第1章 第1节 集合-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节集合 基础知识必备 1.元素与集合 3.集合的基本运算 (1)集合元素的三个特征： 文字语言 符号语言 图形语言 记法 (2)元素与集合的关系是 或 属于A {x|x∈ 关系，用符号 或 表示. 属于B A, 集」 的所有元素 AQB (3)集合的表示法： 组成的集合 ∈B (4)常见数集的记法 所有属于A {x|x∈ 属 A, 集合 自然 正整 有理 数集 数集 整数集 实数集 数集 于B的元素 组成的集合 x∈B} 符号 N N*(或N Z Q 及 微点拔 全集U中 {x|x∈ U,且x N为自然数集（即非负整数集），包含 集 的所有元素 0,而N*和N的含义是一样的，表示正整 组成的集合 A》 数集，不包含0. 常用结论 2.集合间的基本关系 (1)子集的性质：A二A,⑦二A,(A∩B)二 文字语言 符号语言 A,(A∩B)二B 集合A与集合B中 (2)交集的性质：A∩A=A,A∩☑=， 相等 A=B 的所有元素都相同 A∩B=B∩A. (3)并集的性质：AUB=BUA,(AUB)2A, 彩 集合A中任意一个 (AUB)2B,AUA-A,AUO-OUA-A. 子集 元素均为集合B中 间 (4)补集的性质：AU(CA)=U,A∩(CA) 的 的元素 基 =Cv(CvA)=A,CAA=8,CA=A. 集合A中任意一个 (5)子集的个数：含有n个元素的集合共有 系 元素均为集合B中 真子 2”个子集，其中有2一1个真子集，2”一1 的元素，且集合B中 集 个非空子集. 至少有一个元素不是 (6)等价关系：A∩B=A台A二B;AUB= 集合A中的元素 A台A2B. 空集是任何集合的 ,是任 (7)C(AB)=(CA)U(CB),C(AUB) 空集 何非空集合的真子集 =(CuA)∩(CB). 名师大课堂数学 考点知能突破 考点一 集合的含义与表示 考点二集合间的基本关系 例工 (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A= ◆例2(1)(2025·全国一卷)已知集合U= {0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A三B, {xx是小于9的正整数}，A={1,3,5},则 则a= CA中元素的个数为 ( A.2 B.1 A.0 B.3 c号 D.-1 C.5 D.8 (2)已知集合A={x|-1<x<3},B= 【解析】依题意，有a-2=0或2a一2= {x|一m<x<m},若B二A,则m的取值范 0.当a一2=0时，解得a=2,此时A={0, 围为 -2},B={1,0,2},不满足A二B;当2a-2 【解析】(1)U={1,2,3,4,5,6,7,8},A= {1,3,5},故CA={2,4,6,7,8},故CA中 =0时，解得a=1,此时A={0,一1}，B= 有5个元素.故选C. {一1,0,1}，满足A二B.所以a=1,故 (2)当m≤0时，B=⑦，显然B二A, 选B. 当m>0时，因为A={x|-1<x<3}, 【答案】B 当B二A时，在数轴上标出两集合，如图， @微点拔 -1-m0m1 3 与集合中的元素有关的问题的求解策略 f-m≥-1， (1)用描述法表示集合时，首先要搞清楚集 所以m≤3， 所以0<m≤1. -m<m. 合中代表元素的含义，再看元素的限制条 综上所述，m的取值范围为（一∞，1]. 件，明白集合的类型，是数集、点集还是其 【答案】(1)C(2)(-o∞，1] 他类型的集合. @名师点评 (2)集合中元素的三个性质中的互异性对 判断集合间关系的三种方法 解题的影响较大，特别是含有字母的集合， 根据题中限定条件把集合元素 表示出来，然后比较集合元素 在求出字母的值后，要注意检验集合中的 列举法 的异同，从而找出集合之间的 元素是否满足互异性， 关系 从元素的结构特点入手，结合 [针对训练] 结构法 通分、化简、变形等技巧，从元 1,设a,b∈R,集合1，a十b,a}=0,么，b,则 素结构上找差异进行判断 在同一个数轴上表示出两个集 b-a= 合，比较端点之间的大小关系， 数轴法 A.1 B.-1 从而确定集合与集合之间的 关系 C.2 D.-2 第一章集合与常用逻辑用语 [针对训练] A.(-8,-4] B.(-8,+∞) +1,m∈z},N C.[-4,+o∞) D.[-8,+o∞) 2.(1)集合M={xx= 【解析】C.M={xlx2-2x+a>0},N (4,+∞)，由(CRM)∩N=(4,+∞)=N, (yy=m+ 2,m∈Z,则两集合M,N的关 得N二C.M.故Hx∈(4，+∞)，x2-2x+ 系为 a>0恒成立，所以a>-x2十2x(x∈(4， A.M∩N=0 B.M=N 十∞)恒成立，令g(x)=-x2+2x,x∈(4， C.M∈N D.N∈M 十∞)，易知g(x)=-x2+2x在(4，十∞) (2)(多选)(2026·三亚模拟)定义集合运 上单调递减，所以g(x)<g(4)=一8，所以 算：A☒B={x|之=(x+y)X(x-y),x∈ a≥一8，故选D. 【答案】D A,y∈B.设A={√2，√3}，B={1,√2}，则 名师点评 下列说法正确的是 ( 1.解决集合的基本运算问题一般应注意： A.当x=√2，y=√2时，z=1 先看元素组成，对有些集合要先进行化 B.x可取两个值，y可取两个值，x=(x十y) 简，注意数形结合思想的应用.集合的运 ×(x-y)有4个式子 算常借助于数轴和Venn图解决， C.A☒B中有4个元素 2.关于利用集合的运算求参数的值或取值 D.A☒B的真子集有7个 范围的方法：(1)与不等式有关的集合， 考点三集合的基本运算 一般利用数轴解决，要注意端点值能否 取到； 角度一 集合的运算 (2)若集合中的元素能一一列举，则先用 例3(2026·全国Ⅱ卷)已知集合A={0,1, 观察法得到不同集合中元素之间的关 3,6,9},B={x|x=x},则A∩B=( ) 系，再列方程（组）求解 A.{0,1} B.{3,6} [针对训练] C.{0,1,9} D.{0,3,9} 3.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1, 【解析】集合的交运算由√=x,得x2= 2,8},B={xlx3=x},则A∩B=（) x,即x(x一1)=0，解得x=1或x=0,所以 A.{0,1,2 B.{1,2,8} B={0,1},所以A∩B={0,1},故选A, C.{2,8} D.{0,1} 【答案】A 4.已知集合A={x|x2≥4}，B={m}.若AUB 角度二利用集合的运算求参数或参数范围 =A,则m的取值范围是 () ◆例4(2026·湖北新八校联考)已知集合 A.(-∞，-2) M={x|x2-2x+a≤0}，N={xly=ln(x B.[2,+o∞) 4)},若(CRM)∩N=(4,+∞)，则a的取值 C.[-2,2] 范围是 D.(-∞，-2]U[2,+∞) ( 第二节 常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 续表 若p→q,则p是q的 条件，q p是q的 条件 p书q且q→p 是p的 条件 p是q的 条件 台q p是q的 条件 p→q且q羚p p是q的 条件 q且qPp参考答案与解析 内文讲解 第一章集合与常用逻辑用语 第二章不等式 第一节集合 基础知识必备 第一节 不等式性质与基本不等式 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于不属于∈ 基础知识必备 庄(3)列举法描述法图示法 2.(2)a>c(3)>>(5)> 2.A二BA手B子集 3.(1)a>0,b>0(2)a=b 3.且且A∩B或或AUB不属于￠CA 考点知能突破 4.(1)2万(2)9 4 针对训练 考点知能突破 1.C因为1u+ba=(0,合ba≠0，所以a十6=0，则 针对训练 1.BC b=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 2.D国为<号 2.(1)D由题意知，对于集合M,当n为偶数时， 设n=2k(k∈Z),则x=k十1(k∈Z);当n为奇数时， 所以号->0f)=22十1= 2 -十x一 设n=2k+1(k∈Z),则x=+1+之(k∈Z). 所以N三M. 合-[+(]+-2+=号 (2)BDA☒B={x之=x2-y2,x∈A,y∈B)={1,0,2}, -Y 故A☒B中有3个元素，其真子集的个数为23一1=7，故 C错误，D正确. 当且仅当=-，即=一时取等号，放 当x=√2，y=√2时，之=0，故A错误. x可取两个值，y可取两个值，之=(x十y)×(x一y)共有4 有景大值一兰故选D, 个算式，分别为：(W2+1)×(W2-1),(W3+1)×(5-1),(W3+ 1 √2)X(5-√2)，(W2+②)X(W2-2),故B正确. 3.答案：2 3.D由题可得B={一1,0,1}，所以A∩B={0,1〉，故 解析：令x十1=m,y十2=n, 选D. 因为x>0,y>0, 4.D因为AUB=A,所以B二A,即n∈A,得m2≥4，解得 所以n≥0，n>0, m≥2或m≤-2. 则m十n=x十1十y十2=8， 第二节常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分必要充分不必要必要不充分充要既不充 分也不必要 吉（只+g+2)≥专2T+20= 2.(1)H(2)3 考点知能突破 当且仅当卫=加 m n 针对训练 即m=n=4时等号成立. 1.(1)B取a=2,b=0.1,满足a+b>2,但是不满足a>1 1 且b>1,充分性不成立，由a>1且b>1能推出a十b>2, 所以有十十2的最小值为号 必要性成立，所以“a十b>2”是“a>1且b>1”的必要不充 4.答案：38880元 分条件.故选B. 解析：设污水处理池的宽为x(r>0)m,则长为162m, (2)ABC 2.D 3.答案：(1)C(2)3 则总造价y=400×(2x+2X162)+248×2x+80×162 x 解析：(1)选C.命题“Hx∈[1,3]，x2-a≤0”台“Hx∈ [1,3],x2≤a”台9≤a.则a≥10是命题“Hx∈[1,3]， =1296x+1296X100+12960=1296×(x+100）+ x2一a0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. (2)由x2-x一6>0，解得x<-2或x>3. 12960>1296×2,√×10+12960=3880. 因为“x2-x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 当且仅当x=100(x>0),即x=10时，等号成立. 所以{x|x>a}是{xx<一2或x>3}的真子集， 即a≥3，故a的最小值为3. 故当长为16.2m,宽为10m时，总造价最低，为38880元. 301