第二单元 混合运算与数量关系（三）（思维拓展培优）-六年级上册数学从课本到奥数系列讲义（苏教版）

第二单元 混合运算与数量关系（三）（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一、小数四则混合运算与简便运算 1. 运算顺序规则 (1) 基本原则：先乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。 (2) 同级运算：从左往右依次计算。 (3) 多层括号：先算小括号 ()，再算中括号 []，最后算大括号 {}（如有）。 2. 整数运算定律在小数中的推广 整数加法和乘法的运算定律同样适用于小数，这是简便运算的核心依据： (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： 应用技巧：寻找“凑整”组合（如 , ）。 (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： 应用技巧：常见凑整组合 , , , 。 (5) 乘法分配律： 或 1　 逆向应用： ，提取公因数。 2　 拆分应用：将接近整十、整百的数拆分为 或 等形式。 3. 易错点提示 (1) 注意小数点位置，避免对位错误。 (2) 减法性质： ，用于连续减去两个数能凑整的情况。 (3) 除法性质： ，用于连续除以两个数能凑整的情况。 知识点二、分数四则混合运算与简便运算 1. 运算顺序 与整数、小数四则混合运算顺序完全一致。 2. 分数简便运算核心策略 (1) 约分先行：在连乘或乘除混合运算中，先观察分子与分母是否有公因数，提前约分可大幅简化计算。 (2) 除法变乘法：除以一个数（0除外），等于乘以这个数的倒数。即 。转化后统一为乘法，便于使用交换律和结合律。 (3) 乘法分配律的灵活运用： 1　 正向使用： 。适用于括号内分数通分困难，但分别乘以外部数后能约分简化的情况。 2　 逆向使用： 。适用于提取相同分数因子。 3　 隐含“1”的处理：当算式中某一项看似没有公因数时，需检查是否隐含 。例如： 。 4　 拆分法：将带分数拆分为“整数+真分数”，或将假分数拆解，利用分配律简化。 3. 注意事项 (1) 结果必须化为最简分数。 (2) 带分数参与运算时，通常建议先化为假分数，除非使用拆分法简便运算。 知识点三、估算策略与实际问题 1. 估算的核心目的 在不需要精确结果，或需要快速判断结果范围、检验计算合理性时使用。 2. 常用估算方法 (1) 四舍五入法：将数值近似为整十、整百、整千或简单的分数/小数。 3. “估大”与“估小”的策略选择 (1) 判断够不够（上限判断）： 1　 若问“钱够不够买物品”，通常将价格估大，若估大后的总价仍小于持有金额，则一定够。 2　 若问“座位够不够坐”，通常将人数估大，若估大后的人数仍小于座位数，则一定够。 (2) 判断能不能完成（下限判断）：若问“材料够不够做零件”，通常将单个用量估大或总量估小进行保守估计。 4. 误差分析意识 (1) 理解估算结果与精确结果之间的偏差方向（偏大还是偏小），并能解释原因。 知识点四、分数乘法数量关系 1. 核心概念：单位“1” (1) 定义：作为比较标准的量，通常在“是”、“占”、“比”、“相当于”等词语后面，或在分率前面的那个量。 (2) 识别方法：找到分率（几分之几），看它是“谁”的几分之几，“谁”就是单位“1”。 2. 基本数量关系式 (1) 求一个数的几分之几是多少： (2) 已知一个数的几分之几是多少，求这个数： 3. 连续求一个数的几分之几 (1) 模型： (2) 关键：每一步都要准确判断当前的单位“1”是谁。第一步的单位“1”通常是初始总量，第二步的单位“1”可能是第一步计算出的中间量。 知识点五、比一个数多/少几分之几的问题 1. 题型特征 题目中出现“甲比乙多 ”或“甲比乙少 ”。 2. 关键解析 (1) 确定单位“1”：“比”字后面的量（乙）是单位“1”。 (2) 理解分率含义： 1　 “多 ”意味着：甲是乙的 。 2　 “少 ”意味着：甲是乙的 。 3. 计算公式 (1) 求比较量（甲）： (2) 求单位“1”（乙）（若已知甲求乙）： 4. 易错点辨析 (1) 区分“多 ”与“多是 ”。前者是分率关系，后者可能是具体数量关系。 (2) 注意“增加到了”与“增加了”的区别：“增加了”指增量，“增加到了”指最终结果。 知识点六、工程问题初步与变式 1. 基本模型 (1) 工作总量：通常看作单位“1”。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。若单独完成需要 天，则效率为 。 (3) 工作时间：完成工作所需的时间。 (4) 基本公式： 2. 合作问题 (1) 效率和：多人合作时，总效率等于各人效率之和。 3. 常见变式与思维拓展 (1) 中途加入/离开： 思路：分段计算。先算单独做的部分，再算合作的部分；或者假设全程合作，扣除多做/少做的部分。 (2) 休息问题： 思路：实际工作时间 = 总天数 - 休息天数。注意区分“甲休息”还是“乙休息”，分别计算各自的有效工作量。 (3) 交替工作： 思路：寻找周期。计算一个周期（如甲做1天、乙做1天）完成的工作量，看总工作量包含多少个完整周期，剩余部分单独处理。 (4) 效率变化： 思路：若效率提高或降低，需重新计算新的效率值，再代入公式。例如“效率提高 ”，新效率 = 原效率 。 4. 解题步骤规范 (1) 设工作总量为单位“1”。 (2) 表示出各参与者的工作效率。 (3) 根据题意列出算式（注意合作、先后顺序）。 (4) 计算并作答。 重难点题型精讲 题型一、小数四则混合运算与简便运算 【例题1】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 9.36×9÷1.8           31.04÷3.2＋6.4             75.25－50.25÷2.5 9.5×101               4.2×6.8＋3.2×4.2           3.96÷1.25÷8 【跟踪训练1】计算，怎样简便怎样算。                                                                     题型二、分数四则混合运算与简便运算 【例题2】计算下面各题，能简便的要简便计算。                                                                       【跟踪训练2】计算。（能简算的要简算）                                题型三、估算策略与实际问题 【例题3】笑笑的妈妈准备用100元钱去买瓜子和糖果。她买了5袋瓜子和0.9千克糖果。剩下的钱还够买一袋12元的坚果吗？请写出你的思考过程。 瓜子   6.5元/袋 糖果   52.6元/千克 坚果    12.00元/袋 【跟踪训练3】小明带100元钱去新华书店买书，他买了两本毛笔字帖，每本20.6元，又花了39.8元买了一本词典；之后，小明还想买一本剪纸书。有两本剪纸书可供选择：简装的13.7元，精装的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 题型四、分数乘法数量关系 【例题4】军军家九月份的电费是115元。安装分时电表后，十月份的电费比九月份减少，九月份的电费比十月份多多少元？ 【跟踪训练4】动物冬眠是为了应对冬季食物短缺和低温环境，通过降低代谢率以节省能量并维持生存的适应性行为。蛇的冬眠时间约是180天，青蛙的冬眠时间约是蛇的，熊的冬眠时间约是青蛙的，熊的冬眠时间约是多少天？ 题型五、比一个数多/少几分之几的问题 【例题5】实验小学10月份用水140吨，11月份用水比10月份增加了，如果每吨水费为2元，11月份应付水费多少元？ 【跟踪训练5】“掐丝珐琅彩画”起源于广东，由俗称“景泰蓝”的铜胎掐丝珐琅发展而来。五（1）班“掐丝珐琅彩画”体验组准备了12.4米长的金属丝，他们勾勒小鸟用去了2.52米，如果勾勒1条鲸鱼需要的金属丝比勾勒小鸟用去的金属丝短，剩下的金属丝最多能勾勒几条鲸鱼？ 题型六、工程问题初步与变式 【例题6】修一条路，甲队单独修需10天，乙队单独修需15天，两队合修3天后，剩下的由甲队单独修，还需几天？ 【跟踪训练6】甲乙两人合做一件工作，6天可以做完这件工作的，如果甲做5天，乙做3天，则只能完成这件工作的。那么单独做，乙多少天可以完成这件工作？ 培优练习 1．妈妈买了3.5kg黄瓜，花了12.2元。估一估，黄瓜每千克的价钱范围是（    ）。 A．2～3元 B．3～4元 C．4～5元 D．5～6元 2．国家统计局数据显示，我国2023年第四季度GDP约是35万亿，___________，我国2024年第一季度GDP约是多少万亿？如果列式是，那么横线上应添加的条件是（    ）。 A．比2024年第一季度增长 B．比2024年第一季度减少 C．2024年第一季度比2023年第四季度多 D．2024年第一季度比2023年第四季度少 3．宜川胸鼓刚劲矫捷、潇洒爽朗、节奏明快，深受人们喜爱。工厂接到一批制作胸鼓表演服装的订单，如果由甲组工人单独完成需要6天，如果由乙组工人单独完成需要8天，为了加快进度，现在由甲、乙两组工人合作完成，（    ）天能完成。 A．7 B． C． D． 4．学校文化节筹备“诗词朗诵”活动，要给32名参赛同学每人准备一套道具。已知每套道具包含单价为0.8元的书签和单价为1.5元的诗词手册，王老师带80元去采购这些道具，下列说法正确的是（    ）。 A．总费用为32×0.8＋1.5＝27.1元，80元足够 B．先算一套道具的价格：0.8＋1.5＝2.3元，再算总费用：32×2.3＝73.6元，80元足够 C．先算书签总费用：32×0.8＝25.6元，再算手册总费用：32×1.5＝4.8元，总费用为25.6＋4.8＝30.4元，80元足够 D．总费用为32×（1.5－0.8）＝22.4元，80元足够 5．宣纸是我国独特的手工艺品。为了迎接学校书法比赛，六（2）班买来40张宣纸供大家练习使用，用去了其中的，还剩下( )张宣纸没有用。 6．乐乐的体重是40千克，轩轩比乐乐重，玲玲比轩轩轻。轩轩的体重为( )千克，玲玲的体重为( )千克。 7．小红在计算时，错算成了。计算结果比正确得数( )。 8．小林、小美、小红、小月四人放学后在面包店共买了10个面包，她们平分着吃，小林付了6个面包的钱，小美和小红都只付了2个面包的钱，小月没有带钱。吃完后一算，小月应该拿出3.75元，小林应该收回( )元。 9．某项工程，甲队单独完成需15个月，乙队单独完成需12个月，甲、乙两个工程队合作，( )个月能完成全工程的。 10．用简便方法计算。 3.5×5.3＋4.7×3.5         0.56×0.25×8         125×4.8×2.5 11．计算下面各题，能简算的要写出简算过程。 （－－）×32                 （＋）÷（×） ×2025＋                   [÷（＋）]× 12．元旦即将到来，利桥古街为了增添节日的喜庆气氛，准备制作一些灯笼沿街悬挂，负责人了解到市场的价格：原来做一个灯笼需要7.2元的材料，改进制造方法后，现在做一个灯笼需要6.4元的材料，原来准备做320个灯笼的材料钱，现在可以多做多少个？ 13．某水果店三种水果的单价如下表。（■代表一个数字） 水果 葡萄 西瓜 哈密瓜 单价 8.■8元/kg 4.5■元/kg 6.■0元/kg 张阿姨想买7kg葡萄、6kg西瓜和5kg哈密瓜，带100元够吗？请说明理由。 14．曹操高陵遗址博物馆建于遗址之上的钢结构保护棚是长方形，保护棚的长140米，宽比长少。在施工过程中采用了巨型桁架钢结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到世界领先水平。这个建于遗址之上的钢结构保护棚的周长是多少米？ 15．今年，陈伯伯家的荔枝园迎来了丰收。他家的荔枝园总面积为4亩，平均每亩荔枝园可收获荔枝500kg。在运输到批发市场的过程中，由于磕碰等原因，损耗了总重量的，运到批发市场后，批发商进行筛选，又把其中的淘汰掉了，最后陈伯伯最多能卖给批发商多少千克荔枝？ 16．一项工程，甲工程队单独做6天可以完成，乙工程队单独做15天可以完成，丙工程队单独做10天可以完成。则三个工程队一起合作完成这项工程需要多少天？ 17．一条道路，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完这条道路的？ 18．六（3）班的同学积极参加“垃圾分类、变废为宝”活动，悠悠准备用废纸盒制作一个长城模型。她先用40分钟完成了模型的，这时乐乐加入，跟她一起用50分钟完成了余下部分的制作。如果乐乐一个人制作这个长城模型，那么要用多少分钟？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算与数量关系（三）（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一、小数四则混合运算与简便运算 1. 运算顺序规则 (1) 基本原则：先乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。 (2) 同级运算：从左往右依次计算。 (3) 多层括号：先算小括号 ()，再算中括号 []，最后算大括号 {}（如有）。 2. 整数运算定律在小数中的推广 整数加法和乘法的运算定律同样适用于小数，这是简便运算的核心依据： (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： 应用技巧：寻找“凑整”组合（如 , ）。 (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： 应用技巧：常见凑整组合 , , , 。 (5) 乘法分配律： 或 1　 逆向应用： ，提取公因数。 2　 拆分应用：将接近整十、整百的数拆分为 或 等形式。 3. 易错点提示 (1) 注意小数点位置，避免对位错误。 (2) 减法性质： ，用于连续减去两个数能凑整的情况。 (3) 除法性质： ，用于连续除以两个数能凑整的情况。 知识点二、分数四则混合运算与简便运算 1. 运算顺序 与整数、小数四则混合运算顺序完全一致。 2. 分数简便运算核心策略 (1) 约分先行：在连乘或乘除混合运算中，先观察分子与分母是否有公因数，提前约分可大幅简化计算。 (2) 除法变乘法：除以一个数（0除外），等于乘以这个数的倒数。即 。转化后统一为乘法，便于使用交换律和结合律。 (3) 乘法分配律的灵活运用： 1　 正向使用： 。适用于括号内分数通分困难，但分别乘以外部数后能约分简化的情况。 2　 逆向使用： 。适用于提取相同分数因子。 3　 隐含“1”的处理：当算式中某一项看似没有公因数时，需检查是否隐含 。例如： 。 4　 拆分法：将带分数拆分为“整数+真分数”，或将假分数拆解，利用分配律简化。 3. 注意事项 (1) 结果必须化为最简分数。 (2) 带分数参与运算时，通常建议先化为假分数，除非使用拆分法简便运算。 知识点三、估算策略与实际问题 1. 估算的核心目的 在不需要精确结果，或需要快速判断结果范围、检验计算合理性时使用。 2. 常用估算方法 (1) 四舍五入法：将数值近似为整十、整百、整千或简单的分数/小数。 3. “估大”与“估小”的策略选择 (1) 判断够不够（上限判断）： 1　 若问“钱够不够买物品”，通常将价格估大，若估大后的总价仍小于持有金额，则一定够。 2　 若问“座位够不够坐”，通常将人数估大，若估大后的人数仍小于座位数，则一定够。 (2) 判断能不能完成（下限判断）：若问“材料够不够做零件”，通常将单个用量估大或总量估小进行保守估计。 4. 误差分析意识 (1) 理解估算结果与精确结果之间的偏差方向（偏大还是偏小），并能解释原因。 知识点四、分数乘法数量关系 1. 核心概念：单位“1” (1) 定义：作为比较标准的量，通常在“是”、“占”、“比”、“相当于”等词语后面，或在分率前面的那个量。 (2) 识别方法：找到分率（几分之几），看它是“谁”的几分之几，“谁”就是单位“1”。 2. 基本数量关系式 (1) 求一个数的几分之几是多少： (2) 已知一个数的几分之几是多少，求这个数： 3. 连续求一个数的几分之几 (1) 模型： (2) 关键：每一步都要准确判断当前的单位“1”是谁。第一步的单位“1”通常是初始总量，第二步的单位“1”可能是第一步计算出的中间量。 知识点五、比一个数多/少几分之几的问题 1. 题型特征 题目中出现“甲比乙多 ”或“甲比乙少 ”。 2. 关键解析 (1) 确定单位“1”：“比”字后面的量（乙）是单位“1”。 (2) 理解分率含义： 1　 “多 ”意味着：甲是乙的 。 2　 “少 ”意味着：甲是乙的 。 3. 计算公式 (1) 求比较量（甲）： (2) 求单位“1”（乙）（若已知甲求乙）： 4. 易错点辨析 (1) 区分“多 ”与“多是 ”。前者是分率关系，后者可能是具体数量关系。 (2) 注意“增加到了”与“增加了”的区别：“增加了”指增量，“增加到了”指最终结果。 知识点六、工程问题初步与变式 1. 基本模型 (1) 工作总量：通常看作单位“1”。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。若单独完成需要 天，则效率为 。 (3) 工作时间：完成工作所需的时间。 (4) 基本公式： 2. 合作问题 (1) 效率和：多人合作时，总效率等于各人效率之和。 3. 常见变式与思维拓展 (1) 中途加入/离开： 思路：分段计算。先算单独做的部分，再算合作的部分；或者假设全程合作，扣除多做/少做的部分。 (2) 休息问题： 思路：实际工作时间 = 总天数 - 休息天数。注意区分“甲休息”还是“乙休息”，分别计算各自的有效工作量。 (3) 交替工作： 思路：寻找周期。计算一个周期（如甲做1天、乙做1天）完成的工作量，看总工作量包含多少个完整周期，剩余部分单独处理。 (4) 效率变化： 思路：若效率提高或降低，需重新计算新的效率值，再代入公式。例如“效率提高 ”，新效率 = 原效率 。 4. 解题步骤规范 (1) 设工作总量为单位“1”。 (2) 表示出各参与者的工作效率。 (3) 根据题意列出算式（注意合作、先后顺序）。 (4) 计算并作答。 重难点题型精讲 题型一、小数四则混合运算与简便运算 【例题1】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 9.36×9÷1.8           31.04÷3.2＋6.4             75.25－50.25÷2.5 9.5×101               4.2×6.8＋3.2×4.2           3.96÷1.25÷8 【答案】46.8；16.1；55.15； 959.5；42；0.396 【分析】（1）除法部分添加小括号改变运算顺序，先算除法再算乘法； （2）先算除法，再算加法； （3）先算除法，再算减法； （4）把101拆成100＋1，用乘法分配律简便计算； （5）提取相同因数4.2，用乘法分配律的逆运算简便计算； （6）除法的运算性质，一个数连续除以两个数等于除以这两个数的积简便计算。 【详解】（1）9.36×9÷1.8 ＝9.36×（9÷1.8） ＝9.36×5 ＝46.8 （2）31.04÷3.2＋6.4 ＝9.7＋6.4 ＝16.1 （3）75.25－50.25÷2.5 ＝75.25－20.1 ＝55.15 （4）9.5×101 ＝9.5×（100＋1） ＝9.5×100＋9.5×1 ＝950＋9.5 ＝959.5 （5）4.2×6.8＋3.2×4.2 ＝4.2×（6.8＋3.2） ＝4.2×10 ＝42 （6）3.96÷1.25÷8 ＝3.96÷（1.25×8） ＝3.96÷10 ＝0.396 【跟踪训练1】计算，怎样简便怎样算。                                                                     【答案】 11110；20； 1；8460； 81；0 【分析】每个数都接近整数，凑整计算，每个数补0.2，一共补5个0.2，最后减去多加上的部分。 根据商不变性质，把两个除法算式的除数统一为23，先提取23，再用两个数的和除以23简化计算。 3.2可拆分为0.4×8，所以拆分后利用乘法结合律，分别让0.25与0.4相乘、1.25与8相乘再计算结果。 观察到有两个乘法项含有相同因数54.7，所以先利用乘法分配律合并这两个项，再看合并后的结果与剩余项的关系，再次使用乘法分配律计算。 先根据积不变规律统一其中一个因数为8.1，再用乘法分配律逆运算合并计算。 2024.2024可拆为2024×1.0001，2025.2025可拆为2025×1.0001，拆分后代入原式，观察两项结构简化计算。 【详解】0.8＋9.8＋99.8＋999.8＋9999.8 ＝（1－0.2）＋（10－0.2）＋（100－0.2）＋（1000－0.2）＋（10000－0.2） ＝1－0.2＋10－0.2＋100－0.2＋1000－0.2＋10000－0.2 ＝1＋10＋100＋1000＋10000－0.2－0.2－0.2－0.2－0.2 ＝1＋10＋100＋1000＋10000－0.2×5 ＝11111－1 ＝11110 17.5÷2.3＋285÷23 ＝175÷23＋285÷23 ＝（175＋285）÷23 ＝460÷23 ＝20 0.25×1.25×3.2 ＝0.25×1.25×（0.4×8） ＝0.25×1.25×0.4×8 ＝（0.25×0.4）×（1.25×8） ＝0.1×10 ＝1 54.7×36.5＋84.6×45.3＋48.1×54.7 ＝54.7×36.5＋48.1×54.7＋84.6×45.3 ＝54.7×（36.5＋48.1）＋84.6×45.3 ＝54.7×84.6 ＋84.6×45.3 ＝84.6×（54.7＋45.3） ＝84.6×100 ＝8460 9.42×81－84.2×8.1 ＝94.2×8.1－84.2×8.1 ＝8.1×（94.2－84.2） ＝8.1×10 ＝81 2025×2024.2024－2024×2025.2025 ＝2025×（2024×1.0001）－2024×（2025×1.0001） ＝2025×2024×1.0001－2025×2024×1.0001 ＝0 题型二、分数四则混合运算与简便运算 【例题2】计算下面各题，能简便的要简便计算。                                                                       【答案】；；； ；；； 【分析】利用乘法分配律的逆运算，提取共同的因数； 把后面的看作，利用乘法分配律的逆运算，提取共同的因数； 利用乘法分配律，用括号外的数分别去乘括号里的数，最后再相加； 把看作，利用乘法分配律简便计算； 先算乘除法，最后算加法； 先算小括号里的减法，再算小括号外的乘法，最后算中括号外的除法。 【详解】 【跟踪训练2】计算。（能简算的要简算）                                【答案】5；3； 137； 【分析】（1）利用乘法分配律简算，再结合加法结合律。 （2）先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算除法。 （3）对两个部分分别简算，第一部分拆分整数，第二部分提取公因数。 （4）利用裂项相消法，发现：，…按此规律分解后，可根据乘法分配律进行简算。 【详解】 【点睛】掌握分数的简便计算方法，是解答本题的关键。 题型三、估算策略与实际问题 【例题3】笑笑的妈妈准备用100元钱去买瓜子和糖果。她买了5袋瓜子和0.9千克糖果。剩下的钱还够买一袋12元的坚果吗？请写出你的思考过程。 瓜子   6.5元/袋 糖果   52.6元/千克 坚果    12.00元/袋 【答案】够；取瓜子单价6.95元/袋，糖果单价52.69元/千克。100－（6.95×5＋52.69×0.9）＞12。 【分析】将瓜子和糖果按单价最高估算，根据“总价＝单价×数量”分别求出购买瓜子和糖果的总价；然后将瓜子和糖果的总价求和；再用100减去瓜子和糖果的总价计算出剩余的钱数；最后将剩余钱数与坚果单价比较即可。 【详解】取瓜子单价6.95元/袋，糖果单价52.69元/千克。 100－（6.95×5＋52.69×0.9） ≈100－（34.75＋47.42） ＝100－82.17 ＝17.83（元） 17.83＞12，够买。 答：剩下的钱够买一袋12元的坚果。 【跟踪训练3】小明带100元钱去新华书店买书，他买了两本毛笔字帖，每本20.6元，又花了39.8元买了一本词典；之后，小明还想买一本剪纸书。有两本剪纸书可供选择：简装的13.7元，精装的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 【答案】够买13.7元的简装剪纸书 【分析】先将毛笔字帖和词典的单价取近似整数值，估算出总花费的范围，再用100元减去估算的总花费得到剩余钱数的范围，并与两本剪纸书的价格进行比较，判断可购买哪一本。 【详解】， 往大估算总花费，最少剩余钱数： （元） 往小估算总花费，最多剩余钱数： （元） 实际剩余钱数在元到元之间。 答：这时他的钱够买元的简装剪纸书。 题型四、分数乘法数量关系 【例题4】军军家九月份的电费是115元。安装分时电表后，十月份的电费比九月份减少，九月份的电费比十月份多多少元？ 【答案】35元 【分析】九月份电费比十月份多的钱数，就是十月份比九月份减少的钱数。把九月份电费看作单位“1”，求它的是多少，用乘法计算。 【详解】（元） 答：九月份的电费比十月份多35元。 【跟踪训练4】动物冬眠是为了应对冬季食物短缺和低温环境，通过降低代谢率以节省能量并维持生存的适应性行为。蛇的冬眠时间约是180天，青蛙的冬眠时间约是蛇的，熊的冬眠时间约是青蛙的，熊的冬眠时间约是多少天？ 【答案】120天 【分析】把蛇的冬眠时间看作单位“1”，先根据等量关系：青蛙的冬眠时间＝蛇的冬眠时间×，用乘法计算出青蛙的冬眠时间；再把青蛙的冬眠时间看作单位“1”，根据等量关系：熊的冬眠时间＝青蛙的冬眠时间×，用乘法计算。 【详解】 ＝120（天） 答：熊的冬眠时间约是120天。 题型五、比一个数多/少几分之几的问题 【例题5】实验小学10月份用水140吨，11月份用水比10月份增加了，如果每吨水费为2元，11月份应付水费多少元？ 【答案】364元 【分析】把10月份用水量看作单位“1”，11月份用水量的对应分率是，用10月份用水量乘算出11月用水量，再乘每吨水费即可得到总费用。 【详解】 （吨） （元） 答：11月份应付水费364元。 【跟踪训练5】“掐丝珐琅彩画”起源于广东，由俗称“景泰蓝”的铜胎掐丝珐琅发展而来。五（1）班“掐丝珐琅彩画”体验组准备了12.4米长的金属丝，他们勾勒小鸟用去了2.52米，如果勾勒1条鲸鱼需要的金属丝比勾勒小鸟用去的金属丝短，剩下的金属丝最多能勾勒几条鲸鱼？ 【答案】11条 【分析】用金属丝总长度减去勾勒小鸟用去的长度，得到剩余金属丝长度；以勾勒小鸟用去的金属丝长度为单位“1”，计算出1条鲸鱼需要的金属丝长度；最后用剩余长度除以每条鲸鱼需要的长度，结果用去尾法保留整数。 【详解】12.4－2.52＝9.88（米） ＝（米） ＝0.84（米） 9.88÷0.84≈11（条） 答：剩下的金属丝最多能勾勒11条鲸鱼。 题型六、工程问题初步与变式 【例题6】修一条路，甲队单独修需10天，乙队单独修需15天，两队合修3天后，剩下的由甲队单独修，还需几天？ 【答案】5天 【分析】将这条路的工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两队的工作效率，再计算两队合修3天完成的工作量，用工作总量减去已完成的工作量求出剩余工作量，最后用剩余工作量除以甲队的工作效率，即可求出所需时间。 【详解】甲队的工作效率：1÷10＝ 乙队的工作效率：1÷15＝ （＋）×3 ＝（＋）×3 ＝×3 ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝×10 ＝5（天） 答：还需5天。 【跟踪训练6】甲乙两人合做一件工作，6天可以做完这件工作的，如果甲做5天，乙做3天，则只能完成这件工作的。那么单独做，乙多少天可以完成这件工作？ 【答案】45天 【分析】把这件工作的总工作量看作单位“1”，先根据甲乙合作的工作量和时间求出合作的工作效率；再将“甲做5天、乙做3天”转化为甲乙合作3天加甲单独做2天，由此求出甲的工作效率；用合作效率减去甲的效率得到乙的工作效率，最后用总工作量除以乙的效率得到乙单独完成的时间。 【详解】甲乙合作每天完成的工作量： 甲单独做2天的工作量： 甲每天完成的工作量： 乙每天完成的工作量： 乙单独完成需要的时间：（天） 答：乙45天可以完成这件工作。 培优练习 1．妈妈买了3.5kg黄瓜，花了12.2元。估一估，黄瓜每千克的价钱范围是（    ）。 A．2～3元 B．3～4元 C．4～5元 D．5～6元 【答案】B 【分析】利用“单价×数量＝总价”的关系，通过估算不同单价对应的总花费，和实际花费对比即可确定单价范围。用乘法试算，看3.5乘几能接近12.2，，，据此解答。 【详解】若每千克黄瓜3元，3.5kg总花费：（元），，说明单价比3元高； 若每千克黄瓜4元，3.5kg总花费：（元），，说明单价比4元低； 因此黄瓜每千克的价钱在3～4元之间。 2．国家统计局数据显示，我国2023年第四季度GDP约是35万亿，___________，我国2024年第一季度GDP约是多少万亿？如果列式是，那么横线上应添加的条件是（    ）。 A．比2024年第一季度增长 B．比2024年第一季度减少 C．2024年第一季度比2023年第四季度多 D．2024年第一季度比2023年第四季度少 【答案】D 【分析】单位“1”是已知的2023年第四季度GDP，表示比单位“1”少，匹配对应条件即可。 【详解】A．比2024年第一季度增长是将2024年第一季度的GDP看作单位“1”，与题干不符； B．比2024年第一季度减少是将2024年第一季度的GDP看作单位“1”，与题干不符； C．2024年第一季度比2023年第四季度多，单位“1”是2023年第四季度GDP，列式为，与题干不符； D．2024年第一季度比2023年第四季度少，单位“1”是2023年第四季度GDP，列式为：，与题干相符。 3．宜川胸鼓刚劲矫捷、潇洒爽朗、节奏明快，深受人们喜爱。工厂接到一批制作胸鼓表演服装的订单，如果由甲组工人单独完成需要6天，如果由乙组工人单独完成需要8天，为了加快进度，现在由甲、乙两组工人合作完成，（    ）天能完成。 A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】把工作量看作单位“1”，再根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，求出他们的工作效率，再根据“工作时间＝工作量÷工作效率和”，即可解答。 【详解】1÷8＝ 1÷6＝ 1÷（） ＝1÷（） ＝1 （天） 4．学校文化节筹备“诗词朗诵”活动，要给32名参赛同学每人准备一套道具。已知每套道具包含单价为0.8元的书签和单价为1.5元的诗词手册，王老师带80元去采购这些道具，下列说法正确的是（    ）。 A．总费用为32×0.8＋1.5＝27.1元，80元足够 B．先算一套道具的价格：0.8＋1.5＝2.3元，再算总费用：32×2.3＝73.6元，80元足够 C．先算书签总费用：32×0.8＝25.6元，再算手册总费用：32×1.5＝4.8元，总费用为25.6＋4.8＝30.4元，80元足够 D．总费用为32×（1.5－0.8）＝22.4元，80元足够 【答案】B 【分析】根据题意已知，要给32名参赛同学每人准备一套道具，每套道具包含单价为0.8元的书签和单价为1.5元的诗词手册，王老师带80元去采购这些道具。用32分别乘以书签和诗词手册的单价即可求得买书签和诗词手册所需的钱，两者合计即为所需的总金额，若总金额小于80元则带80元去采购这些道具足够；反之则不够。 据此逐项分析算式表达的含义及最后的结论，判断正误即可。 【详解】A．32×0.8＋1.5＝27.1（元）表示王老师买了32个书签和1本诗词手册的总价，而不是总费用，说法错误； B．先算一套道具的价格：0.8＋1.5＝2.3（元），再算总费用：32×2.3＝73.6（元），，所以80元足够，说法正确； C．先算书签总费用：32×0.8＝25.6（元），再算手册总费用：32×1.5＝48元，总费用为25.6＋48＝73.6（元），，80元足够。选项中32×1.5＝4.8元计算错误，导致后面的总费用也计算错误，说法错误； D．总费用为32×（1.5＋0.8）＝73.6元，，80元足够，选项中将括号内的加法误写为减法，说法错误。 5．宣纸是我国独特的手工艺品。为了迎接学校书法比赛，六（2）班买来40张宣纸供大家练习使用，用去了其中的，还剩下( )张宣纸没有用。 【答案】32 【分析】买来40张宣纸是单位“1”，用去了其中的，剩下的分率是，用单位“1”乘剩下的分率，可算得剩下的数量。 【详解】 （张） 6．乐乐的体重是40千克，轩轩比乐乐重，玲玲比轩轩轻。轩轩的体重为( )千克，玲玲的体重为( )千克。 【答案】 45 36 【分析】已知单位“1”的量，求比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。 求轩轩的体重，把乐乐的体重看作单位“1”，轩轩比乐乐重，即轩轩的体重是乐乐的； 求玲玲的体重，把轩轩的体重看作单位“1”，玲玲比轩轩轻，即玲玲的体重是轩轩的。 【详解】轩轩的体重： （千克） 玲玲的体重： （千克） 故轩轩的体重为45千克，玲玲的体重为36千克。 7．小红在计算时，错算成了。计算结果比正确得数( )。 【答案】大2 【分析】正确算式先算乘法再算加法，错误算式先算括号里的加法再算乘法，分别算出两个算式的结果作差即可。 【详解】 ＝2.1＋0.8 ＝2.9 ＝3.5× ＝4.9 4.9－2.9＝2 即计算结果比正确结果大2。 8．小林、小美、小红、小月四人放学后在面包店共买了10个面包，她们平分着吃，小林付了6个面包的钱，小美和小红都只付了2个面包的钱，小月没有带钱。吃完后一算，小月应该拿出3.75元，小林应该收回( )元。 【答案】 5.25 【分析】一共10个面包，那么每人分2.5个面包，小月的面包3.75元就是2.5个面包的价格，那么一个面包就是3.75÷2.5＝1.5（元），小林付了6个面包的钱，但自己只吃了2.5个，所以应收回 个面包的钱。 【详解】10÷4＝2.5（个） 3.75÷2.5＝1.5（元） 6－2.5＝3.5（个） 3.5×1.5＝5.25（元） 9．某项工程，甲队单独完成需15个月，乙队单独完成需12个月，甲、乙两个工程队合作，( )个月能完成全工程的。 【答案】 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，先分别计算出甲、乙工程队单独完成时的工作效率；再将甲、乙工程队单独完成时的工作效率相加，求出甲、乙两个工程队的合作效率；最后根据“合作时间＝工作量÷合作效率”代入数据即可求得两队的合作时间，据此解答。 【详解】1÷15＝ 1÷12＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（个） 个月能完成全工程的。 10．用简便方法计算。 3.5×5.3＋4.7×3.5         0.56×0.25×8         125×4.8×2.5 【答案】35；1.12；1500 【分析】（1）观察到两个乘法项都有相同因数3.5，因为满足乘法分配律逆用的形式，所以提取公因数3.5，先计算剩余两个因数的和，再与3.5相乘。 （2）观察到因数0.25和8相乘可以得到整数，因为符合乘法结合律的应用条件，所以先将0.25和8结合相乘，再用所得的积与0.56相乘。 （3）先把4.8拆分为8×0.6的形式，因为125和8相乘、2.5和0.6相乘都可以得到简便计算的整数或简单小数，所以利用乘法交换律和结合律，分别将125与8结合、2.5与0.6结合，最后将两个结合后的积相乘。 【详解】（1）3.5×5.3＋4.7×3.5 ＝3.5×（5.3＋4.7） ＝3.5×10 ＝35 （2）0.56×0.25×8 ＝0.56×（0.25×8） ＝0.56×2 ＝1.12 （3）125×4.8×2.5 ＝125×（8×0.6）×2.5 ＝（125×8）×（0.6×2.5） ＝1000×1.5 ＝1500 11．计算下面各题，能简算的要写出简算过程。 （－－）×32                 （＋）÷（×） ×2025＋                   [÷（＋）]× 【答案】5；； 3； 【分析】（1）利用乘法分配律，将32分别与括号里的数相乘，再计算； （2）先分别算括号内的式子，再算括号外的除法； （3）把改写成，提取相同的因数，利用乘法分配律简算； （4）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【详解】（1）（－－）×32 ＝×32－×32－×32 ＝22－12－5 ＝10－5 ＝5 （2）（＋）÷（×） ＝（＋）÷ ＝÷ ＝× ＝ （3）×2025＋ ＝×2025＋×1 ＝×（2025＋1） ＝×2026 ＝3 （4）[÷（＋）]× ＝[÷]× ＝1× ＝ 12．元旦即将到来，利桥古街为了增添节日的喜庆气氛，准备制作一些灯笼沿街悬挂，负责人了解到市场的价格：原来做一个灯笼需要7.2元的材料，改进制造方法后，现在做一个灯笼需要6.4元的材料，原来准备做320个灯笼的材料钱，现在可以多做多少个？ 【答案】 40个 【分析】先根据总价＝单价×数量，用原来每个灯笼的材料费用乘准备做的数量，求出总材料钱；总钱数不变，再除以现在每个灯笼的材料费用，得到现在能做的数量；最后减去原来准备做的数量，就是多做的个数。 【详解】7.2×320÷6.4－320 ＝2304÷6.4－320 ＝360－320 ＝40（个） 答：现在可以多做40个。 13．某水果店三种水果的单价如下表。（■代表一个数字） 水果 葡萄 西瓜 哈密瓜 单价 8.■8元/kg 4.5■元/kg 6.■0元/kg 张阿姨想买7kg葡萄、6kg西瓜和5kg哈密瓜，带100元够吗？请说明理由。 【答案】不够；葡萄最低单价估算为8元/千克，西瓜最低单价估算为4.5元/千克，哈密瓜最低单价估算为6元/千克，7×8＋6×4.5＋5×6＝113（元），113＞100，实际单价的最小值对应总价已经超过100元，带100元不够。 【分析】要判断带的钱够不够，将三种水果的单价进行最小值的估算，用单价乘数量等于总价，分别求出三种水果的最小总价，再相加可算出总价的最小值，单价中被遮挡的数字最小是0，计算出最低总费用后和100元比较，若最小值大于100元，则带的钱一定不够。 【详解】葡萄最低单价估算为8元/千克，西瓜最低单价估算为4.5元/千克，哈密瓜最低单价估算为6元/千克， 7×8＋6×4.5＋5×6 ＝56＋27＋30 ＝83＋30 ＝113（元） 113＞100 实际单价的最小值对应总价已经超过100元。 答：带100元不够。 14．曹操高陵遗址博物馆建于遗址之上的钢结构保护棚是长方形，保护棚的长140米，宽比长少。在施工过程中采用了巨型桁架钢结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到世界领先水平。这个建于遗址之上的钢结构保护棚的周长是多少米？ 【答案】520米 【分析】先将保护棚的长看作单位“1”，宽是长的（），长×宽的对应分率＝宽，长方形的周长＝（长＋宽）×2。 【详解】 （米） （米） 答：这个建于遗址之上的钢结构保护棚的周长是520米。 15．今年，陈伯伯家的荔枝园迎来了丰收。他家的荔枝园总面积为4亩，平均每亩荔枝园可收获荔枝500kg。在运输到批发市场的过程中，由于磕碰等原因，损耗了总重量的，运到批发市场后，批发商进行筛选，又把其中的淘汰掉了，最后陈伯伯最多能卖给批发商多少千克荔枝？ 【答案】1600千克 【分析】先求荔枝总产量，用每亩产量乘亩数。运输过程中损耗总重量的，剩下总重量的。到批发市场后，又淘汰剩下的，最后剩下的是运输后重量的。用总产量连续乘这两个分率，得到最终能卖出的千克数。 【详解】总产量：500×4＝2000（千克） 运输后剩下： 2000×（1－） ＝2000× ＝1800（千克） 筛选后剩下： 1800×（1－） ＝1800× ＝1600（千克） 答：最后陈伯伯最多能卖给批发商1600千克荔枝。 16．一项工程，甲工程队单独做6天可以完成，乙工程队单独做15天可以完成，丙工程队单独做10天可以完成。则三个工程队一起合作完成这项工程需要多少天？ 【答案】3天 【分析】把这项工程的总工作量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙、丙三个工程队的工作效率，再计算三队的工作效率之和，最后用总工作量除以工作效率和，即可求出合作完成的时间。 【详解】1÷6＝ 1÷15＝ 1÷10＝ 1÷（＋＋） ＝1÷（＋＋） ＝1÷ ＝1×3 ＝3（天） 答：三个工程队一起合作完成这项工程需要3天。 17．一条道路，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完这条道路的？ 【答案】天 【分析】先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲队的工作效率和乙队的工作效率，两队合作需要的天数＝两队合作的工作总量÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率），据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 甲队的工作效率：1÷12＝ 乙队的工作效率：1÷18＝ 1×÷（＋） ＝1×÷（＋） ＝1×÷ ＝÷ ＝× ＝（天） 答：如果两队合修，天能修完这条道路的。 18．六（3）班的同学积极参加“垃圾分类、变废为宝”活动，悠悠准备用废纸盒制作一个长城模型。她先用40分钟完成了模型的，这时乐乐加入，跟她一起用50分钟完成了余下部分的制作。如果乐乐一个人制作这个长城模型，那么要用多少分钟？ 【答案】 200分钟 【分析】将制作整个长城模型的总工作量看作单位“1”，先求出悠悠的工作效率，再求出两人合作的工作效率，用效率和减去悠悠的效率得到乐乐的工作效率，最后用总工作量除以乐乐的工作效率，得到乐乐单独制作的时间。 【详解】 （分钟） 答：乐乐一个人制作这个长城模型，那么需要200分钟。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $