第一单元 确定位置（思维拓展培优）-六年级上册数学从课本到奥数系列讲义（人教版）

第一单元 确定位置（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：用有序数对表示位置 1. 核心定义 (1) 列与行：竖排叫做列，横排叫做行。 (2) 计数规则： 1　 确定第几列，一般从左往右数。 2　 确定第几行，一般从前往后（或从下往上）数。 (3) 数对表示法：用含有两个数的括号来表示位置，如 。 1　 第一个数 表示列数。 2　 第二个数 表示行数。 3　 格式要求：中间用逗号隔开，外加小括号。 2. 思维拓展要点 (1) 有序性：数对是“有序”的， 和 表示的是两个不同的位置。前者是第3列第5行，后者是第5列第3行。 (2) 唯一性：在确定的平面直角坐标系（或方格图）中，一个数对只能对应唯一的一个点；反之，一个点也只能对应唯一的一个数对。 (3) 特殊位置规律： 1　 同一列的点，数对中第一个数相同，如 都在第2列。 2　 同一行的点，数对中第二个数相同，如 都在第4行。 知识点二：方格纸上图形的平移问题（数对） 1. 平移规律 在方格纸上，图形平移时，形状和大小不变，只有位置改变。数对的变化遵循以下规则： (1) 左右平移（列变行不变）： 1　 向右平移 格：列数加 ，行数不变。即 。 2　 向左平移 格：列数减 ，行数不变。即 。 (2) 上下平移（行变列不变）： 1　 向上平移 格：行数加 ，列数不变。即 。 2　 向下平移 格：行数减 ，列数不变。即 。 2. 思维拓展要点 (1) 整体性：图形平移时，图形上所有点的移动方向和距离都相同。只需找出关键点（如顶点）平移后的新数对，再连线即可得到平移后的图形。 (2) 逆向思维：若已知平移后的数对和平移过程，可逆推原位置。例如，某点向右平移3格后是 ，则原点为 。 (3) 边界限制：在有限大小的方格纸中，平移后的数对必须在有效范围内（通常列和行均为正整数），否则该平移无法在图中完整画出。 知识点三：用方向和距离确定位置 1. 核心要素 要精确描述一个物体相对于观测点的位置，必须同时具备三个条件： (1) 观测点（中心点）：以谁为中心看。 (2) 方向（角度）：偏向哪个方向，偏转多少度。 (3) 距离：离观测点多远。 2. 方向描述规范 (1) 基本方位：东、南、西、北。 (2) 复合方位：东北、东南、西北、西南。 (3) 精确方位（常用）： 1　 格式：[主方向] 偏 [次方向] [角度]°。 2　 例如：“北偏东 ” 表示以正北方向为起始边，向东旋转 的方向。 3　 注意：通常以“北”或“南”为主方向（基准线）。如“北偏东 ” 也可以说成 “东偏北 ”。 3. 相对位置关系 (1) 位置相对性：甲在乙的什么方向，乙就在甲的相反方向。 (2) 规律： 1　 方向相反：北 南，东 西。 2　 角度相同：度数不变。 3　 距离相等：两点间距离不变。 4　 示例：若 A 在 B 的北偏东 方向 米处，则 B 在 A 的南偏西 方向 米处。 知识点四：根据方向、角度和距离画线路图 1. 绘图步骤 (1) 定中心：确定观测点（起点），建立十字方向标（上北下南，左西右东）。 (2) 定方向：用量角器量出指定的角度，画出方向射线。注意量角器的中心点对准观测点， 刻度线对准南北或东西基准线。 (3) 定距离：根据给定的距离和单位长度标准，在射线上截取相应长度的线段，标出终点。 (4) 标名称：在终点处标注物体名称或字母。 (5) 续绘下一段：若有多段路线，以上一段的终点作为新的观测点，重复上述步骤，并重新建立方向标。 2. 思维拓展要点 (1) 动态观测点：在绘制连续路线图时，每到达一个新的站点，该站点即成为新的观测点。方向标必须随观测点移动而重建，不能沿用起点的方向标。 (2) 角度识别： 1　 “北偏东”是从正北顺时针量。 2　 “南偏西”是从正南逆时针量（或顺时针量至西侧，视具体定义，通常指夹角）。 3　 务必看清题目给出的角度是与哪个主方向（北/南/东/西）的夹角。 (3) 单位长度统一：在画图前，需明确图上 厘米（或 格）代表实际多少米/千米，确保距离换算准确。 知识点五：两种定位方法综合应用 1. 方法对比 特征 数对定位法 方向距离定位法 适用场景 方格纸、行列分明的座位表、棋盘等 地图导航、航海、航空、野外考察等开阔空间 参考系 固定的列和行（直角坐标系雏形） 观测点、方向角、距离（极坐标系雏形） 数据形式 两个整数 方向（角度）+ 距离 优点 简单直观，适合规则网格 灵活精确，适合任意位置 2. 综合应用策略 (1) 情境选择： 1　 如果在教室、电影院、棋盘等规则网格环境中，优先使用数对。 2　 如果在公园寻宝、海上航行、城市道路指引等非网格环境中，优先使用方向和距离。 (2) 转换思维：在某些复杂问题中，可能需要将方格图转化为方向距离描述。例如，在方格图中，点 相对于点 的位置，既可以说“向右2格，向上2格”，也可以描述为“东北方向（或北偏东 ）”。 (3) 易错警示： 1　 不要混淆两种方法的术语。数对中没有“角度”和“距离”的概念；方向距离法中没有“第几列第几行”的说法。 2　 解决实际问题时，先判断题目给出的条件类型，再选择对应的描述方式。 重难点题型精讲 题型一、用有序数对表示位置 【例题1】张亮、赵磊、王艳在同一个书法班上课，第2列、第3排坐的是张亮，他的位置可以用数对（2，3）表示，赵磊的位置是（4，3），王艳的位置是（2，5），则( )和张亮在同一列，( )和张亮在同一排。 【答案】 王艳 赵磊 【分析】数对的第一个数表示列，第二个数表示排，同一列的两个位置的数对的第一个数相同，同一排的两个位置的数对的第二个数相同，据此即可解答。 【详解】张亮、赵磊、王艳在同一个书法班上课，第2列、第3排坐的是张亮，他的位置可以用数对（2，3）表示，赵磊的位置是（4，3），王艳的位置是（2，5），则王艳和张亮在同一列，赵磊和张亮在同一排。 【跟踪训练1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝。下图中，“帥”所在的位置用数对表示是（5，0），那么“馬”现在所在的位置用数对表示是( )。依据规则，“馬”下一步可以走到的位置用数对表示是( )。（只写出一种情况即可） 【答案】 （2，1） （1，3） 【分析】用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。“馬”现在所在的位置在第2列、第1行，所以用数对表示为（2，1）。根据规则，中国象棋中“馬”走“日”（即横向走2格、纵向走1格，或横向走1格、纵向走2格）。当前“馬”的位置为（2，1）：横向减1、纵向加2：列数2－1＝1，行数1＋2＝3，对应数对（1，3）（也可选择其他符合“日”字规则的位置，如（3，3）等）。 【详解】“馬”现在所在的位置用数对表示是（2，1）。依据规则，“馬”下一步可以走到的位置用数对表示是（1，3）（答案不唯一）。 题型二、方格纸上图形的平移问题（数对） 【例题2】按要求写一写、画一画。 （1）用数对表示各个字母所在的位置。 （2）画出将图形向右平移6格后的图形，并写出平移后图形的各个点的位置。 A（    ，    ）A’（    ，    ） B（    ，    ）B’（    ，    ） C（    ，    ）C’（    ，    ） D（    ，    ）D’（    ，    ） E（    ，    ）E’（    ，    ） F（    ，    ）F’（    ，    ） 【答案】（1）A（2，5）；B（2，1）；C（3，2）；D（4，1）；E（4，5）；F（3，4） （2）； A’（8，5）；B’（8，1）；C’（9，2）；D’（10，1）；E’（10，5）；F’（9，4） 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号，据此写出各点； （2）作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点；平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线；由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连接对应点，画好后再根据数对表示方法写出平移后各点。 【详解】（1）根据观察，用数对表示各个字母所在的位置：A（2，5）；B（2，1）；C（3，2）；D（4，1）；E（4，5）；F（3，4）； （2）作图略； 用数对表示各个字母平移后所在的位置：A’（8，5）；B’（8，1）；C’（9，2）；D’（10，1）；E’（10，5）；F’（9，4）。 【跟踪训练2】按要求完成下面各题。 (1)用数对表示出正方形ABCD四个顶点的位置。 A( )    B( )    C( )    D( ) (2)先将正方形ABCD向右平移2格，再向下平移5格后得到正方形A＇B＇C＇D＇，则正方形A＇B＇C＇D＇各顶点的位置用数对表示为A＇( )，B＇( )，C＇( )，D＇( )。 (3)如果点E、F、G三个点正好是一个平行四边形的三个顶点，那么平行四边形另一个顶点H的位置用数对表示可能是H( )；如果点E、F、G三个点正好是一个等腰梯形的三个顶点，那么该梯形另一个顶点的位置用数对表示是I( )。 【答案】(1) （3，9） （5，7） （3，5） （1，7） (2) （5，4） （7，2） （5，0） （3，2） (3) （14，3） （18，3） 【分析】用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 （1）用数对表示出正方形ABCD四个顶点的位置。 （2）根据平移的特征，把正方形ABCD的各顶点分别先向右平移2格，再向下平移5格，依次连接即可得到平移后的正方形A＇B＇C＇D＇。再用数对表示平移后正方形四个顶点的位置。 （3）有两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。据此找出平行四边形另一个顶点H，并用数对表示点H的位置。 只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形。据此找出等腰梯形的另一个顶点，并用数对表示点H的位置。 【详解】（1）A（3，9），B（5，7），C（3，5），D（1，7） （2）平移后的正方形A＇B＇C＇D＇，如下图。 A＇（5，4），B＇（7，2），C＇（5，0），D＇（3，2）。 （3）如下图，平行四边形另一个顶点H的位置用数对表示可能是H（14，3）或（8，3）； 如下图，等腰梯形另一个顶点的位置用数对表示是I（18，3）。 题型三、用方向和距离确定位置 【例题3】如图所示，以学校为观测点，解决下面的问题。 (1)小明家在学校( )偏( )30°方向上，距离学校( )米。 (2)小军家在学校西偏南20°方向900米处，请你用“·”表示出小军家的位置（标出角度和图上距离）。 【答案】(1) 北 东 900 (2) 【分析】（1）首先根据“上北下南左西右东”的方位规则，结合图中标注的30°角的起始边，小明家在学校北偏东30°方向；结合图中给出的图例，1厘米表示300米，先测量小明家到学校的线段长，再乘300米，得到小明家到学校的实际的距离； （2）计算出小军家到学校的线段长，以学校为中心位置，以正西的方向为起始边，向南偏20°画出对应方向的射线，再在射线上量出计算得到的表示小军家到学校的线段长，标注出位置、角度、距离以及小军家。 【详解】（1）小明家在学校北偏东30°方向上；量得小明家到学校的线段长是3厘米，实际距离为： （米） 距离学校是米。 （2）（厘米），小军家到学校的线段长是3厘米，以正西的方向为起始边，向南偏20°画出对应方向的射线，再在射线上量出计算得到的线段长，在图中画出小军家的位置，标注出900米、20°、小军家，图略。 【跟踪训练3】以公安局为观测点，量一量，填一填，画一画。 (1)文化局在公安局( )偏( )30°，距离( )m的地方。 (2)少年宫在公安局南偏西( )°，距离( )m的地方。 (3)图书馆在公安局东偏北50°，距离250m的地方，请你在图上画出图书馆的位置。 【答案】(1) 西 北 250 (2) 45 200 (3) 【分析】根据“上北下南，左西右东”的方位，图中1cm表示100m，进行分析解答。 （1）图里标注文化局的角度是和正西方向夹角30°，也就是西偏北30°；图上文化局到公安局的距离是2.5cm，已知1cm代表实际100m，实际距离就是2.5×100＝250m。 （2）用量角器量角：量角器的中心和角的顶点重合。量角器的0°刻度线和角的一条边重合。看角的另一条边对准的刻度。据此量出少年宫在公安局南偏西的角度；1cm代表实际100m，实际距离就是2×100＝200m。 （3）先把实际距离换算成图上距离：250÷100＝2.5cm，再按照“东偏北50°”的方向要求，从公安局出发画出对应长度的线段，端点标注图书馆就完成了。 【详解】（1）2.5×100＝250（m） 文化局在公安局西偏北30°，距离250m的地方。 （2）量出公安局南偏西的角度是45°。 2×100＝200（m） 少年宫在公安局南偏西45°，距离200m的地方。 （3）250÷100＝2.5（cm） 图略 题型四、根据方向、角度和距离画线路图 【例题4】乐乐是一名环保志愿者，一直践行低碳生活理念。星期六早上，她要去实验基地参加学校组织的环保宣传活动，行走路线为：先从家出发，向正东方向走200m到早餐店吃早餐；吃完早餐再向南偏东60°方向走300m到垃圾分类区进行垃圾分类处理；然后向北偏东45°走400米到公交站和老师同学们一起乘坐公交车去实验基地。请根据上面的描述，把乐乐从家到公交站行走的路线画出来。 【答案】 【分析】解答这道题的关键是确定方向、角度和距离。图中比例尺为1段表示100m，先根据比例尺计算题目中三段距离的图上距离：（段），（段），（段）。再依次根据路线画出各个点位。以乐乐家为观测点，向正东方向画2段标出早餐店，以早餐店为观测点建立方向标，向南偏东60°（也就是正南向东偏转60°）方向画3段标出垃圾分类区，再以垃圾分类区为观测点建立方向标，向北偏东45°（也就是正北向东偏转45°）画4段标出公交车站即可。 【详解】略 【跟踪训练4】爸爸在银行办理完业务后，去学校接聪聪。他先向北偏西30°方向走400m到达公园，再向西偏南25°方向走600m到达书店，然后向正西方向走200m到达超市，最后向东偏北45°方向走400m到达学校。 (1)根据上面的描述，将爸爸去接聪聪的路线图补画完整。 (2)如果聪聪从学校去银行找爸爸，请你根据路线图描述出聪聪所走的方向和路程。 (3)下边是聪聪所在学校下午的作息时间表，爸爸15∶55从银行出发，平均每分钟走50m。请你通过计算判断：爸爸能按时接到聪聪吗？ 入校 13∶50 第一节 14∶20—15∶00 眼保健操 15∶00—15∶05 第二节 15∶15—15∶55 第三节 16∶05—16∶45 【答案】(1) (2)聪聪从学校出发，先向西偏南45°方向走400m到达超市，再向正东方向走200m到达书店，接着向东偏北25°方向走600m到达公园，最后向南偏东30°方向走400m到达银行。 (3)爸爸不能按时接到聪聪； 400＋600＋200＋400＝1600（m） 1600÷50＝32（分钟） 15：55＋32分＝16：27 学校第三节：16：05—16：45，16：27在上课时段内 【分析】绘制路线图核心：每一段都要找准观测点、方向角、距离；往返路线规律：路程、角度大小不变，方向互为相反方向（北↔南，东↔西）；行程问题公式：时间＝总路程÷速度；算出到达时间后和作息时间表对比判断结果。 【详解】（1）图上1段表示200m 银行→公园：北偏西30°，画2段（400m） 公园→书店：西偏南25°，画3段（600m） 书店→超市：正西，画1段（200m） 超市→学校：东偏北45°，画2段（400m），依次标注地点、角度、路程。图略 （2）聪聪从学校出发，先向西偏南45°方向走400m到达超市，再向正东方向走200m到达书店，接着向东偏北25°方向走600m到达公园，最后向南偏东30°方向走400m到达银行。 （3）总路程：400＋600＋200＋400＝1600（m） 行走用时：1600÷50＝32（分钟） 到达时间：15：55＋32分＝16：27 学校第三节：16：05—16：45，16：27在上课时段内。 答：爸爸不能按时接到聪聪。 题型五、两种定位方法综合应用 【例题5】填一填。 (1)少年宫的位置用数对表示是( )。 (2)以照相馆为观察点，少年宫的位置在( )偏( )( )°的方向上。 (3)王林家的位置是（4，1），如果每小格的边长是150米，他平均每分钟走100米，那么王林从家走到少年宫至少需要( )分钟。 【答案】(1)（4，5） (2) 北 东 72 (3)6 【分析】（1）数对先写列，再写行，先看少年宫所在的列数、行数，写出对应数对。 （2）以照相馆作为观测点，结合图中标出的72°，按照上北下南的方位描述少年宫的方向。 （3）先确定王林家（4，1）和少年宫（4，5）在同一列，算出格子数，求出路程，再用路程÷速度得到时间。 【详解】（1）少年宫在第4列，第5行，数对（4，5）。 （2）以照相馆为观察点，少年宫的位置在北偏东72°的方向上。（答案不唯一） （3）竖直方向有5－1＝4（格） 路程：4×150＝600（米） 时间：600÷100＝6（分钟） 【跟踪训练5】根据下图回答下面的问题。 (1)石桥的位置用数对表示是( )。 (2)石桥在荷塘的( )偏( )( )°方向( )米处。 (3)凉亭在荷塘的北偏东30°方向100米处，请在图中画出来。 【答案】(1) (2) 南 东 (3) 【分析】（1）数对前一个表示列，后一个表示行，据此解答。 （2）观察发现。以“荷塘”为观测点。根据上北下南，左西右东解答方向。两段代表（米）。 （3）从荷塘的正北方向，向东（向右）量。沿着这个角度画段（代表米），端点写上“凉亭”。 【详解】（1）石桥在第二列，第一行，所以是。 （2）石桥在荷塘的南偏东方向米处。（答案不唯一） （3）略 培优练习 1．点A的位置是（5，8），点C的位置是（5，3），A、B、C三点在同一条直线上，则点B的位置可能是（    ）。 A．（3，8） B．（8，3） C．（3，4） D．（5，2） 【答案】D 【分析】数对中第一个数表示列，第二个数表示行。A和C的第一个数相同，说明在同一列，三点共线则B的第一个数也应和它们相同。 【详解】点A和点C的第一个数都是5，说明两点都在第5列。A、B、C三点在同一条直线上，则点B也在第5列，即数对第一个数为5，只有符合要求。 2．看电影时，小佳的座位在放映厅的第6列第8排，用数对（6，8）表示，小宇坐在小佳正后方第3个位置上，小宇的座位用数对表示是（    ）。 A．（9，8） B．（3，8） C．（6，5） D．（6，11） 【答案】D 【分析】用数对表示位置时，第一个数对应列，第二个数对应排；正后方的位置列数不变，排数增加3。 【详解】小宇所在列数：和小佳相同，为6。 小宇所在排数：8＋3＝11 所以小宇的座位用数对表示为（6，11）。 3．小明站在广播体操方队的最后一排的正中间，位置用数对（12，30）表示。这个广播体操方队一共有（    ）人。 A．360 B．690 C．708 D．720 【答案】B 【分析】数对第一个数表示列，第二个数表示行。数对（12，30）表示小明在第12列、第30行。他在最后一排正中间，说明一共30行，第12列为中间列，先算出总列数，再用总列数乘总行数得到总人数。 【详解】小明在中间第12列： 左边：12－1＝11（列） 右边也是11列 总列数：11＋1＋11＝23（列） 总人数：23×30＝690（人） 4．中医药文化是中国传统文化的瑰宝。为弘扬中医药文化，某博物馆举办了中医药文化展，展示了历代中医药名家的生平事迹。下列说法正确的是（    ）。 A．从扁鹊馆出发向南偏东方向行到达华佗馆 B．从华佗馆出发向北偏东方向行到达张仲景馆 C．从张仲景馆出发向东偏南方向行到达孙思邈馆 D．张仲景馆在孙思邈馆的北偏西方向 【答案】C 【分析】分析题目，先根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法确定出方向，再根据给出的角度确定出具体位置，最后根据图上的1个单位长度表示15m用图上的长度乘15即可得到实际距离，据此逐项分析。 【详解】A．15×4＝60（m），从扁鹊馆出发向东偏南20°方向行60m到达华佗馆；原说法错误； B．15×3＝45（m），从华佗馆出发向东偏北25°方向行45m到达张仲景馆；原说法错误； C．15×2＝30（m），从张仲景馆出发向东偏南30°方向行30m到达孙思邈馆；原说法正确； D．15×2＝30（m），张仲景馆在孙思邈馆的西偏北30°方向30m处；原说法错误。 5．“每天锻炼一小时，健康生活一辈子。”在学校举行的大课间中，优优站的位置用数对表示为，后因队形调整，她需要往后调2行；又因为挡住了其他同学，又把她向右移动了3列，此时优优的位置是( )。 【答案】 【分析】由题可知优优现在的位置是（3，4），往后调2行就是行加2，向右移动了3列，就是列加3，由此计算出移动后的位置， 【详解】4＋2＝6 3＋3＝6 所以优优所在的列变成6，行变成6。 此时优优的位置是（6，6）。 6．象棋的玩法口诀：马走日，相走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院。如图，下一步“相”可以走到的位置已用“→”指出，请你用数对分别表示出来：( )、( )、( )、( )。 【答案】 （2，4） （6，4） （2，0） （6，0） 【分析】竖排叫做列，横排叫做行；确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数；数对的表示方法是（列数，行数），据此填空。 【详解】由图可知：“相”可以走到第2列、第4行，即（2，4）；第6列、第4行，即（6，4）；第2列、第0行，即（2，0）；第6列、第0行，即（6，0）。 7．读下面的古诗，并填空。 (1)诗中“年”字用数对表示是，“嵩”字用数对表示是( )，“云”字用数对表示是( )。 (2)数对表示的是“( )”字，数对表示的是“( )”字。 【答案】(1) (2) 雨 埃 【分析】数对规则（列，行），先看横坐标列，再看纵坐标行。 （1）“嵩”在第5列第6行，数对（5，6）；“云”在第6列第1行，数对（6，1）。 （2）数对（6，2）：第6列，第2行，是雨；数对（7，4）：第7列，第4行，是埃。 【详解】（1）诗中“年”字用数对表示是，“嵩”字用数对表示是（5，6），“云”字用数对表示是（6，1）。 （2）数对表示的是“雨”字，数对表示的是“埃”字。 8．五子棋比赛中，两位选手的对弈情况如图所示。（图为部分棋盘） (1)第1步黑棋的位置记作（H，7），那么第2步白棋的位置记作( )。 (2)（K，6）是第( )步( )棋的位置。 (3)当一方的五枚棋子连成一条直线时，该选手获胜。那么第24步白棋下在( )处就可以获胜。 【答案】(1)（I，8） (2) 10 白 (3)（G，2） 【分析】坐标格式（列字母，行数字）；奇数步数＝黑棋，偶数步数＝白棋。 （1）①号黑棋（H，7），②号白棋在I8，记作（I，8）。 （2）（K，6）位置棋子编号⑩，是第10步，偶数步为白棋。 （3）白棋斜向：22、20、8、10，落在（G，2）连成五子获胜。 【详解】（1）第1步黑棋的位置记作（H，7），那么第2步白棋的位置记作（I，8）。 （2）（K，6）是第（10）步（白）棋的位置。 （3）当一方的五枚棋子连成一条直线时，该选手获胜。那么第24步白棋下在（G，2）处就可以获胜。 9．如图，以学校为观测点，填一填。 (1)小文家在学校的( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (2)图书馆在学校的( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (3)科技馆在学校的( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (4)( )在学校的西偏北( )°方向上，距离是6km。 【答案】(1) 东 北 50 8 (2) 南 东 20 4 (3) 西 南 45 4 (4) 医院 30 【分析】遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，图里每1段单位长度代表2km。 （1）小文家在学校以东方向为主方向，在东方向的基础上向北方向偏转50°，有4段的长度。 （2）图书馆在学校以南方向为主方向，在南方向的基础上向东方向偏转20°，有2段的长度。 （3）科技馆在学校以西方向为主方向，在西方向的基础上向南方向偏转45°，有2段的长度。 （4）医院在学校以西方向为主方向，在西方向的基础上向北方向偏转30°，有3段的长度。 【详解】（1）4×2＝8（km） 小文家在学校的东偏北50°，距离是8km。（答案不唯一） （2）2×2＝4（km） 图书馆在学校的南偏东20°，距离是4km。（答案不唯一） （3）2×2＝4（km） 科技馆在学校的西偏南45°，距离是4km。（答案不唯一） （4）西偏北方向距离6km的地点是医院，偏角为30°。 医院在学校的西偏北30°方向上，距离是6km。 10． (1)如图，学校在琳琳家( )偏( )( )的方向上；超市在琳琳家( )偏( )( )的方向上。 (2)涵涵从家里出发经学校去琳琳家玩，要走( )m。如果每分钟走40m，要走( )分钟。 【答案】(1) 北 西 40 西 南 30 (2) 700 17.5 【分析】（1）图中的方向是上北下南，左西右东。以琳琳家为观测点，要描述清楚方向和角度。 （2）图中的1份线段表示200m，涵涵家到学校有1.5份线段，学校到琳琳家有2份线段。用每份线段的长度乘份数即可算出距离，再除以每分钟走的速度即可算出需要的时间。 【详解】（1）学校在琳琳家北偏西40的方向上；超市在琳琳家西偏南30的方向上。 （2）（1.5＋2）×200 ＝3.5×200 ＝700（m） 700÷40＝17.5（分钟） 11．操作题。 (1)先写出图中三角形顶点的位置分别是：A( )，B( )，C( )。 (2)请你画出三角形ABC向下平移5格后的图形△A′B′C′。 (3)写出平移后三角形各个顶点的位置分别是：A'( )，B′( )，C′( )。 【答案】(1) （4，6） （7，8） （3，8） (2) (3) （4，1） （7，3） （3，3） 【分析】（1）（3）用数对表示位置：括号内的第一个数字表示“列”，第二个数字表示“行” ，中间用逗号隔开。图中竖排表示“列”，横排表示“行”，据此填写对应的数字； （2）根据平移的特征，把三角形的各个顶点分别向下平移5格，依次连接起来，即可得到平移后的三角形A'B'C'。 【详解】（1）点A位于第4列，第6行，用数对表示为（4，6）；点B位于第7列，第8行，用数对表示为（7，8）；点C位于第3列，第8行，用数对表示为（3，8）。 （2）见答案。 （3）点A'位于第4列，第1行，用数对表示为（4，1）；点B'位于第7列，第3行，用数对表示为（7，3）；点C'位于第3列，第3行，用数对表示为（3，3）。 12．按要求画图并完成填空。 (1)少年宫的位置用数对表示是( )。 (2)王明家在少年宫的( )偏( )( )方向。 (3)学校的位置是（1，6），请你在图中用“•学校”标注出来。 (4)如果每小格的边长表示200米，王明平均每分钟走100米，那么王明放学后走到图书馆需要( )分钟。 【答案】(1)（3，3） (2) 西 南 56 (3) (4)10 【分析】（1）用数对表示物体的位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行。先确定少年宫在第几列第几行，就可以用数对表示出来。 （2）如图，没有特别说明的情况下，一般是上北下南，左西右东。以少年宫为观测点，先利用三角形的内角和是180°计算出王明家在少年宫以正西方向为起始边，向正南方向偏转多少度的方向上。 （3）学校的位置是（1，6），表示学校在第1列第6行，在图中描出第1列第6行的点，并标注“学校”。 （4）由（3）画出的图可知，学校与图书馆之间有5格，先用乘法求出学校与图书馆之间的实际距离，再除以速度，就可以求出时间。 【详解】（1）少年宫在第3列第3行，用数对表示是（3，3）。 （2）180°－90°－34°＝56° 以正西方向为起始边，向正南方向偏转56°，就是西偏南56°方向。 （3）略 （4）200×5÷100＝10（分钟） 13．人工智能正走进我们的日常生活。西安某餐厅送餐服务由机器人完成，下面是机器人送餐路线图。 (1)机器人从出发点出发，向( )方向行进( )米可以到达A餐桌。 (2)从A餐桌出发，怎样走可以到达B餐桌？请你给“它”发一条指令：向( )方向行进( )米。 (3)机器人最终的目的地是C餐桌，位于B餐桌南偏东30°，距离B餐桌6米的位置。请你在图中画出C点的位置。 【答案】(1) 北偏西 (2) 东偏北 (3)如图： 【分析】（）根据地图上的方向：上北下南，左西右东，以出发点的位置为观测点，即可确定点位置的方向，根据点与出发点的图上距离及图中所标注的线段所表示的距离即可求出点与出发点的实际距离。 （）同理，以点的位置为观测点，即可确定点位置的方向，根据点与点的图上距离及图中所标注的线段所表示的距离，通过计算段数即可求出点与点的实际距离。 （3）同理，以点的位置为观测点，即可确定点位置的方向，根据点与点的实际距离及图中所标注的线段所代表的距离，通过计算段数即可求出点与点的图上距离，从而画出点的位置。 【详解】（1）（米）机器人从出发点出发，向北偏西方向，行走段，每段米，（米），走米可以到达点。 （2）（米）从点出发向东偏北方向走段，每段是米，（米），走米可以到达点 （3）①以点为观测中心，画十字方向标（上北下南，左西右东）。 ②找到南偏东方向，用量角器画出角的射线。 ③距离米，图上每一小段（或每一个长度单位），代表实际距离米，（段）即个长度单位，在射线上截取小段，终点标记就是餐桌。 图略 14．京东五星电器接到一份外卖订单。外卖员从京东五星电器出发，先向东偏南45°方向行驶1000m到万达广场，再向西偏南30°方向行驶1500m到达体育中心，再向西偏北20°方向行驶1000m到达电影院，最后向正西方向行驶500m到达绿苑小区。根据上面的描述画出外卖员的路线图。 【答案】 【分析】由题意知：以京东五星电器为参照点建立方向标，1000÷500＝2（个），从京东五星电器向东偏南45°方向画2个单位长度，标出万达广场；再以万达广场为参照点建立方向标，1500÷500＝3（个），从万达广场向西偏南30°方向画3个单位长度，标出体育中心；再以体育中心为参照点建立方向标，1000÷500＝2（个），从体育中心向西偏北20°方向画出2个单位长度，标出电影院；最后以电影院为参照点建立方向标，500÷500＝1（个），从电影院向正西方向画1个单位长度，标出绿苑小区。据此作图即可。 【详解】图略 15．看图填一填。 (1)以学校为观测点，书店在( )偏( )( )°方向上，距离学校( )米。 (2)以学校为观测点，电影院在( )偏( )( )°方向上，距离学校( )米。 (3)小明从学校到体育馆，每分钟走50米，他要走多长时间？ 【答案】(1) 北 东 75 200 (2) 南 西 45 300 (3)10分钟 【分析】（1）以学校为观测点，根据上北下南左西右东，确定书店的方位，根据图中标注的夹角确定角度，图上1段表示100米，用段数乘100计算出实际距离； （2）以学校为观测点，根据上北下南左西右东，确定电影院的方位，根据图中标注的夹角确定角度，图上1段表示100米，用段数乘100计算出实际距离； （3）先利用段数乘100计算出实际距离，再根据时间＝总路程÷速度，计算出时间即可； 【详解】（1）以学校为观测点，书店在北偏东75°方向上，距离是：（米）； （2）以学校为观测点，电影院在南偏西45°方向上，距离是：（米）； （3） （分钟） 答：他要走分钟。 16．某地举办非遗手工巡游活动，部分场地分布如图所示。 (1)非遗手工巡游的路线用有序数对表示为：，请写出此次巡游依次经过的场所。 (2)中午12∶50，欢欢在“汉服特卖会”排队购买汉服，此时前面还有7人。若每人购买汉服需3分钟，欢欢步行速度为50米/分，他能否赶上剧院下午2∶00开始的演出？请通过计算加以说明。 【答案】(1)此次巡游经过的场所依次是国风集市、DIY、诗词会、廊桥、百花园、剧院。 (2)能赶上； 3×（7＋1）＝24（分钟） 200×7÷50＝28（分钟） 12时50分＋24分＋28分＝13时42分 13时42分＜14时 【分析】有序数对（列，行），第一个数字代表列，第二个数字代表行；由题目中图示可知，平面图一格代表200米；先算出购买汉服耗时、步行路程与步行时间，求出总耗时，推算到达时间，将下午2：00转换为24时计时法，再和下午2：00比较，。 【详解】（1）（3，2）：国风集市 （5，2）：DIY （8，3）：诗词会 （5，5）：廊桥 （3，6）：百花园 （4，8）：剧院 依次经过：国风集市→DIY→诗词会→廊桥→百花园→剧院 （2）购买汉服用时：（7＋1）×3＝24（分钟） 汉服特卖会位置（1，4），剧院位置（4，8） 横向格子：4－1＝3（格），纵向格子：8－4＝4（格） 行走总格子数：3＋4＝7（格） 路程：7×200＝1400（米） 步行时间：1400÷50＝28（分钟） 全部花费时间：24＋28＝52（分钟） 到达时间：12时50分＋52分＝13时42分 下午2：00=14：00 13时42分＜14时 答：欢欢能赶上剧院下午2：00开始的演出。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 确定位置（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：用有序数对表示位置 1. 核心定义 (1) 列与行：竖排叫做列，横排叫做行。 (2) 计数规则： 1　 确定第几列，一般从左往右数。 2　 确定第几行，一般从前往后（或从下往上）数。 (3) 数对表示法：用含有两个数的括号来表示位置，如 。 1　 第一个数 表示列数。 2　 第二个数 表示行数。 3　 格式要求：中间用逗号隔开，外加小括号。 2. 思维拓展要点 (1) 有序性：数对是“有序”的， 和 表示的是两个不同的位置。前者是第3列第5行，后者是第5列第3行。 (2) 唯一性：在确定的平面直角坐标系（或方格图）中，一个数对只能对应唯一的一个点；反之，一个点也只能对应唯一的一个数对。 (3) 特殊位置规律： 1　 同一列的点，数对中第一个数相同，如 都在第2列。 2　 同一行的点，数对中第二个数相同，如 都在第4行。 知识点二：方格纸上图形的平移问题（数对） 1. 平移规律 在方格纸上，图形平移时，形状和大小不变，只有位置改变。数对的变化遵循以下规则： (1) 左右平移（列变行不变）： 1　 向右平移 格：列数加 ，行数不变。即 。 2　 向左平移 格：列数减 ，行数不变。即 。 (2) 上下平移（行变列不变）： 1　 向上平移 格：行数加 ，列数不变。即 。 2　 向下平移 格：行数减 ，列数不变。即 。 2. 思维拓展要点 (1) 整体性：图形平移时，图形上所有点的移动方向和距离都相同。只需找出关键点（如顶点）平移后的新数对，再连线即可得到平移后的图形。 (2) 逆向思维：若已知平移后的数对和平移过程，可逆推原位置。例如，某点向右平移3格后是 ，则原点为 。 (3) 边界限制：在有限大小的方格纸中，平移后的数对必须在有效范围内（通常列和行均为正整数），否则该平移无法在图中完整画出。 知识点三：用方向和距离确定位置 1. 核心要素 要精确描述一个物体相对于观测点的位置，必须同时具备三个条件： (1) 观测点（中心点）：以谁为中心看。 (2) 方向（角度）：偏向哪个方向，偏转多少度。 (3) 距离：离观测点多远。 2. 方向描述规范 (1) 基本方位：东、南、西、北。 (2) 复合方位：东北、东南、西北、西南。 (3) 精确方位（常用）： 1　 格式：[主方向] 偏 [次方向] [角度]°。 2　 例如：“北偏东 ” 表示以正北方向为起始边，向东旋转 的方向。 3　 注意：通常以“北”或“南”为主方向（基准线）。如“北偏东 ” 也可以说成 “东偏北 ”。 3. 相对位置关系 (1) 位置相对性：甲在乙的什么方向，乙就在甲的相反方向。 (2) 规律： 1　 方向相反：北 南，东 西。 2　 角度相同：度数不变。 3　 距离相等：两点间距离不变。 4　 示例：若 A 在 B 的北偏东 方向 米处，则 B 在 A 的南偏西 方向 米处。 知识点四：根据方向、角度和距离画线路图 1. 绘图步骤 (1) 定中心：确定观测点（起点），建立十字方向标（上北下南，左西右东）。 (2) 定方向：用量角器量出指定的角度，画出方向射线。注意量角器的中心点对准观测点， 刻度线对准南北或东西基准线。 (3) 定距离：根据给定的距离和单位长度标准，在射线上截取相应长度的线段，标出终点。 (4) 标名称：在终点处标注物体名称或字母。 (5) 续绘下一段：若有多段路线，以上一段的终点作为新的观测点，重复上述步骤，并重新建立方向标。 2. 思维拓展要点 (1) 动态观测点：在绘制连续路线图时，每到达一个新的站点，该站点即成为新的观测点。方向标必须随观测点移动而重建，不能沿用起点的方向标。 (2) 角度识别： 1　 “北偏东”是从正北顺时针量。 2　 “南偏西”是从正南逆时针量（或顺时针量至西侧，视具体定义，通常指夹角）。 3　 务必看清题目给出的角度是与哪个主方向（北/南/东/西）的夹角。 (3) 单位长度统一：在画图前，需明确图上 厘米（或 格）代表实际多少米/千米，确保距离换算准确。 知识点五：两种定位方法综合应用 1. 方法对比 特征 数对定位法 方向距离定位法 适用场景 方格纸、行列分明的座位表、棋盘等 地图导航、航海、航空、野外考察等开阔空间 参考系 固定的列和行（直角坐标系雏形） 观测点、方向角、距离（极坐标系雏形） 数据形式 两个整数 方向（角度）+ 距离 优点 简单直观，适合规则网格 灵活精确，适合任意位置 2. 综合应用策略 (1) 情境选择： 1　 如果在教室、电影院、棋盘等规则网格环境中，优先使用数对。 2　 如果在公园寻宝、海上航行、城市道路指引等非网格环境中，优先使用方向和距离。 (2) 转换思维：在某些复杂问题中，可能需要将方格图转化为方向距离描述。例如，在方格图中，点 相对于点 的位置，既可以说“向右2格，向上2格”，也可以描述为“东北方向（或北偏东 ）”。 (3) 易错警示： 1　 不要混淆两种方法的术语。数对中没有“角度”和“距离”的概念；方向距离法中没有“第几列第几行”的说法。 2　 解决实际问题时，先判断题目给出的条件类型，再选择对应的描述方式。 重难点题型精讲 题型一、用有序数对表示位置 【例题1】张亮、赵磊、王艳在同一个书法班上课，第2列、第3排坐的是张亮，他的位置可以用数对（2，3）表示，赵磊的位置是（4，3），王艳的位置是（2，5），则( )和张亮在同一列，( )和张亮在同一排。 【跟踪训练1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝。下图中，“帥”所在的位置用数对表示是（5，0），那么“馬”现在所在的位置用数对表示是( )。依据规则，“馬”下一步可以走到的位置用数对表示是( )。（只写出一种情况即可） 题型二、方格纸上图形的平移问题（数对） 【例题2】按要求写一写、画一画。 （1）用数对表示各个字母所在的位置。 （2）画出将图形向右平移6格后的图形，并写出平移后图形的各个点的位置。 A（    ，    ）A’（    ，    ） B（    ，    ）B’（    ，    ） C（    ，    ）C’（    ，    ） D（    ，    ）D’（    ，    ） E（    ，    ）E’（    ，    ） F（    ，    ）F’（    ，    ） 【跟踪训练2】按要求完成下面各题。 (1)用数对表示出正方形ABCD四个顶点的位置。 A( )    B( )    C( )    D( ) (2)先将正方形ABCD向右平移2格，再向下平移5格后得到正方形A＇B＇C＇D＇，则正方形A＇B＇C＇D＇各顶点的位置用数对表示为A＇( )，B＇( )，C＇( )，D＇( )。 (3)如果点E、F、G三个点正好是一个平行四边形的三个顶点，那么平行四边形另一个顶点H的位置用数对表示可能是H( )；如果点E、F、G三个点正好是一个等腰梯形的三个顶点，那么该梯形另一个顶点的位置用数对表示是I( )。 题型三、用方向和距离确定位置 【例题3】如图所示，以学校为观测点，解决下面的问题。 (1)小明家在学校( )偏( )30°方向上，距离学校( )米。 (2)小军家在学校西偏南20°方向900米处，请你用“·”表示出小军家的位置（标出角度和图上距离）。 【跟踪训练3】以公安局为观测点，量一量，填一填，画一画。 (1)文化局在公安局( )偏( )30°，距离( )m的地方。 (2)少年宫在公安局南偏西( )°，距离( )m的地方。 (3)图书馆在公安局东偏北50°，距离250m的地方，请你在图上画出图书馆的位置。 题型四、根据方向、角度和距离画线路图 【例题4】乐乐是一名环保志愿者，一直践行低碳生活理念。星期六早上，她要去实验基地参加学校组织的环保宣传活动，行走路线为：先从家出发，向正东方向走200m到早餐店吃早餐；吃完早餐再向南偏东60°方向走300m到垃圾分类区进行垃圾分类处理；然后向北偏东45°走400米到公交站和老师同学们一起乘坐公交车去实验基地。请根据上面的描述，把乐乐从家到公交站行走的路线画出来。 【跟踪训练4】爸爸在银行办理完业务后，去学校接聪聪。他先向北偏西30°方向走400m到达公园，再向西偏南25°方向走600m到达书店，然后向正西方向走200m到达超市，最后向东偏北45°方向走400m到达学校。 (1)根据上面的描述，将爸爸去接聪聪的路线图补画完整。 (2)如果聪聪从学校去银行找爸爸，请你根据路线图描述出聪聪所走的方向和路程。 (3)下边是聪聪所在学校下午的作息时间表，爸爸15∶55从银行出发，平均每分钟走50m。请你通过计算判断：爸爸能按时接到聪聪吗？ 入校 13∶50 第一节 14∶20—15∶00 眼保健操 15∶00—15∶05 第二节 15∶15—15∶55 第三节 16∶05—16∶45 题型五、两种定位方法综合应用 【例题5】填一填。 (1)少年宫的位置用数对表示是( )。 (2)以照相馆为观察点，少年宫的位置在( )偏( )( )°的方向上。 (3)王林家的位置是（4，1），如果每小格的边长是150米，他平均每分钟走100米，那么王林从家走到少年宫至少需要( )分钟。 【跟踪训练5】根据下图回答下面的问题。 (1)石桥的位置用数对表示是( )。 (2)石桥在荷塘的( )偏( )( )°方向( )米处。 (3)凉亭在荷塘的北偏东30°方向100米处，请在图中画出来。 培优练习 1．点A的位置是（5，8），点C的位置是（5，3），A、B、C三点在同一条直线上，则点B的位置可能是（    ）。 A．（3，8） B．（8，3） C．（3，4） D．（5，2） 2．看电影时，小佳的座位在放映厅的第6列第8排，用数对（6，8）表示，小宇坐在小佳正后方第3个位置上，小宇的座位用数对表示是（    ）。 A．（9，8） B．（3，8） C．（6，5） D．（6，11） 3．小明站在广播体操方队的最后一排的正中间，位置用数对（12，30）表示。这个广播体操方队一共有（    ）人。 A．360 B．690 C．708 D．720 4．中医药文化是中国传统文化的瑰宝。为弘扬中医药文化，某博物馆举办了中医药文化展，展示了历代中医药名家的生平事迹。下列说法正确的是（    ）。 A．从扁鹊馆出发向南偏东方向行到达华佗馆 B．从华佗馆出发向北偏东方向行到达张仲景馆 C．从张仲景馆出发向东偏南方向行到达孙思邈馆 D．张仲景馆在孙思邈馆的北偏西方向 5．“每天锻炼一小时，健康生活一辈子。”在学校举行的大课间中，优优站的位置用数对表示为，后因队形调整，她需要往后调2行；又因为挡住了其他同学，又把她向右移动了3列，此时优优的位置是( )。 6．象棋的玩法口诀：马走日，相走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院。如图，下一步“相”可以走到的位置已用“→”指出，请你用数对分别表示出来：( )、( )、( )、( )。 7．读下面的古诗，并填空。 (1)诗中“年”字用数对表示是，“嵩”字用数对表示是( )，“云”字用数对表示是( )。 (2)数对表示的是“( )”字，数对表示的是“( )”字。 8．五子棋比赛中，两位选手的对弈情况如图所示。（图为部分棋盘） (1)第1步黑棋的位置记作（H，7），那么第2步白棋的位置记作( )。 (2)（K，6）是第( )步( )棋的位置。 (3)当一方的五枚棋子连成一条直线时，该选手获胜。那么第24步白棋下在( )处就可以获胜。 9．如图，以学校为观测点，填一填。 (1)小文家在学校的( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (2)图书馆在学校的( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (3)科技馆在学校的( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (4)( )在学校的西偏北( )°方向上，距离是6km。 10． (1)如图，学校在琳琳家( )偏( )( )的方向上；超市在琳琳家( )偏( )( )的方向上。 (2)涵涵从家里出发经学校去琳琳家玩，要走( )m。如果每分钟走40m，要走( )分钟。 11．操作题。 (1)先写出图中三角形顶点的位置分别是：A( )，B( )，C( )。 (2)请你画出三角形ABC向下平移5格后的图形△A′B′C′。 (3)写出平移后三角形各个顶点的位置分别是：A'( )，B′( )，C′( )。 12．按要求画图并完成填空。 (1)少年宫的位置用数对表示是( )。 (2)王明家在少年宫的( )偏( )( )方向。 (3)学校的位置是（1，6），请你在图中用“•学校”标注出来。 (4)如果每小格的边长表示200米，王明平均每分钟走100米，那么王明放学后走到图书馆需要( )分钟。 13．人工智能正走进我们的日常生活。西安某餐厅送餐服务由机器人完成，下面是机器人送餐路线图。 (1)机器人从出发点出发，向( )方向行进( )米可以到达A餐桌。 (2)从A餐桌出发，怎样走可以到达B餐桌？请你给“它”发一条指令：向( )方向行进( )米。 (3)机器人最终的目的地是C餐桌，位于B餐桌南偏东30°，距离B餐桌6米的位置。请你在图中画出C点的位置。 14．京东五星电器接到一份外卖订单。外卖员从京东五星电器出发，先向东偏南45°方向行驶1000m到万达广场，再向西偏南30°方向行驶1500m到达体育中心，再向西偏北20°方向行驶1000m到达电影院，最后向正西方向行驶500m到达绿苑小区。根据上面的描述画出外卖员的路线图。 15．看图填一填。 (1)以学校为观测点，书店在( )偏( )( )°方向上，距离学校( )米。 (2)以学校为观测点，电影院在( )偏( )( )°方向上，距离学校( )米。 (3)小明从学校到体育馆，每分钟走50米，他要走多长时间？ 16．某地举办非遗手工巡游活动，部分场地分布如图所示。 (1)非遗手工巡游的路线用有序数对表示为：，请写出此次巡游依次经过的场所。 (2)中午12∶50，欢欢在“汉服特卖会”排队购买汉服，此时前面还有7人。若每人购买汉服需3分钟，欢欢步行速度为50米/分，他能否赶上剧院下午2∶00开始的演出？请通过计算加以说明。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $