第4讲 分数乘法综合应用拓展 专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第4讲 分数乘法综合应用拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础公式回顾 核心公式：部分量 = 单位“1”的量 × 对应分率 单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 连续求分率：后一个分率的单位“1”是前一个的部分量，分率连锁相乘。 比多/比少： 甲比乙多：甲 = 乙 × 甲比乙少：甲 = 乙 × 2. 进阶核心1：量率对应进阶 核心逻辑：具体数量和它对应的分率必须是同一单位“1”下的同一部分。 常见题型： ① 已知两个部分量的差及各自分率，求总量：总量 = 数量差 ÷ 分率差 ② 已知剩余量及多次用去的分率，求总量：先求剩余量对应的分率，再用除法。 易错点：分率和数量不匹配时，需先通过加减调整数量，使量率对应。 3. 进阶核心2：倒推还原法（逆推法） 适用场景：已知最终剩余数量，每次操作是“用去/拿出几分之几”，求初始总量。 解题步骤： ① 从最后结果出发，从后往前逆推； ② 每一步逆运算：用去几分之几 → 剩余 → 逆推用除法：剩余量 ÷ ； ③ 遇到“多几”就减，“少几”就加，再除以对应分率。 口诀：倒着推，反着算，分率用除，多加少减。 4. 进阶核心3：假设法解分率和差问题 适用场景：已知两个量的总和，以及两个量各自的分率对应的数量和，求两个量分别是多少（分数版“鸡兔同笼”）。 解题步骤： ① 假设全是其中一个量，计算出假设情况下的分率对应量； ② 求出假设量与实际量的差； ③ 用差除以两个量的分率差，得到另一个量的总数； ④ 总和减去这个量得到第一个量。 5. 进阶核心4：统一单位“1”综合 当题目出现多个不同单位“1”的分率时，需抓住不变量统一基准： ① 总量不变：将总量设为单位“1”，各部分量转化为占总量的分率； ② 部分量不变：以不变量为单位“1”，转化其他量的分率； ③ 剩余量相等：通过“剩余量相等”建立等式，求出两个量的分率比，再按比例分配。 6. 解题通用步骤 ① 审题圈画：标出所有分率，明确每个分率的单位“1”； ② 判断类型：确定是正向计算、量率对应、倒推还是假设法题型； ③ 统一单位“1”：单位“1”不统一时，先转化再计算； ④ 量率对应：找到具体数量对应的分率，列式计算； ⑤ 检验：将结果代入原题验证是否符合条件。 例题讲解 【典型例题1】连锁分率综合应用 果园里有苹果树120棵，梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数比梨树少。桃树有多少棵？ 【跟踪训练1】 超市运来大米150袋，面粉的袋数是大米的，玉米的袋数比面粉多。运来玉米多少袋？ 【典型例题2】量率对应进阶（差量对应） 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修120米。这条公路全长多少米？ 【跟踪训练2】 一堆煤，第一次运走总数的，第二次运走总数的，第一次比第二次多运走8吨。这堆煤原有多少吨？ 【典型例题3】倒推还原法解题 一根铁丝，第一次用去全长的，第二次用去余下的，这时还剩12米。这根铁丝原来长多少米？ 【跟踪训练3】 小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩45页没看。这本书共有多少页？ 【典型例题4】假设法解分率和问题 六（1）班共有学生50人，男生人数的和女生人数的共21人。男、女生各有多少人？ 【跟踪训练4】 鸡和兔共30只，鸡的只数的和兔的只数的共13只。鸡、兔各有多少只？ 【典型例题5】统一单位“1”：剩余量相等型 甲、乙两个仓库共存粮85吨，甲仓运出，乙仓运出后，两仓剩下的粮食质量相等。原来甲、乙两仓各存粮多少吨？ 【跟踪训练5】 甲、乙两人共有零花钱155元，甲用去，乙用去后，两人剩下的钱数相等。原来两人各有多少钱？ 巩固练习 1. 水果店运来香蕉60千克，橘子的质量是香蕉的，苹果的质量比橘子多。运来苹果多少千克？ 2. 一件衣服原价180元，先涨价，再降价。现价是多少元？ 3. 修一条水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了180米。这条水渠全长多少米？ 4. 小明和小华集邮，小明的邮票数是小华的，小明比小华少24张。两人各有多少张邮票？ 5. 一堆货物，第一次运走总数的，第二次运走余下的，还剩24吨。这堆货物原有多少吨？ 6. 一根绳子，第一次剪去全长的多2米，第二次剪去余下的少1米，还剩10米。这根绳子原来长多少米？ 7. 大小两种瓶共50个，每个大瓶装水千克，每个小瓶装水千克，大瓶总装水量比小瓶多15千克。大、小瓶各有多少个？ 8. 甲、乙两堆煤共重62吨，甲堆运走，乙堆运走后，两堆剩下的煤一样重。原来甲、乙两堆各有多少吨？ 9. 甲、乙两个工程队共有工人240人，从甲队调到乙队后，两队人数相等。原来甲队有多少人？ 10. 一根电线长40米，先用去，又用去米，还剩多少米？ 11. 一桶油，第一次倒出全桶的，第二次倒出15千克，这时还剩半桶油。这桶油原有多少千克？ 【分析】先求第二次倒出的分率，对应15千克，量率对应。 12. 六（2）班男生人数比全班总人数的少5人，女生人数占全班的。全班有多少人？ 真题训练 1.（小升初真题）一根绳子长20米，先剪去它的，再接上米，这根绳子现在长多少米？ 2.（希望杯模拟题）一件商品先提价，再降价，现价与原价相比（ ） A. 提高了 B. 降低了 C. 不变 D. 无法确定 3.（小升初真题）一桶油，第一次用去这桶油的，第二次用去这桶油的，第一次比第二次多用2千克。这桶油原有多少千克？ 4.（华杯赛初赛）小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了24页，第三天看的页数是前两天总数的150%，这时还剩下全书的没看。这本书共有多少页？ 5.（重点中学分班考）一堆西瓜，第一次卖出总个数的又6个，第二次卖出余下的又4个，第三次卖出余下的又3个，正好卖完。这堆西瓜原有多少个？ 6.（小升初真题）甲、乙两筐梨共重60千克，从甲筐取出放入乙筐后，两筐梨同样重。甲筐原有梨多少千克？ 7.（走美杯真题）学校图书馆有科技书和文艺书共1700本，科技书借出，文艺书借出后，两种书剩下的本数一样多。原来科技书有多少本？ 8.（重点中学自主招生）六年级一班原有学生42人，其中男生占，后来转来几名女生，这时男生占全班的。转来多少名女生？ 9.（希望杯真题）甲、乙两班共有100人，甲班人数的与乙班人数的共56人。甲、乙两班各有多少人？ 10.（小升初压轴题）某工厂有三个车间，第一车间人数占三个车间总人数的，第二车间人数是第三车间的，第一车间比第二车间少40人。三个车间共有多少人？ 11.（华杯赛模拟）一根木条，先截去全长的，再接上2米，这时比原来短。这根木条原来长多少米？ 12.（思维训练题）甲、乙、丙三人共有棋子若干，甲的棋子数是乙、丙总数的，乙的棋子数是甲、丙总数的，丙有60枚棋子。三人共有多少枚棋子？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 分数乘法综合应用拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础公式回顾 核心公式：部分量 = 单位“1”的量 × 对应分率 单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 连续求分率：后一个分率的单位“1”是前一个的部分量，分率连锁相乘。 比多/比少： 甲比乙多：甲 = 乙 × 甲比乙少：甲 = 乙 × 2. 进阶核心1：量率对应进阶 核心逻辑：具体数量和它对应的分率必须是同一单位“1”下的同一部分。 常见题型： ① 已知两个部分量的差及各自分率，求总量：总量 = 数量差 ÷ 分率差 ② 已知剩余量及多次用去的分率，求总量：先求剩余量对应的分率，再用除法。 易错点：分率和数量不匹配时，需先通过加减调整数量，使量率对应。 3. 进阶核心2：倒推还原法（逆推法） 适用场景：已知最终剩余数量，每次操作是“用去/拿出几分之几”，求初始总量。 解题步骤： ① 从最后结果出发，从后往前逆推； ② 每一步逆运算：用去几分之几 → 剩余 → 逆推用除法：剩余量 ÷ ； ③ 遇到“多几”就减，“少几”就加，再除以对应分率。 口诀：倒着推，反着算，分率用除，多加少减。 4. 进阶核心3：假设法解分率和差问题 适用场景：已知两个量的总和，以及两个量各自的分率对应的数量和，求两个量分别是多少（分数版“鸡兔同笼”）。 解题步骤： ① 假设全是其中一个量，计算出假设情况下的分率对应量； ② 求出假设量与实际量的差； ③ 用差除以两个量的分率差，得到另一个量的总数； ④ 总和减去这个量得到第一个量。 5. 进阶核心4：统一单位“1”综合 当题目出现多个不同单位“1”的分率时，需抓住不变量统一基准： ① 总量不变：将总量设为单位“1”，各部分量转化为占总量的分率； ② 部分量不变：以不变量为单位“1”，转化其他量的分率； ③ 剩余量相等：通过“剩余量相等”建立等式，求出两个量的分率比，再按比例分配。 6. 解题通用步骤 ① 审题圈画：标出所有分率，明确每个分率的单位“1”； ② 判断类型：确定是正向计算、量率对应、倒推还是假设法题型； ③ 统一单位“1”：单位“1”不统一时，先转化再计算； ④ 量率对应：找到具体数量对应的分率，列式计算； ⑤ 检验：将结果代入原题验证是否符合条件。 例题讲解 【典型例题1】连锁分率综合应用 果园里有苹果树120棵，梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数比梨树少。桃树有多少棵？ 【分析】连续两次求分率：第一步以苹果树为单位“1”，用乘法求出梨树棵数；第二步以梨树为单位“1”，用乘法求出桃树棵数。 【详解】 第一步：求梨树棵数（单位“1”是苹果树，已知） （棵） 第二步：求桃树棵数（单位“1”是梨树，已知） 桃树比梨树少，对应分率为 （棵） 综合算式： （棵） 【答案】棵 【跟踪训练1】 超市运来大米150袋，面粉的袋数是大米的，玉米的袋数比面粉多。运来玉米多少袋？ 【分析】先求面粉袋数（单位1是大米），再求玉米袋数（单位1是面粉）。 【详解】 面粉：（袋） 玉米：（袋） 综合算式：（袋） 【答案】袋 【典型例题2】量率对应进阶（差量对应） 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修120米。这条公路全长多少米？ 【分析】两天的分率都以全长为单位“1”，先求出第二天比第一天多修的分率差，对应多修的120米，用量率对应公式求全长。 【详解】 第二天比第一天多修的分率： 全长 = 数量差 ÷ 分率差： （米） 【答案】米 【跟踪训练2】 一堆煤，第一次运走总数的，第二次运走总数的，第一次比第二次多运走8吨。这堆煤原有多少吨？ 【分析】先求第一次比第二次多运的分率差，对应8吨，求总量。 【详解】 分率差： 原有吨数：（吨） 【答案】吨 【典型例题3】倒推还原法解题 一根铁丝，第一次用去全长的，第二次用去余下的，这时还剩12米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】从最后剩余的12米倒推，先求出第一次用后余下的长度，再求出全长；也可以先求出剩余长度对应全长的分率，直接量率对应。 【详解】 方法一：倒推法 第二次用去余下的，剩下的12米对应第一次余下的 第一次余下的长度：（米） 第一次用去全长的，余下的18米对应全长的 全长：（米） 方法二：统一分率法 剩余长度对应全长的分率： 全长：（米） 【答案】米 【跟踪训练3】 小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩45页没看。这本书共有多少页？ 【分析】倒推法：先求第一天余下的页数，再求全书页数。 【详解】 第二天看完剩下45页，对应第一天余下的 第一天余下：（页） 第一天余下对应全书的 全书：（页） 【答案】页 【典型例题4】假设法解分率和问题 六（1）班共有学生50人，男生人数的和女生人数的共21人。男、女生各有多少人？ 【分析】这是分数版“鸡兔同笼”问题，用假设法：假设全是男生，算出对应人数，与实际人数的差除以分率差，得到女生人数。 【详解】 假设50人全是男生，则男生人数的为： （人） 比实际多的人数：（人） 每把1名女生当成男生，多算的人数： （人） 女生人数：（人） 男生人数：（人） 验证：（人），符合题意。 【答案】男生人，女生人 【跟踪训练4】 鸡和兔共30只，鸡的只数的和兔的只数的共13只。鸡、兔各有多少只？ 【分析】假设全是兔，算出对应数量，与实际的差除以分率差得鸡的只数。 【详解】 假设30只全是兔，则兔的为：（只） 比实际多：（只） 每把1只鸡当成兔，多算：（只） 鸡的只数：（只） 兔的只数：（只） 验证：（只），正确。 【答案】鸡只，兔只 【典型例题5】统一单位“1”：剩余量相等型 甲、乙两个仓库共存粮85吨，甲仓运出，乙仓运出后，两仓剩下的粮食质量相等。原来甲、乙两仓各存粮多少吨？ 【分析】根据“剩下的质量相等”建立等式，求出甲乙两仓存粮的比，再按比例分配。 【详解】 甲仓剩下： 乙仓剩下： 由题意： 则 总份数： 甲仓存粮：（吨） 乙仓存粮：（吨） 验证：吨，吨，剩下相等，正确。 【答案】甲仓吨，乙仓吨 【跟踪训练5】 甲、乙两人共有零花钱155元，甲用去，乙用去后，两人剩下的钱数相等。原来两人各有多少钱？ 【分析】根据剩下的钱相等，求出甲乙钱数的比，按比例分配。 【详解】 甲剩下：，乙剩下： 由题意： 则 总份数： 甲原有：（元） 乙原有：（元） 验证：元，元，剩下相等，正确。 【答案】甲有元，乙有元 巩固练习 1. 水果店运来香蕉60千克，橘子的质量是香蕉的，苹果的质量比橘子多。运来苹果多少千克？ 【分析】先求橘子质量，再求苹果质量，连续分数乘法。 【详解】 橘子：（千克） 苹果：（千克） 【答案】千克 2. 一件衣服原价180元，先涨价，再降价。现价是多少元？ 【分析】涨价的单位1是原价，降价的单位1是涨价后的价格，分两次计算。 【详解】 涨价后价格：（元） 现价：（元） 【答案】元 3. 修一条水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了180米。这条水渠全长多少米？ 【分析】先求两天一共修的分率和，对应180米，量率对应求全长。 【详解】 两天共修分率： 全长：（米） 【答案】米 4. 小明和小华集邮，小明的邮票数是小华的，小明比小华少24张。两人各有多少张邮票？ 【分析】小明比小华少的分率对应24张，先求小华的数量（单位1），再求小明的。 【详解】 小明比小华少的分率： 小华邮票数：（张） 小明邮票数：（张） 【答案】小明张，小华张 5. 一堆货物，第一次运走总数的，第二次运走余下的，还剩24吨。这堆货物原有多少吨？ 【分析】倒推法，先求第一次余下的吨数，再求总吨数。 【详解】 第二次运完剩24吨，对应第一次余下的 第一次余下：（吨） 第一次余下对应总数的 原有：（吨） 【答案】吨 6. 一根绳子，第一次剪去全长的多2米，第二次剪去余下的少1米，还剩10米。这根绳子原来长多少米？ 【分析】带数量的倒推题，“少1米”就减1，“多2米”就加2，再除以对应分率。 【详解】 第二次剪去余下的少1米，剩10米，说明米对应第一次余下的 第一次余下：（米） 第一次剪去全长的多2米，余下18米，说明米对应全长的 全长：（米） 【答案】米 7. 大小两种瓶共50个，每个大瓶装水千克，每个小瓶装水千克，大瓶总装水量比小瓶多15千克。大、小瓶各有多少个？ 【分析】假设全是大瓶，算出总装水量差，除以每个瓶的装水量差得小瓶数。 【详解】 假设50个全是大瓶，总装水量：（千克） 此时小瓶装水量为0，大瓶比小瓶多37.5千克，比实际多：（千克） 每把1个大瓶换成小瓶，大瓶减少，小瓶增加，差值减少：（千克） 小瓶个数：（个） 大瓶个数：（个） 验证：（千克），正确。 【答案】大瓶个，小瓶个 8. 甲、乙两堆煤共重62吨，甲堆运走，乙堆运走后，两堆剩下的煤一样重。原来甲、乙两堆各有多少吨？ 【分析】根据剩下的相等，求出甲乙的质量比，按比例分配。 【详解】 甲剩下：，乙剩下： 由题意： 则 总份数： 甲堆：（吨） 乙堆：（吨） 验证：吨，吨，正确。 【答案】甲堆吨，乙堆吨 9. 甲、乙两个工程队共有工人240人，从甲队调到乙队后，两队人数相等。原来甲队有多少人？ 【分析】总人数不变，先求现在两队人数，再求甲队原来的人数。 【详解】 总人数240人，调完后两队相等，各有：（人） 甲队调走后剩120人，对应原来的 原来甲队：（人） 【答案】人 10. 一根电线长40米，先用去，又用去米，还剩多少米？ 【分析】区分分率和具体数量，第一个1/5是分率，第二个是具体长度。 【详解】 第一次用去：（米） 还剩：（米） 【答案】米 11. 一桶油，第一次倒出全桶的，第二次倒出15千克，这时还剩半桶油。这桶油原有多少千克？ 【分析】先求第二次倒出的分率，对应15千克，量率对应。 【详解】 还剩半桶，即，两次一共倒出 第二次倒出的分率： 原有：（千克） 【答案】千克 12. 六（2）班男生人数比全班总人数的少5人，女生人数占全班的。全班有多少人？ 【分析】女生占1/2，说明男生也占1/2，男生比3/5少的分率对应5人。 【详解】 男生占全班的： 5人对应分率： 全班人数：（人） 【答案】人 真题训练 1.（小升初真题）一根绳子长20米，先剪去它的，再接上米，这根绳子现在长多少米？ 【分析】第一个1/4是分率，第二个是具体长度，先剪后加。 【详解】 剪去后剩下：（米） 现在长度：（米） 【答案】米 2.（希望杯模拟题）一件商品先提价，再降价，现价与原价相比（ ） A. 提高了 B. 降低了 C. 不变 D. 无法确定 【分析】设原价为单位1，计算现价比较。 【详解】 设原价为1 提价后： 现价： ，所以降低了。 【答案】 3.（小升初真题）一桶油，第一次用去这桶油的，第二次用去这桶油的，第一次比第二次多用2千克。这桶油原有多少千克？ 【分析】分率差对应2千克，求总量。 【详解】 分率差： 原有：（千克） 【答案】千克 4.（华杯赛初赛）小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了24页，第三天看的页数是前两天总数的150%，这时还剩下全书的没看。这本书共有多少页？ 【分析】先把第三天的分率转化，求出24页对应的分率。 【详解】 第三天是前两天的150%，即 前两天看了全书的加24页，第三天看了全书的加页 三天一共看了全书的加页 对应全书的 所以60页对应全书的 全书：（页） 【答案】页 5.（重点中学分班考）一堆西瓜，第一次卖出总个数的又6个，第二次卖出余下的又4个，第三次卖出余下的又3个，正好卖完。这堆西瓜原有多少个？ 【分析】倒推法，从最后往前推，每次“又几个”就加几个，再除以对应分率。 【详解】 第三次卖完正好0个，说明卖之前的就是3个 第二次卖完余下：（个） 第二次卖出余下的又4个，剩下6个，说明个对应第一次余下的 第一次余下：（个） 第一次卖出总数的又6个，剩下15个，说明个对应总数的 原有：（个） 【答案】个 6.（小升初真题）甲、乙两筐梨共重60千克，从甲筐取出放入乙筐后，两筐梨同样重。甲筐原有梨多少千克？ 【分析】总质量不变，先求现在每筐质量，再倒推甲筐原来的质量。 【详解】 现在每筐重：（千克） 甲筐取出后剩30千克，对应原来的 甲筐原有：（千克） 【答案】千克 7.（走美杯真题）学校图书馆有科技书和文艺书共1700本，科技书借出，文艺书借出后，两种书剩下的本数一样多。原来科技书有多少本？ 【分析】根据剩下的相等，求出两种书的数量比，按比例分配。 【详解】 科技书剩下：，文艺书剩下： → 总份数： 科技书：（本） 【答案】本 8.（重点中学自主招生）六年级一班原有学生42人，其中男生占，后来转来几名女生，这时男生占全班的。转来多少名女生？ 【分析】男生人数不变，先求男生人数，再求现在全班人数，差值为转来的女生。 【详解】 男生人数：（人） 现在全班人数：（人） 转来女生：（人） 【答案】名 9.（希望杯真题）甲、乙两班共有100人，甲班人数的与乙班人数的共56人。甲、乙两班各有多少人？ 【分析】假设法，假设全是乙班，算出对应人数，与实际差除以分率差得甲班人数。 【详解】 假设100人全是乙班，则乙班的为：（人） 比实际多：（人） 每把1个甲班人当成乙班，多算：（人） 甲班人数：（人） 乙班人数：（人） 验证：（人），正确。 【答案】甲班人，乙班人 10.（小升初压轴题）某工厂有三个车间，第一车间人数占三个车间总人数的，第二车间人数是第三车间的，第一车间比第二车间少40人。三个车间共有多少人？ 【分析】先求出二、三车间占总数的分率，再求第二车间占总数的分率，最后量率对应。 【详解】 二、三车间共占总数的： 第二车间是第三车间的，所以第二车间占二、三总数的 第二车间占总人数的： 第一车间比第二车间少的分率： 总人数：（人） 【答案】人 11.（华杯赛模拟）一根木条，先截去全长的，再接上2米，这时比原来短。这根木条原来长多少米？ 【分析】先求接上2米后对应的分率，求出2米对应的分率。 【详解】 截去后剩下，接上2米后是原来的 2米对应分率： 原来长：（米） 【答案】米 12.（思维训练题）甲、乙、丙三人共有棋子若干，甲的棋子数是乙、丙总数的，乙的棋子数是甲、丙总数的，丙有60枚棋子。三人共有多少枚棋子？ 【分析】统一总棋子数为单位1，分别求出甲、乙占总数的分率，再求丙的分率。 【详解】 甲是乙丙总数的，甲占总数的： 乙是甲丙总数的，乙占总数的： 丙占总数的： 总数：（枚） 【答案】枚 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $