第一单元 小数乘法和除法（二）（思维拓展培优）-六年级上册数学从课本到奥数系列讲义（苏教版）

第一单元 小数乘法和除法（二）（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：小数乘小数的算理与笔算 1. 核心算理：转化思想 (1) 基本原理：将小数乘法转化为整数乘法计算。 (2) 积的变化规律： 1　 一个因数扩大 倍，另一个因数扩大 倍，积就扩大 倍。 2　 反之，要得到原来的积，需将整数积缩小相应的倍数。 (3) 小数点定位法则： 1　 先按整数乘法算出积。 2　 看两个因数中一共有几位小数。 3　 从积的右边起数出几位，点上小数点。 4　 注意：如果积的小数位数不够，要在前面用“0”补足，再点小数点。 2. 特殊规律总结（思维拓展） (1) 与1比较： 1　 一个非0数 大于1的数，积 原数。 2　 一个非0数 小于1的数（且大于0），积 原数。 3　 一个非0数 1，积 原数。 (2) 末尾0的处理： 1　 先点小数点，再去掉小数末尾的“0”（化简）。 2　 易错提醒：不要先去掉因数末尾的0再点小数点，除非你清楚位值变化。 知识点二：积的近似值与最值范围 1. 求近似值的方法 (1) 四舍五入法：保留几位小数，就看它的下一位。 例如：保留两位小数，看千分位；千分位 进1， 舍去。 (2) 书写规范： 1　 横式中写“ ”，竖式中最后一步通常不写约等号，但在结果旁标注。 2　 结果末尾的0不能随意去掉（如保留两位小数，3.50不能写成3.5），因为它表示精确度。 2. 逆向思维：确定取值范围（培优重点） (1) 已知近似值，求原数范围： 1　 若一个两位小数保留一位小数后是 3.5： 最大值：“四舍”得到的，原数最大是 3.54。 最小值：“五入”得到的，原数最小是 3.45。 2　 通用公式： 最小值 = 近似值 - 0.0...05（末位减5） 最大值 = 近似值 + 0.0...04（末位加4） (2) 应用技巧：在解决“积可能是多少”的问题时，利用此范围快速排除错误选项。 知识点三：一个数除以小数的算理与笔算 1. 核心算理：商不变性质 (1) 转化步骤： 1　 移动除数：将除数的小数点向右移动，使其变成整数。 2　 同步移动被除数：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位。 3　 补足位数：如果被除数位数不够，在末尾用“0”补足。 4　 按整数除法计算：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。 2. 关键细节与易错点 (1) 商中间有0：当某一位不够商1时，必须商0占位，不可跳过。 (2) 余数处理：每一步的余数必须比除数小。 (3) 小数点对齐：这是最容易出错的地方。务必记住：商的小数点由“移动后的被除数”决定，而不是原来的被除数。 3. 大小比较规律（思维拓展） (1) 一个非0数 大于1的数，商 被除数。 (2) 一个非0数 小于1的数（且大于0），商 被除数。 (3) 一个非0数 1，商 被除数。 (4) 记忆口诀：除数越大，商越小；除数越小，商越大。 知识点四：商的近似值与实际取整策略 1. 一般方法：四舍五入 (1) 计算时，通常需要除到比保留位数多一位，再进行四舍五入。 (2) 例如：保留两位小数，需除到第三位小数。 2. 实际生活中的特殊取整法（高频考点） 在实际应用中，不能机械地使用“四舍五入”，需根据情境选择： 策略名称 适用场景 操作方法 示例 进一法 需要“装满”、“容纳”、“购买”等场景，剩余部分也需要一个单位。 无论余数/小数部分多小，都向前一位进1。 装油桶、做衣服、租车、租船。 例：2.1吨油，每桶装1吨，需3个桶。 去尾法 需要“制作”、“截取”、“分配”等场景，剩余部分不足以构成一个完整单位。 无论余数/小数部分多大，直接舍去。 做蛋糕、剪绳子、买东西（钱不够时）。 例：10米布，每套衣用3米，只能做3套。 3. 解题判断技巧 (1) 问“至少需要多少个容器/车辆？” 进一法。 (2) 问“最多可以做多少个物品？” 去尾法。 知识点五：循环小数与规律探究 1. 基本概念 (1) 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。 (2) 循环节：重复出现的数字序列。 (3) 简便写法：只写第一个循环节，并在首尾数字上方各点一个圆点。 1　 例： 写作 2　 例： 写作 2. 分类辨析 (1) 有限小数：小数部分位数是有限的。 (2) 无限小数：小数部分位数是无限的。 1　 无限循环小数（是有理数） 2　 无限不循环小数（如 ，是无理数，小学阶段仅作了解） (3) 关系：循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 3. 规律探究（培优难点） (1) 周期问题： 1　 确定循环节的长度（周期 ）。 2　 用目标位数 除以周期 ： 。 3　 余数是几，就是循环节里的第几个数字。 4　 余数为0，则是循环节里的最后一个数字。 重难点题型精讲 题型一、小数乘小数的算理与笔算 【例题1】列竖式计算。            【答案】16.43；55.835；5.1 【分析】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 【详解】5.3×3.1＝16.43            8.59×6.5＝55.835           20.4×0.25＝5.1                               【跟踪训练1】用竖式计算。 2.7×4.5＝     0.48×2.25＝     48.5×0.05＝ 4.5×2.1＝     0.33×1.7＝     2.28×0.9＝ 【答案】12.15；1.08；2.425     9.45；0.561；2.052 【分析】小数的乘法：首先末尾对齐，将小数乘法看成整数乘法，按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位小数，点上小数点，得数的小数部分末尾有的一般要把去掉。 【详解】                                                        题型二、积的近似值与最值范围 【例题2】两个因数的积是三位小数，保留两位小数约是5.34，这个积最小是( )，最大是( )。 【答案】 5.335 5.344 【分析】保留两位小数时，需看小数点后第三位（千分位）：若千分位数字大于或等于5，则向百分位进1，再舍去千分位及后面的数，此时原三位小数的前两位小数需比保留后的两位小数“退1”；若千分位数字小于或等于4，则直接舍去千分位及后面的数，此时原三位小数的前两位小数与保留后的两位小数相同。 【详解】要使三位小数最小，十分位是3，百分位是3，千分位是5，最小的三位小数是5.335； 要使三位小数最大，十分位是3，百分位是4，千分位是4，最大的三位小数是5.344； 所以这个积最小是5.335，最大是5.344。 【跟踪训练2】计算一道小数乘法题时得到的积为5.□□□，这个积用四舍五入法保留两位小数后的近似值是5.90，则这道题中积最大是( )，最小是( )。 【答案】 5.904 5.895 【分析】取一个小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，要考虑5.90是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的5.90最大是5.904，“五入”得到的5.90最小是5.895，由此解答问题即可。 【详解】计算一道小数乘法题时得到的积为5.□□□，这个积用四舍五入法保留两位小数后的近似值是5.90，则这道题中积最大是5.904，最小是5.895。 题型三、一个数除以小数的算理与笔算 【例题3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.68×4.7( )4.7        7.6×12( )76×1.2 7.3÷0.195( )7.3        0.5×0.5( )0.5÷0.5 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数； 乘法算式中，一个乘数乘几（0除外），另一个乘数除以相同的数，积不变； 一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数； 分别算出0.5×0.5与0.5÷0.5的结果，再比较大小。 【详解】因为0.68＜1，所以0.68×4.7＜4.7； 7.6变为76相当于乘10，12变为1.2相当于除以10，积不变，所以7.6×12＝76×1.2； 因为0.195＜1，所以7.3÷0.195＞7.3； 0.5×0.5＝0.25，0.5÷0.5＝1，0.25＜1，所以0.5×0.5＜0.5÷0.5。 【跟踪训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.5÷0.9( )0.5    0.55×0.9( )0.55    3.6÷0.01( )3.6×100 3.9÷1( )3.9×1    6.5÷0.86( )6.5    8.3×0.5( )8.3÷2 3.2÷0.01( )3.2×0.01  0.6×0.5( )0.6÷2    0÷0.99( )0.99 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＝ ＞ ＝ ＞ ＝ ＜ 【分析】一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小； 一个数乘100，即将这个数的小数点向右移动两位；一个数除以0.01，即将这个数的小数点向右移动两位； 一个数（0除外）乘等于1的数，结果等于原来的数；一个数（0除外）除以等于1的数，结果等于原来的数； 一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大； 分别计算出两边算式的结果，再比较大小； 一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小； 分别计算出两边算式的结果，再比较大小； 0除以任何不为0的数都得0。 【详解】，所以； ，所以； ，将的小数点向右移动两位，得到；，将的小数点向右移动两位，得到；，所以； ，，，所以； ，所以； ，，，所以； ，，，所以； ，，，所以； ，，所以。 题型四、商的近似值与实际取整策略 【例题4】福清特产的烤鳗远销海外。一批重54.9吨的烤鳗，用一辆载重4.5吨的货车运往码头，至少需要多少次才能运完？ 【答案】13次 【分析】求运完货物的最少次数，就是求54.9吨里包含多少个4.5吨的载重，用除法计算。由于剩余货物即使不满一车也需要运1次，因此要用进一法取整数结果。 【详解】54.9÷4.5＝12.2（次） 12＋1＝13（次） 答：至少需要13次才能运完。 【跟踪训练4】妈妈带100元去超市，买了8本笔记本，每本3.5元，剩下的钱买每支2.6元的钢笔，最多可以买多少支？ 【答案】 27支 【分析】先用乘法计算买笔记本的总花费，用总钱数减去笔记本花费得到剩余的钱，再用剩余的钱除以每支钢笔的单价，由于钢笔支数必须是整数，剩余的钱不够买1支时直接舍去，用去尾法取整数结果。 【详解】（元） （元） （支） 因为钢笔支数为整数，且剩余的钱不够买1支钢笔，所以最多可以买27支。 答：最多可以买27支。 题型五、循环小数与规律探究 【例题5】5÷37的商是( )小数，用简便方法记作( )，商的小数部分第100位上的数是( )。 【答案】 循环 1 【分析】列竖式求商，判断小数类型；根据余数重复出现的情况判断循环节，从小数点后某一位开始一个或几个数字依次不断重复出现的无限小数叫做循环小数，被重复的一个或几个数字叫做循环节；最后利用周期问题的规律，用“位数÷循环节位数”求出余数，确定小数部分第100位上的数字。 【详解】 通过列竖式，小数部分“135”这三个数字依次不断重复出现，发现商是（ 循环 ）小数； 5÷37＝0.135135，循环节是“135”，在循环节的首位“1”和末位“5”上各点一个圆点，简便记作：； 循环节“135”共有3位数字，即周期长度是3：100÷3＝331，即表示第100位上的数字是下一组循环节中的第1个数字，就是循环节“135”的第1个数字是“1”。 因此，5÷37的商是循环小数，用简便方法记作，商的小数部分第100位上的数是1。 【跟踪训练5】循环小数0.895895…的简便记法是( )，保留两位小数约( )，小数点后第40位上的数字是( )，小数部分前20位数字的和是( )。 【答案】 0.90 8 149 【分析】循环小数的简写规则，只写一个循环节，在循环节的首位和末位数字上方各点一个小圆点；保留两位小数需要将小数点后第3位的数字与5比较，按照四舍五入法保留；小数部分每3位一循环看作一个周期，40÷3求出完整的周期数，余数是几，就是循环节的第几个数字；求小数部分前20位数字的和，用20除以3求出前20位有几个完整的循环节，就有几个（8＋9＋5）的和，然后看余数是几，就再加上循环节的前几个数得到前20位数字的和。 【详解】0.895895…的循环节是895，所以简便记法是； 小数点后第三位是5，按照五入法向前一位进1，9＋1＝10，再向前一位进1，8＋1＝9，所以保留两位小数约是0.90； 40÷3＝13（个）……1，所以第40位上的数字是循环节的 第一位，是8； 20÷3＝6（个）……2，所以前20位是6个完整的循环节再加上8和9，和是： （8＋9＋5）×6＋8＋9 ＝22×6＋8＋9 ＝132＋8＋9 ＝149 培优练习 1．下面算式中计算结果小于1的是（    ）。 A．1.02÷1.07 B．1.02＋1.07 C．1.02×1.07 D．1.07÷1.02 【答案】A 【分析】被除数小于除数时商小于1，被除数大于除数时商大于1；大于1的两个数相加，和大于任意一个加数；大于1的两个数相乘，积大于任意一个乘数， 【详解】A．，被除数小于除数，所以； B．，，所以； C．，，所以； D．，被除数大于除数，所以。 2．甲×1.6＝乙÷1.6＝丙，（甲乙丙都大于0），甲乙丙的大小关系是（    ）。 A．丙＞乙＞甲 B．乙＞丙＞甲 C．丙＞甲＞乙 D．甲＞丙＞乙 【答案】B 【分析】根据一个非零数乘一个大于1的数，乘积大于这个数本身；一个非零数除以一个大于1的数，商小于这个数本身；由此即可判断。 【详解】1.6＞1，因为甲×1.6＝乙÷1.6＝丙，则甲＝丙÷1.6＜丙，乙＝丙×1.6＞丙； 即乙＞丙＞甲。 3．每个瓶子可以装2.5kg牛奶，李阿姨要把25.65kg牛奶分装在瓶子里，至少要准备（    ）个这样的瓶子。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】分装牛奶时，用牛奶的总重量除以每个瓶子可以装的重量，剩余不够装满1瓶的部分也需要1个瓶子，要使用进一法取整数结果。 【详解】（个） 即至少要准备11个这样的瓶子。 4．李阿姨买了14个橘子共重2.1千克，如果买这样的橘子13千克，大约有（    ）。 A．200个以上 B．80多个 C．50多个 D．不到20个 【答案】B 【分析】已知李阿姨买了14个橘子共重2.1千克，根据除法的意义，用除法先算出一个橘子的重量，再用13除以求出的一个橘子的重量，求出13千克橘子的个数，结果保留整数位即可。 【详解】2.1÷14＝0.15（千克/个） 13÷0.15≈87（个） 即李阿姨买了14个橘子共重2.1千克，如果买这样的橘子13千克，大约有87个。 故答案为：B 5．5.86×6.8的积有( )位小数，265.9÷9.6的商的最高位在( )位上。 【答案】 3/三 十 【分析】（1）小数乘法中积的小数位数等于两个因数小数位数之和，所以先分别数出两个因数的小数位数，相加后即可判断积的小数位数，同时验证积的末尾是否有0，若有则需对应减少小数位数。 （2）除数是小数的除法，先根据商不变性质把除数转化为整数，再按照整数除法的判断方法，比较被除数前几位和除数的大小，确定商的最高位所在数位。 【详解】5.86是两位小数，6.8是一位小数，2＋1＝3，且两个因数末位6×8＝48，得数末尾没有0可以化简，所以积有三位小数。 265.9÷9.6＝2659÷96。被除数的前两位26小于除数96，所以看前三位265除以96，够商2，这个2在十位上，所以商的最高位在十位上。 6．的商保留一位小数约是( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 7.6 7.56 【分析】先计算6.8÷0.9的商。保留一位小数时，看百分位；保留两位小数时，看千分位。四舍五入后分别写出近似数。 【详解】6.8÷0.9＝7.555… 保留一位小数，要看百分位上的5，7.5约等于7.6。 保留两位小数，要看千分位上的5，7.55约等于7.56。 7．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 14.3×0.98( )14.3    22.8÷1.01( )22.8 1.02×5.9( )5.9÷1.02    62×0.78( )62 3.5×2.7( )35×0.27    36÷24( )3.6÷2.4 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＜ ＝ ＝ 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的数，积比原数小；乘1，积与原数相等。 一个数（0除外）除以大于1的数，商比原数小；除以小于1的数，商比原数大；除以1，商与原数相等。 两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数除以10，积不变。 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。 【详解】0.98＜1，所以14.3×0.98＜14.3。 1.01＞1，所以22.8÷1.01＜22.8 1.02＞1，所以1.02×5.9＞5.9，5.9÷1.02＜5.9，大于5.9的数一定大于小于5.9的数，1.02×5.9＞5.9÷1.02。 0.78＜1，所以62×0.78＜62。 3.5×2.7中，3.5乘10得到35，2.7除以10得到0.27，积不变，因此3.5×2.7＝35×0.27。 36÷24中，被除数36除以10得到3.6，除数24除以10得到2.4，商不变，因此36÷24＝3.6÷2.4。 8．将一个三位小数按“四舍五入”法精确到百分位后是5.72，这个三位小数最大是( )，最小是( )。 【答案】 5.724 5.715 【分析】取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大。要考虑5.72是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的5.72最大是5.724，“五入”得到的5.72最小是5.715，由此解答问题即可。 【详解】根据分析可知，将一个三位小数按“四舍五入”法精确到百分位后是5.72，这个三位小数最大是5.724，最小是5.715。 9．在小数1.1765、、、1.1765555…、1.1765176175…中，有限小数是( )，循环小数有( )个；这些数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 1.1765 3 1.1765 【分析】小数位数有限的小数叫作有限小数，小数位数无限的叫作无限小数；一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数； 比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的数就大，整数部分相同，再比较十分位，十分位相同，再比较百分位……；可以把循环小数的简便形式改写成一般形式，再把各数按从大到小的顺序排列，即可解答。 【详解】根据分析可知： 在小数1.1765、、、1.1765555…、1.1765176175…中，1.1765只有4位小数，则有限小数是1.1765； 是循环小数的是：、、1.1765555…，则循环小数有3个； ＝1.17651765… ＝1.1765765… 因为1.1765765…＞1.1765555…＞1.17651765…＞1.1765176175…＞1.1765， 所以＞1.1765555…＞＞1.1765176175…＞1.1765。 这些数中，最大的是，最小的是1.1765。 10．循环小数0.30173017…用简便方法记作( )，小数点后面第99位上的数字是( )，小数点后面前100位数字之和是( )。 【答案】 1 275 【分析】（1）首先观察小数部分，发现数字“3017”依次不断重复出现，所以循环节是“3017”，循环周期为4。循环小数的简便记法，在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点； （2）用位数99除以周期4，根据余数确定该位数字在循环节中的位置（余数是几，对应循环节的第几个数字）； （3）用位数100除以周期4，求出包含多少组完整的循环节，再用一个循环节的数字和乘循环节的个数。 【详解】（1）循环小数 0.30173017…的循环节是“3017”，简便记法是在循环节的首位3和末位7上面各点一个点，记作。 （2）循环节“3017”由4个数字组成，周期为4。 99÷4＝24（组）……3 （个） 余数是3，表示第99位数字是第25个循环节的第3个数字，所以，小数点后面第99位上的数字是1。 （3）100÷4＝25（组） ，表示前100位数字正好包含25个完整的循环节。 一个循环节的数字之和： 3＋0＋1＋7＝11 25个循环节的总和：11×25＝275 所以，小数点后面前100位数字之和是275。 11．在美丽的花丛中，一只小蜜蜂和一只小蝴蝶开启了一场飞行比赛，小蜜蜂0.5时飞了9.3千米；小蝴蝶0.8时飞了6.2千米。小蜜蜂的飞行速度是小蝴蝶的( )倍。 【答案】2.4 【分析】小蜜蜂0.5时飞了9.3千米，用9.3除以0.5求出小蜜蜂速度；小蝴蝶0.8时飞了6.2千米，用6.2除以0.8求出小蝴蝶速度；再用小蜜蜂的飞行速度除以小蝴蝶的飞行速度求出小蜜蜂的飞行速度是小蝴蝶的几倍。 【详解】9.3÷0.5＝18.6（千米/时） 6.2÷0.8＝7.75（千米/时） 18.6÷7.75＝2.4 所以小蜜蜂的飞行速度是小蝴蝶的2.4倍。 12．列竖式计算。（带★的要验算） 3.2×1.05＝                       6.64÷3.3＝ ★5.6×0.24＝                   ★7.2÷0.45＝ 【答案】3.36； 1.344；16 【分析】计算小数乘法时，先将小数看作整数，按照整数乘法的计算方法求出积，再根据因数的小数位数确定积的小数点位置。 乘法验算：可以用积除以其中的一个因数，看结果是否等于另一个因数。 计算小数除法时，除数是小数的除法，先根据商不变的性质，将除数转化为整数，被除数同时扩大相同的倍数，再按照整数除法的方法计算，商的小数点和扩大后的被除数的小数点对齐。 除法验算：可以用商乘除数，看结果是否等于被除数。 【详解】3.2×1.05＝3.36                     6.64÷3.3＝                                 5.6×0.24＝1.344                                                   7.2÷0.45＝16 验算：验算： 13．用竖式计算，带△的得数保留两位小数。 △0.064×5.9≈     13.33÷4.3＝     0.722÷3.8＝ 1.435÷0.7＝     0.75×10.42＝     △4.92÷1.9≈ 【答案】0.38；3.1；0.19； 2.05；7.815；2.59 【分析】小数乘法计算：先按整数乘法的规则算出乘积，因为乘数共有几位小数，所以要从积的右边起数出对应位数点上小数点，带△的乘法计算完后，根据四舍五入法保留两位小数。 小数除法计算：如果除数是小数，那么先移动除数的小数点使它变成整数，同时被除数的小数点也要向右移动相同位数，位数不够的补0，再按照除数是整数的除法进行计算，带△的除法计算到千分位后，用四舍五入法保留两位小数。 【详解】△0.064×5.9≈0.38                        13.33÷4.3＝3.1                  0.722÷3.8＝0.19                                          1.435÷0.7＝2.05                            0.75×10.42＝7.815               △4.92÷1.9≈2.59                                             14．在□里填上适当的数字，使竖式成立。 【答案】 【分析】（1）第一个乘数与第二个乘数的十分位4相乘得“272”， 即0.6□×4＝2.72，所以□里填8；第一个乘数0.68与第二个乘数的个位数字相乘，积的“十位”是3，计算0.68×2＝1.36，所以第二个乘数的个位是2，即0.68×2.4； （2）第一个乘数与第二个乘数的十分位相乘得“3□□”，且第一个乘数的百分位5与十分位相乘，积的末位是5，结合积的3，可确定第一个乘数为3.15，计算3.15×0.1＝0.315，所以第二个乘数是4.1，即3.15×4.1。 【详解】略 15．某小区每月每平方米的物业管理费是3.5元，王老师家现在居住的是100.6平方米的房子，王老师每月需缴纳物业管理费多少元？ 【答案】352.1元 【分析】已知每月每平方米物业管理费和房屋面积，求每月总物业费，用每平方米的费用乘房屋面积计算。 【详解】（元） 答：王老师每月需缴纳物业管理费352.1元。 16．麦田春天糕房特制一种生日蛋糕，1.98千克面粉可以做3个。李师傅领了5千克面粉，他最多可以做多少个这种生日蛋糕？ 【答案】 7个 【分析】用1.98千克除以3即可先求出做1个生日蛋糕需要的面粉质量，再用总面粉质量除以单个蛋糕的面粉用量，由于剩余面粉不够制作1个完整蛋糕，需用去尾法取整数结果。 【详解】（千克） （个） 答：他最多可以做7个这种生日蛋糕。 17．农场有8.6万平方米玉米地需要播种。一台播种机器人每时能播种1.2万平方米玉米地，如果它连续工作且中途不休息，那么至少需要多少时才能完成全部播种任务？（得数保留两位小数） 【答案】 时 【分析】已知播种总面积和每小时播种面积，用总面积除以每小时播种面积可得到所需时间，由于必须完成全部播种任务，需用进一法将结果保留两位小数。 【详解】（时） 答：那么至少需要7.17时才能完成全部播种任务。 18．学校实验室地板面积是52平方米，如果选用边长是0.6米的正方形地砖铺地，至少需要多少块这样的地砖？ 【答案】145块 【分析】先根据正方形面积＝边长×边长计算每块正方形地砖的面积，再用实验室地板总面积除以每块地砖的面积得到所需地砖数，由于地砖数量必须是整数且要铺满地面，结果用进一法取整。 【详解】52÷（0.6×0.6） ＝52÷0.36 ≈145（块） 答：至少需要145块这样的地砖。 19．遵义市某社区要新建一个长方形便民停车场，长是45.6米，宽是长的0.5倍。停车场建成后，计划在地面铺边长为0.4米的正方形地砖，铺满整个停车场需要多少块地砖？ 【答案】块 【分析】先根据长和宽的倍数关系用乘法求出停车场的宽，再根据长方形的面积等于长乘宽，正方形的面积等于边长乘边长，分别算出长方形停车场的面积与正方形地砖的面积，用停车场总面积除以单块地砖面积，即可得到所需地砖数量。 【详解】（米） （平方米） （平方米） （块） 答：铺满整个停车场需要块地砖。 20．1÷7的商用循环小数表示是什么？小数部分第50位上的数字是多少？小数部分前2025位各个数位上的数字之和是多少？ 【答案】；4；9106 【分析】，循环部分是142857，6个数字为一组。 因为，所以小数部分第50位上的数字是4。要求小数部分前2025位各个数位上数字的和，就是要看前2025位上有多少组循环节，余下的数字是哪几个。 【详解】1÷7的商用循环小数表示是。     答：商用循环小数表示是，小数部分第50位上的数字是4，小数部分前2025位各个数位上的数字之和是9106。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 小数乘法和除法（二）（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：小数乘小数的算理与笔算 1. 核心算理：转化思想 (1) 基本原理：将小数乘法转化为整数乘法计算。 (2) 积的变化规律： 1　 一个因数扩大 倍，另一个因数扩大 倍，积就扩大 倍。 2　 反之，要得到原来的积，需将整数积缩小相应的倍数。 (3) 小数点定位法则： 1　 先按整数乘法算出积。 2　 看两个因数中一共有几位小数。 3　 从积的右边起数出几位，点上小数点。 4　 注意：如果积的小数位数不够，要在前面用“0”补足，再点小数点。 2. 特殊规律总结（思维拓展） (1) 与1比较： 1　 一个非0数 大于1的数，积 原数。 2　 一个非0数 小于1的数（且大于0），积 原数。 3　 一个非0数 1，积 原数。 (2) 末尾0的处理： 1　 先点小数点，再去掉小数末尾的“0”（化简）。 2　 易错提醒：不要先去掉因数末尾的0再点小数点，除非你清楚位值变化。 知识点二：积的近似值与最值范围 1. 求近似值的方法 (1) 四舍五入法：保留几位小数，就看它的下一位。 例如：保留两位小数，看千分位；千分位 进1， 舍去。 (2) 书写规范： 1　 横式中写“ ”，竖式中最后一步通常不写约等号，但在结果旁标注。 2　 结果末尾的0不能随意去掉（如保留两位小数，3.50不能写成3.5），因为它表示精确度。 2. 逆向思维：确定取值范围（培优重点） (1) 已知近似值，求原数范围： 1　 若一个两位小数保留一位小数后是 3.5： 最大值：“四舍”得到的，原数最大是 3.54。 最小值：“五入”得到的，原数最小是 3.45。 2　 通用公式： 最小值 = 近似值 - 0.0...05（末位减5） 最大值 = 近似值 + 0.0...04（末位加4） (2) 应用技巧：在解决“积可能是多少”的问题时，利用此范围快速排除错误选项。 知识点三：一个数除以小数的算理与笔算 1. 核心算理：商不变性质 (1) 转化步骤： 1　 移动除数：将除数的小数点向右移动，使其变成整数。 2　 同步移动被除数：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位。 3　 补足位数：如果被除数位数不够，在末尾用“0”补足。 4　 按整数除法计算：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。 2. 关键细节与易错点 (1) 商中间有0：当某一位不够商1时，必须商0占位，不可跳过。 (2) 余数处理：每一步的余数必须比除数小。 (3) 小数点对齐：这是最容易出错的地方。务必记住：商的小数点由“移动后的被除数”决定，而不是原来的被除数。 3. 大小比较规律（思维拓展） (1) 一个非0数 大于1的数，商 被除数。 (2) 一个非0数 小于1的数（且大于0），商 被除数。 (3) 一个非0数 1，商 被除数。 (4) 记忆口诀：除数越大，商越小；除数越小，商越大。 知识点四：商的近似值与实际取整策略 1. 一般方法：四舍五入 (1) 计算时，通常需要除到比保留位数多一位，再进行四舍五入。 (2) 例如：保留两位小数，需除到第三位小数。 2. 实际生活中的特殊取整法（高频考点） 在实际应用中，不能机械地使用“四舍五入”，需根据情境选择： 策略名称 适用场景 操作方法 示例 进一法 需要“装满”、“容纳”、“购买”等场景，剩余部分也需要一个单位。 无论余数/小数部分多小，都向前一位进1。 装油桶、做衣服、租车、租船。 例：2.1吨油，每桶装1吨，需3个桶。 去尾法 需要“制作”、“截取”、“分配”等场景，剩余部分不足以构成一个完整单位。 无论余数/小数部分多大，直接舍去。 做蛋糕、剪绳子、买东西（钱不够时）。 例：10米布，每套衣用3米，只能做3套。 3. 解题判断技巧 (1) 问“至少需要多少个容器/车辆？” 进一法。 (2) 问“最多可以做多少个物品？” 去尾法。 知识点五：循环小数与规律探究 1. 基本概念 (1) 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。 (2) 循环节：重复出现的数字序列。 (3) 简便写法：只写第一个循环节，并在首尾数字上方各点一个圆点。 1　 例： 写作 2　 例： 写作 2. 分类辨析 (1) 有限小数：小数部分位数是有限的。 (2) 无限小数：小数部分位数是无限的。 1　 无限循环小数（是有理数） 2　 无限不循环小数（如 ，是无理数，小学阶段仅作了解） (3) 关系：循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 3. 规律探究（培优难点） (1) 周期问题： 1　 确定循环节的长度（周期 ）。 2　 用目标位数 除以周期 ： 。 3　 余数是几，就是循环节里的第几个数字。 4　 余数为0，则是循环节里的最后一个数字。 重难点题型精讲 题型一、小数乘小数的算理与笔算 【例题1】列竖式计算。            【跟踪训练1】用竖式计算。 2.7×4.5＝     0.48×2.25＝     48.5×0.05＝ 4.5×2.1＝     0.33×1.7＝     2.28×0.9＝ 题型二、积的近似值与最值范围 【例题2】两个因数的积是三位小数，保留两位小数约是5.34，这个积最小是( )，最大是( )。 【跟踪训练2】计算一道小数乘法题时得到的积为5.□□□，这个积用四舍五入法保留两位小数后的近似值是5.90，则这道题中积最大是( )，最小是( )。 题型三、一个数除以小数的算理与笔算 【例题3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.68×4.7( )4.7        7.6×12( )76×1.2 7.3÷0.195( )7.3        0.5×0.5( )0.5÷0.5 【跟踪训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.5÷0.9( )0.5    0.55×0.9( )0.55    3.6÷0.01( )3.6×100 3.9÷1( )3.9×1    6.5÷0.86( )6.5    8.3×0.5( )8.3÷2 3.2÷0.01( )3.2×0.01  0.6×0.5( )0.6÷2    0÷0.99( )0.99 题型四、商的近似值与实际取整策略 【例题4】福清特产的烤鳗远销海外。一批重54.9吨的烤鳗，用一辆载重4.5吨的货车运往码头，至少需要多少次才能运完？ 【跟踪训练4】妈妈带100元去超市，买了8本笔记本，每本3.5元，剩下的钱买每支2.6元的钢笔，最多可以买多少支？ 题型五、循环小数与规律探究 【例题5】5÷37的商是( )小数，用简便方法记作( )，商的小数部分第100位上的数是( )。 【跟踪训练5】循环小数0.895895…的简便记法是( )，保留两位小数约( )，小数点后第40位上的数字是( )，小数部分前20位数字的和是( )。 培优练习 1．下面算式中计算结果小于1的是（    ）。 A．1.02÷1.07 B．1.02＋1.07 C．1.02×1.07 D．1.07÷1.02 2．甲×1.6＝乙÷1.6＝丙，（甲乙丙都大于0），甲乙丙的大小关系是（    ）。 A．丙＞乙＞甲 B．乙＞丙＞甲 C．丙＞甲＞乙 D．甲＞丙＞乙 3．每个瓶子可以装2.5kg牛奶，李阿姨要把25.65kg牛奶分装在瓶子里，至少要准备（    ）个这样的瓶子。 A．9 B．10 C．11 D．12 4．李阿姨买了14个橘子共重2.1千克，如果买这样的橘子13千克，大约有（    ）。 A．200个以上 B．80多个 C．50多个 D．不到20个 5．5.86×6.8的积有( )位小数，265.9÷9.6的商的最高位在( )位上。 6．的商保留一位小数约是( )，保留两位小数约是( )。 7．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 14.3×0.98( )14.3    22.8÷1.01( )22.8 1.02×5.9( )5.9÷1.02    62×0.78( )62 3.5×2.7( )35×0.27    36÷24( )3.6÷2.4 8．将一个三位小数按“四舍五入”法精确到百分位后是5.72，这个三位小数最大是( )，最小是( )。 9．在小数1.1765、、、1.1765555…、1.1765176175…中，有限小数是( )，循环小数有( )个；这些数中，最大的是( )，最小的是( )。 10．循环小数0.30173017…用简便方法记作( )，小数点后面第99位上的数字是( )，小数点后面前100位数字之和是( )。 11．在美丽的花丛中，一只小蜜蜂和一只小蝴蝶开启了一场飞行比赛，小蜜蜂0.5时飞了9.3千米；小蝴蝶0.8时飞了6.2千米。小蜜蜂的飞行速度是小蝴蝶的( )倍。 12．列竖式计算。（带★的要验算） 3.2×1.05＝                       6.64÷3.3＝ ★5.6×0.24＝                   ★7.2÷0.45＝ 13．用竖式计算，带△的得数保留两位小数。 △0.064×5.9≈     13.33÷4.3＝     0.722÷3.8＝ 1.435÷0.7＝     0.75×10.42＝     △4.92÷1.9≈ 14．在□里填上适当的数字，使竖式成立。 15．某小区每月每平方米的物业管理费是3.5元，王老师家现在居住的是100.6平方米的房子，王老师每月需缴纳物业管理费多少元？ 16．麦田春天糕房特制一种生日蛋糕，1.98千克面粉可以做3个。李师傅领了5千克面粉，他最多可以做多少个这种生日蛋糕？ 17．农场有8.6万平方米玉米地需要播种。一台播种机器人每时能播种1.2万平方米玉米地，如果它连续工作且中途不休息，那么至少需要多少时才能完成全部播种任务？（得数保留两位小数） 18．学校实验室地板面积是52平方米，如果选用边长是0.6米的正方形地砖铺地，至少需要多少块这样的地砖？ 19．遵义市某社区要新建一个长方形便民停车场，长是45.6米，宽是长的0.5倍。停车场建成后，计划在地面铺边长为0.4米的正方形地砖，铺满整个停车场需要多少块地砖？ 20．1÷7的商用循环小数表示是什么？小数部分第50位上的数字是多少？小数部分前2025位各个数位上的数字之和是多少？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $