专题04 旋转（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦旋转专题，汇编山西多地期中真题，覆盖图形的旋转、中心对称等四大考点，通过选择、填空及综合探究题，考查几何直观与推理能力，融入山西文化情境。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8|中心对称图形判断、旋转性质|结合新能源汽车图标等现实素材| |填空|4|原点对称点坐标、旋转后坐标|融入壶口瀑布等山西旅游情境| |解答|6|旋转作图、综合探究|设计矩形旋转多问探究（猜想证明、面积计算）|

专题04 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．【答案】（1） 如图所示，即为所求．     （2）如图所示，即为所求．      （3）      【分析】 （1）依据以原点O为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的； （2）依据点A的对应点A2坐标为，即可画出平移后的； （3）依据与△中心对称，对称中心即为旋转中心的位置． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，旋转中心坐标为点P． 【点睛】 本题考查了利用旋转变换以及平移变换作图，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质． 7．【答案】6 【详解】 试题分析：首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可． 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． ∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE． 又∵∠ADC=30°， ∴∠ADE=90°． 在Rt△ADE中，AE=7.5，AD=4.5， 于是DE==6， ∴CD=DE=6． 故答案为6． 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题关键． 根据云冈石窟和子关瀑布的坐标建立直角坐标系，然后确定壶口瀑布的坐标即可． 【详解】 解：根据题意建立如图坐标系： 所以壶口瀑布的坐标为． 故答案为． 9．【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由如下， 如图2， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形；     （2）     （3）存在，或      【分析】 （1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，则四边形是正方形； （2）作于，可得，从而得到，再根据勾股定理求出，利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图2，作于， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ 在中，， ； (3) 小问详解： 存在， ∵四边形是矩形 ， 如图，当点在上时，连接， ， ∴ ，，， ， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； 如图，当点在的延长线上时， 同理，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 10．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理以及等腰三角形的判定和性质．先利用勾股定理计算出，再利用旋转的性质得到，，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解． 【详解】 解：连接， 中，，， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ． 故答案为：． 11．【答案】（1）方案一：连接． ∵四边形是矩形， ∴． ∵E为的中点， ∴． 由折叠的性质，得，，， ∴，． 又∵， ∴． ∴． 方案二：将绕点旋转至处． ∵四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质，得，，． ∴，即点D，C，R共线． 由折叠的性质，得，， ∴，． ∴． ∴，即． （2）3 【分析】 本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理与折叠等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方案一：连接，根据证明即可得出结论； 方案二：证明，，得，由可得结论； （2）由勾股定理求出，根据折叠的性质得，，．，．在中，由勾股定理，得，即，解得， 【详解】 （1）略 （2）∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴． 由折叠的性质，得，，． ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为3． 12．【答案】（1） （2）① 四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ②， 如图所示即为所求， 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答； （2）① 由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论； ② 由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （2）① 略 ② ∵，，， ∴当点D旋转到与点B重叠时，此时， 过点C作于点G， 此时， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 13．【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②或2 【分析】 本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）① 利用全等三角形的性质证明即可； ② 先得到是等边三角形，当点落在的延长线上时，四边形是菱形，此时，，求出比值；当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后计算比值即可． 【详解】 （1）证明：∵四边形都是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）① 结论： ，理由： ∵四边形都是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ； ② 如图中， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 是等边三角形， 当点落在的延长线上时，四边形是菱形， 此时，， ； 当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形， 此时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 14．【答案】（1），     （2） 解：若是延长线上的任意一点，其他条件不变，上述结论成立． 证明：如图2，延长交于点， 将边绕点逆时针旋转，得到线段， ，， 同理，， ， ， ， 在与中， ， ，， ， ， 又，， ， ；     （3）或2      【分析】 （1）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （2）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （3）分两种情况讨论：点F在边上，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理等即可求解；点F在边上，根据等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 解：延长交于点，如图，         ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在边上，如图①， ，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，即， 解之得（负值舍去）． 当点在边上，如图②， ，，， ． 综上所述，的长为或2． 【点睛】 此题考查了考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1）△A1B1C1如图所示． （2）△A2B2C2如图所示． （3）（2.5，0.5）． 【分析】 （1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （3）根据中心对称的规律即可求得． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，点P的坐标是（2.5，0.5）． 【点睛】 本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 考点03 中心对称图形 1．D 2．D 3．C 4．B 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．C 2．【答案】（7，-1） 【分析】 根据关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数得出答案即可． 【详解】 点（-7，1）关于原点对称的点是（7，-1）． 故答案为：（7，-1）． 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数是解题的关键． 3．【答案】（1） 如图所示，为所求作；点的坐标为；      （2）如图所示，即为所求作；的面积为6． 【分析】 本题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，写出点的坐标，求图形面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点的位置写出坐标即可； （2）分别作出点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得；利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，在正方形中，是边上的一点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，连接．若，，则正方形的边长是（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 6．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A，B，C． （1）将以原点O为旋转中心旋转180°得到，画出旋转后的． （2）平移，使点A的对应点A2坐标为，画出平移后的． （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 7．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，四边形ABCD中，连接AC，BD，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，并且AD = 4.5，BD = 7.5，则CD的长为　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）【问题情境】如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）【猜想证明】如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）如图3，当时，连接，求此时的面积； （3）【能力提升】是否存在，使点三点共线．若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 10．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转，若，点旋转后的对应点为，则　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）综合与探究 【问题背景】在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【问题提出】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【问题解决】经过学习小组合作、探究、展示，其中的两种作辅助线的方案如下： 方案一：连接，如图②； 方案二：将绕点E旋转至处，如图③． （1）请你任选其中一种方案进行证明． 【深入探究】 （2）点E在移动过程中，当点P恰好落在对角线上时，如图④，求的长． 12．（25-26学年九上·山西大同·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 13．（25-26学年九上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 14．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）综合与探究 （1）如图1，在中，，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，是边上的点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段与的关系为___________． （2）若将图1的条件“是边上的一点”改为“点是延长线上的任意一点”，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当点恰好落在的边上时，请直接写出的长． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）请按下列要求画图：      ①将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；      ②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2； （2）若（1）所得的△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，直接写出对称中心P点的坐标． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）以下是某班为大同文旅设计的标识，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）某校为表彰积极参与“绿色校园”创建的环保实践小卫士，定制了如下的纪念徽章，其中属于中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山西运城·期中）若四边形是中心对称图形，且关于直线对称，则下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，点A关于原点的中心对称点是（     ） A. 点P B. 点Q C. 点K D. 点R 2．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，并求出的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】 ∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 2．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转的性质，旋转对称图形求旋转角度，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质求出旋转的角度即可． 【详解】 解：， 故选：C． 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 由点的旋转周期为4知点旋转次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形得出点旋转1次后的坐标即可得． 【详解】 解：，将绕原点顺时针旋转，每次旋转， 每4次一个循环，第次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次， 由题意，第1次旋转的位置如图所示：过A作轴于C， ∵是等边三角形，， ∴，则， ∴， 第次旋转结束时，顶点的坐标为． 故选：D.． 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】 解：∵将绕点A旋转后得， ∴， ∴，， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出， 故B选项错误，符合题意． 故选：B． 5．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，在正方形中，是边上的一点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，连接．若，，则正方形的边长是（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 【答案】A 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，由旋转的性质可知：，，则为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，再由正方形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：由旋转的性质可知：，， 则为等腰直角三角形， ∴， 即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中， ， 即， 解得， 故选：A 6．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A，B，C． （1）将以原点O为旋转中心旋转180°得到，画出旋转后的． （2）平移，使点A的对应点A2坐标为，画出平移后的． （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．     （2）如图所示，即为所求．      （3）      【分析】 （1）依据以原点O为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的； （2）依据点A的对应点A2坐标为，即可画出平移后的； （3）依据与△中心对称，对称中心即为旋转中心的位置． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，旋转中心坐标为点P． 【点睛】 本题考查了利用旋转变换以及平移变换作图，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质． 7．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，四边形ABCD中，连接AC，BD，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，并且AD = 4.5，BD = 7.5，则CD的长为　　　　　　　　． 【答案】6 【详解】 试题分析：首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可． 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． ∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE． 又∵∠ADC=30°， ∴∠ADE=90°． 在Rt△ADE中，AE=7.5，AD=4.5， 于是DE==6， ∴CD=DE=6． 故答案为6． 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质． 8．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题关键． 根据云冈石窟和子关瀑布的坐标建立直角坐标系，然后确定壶口瀑布的坐标即可． 【详解】 解：根据题意建立如图坐标系： 所以壶口瀑布的坐标为． 故答案为． 9．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）【问题情境】如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）【猜想证明】如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）如图3，当时，连接，求此时的面积； （3）【能力提升】是否存在，使点三点共线．若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由如下， 如图2， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形；     （2）     （3）存在，或      【分析】 （1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，则四边形是正方形； （2）作于，可得，从而得到，再根据勾股定理求出，利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图2，作于， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ 在中，， ； (3) 小问详解： 存在， ∵四边形是矩形 ， 如图，当点在上时，连接， ， ∴ ，，， ， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； 如图，当点在的延长线上时， 同理，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 10．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转，若，点旋转后的对应点为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理以及等腰三角形的判定和性质．先利用勾股定理计算出，再利用旋转的性质得到，，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解． 【详解】 解：连接， 中，，， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）综合与探究 【问题背景】在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【问题提出】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【问题解决】经过学习小组合作、探究、展示，其中的两种作辅助线的方案如下： 方案一：连接，如图②； 方案二：将绕点E旋转至处，如图③． （1）请你任选其中一种方案进行证明． 【深入探究】 （2）点E在移动过程中，当点P恰好落在对角线上时，如图④，求的长． 【答案】（1）方案一：连接． ∵四边形是矩形， ∴． ∵E为的中点， ∴． 由折叠的性质，得，，， ∴，． 又∵， ∴． ∴． 方案二：将绕点旋转至处． ∵四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质，得，，． ∴，即点D，C，R共线． 由折叠的性质，得，， ∴，． ∴． ∴，即． （2）3 【分析】 本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理与折叠等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方案一：连接，根据证明即可得出结论； 方案二：证明，，得，由可得结论； （2）由勾股定理求出，根据折叠的性质得，，．，．在中，由勾股定理，得，即，解得， 【详解】 （1）略 （2）∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴． 由折叠的性质，得，，． ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为3． 12．（25-26学年九上·山西大同·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）① 四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ②， 如图所示即为所求， 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答； （2）① 由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论； ② 由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （2）① 略 ② ∵，，， ∴当点D旋转到与点B重叠时，此时， 过点C作于点G， 此时， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 13．（25-26学年九上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②或2 【分析】 本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）① 利用全等三角形的性质证明即可； ② 先得到是等边三角形，当点落在的延长线上时，四边形是菱形，此时，，求出比值；当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后计算比值即可． 【详解】 （1）证明：∵四边形都是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）① 结论： ，理由： ∵四边形都是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ； ② 如图中， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 是等边三角形， 当点落在的延长线上时，四边形是菱形， 此时，， ； 当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形， 此时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 14．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）综合与探究 （1）如图1，在中，，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，是边上的点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段与的关系为___________． （2）若将图1的条件“是边上的一点”改为“点是延长线上的任意一点”，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当点恰好落在的边上时，请直接写出的长． 【答案】（1），     （2） 解：若是延长线上的任意一点，其他条件不变，上述结论成立． 证明：如图2，延长交于点， 将边绕点逆时针旋转，得到线段， ，， 同理，， ， ， ， 在与中， ， ，， ， ， 又，， ， ；     （3）或2      【分析】 （1）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （2）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （3）分两种情况讨论：点F在边上，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理等即可求解；点F在边上，根据等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 解：延长交于点，如图，         ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在边上，如图①， ，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，即， 解之得（负值舍去）． 当点在边上，如图②， ，，， ． 综上所述，的长为或2． 【点睛】 此题考查了考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）请按下列要求画图：      ①将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；      ②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2； （2）若（1）所得的△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，直接写出对称中心P点的坐标． 【答案】（1）△A1B1C1如图所示． （2）△A2B2C2如图所示． （3）（2.5，0.5）． 【分析】 （1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （3）根据中心对称的规律即可求得． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，点P的坐标是（2.5，0.5）． 【点睛】 本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）以下是某班为大同文旅设计的标识，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形，如果一个图形绕着某一点旋转能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】 解：A、B、C图形绕着某一点旋转不能与本身重合，故都不是中心对称，故不符合题意； D图形绕着某一点旋转能与本身重合，是中心对称，故符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）某校为表彰积极参与“绿色校园”创建的环保实践小卫士，定制了如下的纪念徽章，其中属于中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】 解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 4．（25-26学年九上·山西运城·期中）若四边形是中心对称图形，且关于直线对称，则下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查中心对称图形的定义、平行四边形的性质，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 由中心对称图形可知四边形为平行四边形，由关于直线对称可知垂直平分，从而四边形为菱形，得到各边相等且对角线垂直，但对角线与边不一定相等，据此解答即可． 【详解】 解：四边形是中心对称图形， 四边形是平行四边形， 四边形关于直线对称， 点B与点D关于直线对称， 垂直平分BD， 又平行四边形对角线互相平分， 四边形是菱形， ， ， 故选项A、C、D成立， 但与不一定相等， 因此选项B不一定成立， 故选：B． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，点A关于原点的中心对称点是（     ） A. 点P B. 点Q C. 点K D. 点R 【答案】C 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】 解：由图知A点的坐标为 ∴A关于原点的中心对称点，即K点． 故选：C． 2．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】（7，-1） 【分析】 根据关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数得出答案即可． 【详解】 点（-7，1）关于原点对称的点是（7，-1）． 故答案为：（7，-1）． 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数是解题的关键． 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，并求出的面积． 【答案】（1） 如图所示，为所求作；点的坐标为；      （2）如图所示，即为所求作；的面积为6． 【分析】 本题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，写出点的坐标，求图形面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点的位置写出坐标即可； （2）分别作出点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得；利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $