专题22.5 图形与坐标 （高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“图形与坐标”核心知识点，系统梳理确定平面位置的方法（有序数对、方位角+距离等），平移、轴对称、原点旋转及位似的坐标变换规律，构建从基础定位到变换应用的递进式学习支架。 资料通过即学即练与分层题型设计，结合象棋、雷达图等情境培养几何直观与空间观念，强调分类讨论（位似同侧异侧）和逆向推理，提升抽象能力与运算能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

专题22.5 图形与坐标 教学目标 1. 掌握多种确定平面物体位置的方法，能自主建立合适的平面直角坐标系写出点的坐标。 2. 熟练掌握平移、轴对称、原点旋转、原点位似的坐标变化规律，完成对应点坐标计算。 3. 能够区分全等变换与相似变换，能处理图形连续多次变换后的坐标求解。 4. 会结合网格完成变换画图，能解决简单逆向问题，由变换后坐标反推原始点坐标。 教学重难点 重点 （1）多种确定位置的方法，自主建立坐标系求点坐标 （2）平移、轴对称、原点旋转的坐标变化与计算 （3）原点作为位似中心的坐标变换，注意分类讨论两组解 （4）单一图形变换条件下，求对应顶点坐标 难点 （1）旋转中心不是原点时的坐标求解，不能死记公式，需要画图分析 （2）位似变换漏解，区分同侧、异侧两种情况 （3）图形多次混合变换，按变换顺序推导坐标 （4）逆向题型：由变换后的坐标反求原始点坐标 知识点01：确定物体位置的常用方法 1. 有序实数对（平面直角坐标系）：选定 建立坐标系，用一对有序实数确定点的位置；坐标系建立方式不唯一，坐标随坐标系改变而改变。 2. 方位角+距离定位：选定 ，用 （南北在前）、 两个量确定位置，二者缺一不可。 3. 方格定位法：方格纸中，用 格数、 格数组成有序数对描述位置。 4. 经纬定位法：利用 、 确定地球上地点的位置。 【即学即练】 1．小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 知识点02：平移变换与坐标变化规律 1. 点向右平移个单位，对应点 ；向左平移个单位，对应点 。 2. 点向上平移个单位，对应点 ；向下平移个单位，对应点 。 3. 图形整体平移，图形上所有点按照相同规则做坐标变换；平移属于全等变换，图形大小、形状不变。 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 知识点03：轴对称变换与坐标变化规律 1. 点关于轴对称，对应点，横坐标 ，纵坐标 。 2. 点关于轴对称，对应点，纵坐标 ，横坐标 。 3. 点关于原点对称，对应点，横、纵坐标全部 。 4. 轴对称、原点中心对称属于全等变换，图形大小、形状不变。 【即学即练】 1．某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为个单位长度．已知学校，体育馆，火车站为坐标原点，文化馆与体育馆关于轴对称． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并标出点，的位置； (2)小红从学校出发，先向南走个单位长度，再向西走个单位长度，到达图书馆． 在图中标出点； 连接，，，则的面积是 ． 知识点04：原点为旋转中心的坐标变化（特殊角） 1. 绕原点旋转等价于关于原点中心对称，坐标。 2. 绕原点逆时针旋转：；顺时针旋转：。 3. 旋转属于全等变换；旋转中心不是原点时，不能直接套用公式，需要借助网格画图求解。 【即学即练】 1．如图，点A，B分别在平面直角坐标系轴和轴上，连接，已知，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 知识点05：原点为位似中心的坐标变化 1. 以原点为位似中心，位似比为，原点点，当新图形与原图在原点同侧，对应点。 2. 当新图形与原图在原点异侧，对应点 。 3. 图形放大；图形缩小；位似属于相似变换，改变图形大小，不改变形状。 4. 无特殊说明时，原点作位似中心存在同侧、异侧两组解，需要分类讨论。 【即学即练】 1．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 知识点06：四大图形变换对比汇总 变换类型 变换性质 点坐标变化（特殊条件） 图形大小形状 平移 全等变换 右移：；上移： 大小、形状不变 关于轴对称 全等变换 大小、形状不变 关于轴对称 全等变换 大小、形状不变 绕原点旋转 全等变换 大小、形状不变 原点为中心位似（位似比） 相似变换 或 形状不变，大小缩放 题型01 多种方式识别、描述物体位置 分清有序数对、方位角+距离、经纬定位，确定位置都需要两个必要条件。 【典例1】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）张华在李峰的北偏西方向处，那么李峰在张华的（     ） A．南偏东方向处 B．南偏东方向处 C．北偏东方向处 D．南偏西方向处 【变式1-2】.（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则用表示的目标是（     ） A．目标 B．目标 C．目标 D．目标 【变式1-3】.（25-26七年级下·云南德宏·期末）如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“卒”的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 题型02 自主建立平面直角坐标系，求点的坐标 原点选择尽量简化计算；坐标系选取不同，得到的坐标结果不唯一。 【典例2】.（26-27八年级下·全国·课后作业）一个长方形的长和宽分别为6和5．建立适当的平面直角坐标系，写出这个长方形各顶点的坐标． 【变式2-1】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，已知等边三角形的边长为．请建立适当的平面直角坐标系，并写出顶点的坐标． 【变式2-2】.（25-26七年级下·天津津南·期末）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 【变式2-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）小亮在某市动物园的门票上看到这个动物园的平面示意图（如图）．请借助刻度尺、量角器解决如下问题． (1)填空： ①百鸟园在大门的北偏东______________度的方向上，到大门的图上距离约为______________． ②大象馆在大门的北偏东______________度的方向上，到大门的图上距离约为______________． ③狮子馆在大门的南偏东______________度的方向上，到大门的图上距离约为______________． (2)建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示猴山、大象馆、狮子馆和百鸟园在图中的位置． 题型03 平移变换求对应点坐标 口诀“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”，图形上所有点变换规则保持一致。 【典例3】.（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知点，点，，将线段向上平移个单位，再向右平移个单位．得到线段，点为线段上任意一点，则的最小值为____________． 【变式3-2】.（21-22八年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【变式3-3】.（25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 题型04 轴对称变换求对应点坐标 记准“关于谁对称，谁的坐标不变，另一坐标取相反数”。 【典例4】.（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【变式4-1】.（25-26八年级下·北京·课后作业）已知点，． (1)若点，关于轴对称，求，的值； (2)若点，关于轴对称，求的值． 【变式4-2】.（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 【变式4-3】.（25-26八年级下·河北唐山·期末）在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置．其中A、B、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为，，． (1)若无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，则点的坐标为____________，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出、、三个无人机构成的平移后得到的相应图形． 题型05 原点特殊角度旋转坐标计算 原点旋转90°可套用公式；旋转中心非原点，借助网格画图求解，不硬套公式。 【典例5】.（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点，将点A绕点B逆时针旋转得到点，若点在y轴上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式5-2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）我们知道：确定位置一般需要两个数据，在实际生活中，也可以用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，若规定逆时针方向旋转为正角度（），顺时针方向旋转为负角度（），则可以确定点的位置如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似的，点可以记为．由此判断以下点的位置标记正确的应该是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式5-3】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．    (1)将绕点O顺时针旋转得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． 题型06 原点为位似中心求对应点坐标 坐标同乘或；无说明要写出同侧、异侧两组结果。 【典例6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【变式6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【变式6-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 【变式6-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 题型07坐标变换新定义、规律探究题型 读懂题干新运算规则，先计算前几组点坐标，归纳变化规律再求解。 【典例7】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫作筝形． (1)如图1，在菱形中，点、分别是边、上的两个点，，连接、．求证：四边形是筝形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、均在格点上，以点为原点，点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，若点、均在格点上，且四边形为筝形，请直接写出网格中所有符合条件的点的坐标． 【变式7-1】.（25-26七年级下·重庆云阳·期末）新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． (1)如图1，若，，则点可以表示为（     ）； (2)如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． (3)定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） 【变式7-2】.（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 【变式7-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 一、单选题 1．如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，若棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知点，若点A在过点且与x轴平行的直线上，则线段的长为_________． 5．如图是某游乐城的平面示意图，若用表示入口处的位置，用表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是_______． 6．如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为____________． 三、解答题 7．2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，如图是马的小篆字体，A，B两点的坐标分别为，，请你根据题意，建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 9．某儿童乐园的部分游乐设施位置如图所示．（每个小方格边长代表200m）． (1)如果星际迷航用数对表示，那么摩天轮可以用数对（___________，___________）表示，数对表示的是___________． (2)过山车在迷宫以东，再往北处．请在图上标出过山车的位置． (3)观光火车向东直行，在处向南直行，到达处，共花了22分钟（其中游客上、下车等待时间约为6分钟）．观光火车的平均速度是___________米/分． 1．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 3．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点C的坐标为，则点的坐标是_______． 4．如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小芳：“‘竹海听风’的坐标为”． 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向”． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置． 5．在平面直角坐标系中，点在直线：（）上，若点的坐标为，则称点为点关于直线的“函变点”． 例如：点在直线：上，点关于直线的“函变点”为，即． 如图，直线：与直线：相交于点． (1)分别求出点关于直线的“函变点”的坐标________，点关于直线的“函变点”的坐标________． (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，设点关于直线的“函变点”为点，设点关于直线的“函变点”为点，求此时点、的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，计算此时点的坐标． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.5 图形与坐标 教学目标 1. 掌握多种确定平面物体位置的方法，能自主建立合适的平面直角坐标系写出点的坐标。 2. 熟练掌握平移、轴对称、原点旋转、原点位似的坐标变化规律，完成对应点坐标计算。 3. 能够区分全等变换与相似变换，能处理图形连续多次变换后的坐标求解。 4. 会结合网格完成变换画图，能解决简单逆向问题，由变换后坐标反推原始点坐标。 教学重难点 重点 （1）多种确定位置的方法，自主建立坐标系求点坐标 （2）平移、轴对称、原点旋转的坐标变化与计算 （3）原点作为位似中心的坐标变换，注意分类讨论两组解 （4）单一图形变换条件下，求对应顶点坐标 难点 （1）旋转中心不是原点时的坐标求解，不能死记公式，需要画图分析 （2）位似变换漏解，区分同侧、异侧两种情况 （3）图形多次混合变换，按变换顺序推导坐标 （4）逆向题型：由变换后的坐标反求原始点坐标 知识点01：确定物体位置的常用方法 1. 有序实数对（平面直角坐标系）：选定原点建立坐标系，用一对有序实数确定点的位置；坐标系建立方式不唯一，坐标随坐标系改变而改变。 2. 方位角+距离定位：选定观测点，用方向（南北在前）、距离两个量确定位置，二者缺一不可。 3. 方格定位法：方格纸中，用横向格数、纵向格数组成有序数对描述位置。 4. 经纬定位法：利用经度、纬度确定地球上地点的位置。 【即学即练】 1．小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 【答案】D 【详解】解：由题意，游船在小艇的正北方向，且距小艇 处，即在原点位置， 故小艇在游船的北偏东，且距游船处； 小艇在游船的北偏西，且距游船处； 故只有选项D符合题意. 知识点02：平移变换与坐标变化规律 1. 点向右平移个单位，对应点；向左平移个单位，对应点。 2. 点向上平移个单位，对应点；向下平移个单位，对应点。 3. 图形整体平移，图形上所有点按照相同规则做坐标变换；平移属于全等变换，图形大小、形状不变。 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点B的对应点D的坐标确定平移规律，再利用平移规律即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵将线段平移后得到了线段，点， ∴线段向右平移7个单位，再向下平移2个单位得到线段，点A的对应点为点C， ∵， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴点C的坐标为． 知识点03：轴对称变换与坐标变化规律 1. 点关于轴对称，对应点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。 2. 点关于轴对称，对应点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 3. 点关于原点对称，对应点，横、纵坐标全部互为相反数。 4. 轴对称、原点中心对称属于全等变换，图形大小、形状不变。 【即学即练】 1．某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为个单位长度．已知学校，体育馆，火车站为坐标原点，文化馆与体育馆关于轴对称． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并标出点，的位置； (2)小红从学校出发，先向南走个单位长度，再向西走个单位长度，到达图书馆． 在图中标出点； 连接，，，则的面积是 ． 【答案】(1) 解：建立平面直角坐标系如图所示，点，的位置如图所示； (2) 点的位置如图所示； 【分析】（1）根据点的坐标画出图，描出点即可； （2）根据平移的特征确定点的坐标；用割补法求面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：略 的面积是 ． 知识点04：原点为旋转中心的坐标变化（特殊角） 1. 绕原点旋转等价于关于原点中心对称，坐标。 2. 绕原点逆时针旋转：；顺时针旋转：。 3. 旋转属于全等变换；旋转中心不是原点时，不能直接套用公式，需要借助网格画图求解。 【即学即练】 1．如图，点A，B分别在平面直角坐标系轴和轴上，连接，已知，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，运用旋转的性质可得，即；最后根据点D的位置写出坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点D在第一象限， ∴． 知识点05：原点为位似中心的坐标变化 1. 以原点为位似中心，位似比为，原点点，当新图形与原图在原点同侧，对应点。 2. 当新图形与原图在原点异侧，对应点。 3. 图形放大；图形缩小；位似属于相似变换，改变图形大小，不改变形状。 4. 无特殊说明时，原点作位似中心存在同侧、异侧两组解，需要分类讨论。 【即学即练】 1．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作的图形． (2)解：如图所示，即为所求作的图形． (3)8 【分析】（1）根据旋转作图的步骤，逐步作图即可； （2）根据位似作图的步骤，逐步作图即可； （3）根据割补法求三角形的面积进行计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∴． 知识点06：四大图形变换对比汇总 变换类型 变换性质 点坐标变化（特殊条件） 图形大小形状 平移 全等变换 右移：；上移： 大小、形状不变 关于轴对称 全等变换 大小、形状不变 关于轴对称 全等变换 大小、形状不变 绕原点旋转 全等变换 大小、形状不变 原点为中心位似（位似比） 相似变换 或 形状不变，大小缩放 题型01 多种方式识别、描述物体位置 分清有序数对、方位角+距离、经纬定位，确定位置都需要两个必要条件。 【典例1】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点、的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度，进而确定点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点 的坐标为， 结合图形可知，网格中小正方形的边长为个单位长度，且原点位于点左侧个单位、下方个单位处， 观察图形可知，点位于原点右侧 个单位、上方个单位处， 点的坐标为． 【变式1-1】.（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）张华在李峰的北偏西方向处，那么李峰在张华的（     ） A．南偏东方向处 B．南偏东方向处 C．北偏东方向处 D．南偏西方向处 【答案】A 【分析】根据两地点相对观测时方向相反、角度与距离不变的规律求解． 【详解】解：∵ 张华在李峰的北偏西方向处， ∴ 李峰在张华的南偏东方向处． 【变式1-2】.（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则用表示的目标是（     ） A．目标 B．目标 C．目标 D．目标 【答案】A 【分析】根据题意弄清坐标的含义即可求解 【详解】解：根据题意可知，括号内左边的数代表点距中心点的距离，一个环代表10，括号内右边的度数则代表它们的方位， 因此代表的是目标A 【变式1-3】.（25-26七年级下·云南德宏·期末）如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“卒”的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，根据已知坐标建立平面直角坐标系， 则“卒”的位置可表示为． 题型02 自主建立平面直角坐标系，求点的坐标 原点选择尽量简化计算；坐标系选取不同，得到的坐标结果不唯一。 【典例2】.（26-27八年级下·全国·课后作业）一个长方形的长和宽分别为6和5．建立适当的平面直角坐标系，写出这个长方形各顶点的坐标． 【答案】 解：如图，以长方形的一个顶点为原点，长为的边在轴正半轴上，宽为的边在轴正半轴上建立平面直角坐标系， 四个顶点的坐标分别为，，，. （建系方式不唯一，合理即可） 【分析】建立平面直角坐标系，直接利用长方形的边长结合坐标系得出各点坐标． 【详解】略 【变式2-1】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，已知等边三角形的边长为．请建立适当的平面直角坐标系，并写出顶点的坐标． 【答案】解：以网格中所在的直线为轴、的中点为原点、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示： ，， 在中，由勾股定理可得， 则等边三角形的顶点坐标为，，． 【分析】对于等边三角形，通常以水平边所在的直线为轴、以该边中点为原点、过原点且垂直于该边的直线为轴建立平面直角坐标系，结合勾股定理求出等边三角形的高即可得到顶点的坐标． 【详解】略 【变式2-2】.（25-26七年级下·天津津南·期末）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 【答案】 或 【分析】利用“将”和“象”确定平面直角坐标系的原点与坐标轴，读出炮的坐标；结合中国象棋 “象走田” 的规则，计算“象”下一步的坐标即可． 【详解】解：由“将”和“象”可建立如图所示平面直角坐标系： ①“炮”位于点的坐标是； ②根据中国象棋规则，如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是或． 【变式2-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）小亮在某市动物园的门票上看到这个动物园的平面示意图（如图）．请借助刻度尺、量角器解决如下问题． (1)填空： ①百鸟园在大门的北偏东______________度的方向上，到大门的图上距离约为______________． ②大象馆在大门的北偏东______________度的方向上，到大门的图上距离约为______________． ③狮子馆在大门的南偏东______________度的方向上，到大门的图上距离约为______________． (2)建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示猴山、大象馆、狮子馆和百鸟园在图中的位置． 【答案】(1)①，；②，；③， (2)猴山，大象馆，狮子馆，百鸟园(答案不唯一) 【分析】（1）①测量出百鸟园相对于大门的方位角和距离即可； ②测量出大象馆相对于大门的方位角和距离即可； ③测量出狮子馆相对于大门的方位角和距离即可； （2）以大门为原点，建立直角坐标系，写出猴山、大象馆、狮子馆和百鸟园在坐标系中的坐标即可． 【详解】（1）解：①百鸟园在大门的北偏东度的方向上，到大门的图上距离约为； ②大象馆在大门的北偏东度的方向上，到大门的图上距离约为； ③狮子馆在大门的南偏东度的方向上，到大门的图上距离约为； （2）解：如下图所示，以大门为原点，建立直角坐标系：   大门，猴山，大象馆，狮子馆，百鸟园(答案不唯一)． 题型03 平移变换求对应点坐标 口诀“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”，图形上所有点变换规则保持一致。 【典例3】.（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 【变式3-1】.（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知点，点，，将线段向上平移个单位，再向右平移个单位．得到线段，点为线段上任意一点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】计算的面积，根据垂线段最短，可得当时，取最小值，利用面积法即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接， 根据平移可得，，， ， 四边形的面积为， 三角形的面积为， 当时，取最小值，最小值为． 【变式3-2】.（21-22八年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据点的平移规律，左减右加，上加下减，写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点. 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； ∴， 即； （3）略 【变式3-3】.（25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3) (4)或或 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标； （4）设出点D的坐标，分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将进行平移得到，，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即； （4）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 题型04 轴对称变换求对应点坐标 记准“关于谁对称，谁的坐标不变，另一坐标取相反数”。 【典例4】.（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵与关于轴对称， 点在的边上， ∴点在上的对应点的坐标是． 【变式4-1】.（25-26八年级下·北京·课后作业）已知点，． (1)若点，关于轴对称，求，的值； (2)若点，关于轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关于轴对称的点的特征，可列方程，求解得、的值； （2）根据关于轴对称的点的特征，可列方程，求解得、的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：若点，关于轴对称， 则， 解得． （2）解：若点，关于轴对称， 则， 解得， 代入． 【变式4-2】.（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，解题的关键是掌握坐标平面点的特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点C的坐标，再在坐标系中描出点A和点C即可； （2）根据求解即可； （3）根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点C的坐标为， （2）解：如图所示，； （3）解：由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴点D的坐标为或． 【变式4-3】.（25-26八年级下·河北唐山·期末）在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置．其中A、B、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为，，． (1)若无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，则点的坐标为____________，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出、、三个无人机构成的平移后得到的相应图形． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （2）根据平移方式可得点的坐标，再描点，连线画图即可． 【详解】（1）解：∵无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）略 题型05 原点特殊角度旋转坐标计算 原点旋转90°可套用公式；旋转中心非原点，借助网格画图求解，不硬套公式。 【典例5】.（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． 【变式5-1】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点，将点A绕点B逆时针旋转得到点，若点在y轴上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，过点A作轴于点C，则，可证明，得到，再根据点A和点B的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点C，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）我们知道：确定位置一般需要两个数据，在实际生活中，也可以用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，若规定逆时针方向旋转为正角度（），顺时针方向旋转为负角度（），则可以确定点的位置如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似的，点可以记为．由此判断以下点的位置标记正确的应该是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了用坐标确定位置，根据“角度距离”的方法逐项判断即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：、点中数对位置颠倒，标记错误，不符合题意； 、点表示从开始顺时针方向旋转，与点相距，与图中位置不符，标记错误，不符合题意； 、点表示从开始逆时针方向旋转，与点相距，与图中位置相符，符合题意； 、点表示从开始逆时针方向旋转，与点相距，与图中位置不符，标记错误，不符合题意； 故选：． 【变式5-3】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．    (1)将绕点O顺时针旋转得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． 【答案】(1) 如图，即为所求；    (2) 如图，即为所求；    【分析】本题考查了平面直角坐标系中图象的旋转，作位似图形等知识． （1）连接，根据旋转三要素得到，即可确定位置，依次确定和位置，即可得到； （2）连接并延长两倍，即可确定位置，依次确定和位置，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 题型06 原点为位似中心求对应点坐标 坐标同乘或；无说明要写出同侧、异侧两组结果。 【典例6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 【变式6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据图形与位似中心的位置关系，结合原图形与新图形的位似比为3，坐标对应乘以求解即可． 【详解】解：将点的坐标乘以或可得：点的对应点的坐标为或． 【变式6-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】(1)如图所示即为所求 (2)， 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【详解】（1）略 （2）解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 【变式6-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 题型07坐标变换新定义、规律探究题型 读懂题干新运算规则，先计算前几组点坐标，归纳变化规律再求解。 【典例7】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形． (1)如图1，在菱形中，点、分别是边、上的两个点，，连接、．求证：四边形是筝形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、均在格点上，以点为原点，点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，若点、均在格点上，且四边形为筝形，请直接写出网格中所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； (2)，，， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证、，根据筝形的定义可证结论成立； （2）根据筝形的定义分情况求解． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 综上所述，点的坐标可以是、、、． 【变式7-1】.（25-26七年级下·重庆云阳·期末）新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． (1)如图1，若，，则点可以表示为（     ）； (2)如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． (3)定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） 【答案】(1) (2)以货轮为原点时灯塔的位置为，以灯塔为原点时货轮的位置为 (3) 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）分别求出和，根据新定义解答即可； （3）过点作于，延长到，则为正东方向，过点作，根据新定义得出，，，可得是等边三角形，，，根据平行线的性质得出，，利用角的和差关系求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，即，， ∴点可以表示为． （2）解：如图所示， 当以货轮为原点时，∵， ∴， ∵货轮与灯塔相距海里， ∴以货轮为原点时灯塔的位置为， 当以灯塔为原点时，由题意可知，， ∴， ∴， ∴以灯塔为原点时货轮的位置为． （3）解：如图，过点作于，延长到，则为正东方向，过点作， ∵以点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴以点为原点，正东方向为始方向，点、点的位置为 ． 【变式7-2】.（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：（1），，三分点， ，， 解得，， ； （2）点，的“三分点”是点， 点的坐标为，． 将代入得， ， 点在直线的右上方． 与直线没有公共点， 在直线的右上方， 则且， 解得， 的取值范围是． 【变式7-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①、；② (2)的值是1或2 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②根据等距点的定义可得，求出的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是，； 故答案为：E，F； ②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且， ∵点的坐标为，且、两点为“等距点”， ∴， 解得或， ∴或， ∴点的坐标为或， ∵，、两点为“等距点”， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴当，两点为“等距点”时，则有： ①，且， 解得或1，且， ∴； ②，且， 解得或，且或， ∴； 综上，的值为1或2． 一、单选题 1．如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表示瑞金的点的坐标确定原点和坐标轴的位置，据此画出平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则表示吴起镇会师的点的坐标为． 2．如图，若棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用棋子“车”的坐标为找出直角坐标系的位置后即可得到棋子“炮”的坐标． 【详解】解：由题意可得直角坐标系如图所示： 故棋子“炮”的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移将 转化为 ，将问题转化为求 轴上一点 到异侧两点 距离之和最小，利用两点之间线段最短求解． 【详解】解：， 将点 向左平移 个单位得到点 ，此时 ， ， 点 与点 分别在 轴两侧， 当 三点共线时， 最小，即 最小， 设直线 的解析式为 ， 把 代入得， 解得 ， ， 当 时，， 点 的坐标为 ． 二、填空题 4．已知点，若点A在过点且与x轴平行的直线上，则线段的长为_________． 【答案】12 【分析】根据点A在过点且与x轴平行的直线上得出，求得的值，进而求得的值即可求解． 【详解】解：点A在过点且与x轴平行的直线上， ，解得， ， ， ． 5．如图是某游乐城的平面示意图，若用表示入口处的位置，用表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是_______． 【答案】激光战车 【详解】解：如图所示：坐标原点表示的位置是激光战车． 6．如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为____________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质和点、的坐标得到，，再根据折叠的对应角相等和平行线的性质推出，然后根据等角对等边和勾股定理求出，进而求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即C、D纵坐标相同， ∵点，点， ∴，， 由折叠的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 三、解答题 7．2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，如图是马的小篆字体，A，B两点的坐标分别为，，请你根据题意，建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标． 【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示：点C的坐标为， 【分析】根据所给A、B两点的坐标画出平面直角坐标系，进而可得点C坐标． 【详解】略 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； (2)解：所求图形，如图所示． 【分析】（1）先在坐标系中画出，再作出关于轴对称的即可； （2）根据位似三角形的性质，即可得到 【详解】（1）略 （2）略 9．某儿童乐园的部分游乐设施位置如图所示．（每个小方格边长代表200m）． (1)如果星际迷航用数对表示，那么摩天轮可以用数对（___________，___________）表示，数对表示的是___________． (2)过山车在迷宫以东，再往北处．请在图上标出过山车的位置． (3)观光火车向东直行，在处向南直行，到达处，共花了22分钟（其中游客上、下车等待时间约为6分钟）．观光火车的平均速度是___________米/分． 【答案】(1)6，4；海盗船 (2) (3) 【分析】本题考查了数对表示位置； （1）根据示意图，结合题意，即可求解； （2）迷宫的位置在，过山车在迷宫以东，再往北处．即过山车的位置在． （3）观光火车在向东直行，到处，走了6格，再向南直行，到达处，又走了两格，共用时分钟，根据速度等于路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：星际迷航用数对表示，那么摩天轮可以用数对表示，数对表示的是海盗船． （2）解：迷宫的位置在，过山车在迷宫以东，再往北处．即过山车的位置在． （3）解：（米/分） 1．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 2．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 3．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点C的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，点C的坐标为，可确定原点的位置，从而建立平面直角坐标系，即可判断点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点C的坐标为， ∴可确定原点的位置，如图，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标是． 4．如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小芳：“‘竹海听风’的坐标为”． 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向”． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：“荷塘月色”的坐标为 (2)点，如图 (3)“碧波潭”在“桃花源”的正南方向，距离桃花源处 【分析】（1）根据“竹海听风”的坐标建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标即可； （2）在坐标系中描点即可； （3）根据桃花源坐标，碧波潭，即可解答； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由坐标系可得桃花源坐标为，碧波潭， 两点横坐标相等，因此碧波潭在桃花源的正南方向； 纵向距离为个单位长度，实际距离为， 故碧波潭在桃花源的正南方向，距离桃花源处． 5．在平面直角坐标系中，点在直线：（）上，若点的坐标为，则称点为点关于直线的“函变点”． 例如：点在直线：上，点关于直线的“函变点”为，即． 如图，直线：与直线：相交于点． (1)分别求出点关于直线的“函变点”的坐标________，点关于直线的“函变点”的坐标________． (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，设点关于直线的“函变点”为点，设点关于直线的“函变点”为点，求此时点、的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，计算此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)， ． (3)存在，E的可能值为、、． 【分析】（1）先联立两条直线解析式求出点坐标，再由“函变点”定义求出点关于直线，的“函变点”； （2）先根据点分别在，上求出点的坐标，再根据“函变点”定义求出； （3）由求出点坐标，再分别过点D、、作三条边、、的平行线m、l、k，构成一个大三角形，大三角形的三个顶点即为点． 【详解】（1）解：联立方程组得，解得， 点C的坐标为， 点C关于直线的“函变点”的坐标为，即； 点C关于直线的“函变点”的坐标为，即． （2）解：由题意得，点M，N的横坐标均为m，且M，N分别位于直线与、上，分别代入直线、解析式、中可得点M的坐标为，点N的坐标为， 则点M关于直线的“函变点”的坐标为，即； 点N关于直线的“函变点”的坐标为，即； ， ． （3）解：存在，由（2）得当时，则，，如图1， 在平面直角坐标系中，分别过点D、、作三条边、、的平行线m、l、k，如图2， ①设直线l、k交于点E，如图3， 、， 四边形为平行四边形， ， ，，且， ，点E的坐标为． 同理，可得、， 综上所述，E的可能值为、、． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $