11.3.1 两数的和乘以这两数的差（第2课时：两数的和乘以这两数的差与几何图形的关系） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦“两数和乘以两数差”的几何意义，通过图形分割与面积计算，分层夯实基础，梯度从公式验证到实际应用，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|公式几何意义|单选题通过长方形分割验证平方差公式，强化空间观念| |应用巩固|实际情境应用|填空题结合展示框改造等生活场景，培养应用意识| |综合拓展|多图形综合|解答题拼图操作与代数计算结合，发展推理能力|

11.3.1 两数的和乘以这两数的差 （第2课时：两数的和乘以这两数的差与几何图形的关系） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图，把一个长、宽分别为、的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个边长为a的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为b的小正方形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 2．在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 3．为调动学生学习的积极性，八（1）班班委计划制作一个展示框，展示框里张贴平时表现积极的学生照片．班委先设计了一个正方形的展示框，但大家建议加上学生名字，需要将原正方形展示框的一组对边增加，另一组对边减少，则改造后展示框的面积与原来的面积相比（   ） A．增加 B．增加 C．不变 D．减少 4．设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 5．如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 二、填空题 7．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 8．两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为_______．    9．如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 10．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 三、解答题 11．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 12．如图，是边长为a的正方形剪掉一个边长为b的小正方形． (1)请你用虚线将图形分割后再拼成一个长方形，画出图形．原来图形的面积为_________，拼成的长方形面积为______，根据两者的面积关系可以得到等式________． (2)利用你发现的等式求的值． 13．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3.1 两数的和乘以这两数的差 （第2课时：两数的和乘以这两数的差与几何图形的关系） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图，把一个长、宽分别为、的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个边长为a的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为b的小正方形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别计算出两幅图中的阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边那幅图的阴影部分的面积为， 右边那幅图的阴影部分的面积为， ∵两幅图中的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 2．在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图1和图2得出该算式应满足的形式，即可解答； 【详解】解：由图1知长方形面积为，由图2知面积为， 该算式应满足的形式， ，此时，符合题意，其余选项均不符合． 3．为调动学生学习的积极性，八（1）班班委计划制作一个展示框，展示框里张贴平时表现积极的学生照片．班委先设计了一个正方形的展示框，但大家建议加上学生名字，需要将原正方形展示框的一组对边增加，另一组对边减少，则改造后展示框的面积与原来的面积相比（   ） A．增加 B．增加 C．不变 D．减少 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设原正方形边长为，则原面积为，改造后，一组对边增加，另一组减少，形成矩形，新面积为，利用平方差公式计算新面积，并与原面积比较，即可作答． 【详解】解：∵设原正方形边长为， 则原面积为， ∵改造后，一组对边增加，另一组减少， ∴新面积为， 则， ∴改造后面积减少， 故选：D． 4．设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设正方形的边长为，分别表示出正方形的面积和长方形的面积，通过作差比较二者大小． 【详解】`解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，再由长方形面积计算公式可得长方形的面积，据此可得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴长方形的面积， 故选：D． 6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，设，，则，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：设，，则，， 所以 ． 故选：C． 二、填空题 7．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【答案】①②③ 【分析】通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：（，可以验证平方差公式． 8．两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为_______．    【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 9．如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 【答案】 16 【详解】解：由图可知，， ∴， ∵，， ∴. 10．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． ①根据面积之间的关系，从边长为的正方形面积中，减去不能使用的面积即可； ②用代数式表示比多出的使用面积，再利用平方差公式进行分解因式，最后带入式子的值计算即可． 【详解】解：①中能使用的面积大正方形的面积不能使用的面积，即； ②比多出的使用面积为： ∵，， ∴原式 ， 故答案为：；． 三、解答题 11．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景、平方差公式的应用以及规律型运算，熟练掌握平方差公式的推导与运用是解答本题的关键． （1）通过分别计算图和图中阴影部分的面积，利用面积相等验证平方差公式； （2）①将变形为平方差公式的形式，代入已知条件求解； ②利用平方差公式对原式逐项分解，再通过等差数列求和计算结果． 【详解】（1）解：图阴影部分面积可表示为，图阴影部分面积可表示为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ； ②原式 ． 12．如图，是边长为a的正方形剪掉一个边长为b的小正方形． (1)请你用虚线将图形分割后再拼成一个长方形，画出图形．原来图形的面积为_________，拼成的长方形面积为______，根据两者的面积关系可以得到等式________． (2)利用你发现的等式求的值． 【答案】(1)画图见解析，；； (2) 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义及逆用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）分别计算原图形（大正方形面积减小正方形面积）和拼成长方形的面积，根据面积相等得平方差等式； （2）将每个逆用平方差公式分解为，展开后通过中间项约分计算结果即可． 【详解】（1）解：用虚线将图形分割后拼成的长方形如图所示： 原来图形的面积大正方形面积小正方形面积； 拼成的长方形的长为、宽为，故面积； ∵拼接前后面积不变， ∴等式为 故答案为：；；； （2）解：由（1）得平方差公式，逆用公式得 则原式 ， 答：该式的值为． 13．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $