专题2： 混合运算与数量关系（三）（思维拓展）-苏教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题二 混合运算与数量关系（三） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：分数四则混合运算与简便运算（进阶推理） 3 考点二：估算策略与实际问题（进阶应用） 5 考点三：分数乘法数量关系（算理强化） 7 考点四：比一个数多 / 少几分之几的问题（思维拓展） 9 考点五：工程问题初步与变式（思维拓展・奥数题型） 10 第三部分 易错避坑指南 12 易错点 1：运算顺序混乱，先算加减后算乘除 12 易错点 2：单位 “1” 混淆，分率对应错误 12 易错点 3：估算方向错误，最值与场景不匹配 12 易错点 4：分率与具体量混淆，带单位分率判断失误 12 易错点 5：工程问题效率与时间混淆，总工作量假设错误 13 第四部分 分层进阶专题精练 14 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 14 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 15 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 16 一、能力进阶篇解析 16 二、思维拓展篇解析 19 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版六年级上册第二单元核心内容，承接分数乘除法计算基础，以“运算迁移→策略优化→模型建构→应用拓展” 为主线，系统覆盖分数四则混合运算、整数运算律推广、估算策略、分数数量关系、比多比少问题、工程问题初步六大模块，渗透运算能力、模型思想、数感、应用意识等核心数学素养。 专题遵循 “运算迁移→策略优化→问题建模→实践应用” 的认知路径，将整数四则混合运算的顺序与运算律全面迁移到分数范围，掌握分数、小数混合运算的简便算法；学会用 “估大”“估小” 策略解决实际购物决策问题；借助线段图分析数量关系，掌握 “求一个数的几分之几”“比一个数多 / 少几分之几” 等经典分数应用题模型；初步掌握工程问题的解题思想，将总工作量看作单位 “1” 解决合作与分段工作问题。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域 “数量关系” 主题要求，与 2024 版苏教版教材进度完全同步，为后续比例、百分数应用题筑牢数量关系基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 分数混合运算 运算顺序与整数一致；运算律推广；分数小数混合简算 运算律迁移法、提取公因数法 先算加减后算乘除，括号遗漏 估算策略 估大 / 估小方向；购物决策；最多 / 最少最值 边界估算法、场景匹配法 估算方向与场景不匹配，最值判断错误 分数数量关系 求一个数的几分之几；连续求分率；总量与部分量互求 量率对应法、线段建模法 单位 “1” 找错，分率对应错位 比多比少问题 求比一个数多 / 少几分之几的数；逆向求原数 线段建模法、逆推还原法 “多几分之几” 与 “是几分之几” 混淆 工程问题 总工作量设为 1；工作效率；合作完工；分段工作 假设总量法、效率相加法 时间直接相加，效率与时间混淆 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 运算律迁移法 分数混合简算 ①观察算式结构；②匹配对应运算律；③变形简便计算 整数律，分数用，先观察，再变形 边界估算法 估算最值问题 ①求最多往小估，求最少往大估；②计算边界值；③对比判断 最多估小，最少估大，边界验证 量率对应法 分数应用题 ①找准单位 “1”；②找对应量与分率；③列式计算 先找单位一，量率相对应，求乘知除 线段建模法 比多比少问题 ①画线段表示单位 “1”；②标出多 / 少的分率；③对应量率关系 先画单位一，标出分率差，量率对应算 假设总量法 工程问题 ①假设总工作量为 1；②计算各自效率；③合作效率相加求时间 总量设为 1，效率加起来，总量除以效 三、数学思维提升 1. 运算迁移思维 核心要点：整数四则混合运算的运算顺序、运算律，完全可以迁移到分数、小数混合运算中，运算的本质不变，只是数的形式不同。把旧知识迁移到新知识，快速掌握运算方法，体现运算的一致性。 专题示例：整数乘法的分配律，在分数、小数乘法中同样适用，都可以用提取公因数的方法简便计算，本质都是乘法对加法的分配律。 2. 量率对应思维 核心要点：分数应用题的核心是 “量率对应”，每一个分率都对应一个具体的量，找到单位 “1”，理清量和分率的对应关系，就能解决各类分数问题。量率对应是分数应用题的核心思想。 专题示例：一本书看了，对应看了的页数，总页数是单位 “1”，剩下的页数对应，每个分率都有对应的量。 3. 逆向推理思维 核心要点：已知比一个数多 / 少几分之几的结果，求原数，或者已知剩下的求总量，都可以通过量率对应逆向推导。逆向思维是分数应用题和奥数题型的重要思维方法。 专题示例：已知比原价涨了后是 60 元，求原价，就是已知原价的是 60 元，逆向用除法求原价。 4. 优化策略思维 核心要点：很多实际问题不需要精确计算，根据问题需求选择估大或者估小的策略，快速判断范围、解决问题。不同的场景对应不同的估算策略，培养灵活的数感与优化意识。 专题示例：判断带的钱够不够，要把价格往大估，估大了都够，实际肯定够；求最多剩下多少钱，就要把花的钱往小估。 5. 建模抽象思维 核心要点：工程问题把总工作量看作单位 “1”，把工作时间转化成工作效率，把工程问题转化成分数的加减乘除问题。通过建模，把不具体的总量转化成分数，抽象成数学模型，体现建模思想。 专题示例：一项工程甲单独做 10 天完成，效率就是，乙单独做 15 天完成，效率就是，合作效率就是两者相加，用总量 1 除以合作效率就是时间。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：分数四则混合运算与简便运算（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础运算与简算 题目：计算下面各题，能简算的要简算。 （1） （2） 解题步骤： ① 第（1）题，先算乘法，再从左到右计算加法，结合加法结合律简便计算： 原式 ② 第（2）题，先把除法转化成乘法，发现相同因数，用乘法分配律简算： 原式 【答案】（1）；（2） 【知识点睛】本题考查分数四则混合运算的运算顺序与运算律的推广应用，是本单元的运算基础。 核心规则：分数四则混合运算的运算顺序和整数完全相同，先乘除后加减，有括号先算括号里的；整数的运算律（交换律、结合律、分配律）在分数、小数运算中同样适用。 第（2）题是分数与小数混合的简便运算，核心技巧是先把除法统一成乘法，再观察有没有相同的因数，用乘法分配律提取公因数简便计算。不用都化成分数或者都化成小数，提取公因数后计算更简便。 典型例题 2（思维拓展型）—— 拆分凑整简算（奥数题型） 题目：用简便方法计算： 解题步骤： ① 观察数字特点：97 接近 96，可以拆成，利用乘法分配律展开简算； ② 拆分变形： ③ 展开计算： 【答案】 【知识点睛】本题是分数简便运算的经典奥数题型，运用拆分凑整的技巧，本质是乘法分配律的灵活应用。 解题核心是把接近整数的数拆成 “整数 + 分数” 或者 “整数 - 分数” 的形式，再用乘法分配律展开计算，避免大数相乘，简便高效。 拓展规律：这类题也可以推广到除数是整数的分数除法，也可以推广到小数的简算。拆分凑整的关键是让拆分后的数能和分母约分，简化计算。这类题能训练学生的数感与运算灵活性，是小学奥数运算板块的常见题型。 考点二：估算策略与实际问题（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 购物估算决策 题目：妈妈带 100 元到超市购物，买了 1 盒鸡蛋，单价 19.6 元 / 盒；又买了 2 箱牛奶，单价 30.4 元 / 箱。剩下的钱够买 1 袋 16.8 元的面粉吗？够买 1 袋 21.6 元的大米吗？ 解题步骤： ① 判断够不够买面粉，把价格往大估（估大了都够，实际肯定够）： 把 19.6 看作 20，30.4 看作 31 总花费：（元） 剩下：（元） ，估大了剩下的钱仍高于面粉单价，所以够买面粉。 ② 判断够不够买大米，把价格往小估（估小了都不够，实际肯定不够）： 把 19.6 看作 19，30.4 看作 30 总花费：（元） 剩下：（元） ，估小了剩下的钱仍低于大米单价，所以不够买大米。 【答案】够买面粉，不够买大米。 【知识点睛】本题考查估算策略在实际问题中的应用，是教材重点题型。 核心原则：判断 “够不够” 时，要证明够，就把花费往大估，估大了都够，实际一定够；要证明不够，就把花费往小估，估小了都不够，实际一定不够。 注意：估算不是随意取值，要根据问题目标选择估算方向，才能保证结论严谨。求 “最多剩下多少”，就把花费往最低估；求 “最少剩下多少”，就把花费往最高估。 典型例题 2（思维拓展型）—— 估算最值问题（奥数题型） 题目：李阿姨带 100 元买水果，买了 2 千克草莓，每千克二十几元；又买了 3.5 千克苹果，每千克 6.8 元。剩下的钱最多有多少元？最少有多少元？ 解题步骤： ① 求最多剩下多少元，对应总花费最少，草莓单价取最低值： 二十几元的最低边界为 20 元 / 千克，草莓最少花费：（元） 苹果固定花费：（元） 总花费最少：（元） 最多剩下：（元） ② 求最少剩下多少元，对应总花费最多，草莓单价取最高值： 二十几元的最高边界为 29 元 / 千克，草莓最多花费：（元） 总花费最多：（元） 最少剩下：（元） 【答案】最多剩下 36.2 元，最少剩下 18.2 元。 【知识点睛】本题是估算策略的最值问题，属于奥数拓展题型。 解题核心是根据问题目标确定估算方向：求最多剩下，就把花费往最低估；求最少剩下，就把花费往最高估。关键是找到价格的取值范围，取对应端点计算。 这类题能培养数感和边界思维，是估算的高阶应用。解题时要注意，最值对应的是边界值，不是中间值，必须取到区间的端点计算。 考点三：分数乘法数量关系（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 连续求分率 题目：果园里有 120 棵果树，其中是苹果树，梨树的棵数是苹果树的。梨树有多少棵？ 解题步骤： ① 先求苹果树的棵数：总棵数 × 苹果树占比 = 苹果树棵数 （棵） ② 再求梨树的棵数：苹果树棵数 × 梨树占苹果树的分率 = 梨树棵数 （棵） ③ 综合算式可先约分再计算： （棵） 【答案】梨树有 48 棵。 【知识点睛】本题考查连续求一个数的几分之几是多少的分数应用题，是数量关系的基础题型。 解题关键：找准每一步的单位 “1”，第一个分率的单位 “1” 是总棵数，第二个分率的单位 “1” 是苹果树棵数，每一个分率都对应自己的单位 “1”。 技巧：连续求分率的问题，可以先把所有分率相乘，得到最终量占单位 “1” 的几分之几，再乘单位 “1” 的量，先约分再计算更简便。 典型例题 2（思维拓展型）—— 重叠问题（奥数题型） 题目：六（1）班有 48 人，其中喜欢跳舞，喜欢唱歌，没有人既不喜欢跳舞又不喜欢唱歌。既喜欢跳舞又喜欢唱歌的有多少人？ 解题步骤： ① 分别计算喜欢跳舞和喜欢唱歌的人数： 喜欢跳舞：（人） 喜欢唱歌：（人） ② 分析重叠逻辑：总人数是 48 人，无都不喜欢的情况，喜欢的总人次减去总人数，就是两种都喜欢的重叠人数： （人） ③ 分率法验证： 两种都喜欢的分率： 对应人数：（人） 【答案】既喜欢跳舞又喜欢唱歌的有 20 人。 【知识点睛】本题是分数应用题中的重叠问题，属于奥数经典题型（容斥原理的分数应用）。 解题核心：两个分率相加超过单位 “1” 的部分，就是重叠部分对应的分率，再乘总人数就是重叠的数量。本质是容斥原理：，分数形式同样适用。 这类题能很好地培养逻辑推理与模型建构能力。解题时可以结合韦恩图理解，两个集合的和减去总数，就是重叠部分。 考点四：比一个数多 / 少几分之几的问题（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 正向求比多比少的数 题目：一件衬衫原价 120 元，现在的价格比原价降低了。现在的价格是多少元？ 解题步骤： ① 分析数量关系：比原价降低，就是现价是原价的； ② 方法一：先算降低的钱数，再算现价： 降低的钱数：（元） 现价：（元） ③ 方法二：先算现价是原价的几分之几，再算现价： 现价占原价： 现价：（元） 【答案】现在的价格是 100 元。 【知识点睛】本题考查 “比一个数少几分之几” 的基础应用题，是本单元重点题型。 解题两种思路：①先求多 / 少的具体量，再加 / 减；②先求最终量是单位 “1” 的几分之几，再乘单位 “1”。 核心模型：比单位 “1” 多几分之几，最终量就是单位 “1”×；比单位 “1” 少几分之几，最终量就是单位 “1”×。 注意 “多 / 少几分之几” 是和单位 “1” 比，单位 “1” 通常在 “比” 的后面。 典型例题 2（思维拓展型）—— 逆向求解原数（奥数题型） 题目：某商场今年的营业额是 240 万元，比去年增加了。去年的营业额是多少万元？ 解题步骤： ① 分析单位 “1”：“比去年增加”，单位 “1” 是去年的营业额，为未知量； 今年营业额对应去年的； ② 方法一：列方程顺向解答，设去年营业额万元： ③ 方法二：量率对应法，今年 240 万元对应的分率，求单位 “1” 用除法： （万元） 【答案】去年的营业额是 200 万元。 【知识点睛】本题是 “比一个数多几分之几” 的逆向求解问题，属于奥数高频考点。 解题关键：找准单位 “1”，单位 “1” 已知用乘法，单位 “1” 未知用除法，对应量 ÷ 对应分率 = 单位 “1” 的量。也可以列方程顺向思考，降低思维难度。 易错警示：看到 “多” 就直接乘是典型错误。一定要先找单位 “1”，已知用乘，未知用除。 考点五：工程问题初步与变式（思维拓展・奥数题型） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础合作工程问题 题目：一项工程，甲队单独做 12 天完成，乙队单独做 8 天完成。两队合作，多少天可以完成？ 解题步骤： ① 假设总工作量为单位 “1”，计算两队的工作效率： 甲队效率：每天完成总工程的 乙队效率：每天完成总工程的 ② 计算合作效率：两队效率相加 ③ 计算合作时间：总工作量 ÷ 合作效率 = 合作时间 （天） 【答案】两队合作 4.8 天可以完成。 【知识点睛】本题考查基础工程问题，是工程问题的核心模型。 解题思想：把总工作量看作单位 “1”，工作效率就是每天完成总工作量的几分之一，合作效率就是各队效率之和，工作时间 = 总工作量 ÷ 工作效率。 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，三个量知二求一。工程问题的本质是分数的应用，把总量抽象成 1，用分率表示效率，体现了建模思想。 典型例题 2（思维拓展型）—— 分段工作问题（奥数题型） 题目：一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 8 天完成。如果甲先做 2 天，剩下的由乙接着做，还需要多少天完成？ 解题步骤： ① 假设总工作量为 1，甲效率，乙效率； ② 先算甲 2 天完成的工作量： ③ 计算剩余工作量： ④ 剩余工作量由乙单独完成，计算时间： （天） 【答案】还需要天完成。 【知识点睛】本题是工程问题的变式题型，属于奥数基础题型。 解题思路：按阶段计算工作量，对应阶段算时间，谁做的工作就用谁的效率乘对应时间。 拓展：这类题还可以变形为轮流工作、间歇休息等变式，核心都是分阶段匹配效率、时间、工作量三者的对应关系。解题时要注意，工作时间不能直接相加，工作效率才能相加。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：运算顺序混乱，先算加减后算乘除 错误示例：计算，先算加法再算乘法，得到，结果错误。 正确分析：分数四则混合运算顺序和整数完全一致，先乘除后加减，有括号先算括号内的。 修正方法：计算前先观察运算符号，确定运算顺序；能简算的可通过运算律调整顺序，但不能改变运算结果。 易错点 2：单位 “1” 混淆，分率对应错误 错误示例：苹果树是梨树的，求苹果树用乘法正确，但反过来求梨树仍用乘法，结果错误。 正确分析：单位 “1” 已知用乘法，单位 “1” 未知用除法；分率必须和它的单位 “1” 对应。 修正方法：解题第一步先圈出单位 “1”，通常在 “的” 前面、“比” 后面；判断已知还是未知，选择对应算法。 易错点 3：估算方向错误，最值与场景不匹配 错误示例：判断带的钱够不够，把价格往小估，估小了够，实际不一定够。 正确分析：判断够不够，要证明够就往大估，要证明不够就往小估；求最多剩下就估小花费，求最少剩下就估大花费。 修正方法：解题前先明确问题目标，再确定估算方向，估算完后验证逻辑是否自洽。 易错点 4：分率与具体量混淆，带单位分率判断失误 错误示例：一根绳子用去米，还剩，混淆米和的意义。 正确分析：带单位的是具体长度，不带单位的是分率，表示占总长度的几分之几，两者意义完全不同。 修正方法：看到分数先看有没有单位，有单位是具体量，没单位是分率；分率必须对应单位 “1”，具体量可直接加减。 易错点 5：工程问题效率与时间混淆，总工作量假设错误 错误示例：甲单独做 10 天，乙单独做 15 天，合作时间天，直接把时间相加。 正确分析：工作时间不能直接相加，效率才能相加；总工作量设为 1，时间越长效率越低。 修正方法：工程问题先算效率，效率才能相加；总工作量设为 1，时间 = 1÷ 效率和。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 1. 计算下面各题，能简算的要简算。 　 　 2. 计算： 3. 填空：比 20 千克多是（ ）千克；比 20 千克少是（ ）千克。 4. 判断：一件商品先涨价，再降价，价格不变。（ ） 5. 妈妈带 50 元去买菜，买了 2 千克单价是十几元的番茄，剩下的钱最多有多少元？最少有多少元？ 6. 一根绳子长 20 米，第一次用去，第二次用去，两次一共用去多少米？ 7. 修一条路，甲队单独修 10 天完成，乙队单独修 15 天完成。两队合修多少天完成？ 8. 六（2）班有 45 人，其中是男生，女生有多少人？ 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 9. 用简便方法计算： 10. 一根绳子，第一次用去全长的，第二次用去余下的，还剩 6 米。这根绳子全长多少米？ 11. 六（1）班同学参加兴趣小组，参加美术组的占全班的，参加音乐组的占全班的，两组都参加的最少占全班的几分之几？ 12. 一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 8 天完成。甲先做 2 天，剩下的两队合作，还要多少天完成？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】 ；5 【解题步骤】 ① ：先算乘法，再算减法； ② ：乘法分配律展开，。 【知识点睛】本题考查分数四则混合运算的运算顺序与乘法分配律的应用。 有括号的混合运算，有括号先算括号里的，也可以用乘法分配律展开计算，哪种简便用哪种。 易错提醒：第一题容易先算减法再算乘法，一定要牢记先乘除后加减的运算顺序。 2. 【答案】 【解题步骤】 ① 先把除法转化为乘法：； ② 提取公因数： 原式。 【知识点睛】本题考查分数与小数混合的简便运算。 解题关键是先把除法统一成乘法，再观察有没有相同的因数，提取公因数简便计算。不用强行统一成分数或者小数，提取公因数后计算更简便。 这类题的核心是乘法分配律的逆应用，是小学阶段最常用的简便运算技巧。 3. 【答案】 25；15 【解题步骤】 ① 比 20 千克多：（千克）； ② 比 20 千克少：（千克）。 【知识点睛】本题考查 “比一个数多 / 少几分之几” 的基础计算。 解题方法：比单位 “1” 多，就用单位 “1” 乘分率；比单位 “1” 少，就用单位 “1” 乘分率。 易错提醒：不要看到多就加、看到少就减，要先确定单位 “1”，再计算。 4. 【答案】 × 【解题步骤】 ① 设原价 100 元，涨价后价格：（元）； ② 再降价后价格：（元）； ③ 99 元小于原价 100 元，价格变低了。 【知识点睛】本题考查分率的单位 “1” 变化问题。 涨价和降价的单位 “1” 不同，涨价的单位 “1” 是原价，降价的单位 “1” 是涨价后的价格，所以最终价格比原价低。 易错提醒：容易认为涨再降价格不变，忽略了单位 “1” 的变化。 5. 【答案】 最多有 30 元，最少有 12 元 【解题步骤】 ① 最多剩下对应花费最少，番茄按最低 10 元 / 千克算，花费元，剩下元； ② 最少剩下对应花费最多，番茄按最高 19 元 / 千克算，花费元，剩下元。 【知识点睛】本题考查估算策略的最值应用。 解题关键：剩下的钱最多，就要花的最少，单价取最小值；剩下的钱最少，就要花的最多，单价取最大值。 注意：“十几元” 的价格范围是 10 元到 19 元，端点分别对应最少和最多花费。 6. 【答案】 9 米 【解题步骤】 ① 先算两次一共用去全长的几分之几：； ② 再算一共用去的长度：（米）。 【知识点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少的分数应用题。 解题思路：可以先求一共用去的分率，再乘总长度；也可以分别求两次用去的长度再相加。 注意：两个分率的单位 “1” 都是全长，所以可以直接相加。 7. 【答案】 6 天 【解题步骤】 ① 假设总工作量为 1，甲效率，乙效率； ② 合作效率：； ③ 合作时间：（天）。 【知识点睛】本题考查基础合作工程问题。 核心公式：工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和。 工程问题的关键是把总工作量看作单位 “1”，用分率表示效率，效率才能相加。 8. 【答案】 20 人 【解题步骤】 ① 先算女生占总人数的几分之几：； ② 女生人数：（人）。 【知识点睛】本题考查求部分量的分数应用题。 解题思路：已知总量和部分量的分率，求部分量，用总量乘对应分率。 注意：是男生占比，求女生要先算女生占比，不能直接用总人数乘男生占比。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】 【解题步骤】 ① 观察数字特点，把 98 拆成； ② 原式 。 【知识点睛】本题考查拆分凑整的简便运算，属于奥数运算题型。 解题核心是把接近整数的数拆成整数加 1 的形式，再用乘法分配律展开，让整数部分和分母约分，简化计算。 拓展：如果是，可以拆成，用乘法分配律展开，同样可以简算。 10. 【答案】 18 米 【解题步骤】 ① 从后往前推：第二次用去余下的，剩下的 6 米对应余下的，第一次用完余下的长度：（米）； ② 余下的 12 米对应全长的，全长：（米）。 【知识点睛】本题是分数应用题的逆推问题，属于奥数常见题型。 解题方法：从最后剩下的量往前推，先求第一次用完剩下的长度，再求全长，每一步都要找准对应的单位 “1”。 这类题也可以用方程法顺向求解，逆推法更直接，能训练逆向思维能力。 11. 【答案】 【解题步骤】 ① 两个分率相加，减去单位 “1”，就是重叠部分的最小分率； ② 。 【知识点睛】本题考查容斥原理的分数应用，属于奥数拓展题型。 核心规律：两个集合的分率相加，减去单位 “1”，就是两个集合重叠部分的最小分率。 当没有都不参加的情况时，重叠部分最少；如果有都不参加的，重叠部分会更多。 12. 【答案】 天 【解题步骤】 ① 假设总工作量为 1，甲效率，乙效率； ② 甲先做 2 天完成的工作量：； ③ 剩余工作量：； ④ 合作效率：； ⑤ 合作时间：（天）。 【知识点睛】本题考查分段工程问题，属于工程问题的变式。 解题思路：先算已经完成的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以合作效率得到合作时间。 注意：甲先做的工作量要从总工作量里减去，剩下的才是两队合作的工作量，不能直接用总工作量除以合作效率。 1 学科网（北京）股份有限公司 $