阶段检测压轴题汇总（三角形与全等三角形）2026-2027学年八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项（人教版）

本讲义聚焦初中数学三角形与全等三角形核心知识，系统梳理三边关系应用、内角外角计算、重要线段辨析等基础内容，逐步过渡到八字飞镖模型、全等判定与性质、二次全等证明，直至角平分线性质、一线三等角（K字模型）、手拉手模型等综合应用，构建从概念到模型的学习支架。 该资料以题型分类为特色，每个题型配备核心难点解析、中考及阶段检测例题与变式题，通过“一线三等角模型”培养几何直观，“二次全等证明”提升推理能力，助力学生用数学思维解决复杂问题。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过例题变式巩固知识，查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第一次月考压轴题汇总（三角形与全等三角形） 目标导航 压轴题型 考查位置 核心难点 三角形三边关系 选择、填空 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；最简判断技巧： 应用 高频 最短两边之和>最长边即可构成三角形。 三角形内角与外 基础必考 1.三角形内角和：180°；2.直角三角形两锐角互余；3.三角形外角=与它不相 角计算 邻的两个内角和：4.外角大于任意一个不相邻内角。 三角形重要线段 选择易错 考查三角形的高线、中线、角平分线、中位线四种线段的性质与区别 辨析 八字模型、飞镖 解答题必 主要用于快速计算复杂图形角度，无需逐个推导内角，选择填空秒杀题型，解 模型 考、 答题可辅助验证答案。 全等三角形的判 选择、填空 SSS(边边边)、SAS(边角边)、ASA(角边角)、AAS(角角边)、HL 定辨析 (斜边直角边，仅用于直角三角形) 解答题必 1.找已知相等条件（公共边、公共角、对顶角、题目已知边长1角度）；2.推 考， 送分题 基础全等证明题 导隐含相等条件（平行得角相等、角平分线得角相等、中点得边相等）；3. 型 套用判定定理证明全等；4.由全等得对应边、对应角相等。 全等三角形性质 求边、求角 全等三角形对应边相等、对应角相等，周长、面积完全相等。 应用 二次全等证明 中档解答题 无法直接证明目标全等，需先证一次全等，得到条件，再证第二次全等，是月 高频 考中档题核心考点。 角平分线性质与 必考重点 核心定理1.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定专题 2判定：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 一线三等角模型 K字模型 直角三角形、等腰直角三角形共顶点题型，通过角度互余推导等角，结合 SAS、AAS证明全等，是月考压轴高频模型。 手拉手全等模型 适用场景：两个共顶点的等腰三角形、等边三角形，顶角相等，可推导旋转全 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 等，常用于证明线段相等、角度定值问题。 典例精讲 【题型一】三角形三边关系应用（选择、填空高频） 【例1】.(2026湖南长沙中考真题)下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.3cm,5cm,9cm B.6cm,7cm,13cm C.9cm,9cm,19cm D.11cm,18cm,22cm 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形. 【详解】解：A中，3+5=8<9，不能组成三角形. B中，6+7=13，不能组成三角形 C中，9+9=18<19，不能组成三角形. D中，11+18=29>22，能组成三角形. 【例2】.(2024八年级上·全国期末)7条长度均为整数厘米的线段：a,a2,a,a4,a,a6,4,满足 4<4<4,<a<a,<4。<4,且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形.若4=l厘米，a,=21厘米，则a6能取 的值是() A.18厘米 B.13厘米 C.8厘米 D.5厘米 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 【详解】解：由任意3条线段都不能构成三角形和满足4<a<4<a,<a,<a。<a,可知，从第三条线段起，任意一条线 段的长度不小于其前面两条线段的长度之和，即a≥ak+ak-2(k≥3) 4=1厘米， 各项需取可能的最小值，则4=2厘米，4=3厘米，a=5厘米，4，=8厘米，4，=13厘米，4=21厘米， :4,=21厘米，若有任意一项大于其最小值，则4，>21厘米，不符合题意， ∴.a6能取的值是13厘米。 【例3】.(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯·阶段检测)一等腰三角形的周长是36cm,若其中一边长为10cm,则其 他两边长为 【答案】13cm,l3cm或10cm,l6cm 【分析】题目中给出的边长I0©m可能是等腰三角形的腰，也可能是底边，需要分两种情况计算，再根据三角形三边 关系验证能否构成三角形。 【详解】解：分两种情况进行计算： 情况1：当10cm为腰长时，底边长为36-2×10=16cm, 此时三角形三边长为10cm,10cm,16cm, 10+10>16,符合三角形三边关系， ∴.此时另两边长为10cm,16cm: 36-10-13cm, 情况2：当10cm为底边长时，腰长为2 此时三角形三边长为l3cm,13cm,10cm, :13+10>13,符合三角形三边关系， 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ∴.此时另两边长为13cm,13cm 综上，该等腰三角形的其他两边长为l3cm,13cm或10cm,16cm 【变式1】.(25-26八年级上湖南常德期末)如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台A,B.测量小组在景 区内选取一点P,测得PA=240m,PB=180m,据此估计观景台AB之间的距离可能为() A.50m B.220m C.450m D.30m 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得，PA-PB<AB<PA+PB, 即240-180<AB<240+180. ∴.60<AB<420, ∴，估计观景台A,B之间的距离可能为220m. 【度式21.(25-20人华级1福定青团阶段松测卫，。6。是。BcC伯三条边长，记1-（日：伯， 其中 1 k为整数.若k-1,a=2b+2,c=1则1的取值范围为- 2 【答案】5<t<11 【知识点】三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】先根据k=1和C=1化简t,得到t与b的关系式，再利用三角形三边关系求出b的取值范围，进而得到t的取值范围。 4 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【详解】解：~k=1,c=1, ..I= +b =a+b :a=二b+2, 2 1=b+2+6=36+2. 2 根据三角形三边关系：作直两边之常水干第三边：可得口-小<G:代入已如条件闲+2-，多理闲P-< 2- 1b<1 2 拆分为不等式组： 1 b>-1 2 解第一个不等式得b>2,解第二个不等式得b<6, 验证a+b>c: b>2, 3 .a+b= b+2>5>1=c,恒成立， 2 因此2<b<6, 代入1= +2, 3 可得5<t<11 【变式3】.(25-26八年级上河北邯郸期末)等腰△ABC中，AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分 为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 【答案】8 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 设腰长为α，底边长为b,根据中线分周长的两种情况进行讨论，列出方程求解，再检验三角形三边关系，排除不成 立的情况即可， 【详解】解：设等腰△ABC的腰AB=AC=a,底边BC=b, :BD为AC边上的中线， 1 .AD=DC=a, 2 .BD将周长分为AB+AD和BC+CD两部分， 当AB+AD=18、BC+CD=30时， 1 a+2a=18 1 解得[a=12: b+-a=30 2 b=24 当AB+AD=30、BC+CD=18时， a+2a=30 1 b+2a=18 a=20 解得b=8: 当a=12、b=24时，12+12=24，不能构成三角形， 当a=20、b=8时，20+20>8、20+8>20，能构成三角形， 故底边长为：8 【题型二】三角形内角与外角计算（基础必考） 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 【例4】.如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3，若∠BAC=60°，∠DFE=50°，∠ABC的度数为 【答案】70° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】由∠DEF是△ACE的外角，得出∠DEF=∠BAC=6O°，根据三角形的内角和定理得出∠EDF,再根据∠EDF 是△ABD的外角，可得出∠ABC=∠EDF=70°. 【详解】解：：∠DEF是△ACE的外角， ∴.∠DEF=∠CAE+∠3， :∠BAC=∠1+∠CAE=60°，∠1=∠3 .∠DEF=60°， 在△DEF中，∠DEF=60°，∠DFE=50°， ∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-50°=70°， :∠EDF是△ABD的外角， .∠EDF=∠ABD+∠I=∠ABD+∠2=∠ABC, ∴.∠ABC=70° 【例5】.(24-25八年级上·全国期末)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠B=70°， ∠C=34°，求∠DAE和∠AEC的度数. 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D E 【答案】∠DAE=18°，∠AEC=108 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的定理和性质，由三角形的内角和定 理可知∠B1C=180-∠B-∠C=76:角平分线的定义可知∠B1E=∠4C-B4C=38,由三角形外角的定义可 求出∠AEC,再由余角的定义可求出∠BAD=20°，最后根据角的和差关系即可求出∠DAE=18°. 【详解】解：：∠B=70°，∠C=34°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=76°， AE平分∠BAC, ∠BME=∠EaC= ∠BAC=38°， AD⊥BC, .∠ADB=90°， .∠BAD=90°-∠B=20°， ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=18° 【例6】.(2024八年级上·全国单元测试)BD,CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线， ∠BDC=80°，求∠A. 8 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D 【答案】∠A=20° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键。 先根据Bn、CD分别是∠CB、∠BCr的平分线可知∠DBC-BC,∠BCD-BCP,再由∠CB6、∠BCr足 △ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF=360°-(180°-∠A)=180°+∠A,故 ∠DBC+∠BCD=∠BC+∠BCF)-80+∠=90+号L根据在ADBC中∠BDC=180-(DBC+∠BCD)即可 得出结论 【详解】解：BD,CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线， ∠DBC=∠EBC,∠BCD=∠BCF, 2 :∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角， .∠CBE+∠BCF=360°-(180°-∠A)=180°+∠A. :2DBC+∠BCD-=(∠EBC+∠BCF)80+0=0+2A 在△DBC中， ∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD)=180°- 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .∠BDC=80° .∠A=20° 【变式1】.(25-26八年级陕西西安期中)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,若∠A=60°， ∠BDC=95°，则∠B的度数是 B 【答案】50° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】先根据外角性质得出∠ACD的度数，再结合角平分线定义得出∠ACB的度数，最后根据三角形内角和定理即 可得解. 【详解】解：：∠BDC是△ACD的外角， ∴.∠BDC=∠A+∠ACD 即∠ACD=∠BDC-∠A=95°-60°=35°， :CD平分∠ACB, ∴.∠ACB=2∠ACD=70°， ∴.aABC中，∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-60°-70°=50° 【变式2】.(24-25八年级上河南商丘期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BDC=105°，∠ABD=11°，求 ∠DBC的度数. 10 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 B 【答案】32° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理.利用三角形的外角性质求得∠A的度数，再利用等腰三 角形的性质和三角形内角和定理求得∠ABC的度数，据此求解即可. 【详解】解：∠BDC=105°，∠ABD=11°， .∠A=105°-11°=94°， AB=AC. ∠ABc=∠4CB=180°-=43， .∠DBC=43°-11°=32° 【变式3】.(25-26八年级上河南许昌期中)求出下列各图形中x的值. 0 (1) 40° x人 (2) 人(+10)° (x+70)° 11 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】(1)110 (2)60 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，解题的关键是根据内角和及外角性质建立方程求解， (I)利用三角形内角和求出，再结合邻补角关系求x: (2)利用“三角形外角等于不相邻两内角和”列方程求解， 【详解】(1)解：三角形内角和为180°， ∴.a+a+40°=180°. 解得2a=140°，a=70°. ,x与a互为邻补角， .x=180°-a=180°-70°=110°： (2)解：三角形外角等于与它不相邻的两内角的和， .x+70=x+(x+10), 化简得x+70=2x+10, 解得x=60 【题型三】三角形重要线段辨析（选择易错） 【例7】.(25-26八年级上：河南南阳阶段检测)①△ABC的顶点A就是∠A;②三角形一边的对角也是另外两边的 夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是( ) A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 12 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形角平分线的定义 【分析】抓住点与角的区别、三角形角平分线的属性，结合对角、中线的定义逐一判断. 【详解】解：①△ABC的顶点A是点，∠A是角，二者不相同，故①错误： ②三角形一边的对角是该边所对的角，即另外两边的夹角，故②正确： ③三角形的中线是一顶点与它对边中点连接的线段，符合中线定义，故③正确： ④三角形的角平分线是线段，不是射线，故④错误： 综上所述，正确的有②③. 【例8】.(26-27八年级上山东济南期中)下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是() B B D 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高， 据此逐项分析即可求解， 【详解】解：A、B、C选项中线段BD不能表示△ABC任何边上的高，D选项中线段BD是△ABC中边AC上的高. 【例9】.(26-27八年级上江苏常州期末)如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点， 13 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE交于点F.当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【知识点】垂线段最短、根据三角形中线求面积 【分析】连接BF,过点A作AH⊥CB的延长线于点H,设SDr=a,Sr=b,根据等高的三角形的面积等于底之 比得到S.cr=2S。r=2a,S.4m=2SMm,以及S,Mm=Sr=b,S4Cs=S,CE,由面积关系得到Sc=3a,结合 已知得到3a-4b=0,a+b=7,解方程组得到a=4,b=3,进而利用三角形的面积求得AH=10,利用垂线段最短 求解即可。 【详解】解：如图，连接BF,过点A作AH⊥CB的延长线于点H, 设SaBF=a,S,BBr=b, CD=2BD,AE=BE, .S.CDF=2S.wDF=2a,S.A=S.mE=b S.ACD=2S4m S.ACE=S.CE: S.4CE=SAEF+S4FC=S.BEF+S.BDF+S.CDF: ∴.b+SArc=b+a+2a 14 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ..S.AFC =3a S.4CD=S.AFC+SCDF=2(S4EF+.F+S.BDF), .3a+2a=2(b+b+a）. .3a-4b=0, 四边形BEFD的面积为7， ∴.a+b=7, ∴.a=4,b=3, .S,dBc=SAr+Sg边形FD+SCr+S。ArC, =b+7+2a+3a =30, CI 30. .BC=6, .AH=10, ,AB≥AH, ∴.AB的最小值为10. 【变式1】.(25-26八年级上海杨浦期中)如图，在△ABC,点F、D、E分别是边AB、BC、AC上的点，且AD、 BE、CF相交于点O,若点O是△ABC的重心，则以下结论：①线段AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线：② △B0D的面积是。40C面积的一半：@图中与，B0C面积相等的三角形有2个：@Sm=S:⑤OF-写4D.共 中一定正确结论有() 15 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 B D A.②③ B.①③④ C.②④⑤ D.②③④ 【答案】D 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段AD,BE,CF是△ABC的三条中线，可判断①错误，继而得出 ss-s-swgtamg=amg=g SBOD=ScoD=SAOE=ScOs=S.4OF=SBOr,然后逐个分析即可， 【详解】解：①：AD,BE,CF相交于点O,点O是△ABC的重心，重心是三条中线的交点， ∴线段AD,BE,CF是△ABC的三条中线，故①错误： ·三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， .8.-S..cn-S.m-S.mc-S.c-S.we-7S.me S.OD=SCODS40E=S.COESAOF=SBOF S.BOD=S,BCE-Sg边形CDOE,S.4OE=S。4CD-S四边形DO0E, SAB0n=S△M0E, 同理可求：SOD=S,coD=S.4Os=S,coE=S4Or=SBOr,故④正确： :.△BOD的面积是△AOC面积的一半，故②正确： 16 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 图中与△BOC面积相等的三角形有△AOC,△AOB共2个，故③正确： 1 SBOF= .e,△BOF与ABCF等高， 3 :.OF=1CF 3 ,CF与AD不一定相等， 二0F三，4D不一定成立，故⑤错误 综上所述，正确的结论有②③④，共3个. 【变式2】.(25-26八年级上：广西玉林期末)如图，若AD是△ABC的中线，BD=4,则BC的长度为() B D A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键. 根据三角形中线的性质可知BC=2BD 【详解】解：：AD是△ABC的中线，即BD=CD ∴.BC=2BD .BD=4 17 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .BC=8 故选：D 【变式3】.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在△ABC中BD⊥AB交AC于D点，CE⊥AB交AB的延长线 于E点，AF⊥BC交CB的延长线于F点.下列线段中，BC边上的高是() D B A.AE B.AF C.BD D.CD 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高.在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫 做三角形的高，简称为高.直接利用三角形高的定义分析得出答案。 【详解】解：在△ABC中，BC边上的高是AF, 故选：B 【变式4】，(25-26八年级上：陕西西安期末)如图，AD是△ABC的中线，BE,CE分别是△4BD,△4CD的中线， 若阴影部分的面积为3cm,则△ABC的面积为 cm2」 18 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高 的三角形的面积相等.根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可， 【详解】解：：BE,CE分别是△ABD,△ACD的中线， 、.SAABD=2S△BE,SAACD=2Sa4Cs, :AD是△ABC的中线， .S.AC=2S.4D=4S.BDE S.4RC=2S.4CD=4S.4CE ∴.S△BDE=S△ACE, ,阴影部分的面积为3cm2, 3 、.S,De=S4CE=2, 8=45e=4x号=6(em）. 2 故答案为：6 【题型四】八字模型、飞镖模型 【例10】.(25-26八年级上·安徽马鞍山期中)线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把如图1的图形称 之为“8字形”，则∠A+∠D=∠B+∠C,如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P, 并且与CD、AB分别相交于M、N,若∠B=30°，∠D=40°，则∠P的度数是」 19 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 M N 图1 图2 【答案】35°135度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知∠DA0+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠OCP+∠P,结合∠D=40°，∠B=30°得到 ∠OCB-D40=10,再由角￥分线得到∠D4M-号D410,∠00P<0cB,0后代入 ∠P=∠DAM+∠D-∠OCP计算即可. 【详解】解：由“8字形”结论得到∠DAO+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠OCP+∠P, ∠D=40°，∠B=30°， .∠DA0+40°=∠0CB+30°， ∴.∠OCB-∠DAO=10°， ,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P, :∠DMM=)∠DA0,∠0CP=)∠OCB, 2 ,∠DAM+∠D=∠OCP+∠P, ∴.∠P=∠DAM+∠D-∠OCP =号∠Da0+40-0cB 21 20 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 =40° 2(<0CB-∠DAO) =40°- ×10° 2 =35° 故答案为： 350 【变式1】，(24-25八年级上湖南湘西阶段检测)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件， 如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35,∠E=72°，那么∠F的度数是(). A.72° B.70° C.65° D.60 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】延长BB交CF的延长线于O,连接AO,根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO 再根据四边形的内角和求出∠DFO,根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数. 【详解】延长BE交CF的延长线于O,连接AO,如图， 21 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .'∠OAB+∠B+∠AOB=180, .∠AOB=180°-∠B-∠OAB, 同理得∠A0C=180°-∠0AC-∠C, :∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°， ∴.∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC =360°-(180°-∠B-∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C =∠B+∠C+∠BAC=107°， .:∠BED=72°， ∴.∠DE0=180°-∠BED=108, .∠DFO=360°-∠D-∠DE0-∠EOF =360°-35°-108°-107°=110°， .∠DFC=180°-∠DF0=180°-110°=70°， 故选：B 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助 线，将已知条件联系起来进行求解.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和：邻补角 性质：邻补角互补；多边形内角和：180(n-2)。 【变式2】，(2025八年级上全国·专题练习)如图，求∠A什∠B+∠C+∠D+∠E+∠+∠G+∠H六个角的和. 22 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】360° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，再根据三角形内 角和定理可得答案. 【详解】解：，∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2， ∴.∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2 :∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°， .∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°. D G 153Y B 【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 【变式3】，(24-25八年级山东济宁·阶段检测)如图，已知线段ABCD相交于点O,连接ABCD,我们把形如 23 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 这样的图形称为“八字图形”· B C M D 图① 图② (I)求证：∠A+∠C=∠B+∠D: (2)利用八字图形解决问题：如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别交于点M, N ①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数： ②根据①的结果直接写出∠B,∠C,∠P之间的关系是 【答案】(1) 证明：在△AOC中，∠A+∠C=180°-∠A0C, 在△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD, :∠AOC=∠BOD .∠A+∠C=∠B+∠D (2)①∠P=110°：②2∠P=∠B+∠C 【知识点】对顶角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和 定理是解题关键. (1)利用三角形内角和定理和对项角相等即可证明； 24 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)①由(I)结论可得在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,在△BDN和△PAN中， ∠B+∠BDN=∠P+∠PAN,两式相加再由角平分线的定义即可解答： ②根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，在△AMC和△DMP中，可有LC+∠I=∠P+∠3，即 ∠C-∠P=∠P+∠3-∠I,同理在△BDN和△PAN中，可有∠B=∠P+∠2-∠4， ∠B+∠C=∠P+∠2-∠4+∠P+∠3-∠I=2∠P,即可获得答案， 【详解】(1)略 (2)解：，在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM, 在△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN, ∴.∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN, :PA平分∠BAC,PD平分LBDC, ∴.∠CAM=∠PAN,∠BDN=∠PDM. .∠C+∠B=2∠P,即120°+100°=2∠P, ∴.∠P=110° ②∠B、∠C、∠P之间的关系为2∠P=∠B+∠C. 理由如下：如下图， M D ,'AP和DP分别平分∠CAB和∠BDC, ∴∠1=∠2，∠3=∠4 25 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 在△AMC和△DMP中，∠C+∠I=∠P+∠3 ∴∠C=∠P+∠3-∠1， 在aBDN和△PAN中，∠B+∠4=∠P+∠2， ∴.∠B=∠P+∠2-∠4， ∠B+∠C=∠P+∠2-∠4+∠P+∠3-∠1=2∠P, ∴.∠B、∠C、∠P之间的关系为2∠P=∠B+∠C. 【题型五】全等三角形的判定辨析（选择、填空） 【例11】.(2024八年级上福建泉州)用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等” 这一性质，其运用全等判定的方法是() A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等(SSS)、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据尺规作图的步骤结合全等三角形的判定方法即可求解。 【详解】解：如图，用直尺和圆规画∠AOB=∠AOB的作图如下， 由作图过程可知，OD=OC=OD'=OC,CD=C'D',据此利用SSS可证明aCDO≌aC"D'O'. D/B A O' 【变式1】.(24-25八年级上河南信阳阶段检测)如图，BA=BE,BC=BD,再添加一个条件，使得 △ABC≌aEBD,所添加的条件不正确的是()· 26 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 A.∠A=∠E B.∠ABD=∠EBC C.∠C=∠D=90° D.AC=DE 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】己知BA=BE,BC=BD,对照全等三角形判定定理(SAS、SSS、HL)逐一判断条件能不能证明 △ABC≌AEBD;两边及其中一边的对角相等(SSA)不能判定三角形全等. 【详解】解：已知：BA=BE,BC=BD, 选项A:BA=BE,BC=BD,∠A=∠E,属于两边和其中一边的对角对应相等(SSA),SSA不能判定 △ABC≌△EBD,故此选项错误， 选项B:∠ABD+∠ABE=∠EBC+∠ABE, .∠ABC=∠EBD. 在△ABC和△EBD中， 「BA=BE ∠ABC=∠EBD BC=BD .:△ABC≌△EBD(SAS),故此选项正确 27 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 选项C:△ABC和△EBD都是直角三角形， 在Rt△ABC和RtAEBD中， BA=BE BC=BD :Rt△ABC≌RtAEBD(HL),故此选项正确。 选项D:在△ABC和△EBD中， BA=BE BC=BD AC=DE :.△ABC≌△EBD(SSS),故此选项正确. 【变式2】.(25-26八年级陕西汉中期中)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F在线段AD的上方， 连接AF、CF、BE、DE,且∠BED=∠CFA=9O°，AB=CD,若要用“HL”直接证明Rt△ACF≌RtADBE,则 可以添加条件是 (只写一个). 【答案】CF=BE或AF=DE(写一个即可) 【知识点】用L证全等(L)、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】先证明AC=BD,结合∠BED=∠CFA=90°，再进一步求解即可. 【详解】解：，AB=CD .AB+BC=CD+BC,即AC=BD 28 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 添加：CF=BE,而∠BED=∠CFA=90° 在Rt△ACF和RtADBE中， (AC=DB CF=BE' .Rt△ACF≌Rt△DBE(HL), 添加：AF=DE,而∠BED=∠CFA=90°， 在Rt△ACF和RtADBE中， AC=DB AF=DE .Rt△ACF≌Rt△DBE(HL) 【变式3】.(26-27八年级上：吉林长春)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC, BE⊥AD于点E,交AC的延长线于点F,给出下面四个结论：①AD=BF;②BE=CF;③BF=2BE;④ AC+CD=AB,上述结论中，正确结论的序号是 6 D 【答案】 ①③④ 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】证明△ACD≌ABCF(ASA),得到AD=BF,CD=CF,据此可判断O:证明△AEB≌△AEF(ASA),得到 29 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 BE=FE=BR,AB=A,据此可判断@0：过点D作DH⊥B于点H:E明1D2ACD(4S),得到CD=HD: AB BD 可证明AC-CD,推出BD>CD,则可证明BC>2CF,再由BF>BC,得到BE>CF,据此可判断②. 【详解】解：，∠ACB=90°， ∴.∠BCF=180°-∠ACB=90°， ∴.∠BCF=∠ACD=90°： BE⊥AD, ,∠AEB=∠AEF=90°， ∴∠EDB+∠EBD=90°， ∠CDA+∠CAD=90°，LCDA=∠EDB, ∴.∠EBD=∠CAD, 又：BC=AC, ·.△ACD2aBCF(ASA), ·AD=BF,CD=CF,故①正确： AD平分∠BAC, 片∠CAD=∠BAD=)∠BAC, 2 又：AE=AE, .△AEB≌aAEF(ASA, 30 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .BE=FE= K,AB=A,即BF=2BE·故③正确， .AF=AC+CF, ,AB=AC+CD,故④正确： 如图所示，过点D作DH⊥AB于点H, H E D ∴.∠AHD=∠ACD=90° 又：AD=AD, △AHD≌aACD(AAS), .CD=HD, AB.HD S.ABD 2 BD·AC 1 AC.CD CD·AC AB BD :AC HD' AB BD 即ACCD' .AB>AC, .BD>CD, 31 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .BC=BD+CD>2CD .BC>2CF, .BF>BC, ·.2BE>2CF,即BE>CF,故②错误： 综上所述，正确的有①③④. 【题型六】基础全等证明题（解答题必考，送分题型） 【例12】.(2026云南中考真题)如图，AB=DC,AE=DE,点E是线段BC的中点.求证：△ABE≌△DCE D 【答案】证明：，点E是线段BC的中点， .'BE=CE. 在△ABE和△DCE中， (AB=DC AE=DE BE=CE .∴△ABE≌aDCE(SSS). 【知识点】用SSS证明三角形全等(SSS) 【分析】利用判定方法“SSS”证明即可. 【详解】略 32 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【例13】.(25-26八年级上福建泉州阶段检测)已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，∠B=∠E,AF=DC, AB∥DE,求证：△ABC≌aDEF. E D 【答案】证明：AF=DC, ∴AF-CF=DC-CF. ∴.AC=DF AB∥DE, .∠A=∠D 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E ∠A=∠D AC=DF ∴△ABC≌aDEF(AAS) 【知识点】用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)、两直线平行内错角相等 【分析】首先证明AC=DF,再根据AAS定理判定△ABC≌aDEF即可. 【详解】略 【例14】.(25-26八年级上广东湛江期末)如图，AB‖CD,∠I=∠2，AD=AB+CD.求证：BE=CE: 33 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】证明：延长AB,DE交于点F, .ABII CD ∴.∠F=∠2， ,∠1=∠2， .∠1=∠℉， .'AD=AF, .AD=AB+CD,AF=AB+BF .DC=FB, 又：∠DEC=∠FEB, :△DCE≌aFBE(AAS), ∴BE=CE 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、证一条线段等于两条 线段和差（全等三角形的辅助线问题）、两直线平行内错角相等 34 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 【分析】延长AB,DE交于点F,则∠I=∠2=∠F,可得AD=AF,由AD=AB+CD,可得DC=BF,根据AAS证 得两三角形全等即可完成解答 【详解】略 【变式1】.(25-26八年级上河南周口·期末)如图，点E在边CD上，BC与AE交于点 F,AB=CB,BE=BD,∠I=∠2. A、 C E (I)求证：△ABE≌△CBD: (2)若AE=8,CE=5,求ED的长. 【答案】(1) 证明：：∠1=∠2， ∴∠I+∠CBE=∠2+∠CBE, 即∠ABE=∠CBD. 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD :△ABE≌△CBD(SAS)； (2)ED=3 35 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键 (1)根据I=∠2，得∠ABE=∠CBD,再结合AB=CB,BE=BD,证明△ABE≌aCBD,即可作答. (2)由(1)得△ABE≌aCBD,故CD=AE=8,又结合CE=5,则ED=3,即可作答. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ABE≌aCBD ..CD=AE=8, 又CE=5, .ED=CD-CE=8-5=3 【变式2】.(26-27八年级上辽宁辽阳)如图，AB⊥BD,AB‖CD,点B,F,E,D在一条直线上，且 BF=DE,AE=CF.求证：AB=CD 【答案】证明：：BF=DE, :BF+EF DE+EF,BE=DF, :AB⊥BD,ABIICD, ∠B=∠D=90°， 在Rt△ABE和RtACDF中， 36 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 AE=CF BE=DE' :RtAABE≌RtACDF(HL) .AB=CD 【知识点】线段的和与差、全等的性质和亚综合（亚）、两直线平行内错角相等 【分析】根据线段的和差关系得出BE=DF,根据平行线的性质得出∠B=∠D=9O°，进而得出Rt△ABE≌RtACDF(L),根据全 等三角形的性质即可得出AB=CD 【详解】略 【变式3】.(26-27八年级上全国课后作业)如图，∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.求证： AABC≌ADCB,AB=DC 【答案】证明：在△ABC和△DCB中， [∠ABC=∠DCB BC=CB ∠ACB=∠DBC .△ABC≌aDCB(ASA), ∴AB=DC 【知识点】用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【分析】利用“ASA”证明△ABC≌aDCB,再利用全等三角形的性质证明出结论. 【详解】略 37 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【变式4】，(26-27八年级上全国课后作业)证明：全等三角形对应边上的高相等 己知：如图，△ABC≌△A'B'C,AD、AD分别是△ABC的边BC和△AB'C'的边B'C上的高. 求证：AD=AD', B D' 【答案】证明：△ABC≌△AB'C', AB=AB',∠B=∠B', AD⊥BC,AD'⊥B'C', ∠ADB=∠AD'B'=90°， 在△ABD和△A'B'D'中， 「∠ADB=∠A'D'B' ∠B=∠B' AB=A'B' &△ABD≌△A'B'D'(AAS). ..AD=A'D' 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可. 【详解】略 【题型七】全等三角形性质应用（求边、求角） 38 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【例15】.(2026八年级上全国专题练习)如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，BE=2, BC=6,则∠BPC=:CD= 【答案】 120°/120度 4 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合 (SAS)、三角形角平分线的定义 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理，求出∠BPC的度数；在BC上取点F使得BF=BE,则 CF=BC-BF=BC-BE=4,再证明△BPE≌aBPF(SAS),得到∠BPF=∠BPE=6O°，进一步得到∠CPF=∠CPD, 再证明△PCF≌aPCD(ASA),即可得到CD=CF=4. 【详解】解：：∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线， ∠PBc=∠ABD-3ABC,∠CD=∠BCP-ACB, ∠BPC=180-(∠PBC+∠BCP)=180P-2(∠ABC+ZACB)=180-80-∠=120， .∠BPE=∠CPD=180°-∠BPC=60° 如图，在BC上取点F使得BF=BE, 39 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 E B CF=BC-BF=BC-BE=6-2=4 在△BPE和△BPF中， BE=BF ∠PBE=∠PBF, BP=BP ∴.△BPE≌aBPF(SAS). ∴∠BPF=∠BPE=60°， .∠CPF=∠BPC-∠BPF=120°-60°=60°， .∠CPF=∠CPD 在△PCF和△PCD中， ∠CPF=∠CPD PC=PC ∠PCF=∠PCD ·.△PCF≌aPCD(ASA). .'.CD=CF=4 【例16】.如图，在△ABC中，AB=10,AC=7,AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、 CD,∠ADB=150°，∠DBC=30°，∠ABC+∠ADC=180°，则线段CD的长度为 40 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、全等的性质和SAS综合(SAS)、角平分线的有关 计算 【分析】在AB上截取AE=AC,连接DE,利用SAS证明△ADE和△ADC全等，得出DE=DC及∠ADE=∠ADC, 再结合已知角度关系推导出∠ABD=∠BDE,再由全等证明BE=DE,最后通过线段的和差关系求解. 【详解】解：在AB上截取AE=AC,连接DE,过点E作ET⊥BD于点T, B :AD是∠BAC的角平分线 .∠EAD=∠CAD 在△ADE和△ADC中 AE-AC ∠EAD=∠CAD AD=AD ∴.△ADE2△ADC(SAS) ∴DE=DC,∠ADE=∠ADC :∠ABC+∠ADC=I8O°，∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠DBC=30 41 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .∠ABD+30°+∠ADC=180 .∠ABD+∠ADC=150° :∠ADB=150° .∠ADE+∠BDE=150° 又N∠ADE=∠ADC ∴∠ABD=∠BDE, ET⊥BD, ∴.∠ETB=∠ETD=90° .ET=ET ·.△ETB≌△ETD(AAS) .BE=DE .CD=DE=BE=AB-AE=AB-AC :AB=10,AC=7 ∴.CD=10-7=3 【例17】.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在△ABC中，AC=6,∠BAC=90°，E,D分别为边AB,AC上的动 点，且AE=CD,连接BD,CE.当CE+BD取最小值时，SC+SBc=一 D 【答案】18 名 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段 最短得到CE+BD取最小值时点D的位置是解题的关键， 如图，在AC下方作CF⊥AC,且使得AC=CF=6,则∠BAC=∠DCF=90°，AB∥CF,可证得 △ACE≌aCFD(SAS),则SBc=SADF,CE=FD,进而可知当点D在BF上时，CE+BD取得最小值，此时， SBDc+SABc=SBc+SADr=SAnCE,即可求解. 【详解】解：如图，在AC下方作CF⊥AC,且使得AC=CF=6,则∠BAC=∠DCF=90°，AB∥CF, 又，AE=CD, .△ACE≌aCFD(SAS),则SAC=SADF, ∴.CE=FD,则CE+BD=FD+BD≥BF, 即，当点D在BF上时，CE+BD取得最小值， R时，Se+SS.mc+SADCE=SAR)CF-ACe 2×6×6=18. 故答案为：18 【变式1】.(25-26八年级上·甘肃甘南阶段检测)如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E是BC边上一 点，且AB=BE,连接DE,若AD=5,则DE的长为 43 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】5 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键： 先根据角平分线性质可知∠ABD=∠EBD,进而利用SAS可证得△ABD≌aEBD,进而可知DE=AD=5. 【详解】解：，BD是△ABC的角平分线， ∴.∠ABD=∠EBD, ,AB=BE,∠ABD=∠EBD, BD=BD. ,.△ABD≌aEBD(SAS), .DE=AD=5」 故答案为：5. 【变式2】.(25-26八年级上陕西渭南期中)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB,AD为△ABC的角平分线，过点 B作BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F,连接DF,过点A作AG⊥BC于点G,若CF=l,AG=2,则△ABD的 面积为 B 44 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】1 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、全等的性质和SAS综 合(SAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先证明△ABE≌△AFE(ASA),得出 AB=AF,再证明△ABD≌AAFD(SMS),得出∠ABD=∠AFD,BD=FD,然后结合三角形外角的性质可得出 ∠FDC=∠FCB,根据等角对等边得出DF=CF,则求出BD=DF=CF=I,最后根据三角形的面积公式求解即可， 【详解】解：，AD是△ABC的角平分线， ∴.∠BAD=∠CAD. ,BE⊥AD, ∴.∠AEB=∠AEF=90°， 又AE=AE, ,.△ABE≌△AFE(ASA). .'AB=AF, 又∠BAD=∠FAD,AD=AD, .△ABD≌aAFD(SAS). ∴.∠ABD=∠AFD,BD=FD, 又，∠AFD=∠FDC+∠FCB,∠ABC=2∠FCD, ∴.∠FDC=∠FCD, .DF=CF, 又CF=1, 45 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .BD=DF=CF=1, ,AG⊥BC,AG=2, ∴SAMm=)×1×2=1, 2 故答案为：1. 【变式3】.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，△ABC中，AB=AC=16,D为AC上一点，连接BD,E 为△ABC外一点，且AE=BD,延长BD交AE的延长线于点F,连接CE，,若∠FDA=∠BAF,CE=II,则CD= B E F 【答案】5 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质.根据三角形外角的性质和已知条件证明 ∠EAC=∠DBA,再证明△ADB≌△CEA(SAS)得到AD=CE=II,据此可得答案. 【详解】解：：∠FDA=∠BAF,∠FDA=∠ABD+∠BAD,∠BAF=∠BAD+∠EAC, ∴.∠EAC=∠DBA, 又，AE=BD,AB=AC=16」 ·.△ADB≌ACEA(SAS), 46 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .AD=CE=11, .CD=AC-AD=5, 故答案为：5. 【题型八】二次全等证明（中档解答题高频） 【例18】，(2026八年级上全国专题练习)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB和AC上，连接 BECD·文点为F且40-写4，e4c,求：Dr-BC 3 【答案】证明：”AB=AC,AD= B,A-写4c, ∴.AD=AE, 在△ACD和△ABE中， AD=AE ∠CAD=∠BAE AC=AB .△ACD≌aABE(SAS), ∴∠ACD=∠ABE, AB=AC,AD=AE, .'AB-AD=AC-AE,BD=CE, 在△BDF和△CEF中， 47 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 ∠DBF=∠ECF ∠BFD=∠CFE BD=CE .aBDF≌aCEF(AAS), ∴.DF=EF. 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】先证出△ACD2△ABE,则可得∠ACD=∠ABE,再证出△BDF≌△CEF,由此即可得证. 【详解】略 【变式1】，(26-27八年级上全国课后作业)如图，点C、D是线段AB上的点，AD=BC,AF=BE,CF=DE.求 证：△ACF≌△BDE.图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由. 【答案】证明：AD=BC, ∴AD+DC=DC+CB,即AC=DB, 在△ACF和△BDE中， (AC=DB CF=DE AF=BE ·.△ACF≌aBDE(SSS)片 图中还有其他的全等三角形，如△ADH≌aBCI、△EHG2△FIG 48 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 理由：：aACF≌aBDE(SSS), .∠A=∠B,∠E=∠F, .'AG=GB. AF=BE, .AF-AG=BE-GB,GF=GE, 在△EHG和△FIG中， ∠E=∠F EG=GF ∠HGE=∠IGF .△EHG≌aFIG(ASA). .∠EHG=∠FIG ,∠AHD=∠EHG,∠BIC=∠FIG, ∴.∠AHD=∠BIC, 在△ADH和△BCI中， '∠AHD=∠BIC ∠A=∠B AD=CB .△ADH≌aBCI(AAS). 【知识点】线段的和与差、用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)、全等的性质和SSS综合(SSS) 【分析】利用“SSS”证明△ACF≌△BDE,再利用“ASA”证明△EHG≌aFIG,“AAS”证明△ADH≌aBCI即可. 【详解】略 49 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式2】.(25-26八年级上福建莆田阶段检测)在平面直角坐标系中，B、C在坐标轴上，其中B(b,0)、 C(0,c),△ABC满足CA=CB,∠ACB=90°，∠ABC=∠CAB=45°，其中点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴 上，AB交y轴负半轴于点D. 图1 图2 ()如图1，若Vc-1+(-2=0,直接写出点B的坐标为一，点C的坐标为一· (2)如图2，AE⊥AB交x轴负半轴于点E,连接CE,CF⊥CE,CE交AB于点F.求证：CE=CF: (3)在(2)的条件下，求证：点D是AF的中点. 【答案】(2,0)，(0，) (2)证明：AE⊥AB, ∠EAB=90°， .∠EAC=90°-∠CAB=90°-45°=45°， .∠EAC=∠ABC=45°，即∠EAC=∠FBC, :CE⊥CF, .∠ECF=∠ACB=90°， ∴.∠ECA=90°-∠ACF=∠FCB, 在△ECA和△FCB中， 50 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ∠ECA=∠FCB CA=CB ∠EAC=∠FBC .:AECA≌AFCB(ASA), :.CE=CF: (3)证明：如图3，过点F作FN⊥CD于点N,过点A作AM⊥CD于点M, B 图3 .:∠ECF=∠EOC=∠CNF=90°， ∴.∠ECO+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°， ∴.∠ECO=∠CFN, 在△EOC和aCNF中， ∠EOC=∠CNF ∠ECO=∠CFN CE=CF .aEOC≌aCNF(AAS), ∴.OC=FN, 同理可证△BOC≌△CMA, ..OC=AM, 51 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .FN AM, 在△FND和△AMD中， ∠FDN=∠ADM ∠FND=∠AMD=90°， FN=AM ∴.aFND≌aAMD(AAS). ∴.DF=AD, 即点D是AF的中点. 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、写出直角坐标系中点的坐标、利用算术平方根的非 负性解题 【分析】(I)由非负数的性质可求得C、b的值，进而可得点B、C的坐标： (2)证明△ECA≌aFCB即可； (3)过点F作FN⊥CD于N,过点A作AM⊥CD于M,先证△EOC≌△CNF,得OC=FN,再同理可证明 △BOC≌△CMA,得OC=AM,则有FN=AM,进而再证明△FND≌△AMD,则得DF=AD 【详解】(1)解：：Vc-1≥0，(b-2)}≥0，Vc-1+(b-2)}=0, .c-1=0,b-2=0 解得：c=1,b=2, .B(2,0),C(0,): (2)略 (3)略 52 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式3】.己知A(0,2),B(4,0) 图1 图2 ()如图1，连接AB,若D(O,-6),DE⊥AB于点E,B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM=AB, 连接AM,试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论： (2②)如图2，在(1)的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP,连接PN交y 轴于点Q,过点N作NHLy轴于点H,当N点在线段DM上运动时，△MOH的面积是否为定值？若是，请求出这个 值；若不是，请说明理由. 【答案】(L)结论：AC=AM,AC⊥AM.理由如下： A(0,2),B(4,0),D(0,-6), .OA=2,0D=6,OB=4, AD=OA+OD=8,BC=20B=8. .AD=BC, :DE⊥AB,∠AOB=90°， .∠EAD+∠MDA=90°.∠EAD+∠ABO=90°， .∠ABO=∠MDA, 在aCAB与△AMD中， 53 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AB=MD ∠ABO=∠MDA AD=BC ∴△CAB≌AAMD(SAS), ∴.AC=AM,∠ACO=∠MAD. ∠AC0+∠CAO=90°， ∴.∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°， .AC=AM,AC⊥AM: (2) 是定值，定值为4 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、全等三角形综合问题 【分析】(1)由A(Q,2),B(4,0吵，D(0,6)得OA=2,OD=6OB=4,因此有AD=BC=8,根据SAS可证 △CAB≌AAMD,从而得证AC=AM,AC⊥AM; (2)过P作PG⊥y轴于G,过M作MFLy轴于F,由“全等三角形的对应高相等”得FM=OA=2,先根据AAS可 证△PAG≌△NDH,从而得PG=HN,AG=HD,进而得AD=GH=8,再根据AAS可证△NOG≌aNOH,得 QH=GH=4,即可得AMQH的面积 【详解】(1)解：略： (2)解：过P作PG1y轴于G,过M作MFLy轴于F,如图3， 54 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 轴， M D 图3 NH⊥y ∴∠PGA=∠NHD=90°， 由(1)知AC=AM,△CAB≌△AMD,OA=2, ~B、C关于'轴对称，点A在y轴上，∠AOB=∠AFM=90°， ∴.AC=AB,FM=OA=2(全等三角形对应高相等)， 又：DM=AB, ..DM AM, .∠MAD=∠MDA, 又∠DAM=∠PAG, ∴∠PAG=∠MDA,即∠PAG=∠NDH, 在△PAG与△NDH中， ∠PAG=∠NDH ∠PGA=∠NHID 。 DN=PA APAG≌ANDH(AAS). 55 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 PG=HN,AG=HD, .AD=GH=8. 在△POG与△NOH中， ∠PGQ=∠NHQ=90 ∠PQG=∠HQN PG=NH aPOG≌ANOH(AAS), 0c=0w=0m=4, .S.woHFMx4x24 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定与性质.通过全等三角形的性质及判定来证明线段 的位置和数量关系，以及添加辅助线构造全等三角形是解题关键. 【题型九】角平分线性质与判定（必考重点) 【例19】.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯阶段检测)己知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在 BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是MN.求证：PM=PN. A 【答案】证明：：BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠CBD, 56 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 AB=BC.BD=BD, .△ABD≌aCBD(SAS). ∴.∠ADB=∠CDB. ∴.DB平分∠ADC, PM⊥AD,PN⊥CD, .'PM PN 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、角平分线的性质定理 【分析】先证明△ABD≌aCBD(SAS),得出∠ADB=∠CDB,说明DB平分∠ADC,根据角平分线性质得出PM=PW 即可 【例20】.(25-26八年级陕西汉中期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.用尺规作图作射线BP,交AC于D, 并使D到BC,AB的距离相等. 【答案】 【知识点】作角平分线（尺规作图）、角平分线的性质定理 【分析】作∠ABC的角平分线即可 【例21】.(25-26八年级宁夏银川期中)在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° 57 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 B G ▣ A 图1 图2 图3 (I)如图1，A,C,D三点共线，连接BD,CE,延长CE交BD于点F,则CE与BD的数量关系为；位置关系为· (2)如图2，A,C,D不共线时，连接BD,CE交于点F,试探究CE,BD的关系. (3)如图3，在(2)条件下连接AF,AF延长线交BE于点G,若∠ADB=a,试用M的表达式表示∠EAG, 【答案】(I)CE=BD,CE⊥BD (2)CE=BD,CE⊥BD (3)45°-ax 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、角平分线的判定定理 【分析】(1)证明△BAD≌aCAE(SMS),推出CE=BD,∠ABD=∠ACE,再利用三角形内角和定理求得 ∠BFE=∠CAE=90°，即可得到CE=BD,CE⊥BD: (2)同(1)证明△BAD≌aCAE(SAS),即可得到CE=BD,CE⊥BD: (3)①过点A作BD和CE的垂线，垂足分别为M和N,证明AF是∠DFC的角平分线，再利用三角形内角和定理求 解即可. 【详解】(1)解：'∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAD=∠CAE=90°， 58 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 AB=AC,AD=AE, .△BAD≌aCAE(SAS). CE=BD,∠ABD=∠ACE, :∠FEB=∠AEC. .∠BFE=∠CAE=90°， .CE⊥BD: (2)解：设CE与AB交于点H, B ,'∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=90°+∠EAB=∠CAE」 AD=AE,AB=AC. .△BAD≌aCAE(SAS). ∴.∠ABD=∠ACE,CE=BD, .∠FHB=∠AHC, .∠BFH=∠CAB=90°， .CE⊥BD 59 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 故CE=BD,CE⊥BD: (3)解：过点A作BD和CE的垂线，垂足分别为M和N, B G D 由(2)知CE=BD,△BAD≌△CAE, SABAD SACAE .CE:AN-BD.AM. .AM=AN. .AF是∠DFC的角平分线， CE⊥BD, .∠DFC=90°， .∠DFA=45°， .∠ADB=a, .∠DAF=180°-45°-a=135°-a, ,∠DAE=90°， .∴∠EAG=135°-a-90°=45°-a 【变式1】.(24-25八年级上全国期末)已知如图，∠BAC=∠BPC,AP平分∠CAW,PN⊥AB于点N, 60 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 AC+AB PMLAC于M,求CM的值. M 【答案】 AC+AB=2 CM 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】先根据角平分线得到PM=PN,继而证明△PNA≌△PMA(AAS),则AN=AM,再证明 △NBP≌aMCP(AAS),则NB=CM,最后根据线段和差证明即可. 【详解】解：如图， W D AP平分∠CAN,PN⊥AB,PM⊥AC .PM=PN,∠PAN=∠PAM, .∠PNA=∠PMA=90°，PA=PA, .△PNA≌△PMA(AAS), .AN=AM 61 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .'∠BAC=∠BPC,∠I=∠2 .由三角形内角和定理得，∠NBP=∠MCP, 在△NBP和△MCP中， ∠NBP=∠MCP ∠BNP=∠CMP=90° PN=PM .△NBP≌aMCP(AAS), .'NB=CM, ·.AC+AB=(AM+CM)+(NB-AW）=2CM, AC+AB CM -2 【变式2】.(25-26八年级贵州期末)已知∠A0B=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直 角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA,OB相交于点D,E. 图① 图② (I)如图①，若CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E.求证：CD=CE; (2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请写出你的猜想，不需证明， 【答案】()证明：：OC平分∠AOB 62 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 又，CD⊥OA,CE⊥OB .CD=CE (2)成立，证明如下 如图，过点C作CH⊥AO于点H,CG⊥OB于点G, A M H D G B .OM平分∠AOB, 又：CH⊥AO,CG⊥OB, ∴.CG=CH,∠CGE=∠CG0=∠CHD=90°， ,∠A0B=90°， ∴.∠GCH=360°-∠AOB-∠CHD-∠CG0=90°， ,∠HCD+∠DCG=90°，∠GCE+∠DCG=90°， ∴.∠HCD=∠GCE, 在△CDH和aCEG中， ∠HCD=∠GCE CH=CG ∠CHID=∠CGE ·.△CDH≌aCEG(ASA. ∴.CD=CE 63 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 【知识点】三角板中角度计算问题、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、角平分线的性质定理 【分析】(1)由角平分线的性质定理即可证明CD=CE: (2)过点C作CH⊥A0于点H,CG⊥OB于点G,利用角平分线的性质定理可得CG=CH,容易计算出 ∠GCH=90°，由“同角的余角相等”可得∠HCD=∠GCE,进而证明△CDH≌aCEG(ASA),因此CD=CE 【变式3】.(26-27八年级江苏·暑假作业)如图，在△ABC中，∠C=90°」 B (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D: (2)应用与计算：若AC=6,BC=8,AB=10,求点D到AB的距离. 【答案】()如图，AD即为所求， (2)3 【知识点】作角平分线（尺规作图）、角平分线的性质定理 【分析】(1)利用尺规作图的基本方法，作∠BAC的角平分线AD. (2)利用角平分线的性质，得点D到AB的距离等于DC,再通过面积法列方程求解. 【详解】(1)解：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、AB于两点，再分别以这两点为圆心，大于两 64 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点，作射线AD,交BC于点D,AD即为所求 (2)解：过点D作DE⊥AB于点E, 平分 B D AD ∠BAC∠C=90°DE⊥AB ∴DE=DC, 设DC=DE=x, S.ABC=S.4CD+SAD 4Cxc=x4CxDC+分4BxDE, 2 即2×6x8= 26xx+ 1 x10×x, .24=3x+5x=8x, 解得x=3, ∴点D到AB的距离为3」 【题型十】一线三等角模型(K字模型) 【例22】.如图O,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在△ABC外作直线I,AM⊥I于点M,BN⊥I于点 N. 65 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 图① 图② (I)试说明：MN=AM+BN: (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=Q(90°<a<180),AC=BC,请问(1)中的结论 DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 【答案】(1) 证明：∠ACB=90°， ∴.∠ACM+∠BCN=90°， AM⊥I,BN⊥1， ∴.∠AMC=∠CNB=90°， ∴.∠ACM+∠CAM=90°， ∴.∠CAM=∠BCN, 在△AMC和△CNB中， '∠AMC=∠CNB ∠CAM=∠BCN, AC=CB .△AMC≌aCNB(AAS) ∴.AM=CN,CM=BN, .MN=CN+CM, 66 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 :MN AM+BN: (2) DE=AD+BE成立，理由如下， ∠ACB=a(90°<a<180), ∴.∠ACD+∠BCE=180°-a, ∠ADC=a(90°<a<180）, :.∠ACD+∠CAD=180°-a, .∠CAD=∠BCE, 在△ADC和△CEB中， [∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=CB ·.△ADC≌△CEB(AAS) .AD=CE,CD=BE. .DE=CE+CD, .DE=AD+BE. 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】(I)利用“AAS”,可得△AMC≌aCNB,从而AM=CN,CM=BN,根据MN=CN+CM,等量代换即 可说明MN=AM+BN: (2)利用“AAS”,可得△ADC≌△CEB,从而AD=CE,CD=BE,再根据DE=CE+CD,等量代换即可. 67 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】(1)解：略. (2)解：略。 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想。 【例23】.(26-27八年级上浙江宁波)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： B B D 61 3 A G H 图1 图2 图3 ()【模型呈现】如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 ∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得I=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到AC= BC=一.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成 的图形的面积. (3)[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线 AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 【答案】(I)DE,AE (2)50 (3)证明：过点D作DM⊥AG于点M,过点E作EN⊥AG于点N, 由(I)可知，当∠BAD=9O°，AB=AD,BC⊥AF,DM⊥AG时， △BFA≌AAMD, 68 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 .'FA=MD, 同理，ACFA≌AANE, .FA=NE. .'MD NE. DM⊥AG,EN⊥AG. ∴.∠DMG=∠ENG=90°， 又.∠DGM=∠EGN, '.aDMG≌aENG(AAS). ∴.DG=EG, 即点G是DE的中点. 图3 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到对应边相等： (2)根据全等三角形的判定得到△EPA≌△AGB、△BGC≌△CHD,从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式 和梯形面积公式得到S梯DEPH、S。PA、S。ABG、SGC、SaCD,最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图 形的面积： (3)过点D作DM⊥AG于点M,过点E作EN⊥AG于点N,由(I)得到△BFA≌△AMD、△CFA≌△ANE,根据全 69 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 等三角形的性质得到MD=NE,再根据全等三角形的判定得到△DMG≌△ENG,最后利用全等三角形的性质得到 DG=EG,从而得到结论 【详解】(1)解：△ABC≌△DAE, .'AC=DE,BC=AE: (2)解：过点B作EP⊥AC于点P,过点B作BG⊥AC于点G,过点D作DH⊥AC于点H, AE⊥AB, ,∴.∠EAB=90°， ∴.∠EAP+∠BAG=90° BG⊥AC, .∠AGB=90°， ∴.∠ABG+∠BAG=90°， .∠EAP=∠ABG. :EP⊥AC, .∠EPA=90°， ∴.∠EPA=∠AGB=90°， 又，AE=AB, .△EPA≌aAGB(AAS), .EP=AG=6,PA=GB=3. 同理，△BGC≌aCHD 70 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .GB=HC=3,GC=HD=4」 .PH=PA+AG+GC+HC=3+6+4+3=16, .EPxP4-x6x3-9. 2 m号4GxBG-6x3=9, Sm6G×0G=x3x4=6, S.cm-CHxDH-x3x4-6, 2 2 Sww(+EP)xPH-x(4+6)xI-0 .S=SBDEPH-SEPA-S4BG-S.BGC-S.CHD=80-9-9-6-6=50 答：图中实线所围成的图形的面积为50； 【例23】.综合题 (I)如图1，AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=5cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同 时，点？以相同的速度在射线BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为(S),当点P到达点B时，点Q也停止运 动.当t=1s时，猜想：线段CP与PQ之间的关系，并说明理由. D A 图1 (2)【拓展】如图2，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC猜想：线段 DE、BD、CE之间的关系，并说明理由， 71 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 m E 图2 (3)【应用】如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与 BC的延长线交于点F,若BC=2CF,△ABC的面积是12，则△ABD与△CEF的面积之和为· A D 图3 【答案】)解：CP=PO且PC⊥P理由 当1=1时，AP=2×1=2,BQ=2×1=2, AB=7, .BP=AB-AP=7-2=5, 又AC=5, .AC=BP, AC⊥AB,BD⊥AB, ∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPO中， AP=BO ∠A=∠B AC=BP 72 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ∴.△ACP兰△BPQ(SAS). ∴.CP=PQ.∠C=∠BP2, ∠C+∠APC=90°， .∠APC+∠BPQ=90° 又：∠APC+∠CP9+∠BPQ=180°， ∠CP9=90°， .PC⊥P9 (2)解：DE=BD+CE,理由如下： ∠BDA=∠BAC,∠BDA+∠BAD+∠ABD=18O°， .∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=180°-∠BAD-∠BAC, 又：D,A,E三点在直线m上， .∠BAD+∠BAC+∠CAE=18O°， ∠CAE=180°-∠BAD-∠BAC, ∠ABD=∠CAE, 在△ADB和aCEA中， ∠BDA=∠AEC ∠ABD=∠CAE, AB=AC ∴.△ADB≌△CEA(AAS). ..AE=BD,AD=CE, 73 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .DE=AE+AD=BD+CE (3)6 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】()当1=1时，AP=B0=2,BP=5=AC,结合∠A=∠B=90°，利用SAS判定△ACP≌△BPO,得到 CP=P9及∠C=∠BP2,再通过直角互余与平角关系证得∠CP2=90°. (②)利用三角形内角和与平角关系转化得到∠ABD=∠CAE,结合己知角等和AB=AC,利用AAS判定△ADB兰△CEA, 从而得AE=BD,AD=CE,相加即得DE=BD+CE, (3)由(2)的模型可得△ADB2aCEA,从而SAD=ScEA,将面积和转化为SCE4+SCF=SCFA;再利用BC=2CF及同 高三角形面积比等于底边比，得S.4=)Sc=6. 2 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：由(2)同理可证△ADB≌aCEA, .S△ABD=S△CEA, SABD+S.CEF=SCEA+SACER=SACFA ~直线m与BC的延长线交于点F,且BC=2CF, ∴△CFA与△ABC有公共顶点A,且底边CF与BC在同一直线上， SACEA= CF 1 BC 2, S.Anc=12, 74 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 1 S.4=2x12=6, 即△ABD与ACEF的面积之和为6 【变式1】，(25-26八年级上河北邯郸期中)(1)习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在 △ACB中，∠ACB=9O°，AC=BC,直线经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.请直接写出DE、AD、BE 之间的数量关系. 图1 (2)问题解决：在(1)的条件下，当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE. B 图2 (3)变式探究：如图3，∠BCA=60°，CA=CB,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，并且经过∠BCA的内部，点 E、F在射线CD上，且∠BEC=∠CFA=12O°.请猜想EF、BE、AF之间的数量关系，并说明理由. B 图3 【答案】(I)DE=AD+BE: (2)证明：：AD⊥MW,BE⊥MN ·∠ADC=∠CEB=90°， 75 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 又：∠ACB=90°， ∴.∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90° .∠CAD=∠BCE, AC=BC, ∴AADC≌aCEB(AAS). ∴CE=AD,CD=BE. ∴.DE=CE-CD=AD-BE (3)EF=BE-AF, 理由：：∠BEC=∠CFA=120°. .∠BED=180°-120°=60°， :∠BCA=∠BCE+∠ACF=6O°，∠BED=∠BCE+∠CBE=6O°， ∴∠ACF=∠CBE 在△BCE和△CAF中， ∠BEC=∠CFA ∠ACF=∠CBE. AC=BC .△BCE≌△CAF(AAS), .AF=CE,CF=BE, ∴.EF=CF-CE=BE-AF. 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 76 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的 关键，题型较好，综合性比较强. (1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE,根据 AAS即可得到△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,即可求出答案； (2)与(I)证法类似可证出∠ACD=∠EBC,能推出△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,代入已知即可得 到答案： (3)与(1)(2)证法类似可证出∠ACF=∠CBE,能推出△BCE≌aCAF(MMS),得到AF=CE,CF=BE,代入己 知即可得到答案； 【详解】解：(I)证明：AD⊥MN,BE⊥MW, ∠ADC=∠BEC=90°， :∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∠DAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中 ∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC ∴△ADC≌aCEB(AAS). .AD=CE,CD=BE .DC+CE=DE, .DE=AD+BE 77 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式2】，(25-26八年级上山东滨州阶段检测)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个 等角的度数为90°，且三组边相互垂直，，称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定 存在全等三角形。 B 图1 图2 图3 【模型呈现】 (I)如图1，在△ABC中，∠ACB=9O,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,猜想 AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由： 【模型应用】 (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD1CE于点D,过点B作 BE⊥CE于点E,AD=I0,BE=4,则DE的长为一 【深入探究】 (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G. 求证：DG=GE 【答案】(I)AD,BE与DE之间满足的数量关系是：AD+BE=DE,理由如下： 如图1所示： 78 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D 图1 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .∠1+∠3=90°， :AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E, .∠D=∠E=90°. ∴∠1+∠2=90°， ∠2=∠3， ∠D=∠E=90 在 和 中 ∠2=∠3 △ACD △CBE AC=BC ·.△ACD≌△CBE(AAS), .AD=CE,CD=BE .AD+BE=CE+CD=DE, 即AD+BE=DE: (2)6: (3)证明：过点D作DP⊥直线FG于点P,过点E作EO1直线FG于点O,如图3所示： 79 ⊙ 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 图3 同(I)证明：△ABF2aDAP,△ACF≌aEAQ, .AF=DP,AF =EO, .AF =DP=EO. :DP⊥直线FG,EO⊥直线FG于点， ∴.∠DPG=∠EQG=90°， ∠DPG=∠EQG=90° 在 和 中， ∠DGP=∠EGQ △DPG△EQG DP=EO ..DPGEOG(AAS). ..DG=EG. 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质： (I)证出△ACD2△CBE,由此可得AD=CE,CD=BE,故可得AD+BE=CE+CD=DE: (2)证出△ACD≌aCBE,可得CD=BE,AD=CE,再结合几何关系即可求出DE: (3)过点D作DP⊥直线FG于点P,过点E作E2L直线FG于点O,同(I)证出△ABF≌aDAP,△ACF≌aEA犯，可 得AF=DP,AF=E0,再证出aDPG≌aEOG即可. 【详解】解：(1)略 80 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 (2)如图2所示： D 2 图2 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, ∴∠1+∠2=90°， :AD⊥CE于点D,BE⊥CE点E, ∠ADC=∠E=90°， ∠2+∠3=90°， .∠3=∠1， ∠ADC=∠E=90° 在 和 中， AC=BC AACD△CBE ∠3=∠1 .AACD≌aCBE(ASA), ∴CD=BE,AD=CE, .DE =CE-CD=AD-BE. :AD=10,BE=4 .DE=6, 故答案为：6； 81 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (3)略 【变式3】.(25-26八年级上·云南昆明期末)一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点 分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. M 0 图2 图3 图4 (I)如图1，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于点D,过点C作 CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°得∠DBA= 一.又知道 ∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE,进而得到AD=CE,AE= (②)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE, (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之间的数量关系： (4)如图4，若将(I)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D,A,E三点都在直线MN上，且满足 LBDA=∠BAC=∠AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌△CAE是否成立？若成立，请给出证明： 若不成立，请说明理由 【答案】(I)∠EAC,BD (2) 证明：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90 ∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90 82 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 ∴.∠BAD+∠CAE=90 ∠BAD+∠ABD=90° ∴.∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA ∴△ADB≌ACEA(AAS) .AD=CE,AE=BD, .DE=AE-AD=BD-CE (3)DE=CE-BD (4) △ABD≌△CAE成立，理由如下： :∠ABD+∠ADB+∠BAD=I80° ∠CAE+∠CAB+∠BAD=I8O ∠ADB=∠CAB .∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 [∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA .△ADB≌△CEA(AAS 83 K/ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【详解】(1)证明：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90° .∠BAD+∠CAE=90 ∠BAD+∠ABD=90° .∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA ∴△ADB≌ACEA(AAS) .AD=CE,AE=BD, (2)略 (3)DE=CE-BD, 同理(2)可得：AD=CE,AE=BD, ∴.DE=AD-AE=CE-BD 【题型十一】手拉手全等模型 【例25】.(2024吉林长春·模拟预测)两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图 2所示的△ABC和△AED,其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD.若BC=4, CE=2,则△DCE的面积是一 84 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 图1 图2 【答案】6 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS证明△ACD2△ABE,由全 等三角形的性质得出∠ACD=∠B,CD=BE,则可得出答案 【详解】解：：∠BAC=∠EAD=90° ∴.∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD, 在△ABD和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD AD=AE ∴△ACD≌△ABE(SAS), .∠ACD=∠B,CD=BE, ∠B=45°， .∠ACD=45°， ∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°， :BC=4,CE=2, .BE=6」 85 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .CD=6, ∴S.m=)CE-DC=x2x6=6, 故答案为：6 【例26】.(2025八年级上：湖北荆门'阶段检测)如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=LDCE-50°，AD、BE交于点 H,连接CH,则∠CE_ 【答案】65 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、全等的性质和HL综合(HL) 【分析】先判断出△ACD≡△BCE,再判断出△ACM兰△BCN即可得到CH平分∠AHE,即可得出结论. 【详解】解：如图，∠ACB=∠DCE, .∠ACD=∠BCE」 CA=CB 在 和 中， ∠ACD=∠BCE △ACD△BCE CD=CE .△MCD=△BCE(SAS): 过点C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N, :△ACD兰△BCE. .∠CAM=∠CBN, 86 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 I∠CAM=∠CBN 在 和 中， ∠AMC=∠BNC=90° △ACM ABCN AC=BC ∴.△ACM兰△BCN. ..CM=CN, CM=CN 在 与 RtACMH Rt△CNH' 中CH=CH .RtACMH RtACNH(HL), ∠MCH=∠NCH, .CH平分∠AHE: △ACD兰△BCE, ∴.∠CAD=∠CBE, .∠AFC=∠BFH, .∠AHB=∠ACB=50°， ·∠4HE=180°-50°=130°， :∠CHE=∠AHB= ×130°=65°， 2 故答案为：65° D M 87 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌 握数形结合思想的应用， 【变式1】.如图，∠DAB=∠EAC=6O°，AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,AB和CD相交于P,则 ∠DOE的度数是_. D B 【答案】120 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】先得出∠DAC∠EAB,进而利用ASA得出△ADC≌△AEB,进而得出∠E=∠ACD,再利用三角形内角和定 理得出∠EAF=∠COF=60°，即可得出答案. 【详解】如图所示： B ,∠DAB=∠EAC-60°， ∴.∠DAB+∠BAC-∠BAC+∠EAC, ∴.∠DAC∠EAB, 在△ADC和△AEB中， 88 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 AD=AB ∠DAC=∠EAB AC=AE ∴.△ADC≌△ABE(SAS), ∴.∠E=∠ACD, 又，∠AFE=∠OFC, ∴.∠EAF=∠COF=60°， ∴.∠D0E=120°. 故答案是：120. 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出△ADC≌△AEB是解题关键. 【变式2】.(25-26八年级上四川资阳期中)已知：如图，△ABD和△AEC都是等腰直角三角形， AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，连结CD,BE相交于点F,AD与BE相交于点M.求证：BE⊥CD. 【答案】 证明：：∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,即∠BAE=∠DAC: AB=AD,AC=AE, .△BAE≌△DAC: 89 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .∠ABE=∠ADC, ,∠BMA=∠DMF, .∠DFM=∠MAB=90°， .BE⊥CD 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△BAE≌△DAC推出∠ABE=∠ADC,进而即可得证， 【详解】略 【变式3】.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点D在BC上，连接CE. (1)△ABD≌AACE吗？请说明理由； (2)若DF⊥AC,点F在线段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的长. 【答案】(1) 证明：△ABD≌△ACE, 理由：∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠EAC, AB=AC,AD=AE, 90 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .△ABD≌AACE: (2)7 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可： (1)推出∠BAD=∠EAC即可求证： (2)根据△ABD≌△ACE,AB=AC,推出∠ACB=∠ACE,证△CGD≌△CGF,得CF=CD,即可求解： 【详解】(1)略 (2)解：，△ABD≌△ACE, .∠B=∠ACE, AB=AC, .∠B=∠ACB, ∴，∠ACB=∠ACE, ,在aCGD和△CGF中， ∠ACB=∠ACE· CG=CG ∠CGD=∠CGF=90° .△CGD≌△CGF, .CF=CD. .BC=BD+CD=CE+CF=CF+EF+CF=7. 91 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 单元小测 一、单选题 1.(2026河南平顶山·三模)将一副三角尺（分别含30°和45°角）按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为() A.60° B.120° C.135° D.150° 【答案】B 【详解】解：如图，标记点A,B,C B 由题意，知∠ABC=90°，∠C=30°， .∠1=∠ABC+∠C=120° 2.(25-26八年级内蒙古乌兰察布期中)如图，AD⊥AB,AD⊥DE,C是AD的中点，要用“HL”证明 Rt△ABC≌RtADEC,应添加的一个条件是() B A.∠B=∠E B.AC=EC C.AB=DE D.BC=EC 92 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】D 【分析】先推导出∠A=∠D=90°，AC=CD,再根据BC=CE,得到RtABCS≌RtADEC(HL),则要用“HL”证明 RtAABC≌RtADEC,应添加的一个条件是BC=CE. 【详解】解：AD⊥AB,AD⊥DE, .∠A=∠D=90°， ,C是AD的中点， .AC=CD. 若BC=CE, .RtAABCRtADEC(HL). :要用“HL”证明RtAABCS≌RtADEC,应添加的一个条件是BC=CE 3.(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯阶段检测)如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四 块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具 的是() ① ② ③ ④ A.①③ B.②④ C.①④ D.③④ 【答案】B 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形 4.(2425八年级上·上海阶段检测)已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，D是AB的中点，EC=2BE,若 93 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 SDE=4,则SMBC的值为() A.16 B.0 C.24 D.28 【答案】C 【分析】利用同高三角形的面积比等于对应底的比，结合中点性质逐步计算即可得到结果. 【详解】解：如图，连接CD, D B EC=2BE, BE 1 ·BC=BE+EC=3BE,即BC=3 ,△DBE和△DBC同高， S.DWE =BE1 cBc3 S.DBE =4, .SDac=3x4=12, 'D是AB的中点，即AD=DB,且△ADC和△DBC同高， '.S.4DC=S.DnC =12 '.S.4BC =S,ADC+S.DWC =12+12=24 5.(2026福建南平.二模)一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉 94 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 成一个三角木架，木工的选法有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案. 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， .30+50=80>60. ∴，选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意： ②选30厘米、50厘米、90厘米， 30+50=80<90. ∴.选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意： ③选30厘米、60厘米、90厘米， 30+60=90 ∴，选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， :50+60=110>90, ∴.选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意： 综上所述，木工的选法有2种： 6.(2026山东东营·中考真题)随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气.某夜市摊主使用的折叠方桌（如 图(1))结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图(2)所示的图形.已知AB∥EF,∠ABC=46°， ∠ADF=134°，则∠COD的度数为() 95 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 B 46 134° E我TF 图(1) 图(2) A.560 B.78° C.88o D.92° 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到∠ADE=46°，再利用两直线平行，内错角相等得到∠BAD=∠ADE,结合三角形内角 和求出∠AOB,进而利用对顶角相等求出∠COD的度数. 【详解】解：∠ADF=134°， ∴.∠ADE=180°-∠ADF=46° :AB∥EF, ∴∠BAD=∠ADE=46°， .∠AOB=180°-∠AB0-∠BAO=88°， .∠COD=∠AOB=88° 7.(26-27八年级上四I川达州)如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,BE⊥DE, CF⊥DF,若∠DBE=40°，则∠DEF的度数为() A.30° B.40° C.50 D.60° 96 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】C 【分析】结合角平分线以及平角，得到∠BDE+CDF=∠EDP+∠FDP=9O°，接着证明∠DBE=∠CDF,进一步证明 △BDE≌aDCF(AAS),△BDE≌aFED(SAS),最后利用全等三角形的对应角相等，即可得出答案. 【详解】解：，DE平分∠ADB,DF平分∠ADC, ∴∠BDE=∠EDP-ADB,∠CDF=∠FDP=ADC, 2 &:∠BDE+CDF=∠BDP+∠FDP=X180=0, BE⊥DE,CF⊥DF, ∴.∠BED=∠DFC=90° .∠DBE+∠BDE=90°， .∠DBE=∠CDF, :AD为△ABC的中线， .BD=DC, .△BDE≌aDCF(AAS). ∴.BE=DF, :∠BED=∠EDF=9O°，DE=ED, .△BDE≌aFED(SAS), .∠EFD=∠DBE=40°， .∠DEF=I80°-∠EDF-∠EFD=50° 97 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 8.(2026八年级上·全国专题练习)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC 上，连接DE,DG,过D作DF⊥AB于F.已知DE=DG,SAG=24,SMm=16,则aDEF的面积为() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】过点D作DH⊥AC,利用角平分线的性质，证得△ADF≌△ADH和RLADEF≌RIADGH,根据等量代换进行 求解 【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC于点H, AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, .∠FAD=∠HAD,∠AFD=∠AHD=90°， [∠AFD=∠AHD 在 和 中， ∠FAD=∠HAD △ADF ADH AD=AD :.△ADF≌aADH(AAS), S.ADF =S.ADH ,AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, 98 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .DF =DH, DE=DG 在RUADEF和RtDHG中， DF=DH .RIADEF≌RIADGH(HL). .S.DER =SADHG SARD=S.4DF-S.DEF=16,S.ADG=SADH+S.DGH =24, .S.ADF-S.DEF=16,S.4DG=S.4DF+S.DEF=24, 解得S,Dr=4 二、填空题 9.(2026福建泉州模拟预测)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=7,BD=5,则点D到AB的 距离为」 D 【答案】2 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,可证明△ACD≌△AED,得到DE=DC,由线段的和差关系求出DC的长即可 得到答案 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E, 99 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 D .∠AED=90°=∠C, ,AD平分∠BAC, .∠CAD=∠EAD, 又，AD=AD, ·△ACD≌△AED(AAS), .DE=DC, BC=7,BD=5, .'.DC=BC-BD=2, ∴.点D到AB的距离为2 10.(26-27八年级上全国课后作业)如图，AD∥BC,AD=BC,AE⊥BC,将△ABE沿AD方向平移，使点A与点 D重合，此时点E平移至点F处，则△ABE≌一，∠F=° D B E 【答案】 ADCE 90 【分析】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等.由题意可知△ABE平移后得到△DCF,且∠AEB 与∠F是对应角， 100 第一次月考压轴题汇总（三角形与全等三角形） 压轴题型 考查位置 核心难点 三角形三边关系应用 选择、填空高频 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；最简判断技巧：最短两边之和＞最长边即可构成三角形。 三角形内角与外角计算 基础必考 1. 三角形内角和：180°；2. 直角三角形两锐角互余；3. 三角形外角=与它不相邻的两个内角和；4. 外角大于任意一个不相邻内角。 三角形重要线段辨析 选择易错 考查三角形的高线、中线、角平分线、中位线四种线段的性质与区别 八字模型、飞镖模型 解答题必考， 主要用于快速计算复杂图形角度，无需逐个推导内角，选择填空秒杀题型，解答题可辅助验证答案。 全等三角形的判定辨析 选择、填空 SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边直角边，仅用于直角三角形） 基础全等证明题 解答题必考，送分题型 1. 找已知相等条件（公共边、公共角、对顶角、题目已知边长/角度）；2. 推导隐含相等条件（平行得角相等、角平分线得角相等、中点得边相等）；3. 套用判定定理证明全等；4. 由全等得对应边、对应角相等。 全等三角形性质应用 求边、求角 全等三角形对应边相等、对应角相等，周长、面积完全相等。 二次全等证明 中档解答题高频 无法直接证明目标全等，需先证一次全等，得到条件，再证第二次全等，是月考中档题核心考点。 角平分线性质与判定专题 必考重点 核心定理1.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 2.判定：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 一线三等角模型 K字模型 直角三角形、等腰直角三角形共顶点题型，通过角度互余推导等角，结合SAS、AAS证明全等，是月考压轴高频模型。 手拉手全等模型 适用场景：两个共顶点的等腰三角形、等边三角形，顶角相等，可推导旋转全等，常用于证明线段相等、角度定值问题。 【题型一】三角形三边关系应用（选择、填空高频） 【例1】．（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】．（2024八年级上·全国·期末）7条长度均为整数厘米的线段：，满足，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（    ） A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米 【例3】．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台．测量小组在景区内选取一点，测得，，据此估计观景台之间的距离可能为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 【变式3】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 【题型二】三角形内角与外角计算（基础必考） 【例4】．如图，在中，，若，，的度数为_____． 【例5】．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，在中，，平分，若，，求和的度数． 【例6】．（2024八年级上·全国·单元测试）分别是的两个外角的平分线，，求． 【变式1】．（25-26八年级·陕西西安·期中）如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是_________． 【变式2】．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，，求的度数． 【变式3】．（25-26八年级上·河南许昌·期中）求出下列各图形中x的值． (1) (2) 【题型三】三角形重要线段辨析（选择易错） 【例7】．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）①的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【例8】．（26-27八年级上·山东济南·期中）下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【例9】．（26-27八年级上·江苏常州·期末）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】．（25-26八年级·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【变式2】．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式3】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【题型四】八字模型、飞镖模型 【例10】．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【变式1】．（24-25八年级上·湖南湘西·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和． 【变式3】．（24-25八年级·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【题型五】全等三角形的判定辨析（选择、填空） 【例11】．（2024八年级上·福建泉州·）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【变式3】．（26-27八年级上·吉林长春·）如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【题型六】基础全等证明题（解答题必考，送分题型） 【例12】．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【例13】．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【例14】．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 【变式1】．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】．（26-27八年级上·辽宁辽阳）如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【变式4】．（26-27八年级上·全国·课后作业）证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 【题型七】全等三角形性质应用（求边、求角） 【例15】．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，、是的角平分线，，，则_______；__________ 【例16】．如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【例17】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且，连接，若，则的长为______. 【变式2】．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，为的角平分线，过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，若，则的面积为______．    【变式3】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则________． 【题型八】二次全等证明（中档解答题高频） 【例18】．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是线段上的点，．求证：．图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由． 【变式2】．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． (1)如图1，若，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； (3)在（2）的条件下，求证：点是的中点． 【变式3】．已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【题型九】角平分线性质与判定（必考重点） 【例19】．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 【例20】．（25-26八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 【例21】．（25-26八年级·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【变式1】．（24-25八年级上·全国·期末）已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 【变式2】．（25-26八年级·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． (1)如图①，若于点，于点．求证：； (2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【变式3】．（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【题型十】一线三等角模型（K字模型） 【例22】．如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【例23】．（26-27八年级上·浙江宁波）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【例23】．综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【变式1】．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 【变式3】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【题型十一】手拉手全等模型 【例25】．（2024·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____． 【例26】．（2025八年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______． 【变式1】．如图，，，，和相交于，和相交于，则的度数是__°. 【变式2】．（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【变式3】．如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·三模）将一副三角尺（分别含和角）按如图所示的位置摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 5．（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·四川达州）如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 9．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 11．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 12．（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 13．（25-26八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 14．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 15．（26-27八年级上·江苏常州）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 三、解答题 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，．求证：． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点，，．求证：． 18．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，，，． (1)求的长； (2)若、、在一条直线上，求证：． 19．（26-27八年级上·陕西宝鸡）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 20．在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 21．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 22．先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $