥专2T+20= 2.(1)H(2)3 考点知能突破 当且仅当卫=加 m n 针对训练 即m=n=4时等号成立. 1.(1)B取a=2,b=0.1,满足a+b>2,但是不满足a>1 1 且b>1,充分性不成立，由a>1且b>1能推出a十b>2, 所以有十十2的最小值为号 必要性成立，所以“a十b>2”是“a>1且b>1”的必要不充 4.答案：38880元 分条件.故选B. 解析：设污水处理池的宽为x(r>0)m,则长为162m, (2)ABC 2.D 3.答案：(1)C(2)3 则总造价y=400×(2x+2X162)+248×2x+80×162 x 解析：(1)选C.命题“Hx∈[1,3]，x2-a≤0”台“Hx∈ [1,3],x2≤a”台9≤a.则a≥10是命题“Hx∈[1,3]， =1296x+1296X100+12960=1296×(x+100）+ x2一a0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. (2)由x2-x一6>0，解得x<-2或x>3. 12960>1296×2,√×10+12960=3880. 因为“x2-x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 当且仅当x=100(x>0),即x=10时，等号成立. 所以{x|x>a}是{xx<一2或x>3}的真子集， 即a≥3，故a的最小值为3. 故当长为16.2m,宽为10m时，总造价最低，为38880元. 301