14.3角的平分线【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦“角的平分线”核心知识点，以前期三角形全等判定（“边边边”“边角边”）为基础，通过尺规作图（含全等证明）、性质（平分角及到两边距离相等）、判定（到两边距离相等的点在角平分线上）构建学习支架，形成从操作到理论再到应用的完整脉络。 资料特色在于知识梳理与分层训练结合，尺规作图步骤与全等推理结合，培养几何直观与推理能力。8类题型覆盖求长度、面积等，典例加变式助学生掌握“对应”关系，发展逻辑推理。实际应用（如喷泉位置确定）体现数学与现实联系，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

14.3角的平分线 学习目标和重难点 1、经历探索三角形全等条件的过程，理解“边边边”“边角边”等判定方法的合理性，体会分类讨论、归纳推理等数学思想。 2、掌握三角形全等的基本判定方法，能根据已知条件正确选择判定定理，并能用规范的几何语言进行简单推理和证明。 3、感受数学与现实生活的联系，能运用三角形全等知识解释或解决简单的实际问题，发展几何直观和逻辑推理能力。 教学重点 三角形全等的判定方法，特别是“边边边”“边角边”的探究与应用；能用规范的几何语言进行推理和书写。 教学难点 理解判定方法中“对应”的含义，能根据图形和已知条件准确寻找对应边、对应角，并能选择恰当的判定方法进行推理证明。 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 利用角平分线的性质求长度 题型2 利用角平分线的性质求面积 题型3 利用角平分线的性质求角度 题型4 利用角平分线的性质求最值 题型5 利用角平分线的性质证明 题型6 角平分线的判定 题型7 角平分线的应用 题型8 角平分线的判定与性质的综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点01 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 【针对训练】 【典例精讲】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【变式训练1】如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【变式训练2】如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 知识点02 角平分线的性质 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 【针对训练】 【典例精讲】如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式训练1】如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【变式训练2】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长 知识点03 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【针对训练】 【典例精讲】如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练1】如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练2】如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 题型解析◆精准备考 【题型1 利用角平分线的性质求长度】 【典例1】如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 【题型2 利用角平分线的性质求面积】 【典例1】如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【题型3 利用角平分线的性质求角度】 【典例1】已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式1】如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【题型4 利用角平分线的性质求最值】 【典例1】如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ． 【变式1】如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 【题型5 利用角平分线的性质证明】 【典例1】如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：． 【变式1】如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 【题型6 角平分线的判定】 【典例1】如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【变式1】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【题型7 角平分线的应用】 【典例1】如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置． 【变式1】如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【题型8 角平分线的判定与性质的综合】 【典例1】如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【变式1】如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 1．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 3．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 4．如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 6．如图，在中，平分，交于点，垂足为点E，若，则的长为（） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 8．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 9．如图，，，，若，则_______． 10．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是________．    11．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 12．如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 13．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（   ） A． B． C． D． 14．如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（     ） A．5 B．3 C．2 D．无法确定 15．如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（   ） A．3 B．4 C．8 D．12 17．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 18．如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为______． 19．如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 20．如图，在中，O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为____________． 21．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 22．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 23．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 24．如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 25．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 26．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 27．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 28．如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 29．如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 _________ ．（填序号） 30．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是________． ①平分；②； ； 31．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 32．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3角的平分线 学习目标和重难点 1、经历探索三角形全等条件的过程，理解“边边边”“边角边”等判定方法的合理性，体会分类讨论、归纳推理等数学思想。 2、掌握三角形全等的基本判定方法，能根据已知条件正确选择判定定理，并能用规范的几何语言进行简单推理和证明。 3、感受数学与现实生活的联系，能运用三角形全等知识解释或解决简单的实际问题，发展几何直观和逻辑推理能力。 教学重点 三角形全等的判定方法，特别是“边边边”“边角边”的探究与应用；能用规范的几何语言进行推理和书写。 教学难点 理解判定方法中“对应”的含义，能根据图形和已知条件准确寻找对应边、对应角，并能选择恰当的判定方法进行推理证明。 资料板块目录表资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 利用角平分线的性质求长度 题型2 利用角平分线的性质求面积 题型3 利用角平分线的性质求角度 题型4 利用角平分线的性质求最值 题型5 利用角平分线的性质证明 题型6 角平分线的判定 题型7 角平分线的应用 题型8 角平分线的判定与性质的综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点01 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 【针对训练】 【典例精讲】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理． （1）利用角平分线的作法进行操作即可； （2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出，利用角平分线的性质得出，即可判定出两直线平行． 【规范解答】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式训练1】如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图-复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）结合角平分线的性质，作的平分线，交射线OP于点M，则点M为所求． （2）连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H，由角平分线的性质可得，由，可得再由，可得 【规范解答】（1）解：如图，作的平分线，交射线OP于点M， 则点M为所求． （2）解：连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H， 平分，点M在OP上， 平分， ， ， ， ， 【变式训练2】如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 角平分线的性质 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，利用证明即可； （2）证明，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式训练2】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 知识点03 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【针对训练】 【典例精讲】如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键． 【规范解答】解：①∵和的平分线相交于点， ，， ∴，故①符合题意； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上， ， ，故②符合题意； ③∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故选：D． 【变式训练1】如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据“”证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线定义得出平分，即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 【变式训练2】如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 题型解析◆精准备考 【题型1 利用角平分线的性质求长度】 【典例1】如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图，过点P作，垂足为E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ； ∴， ； ∴， 中，， ∴； 故选：B． 【变式1】如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F， 平分，，， ， ，，， ， 解得：， 故答案为： 【题型2 利用角平分线的性质求面积】 【典例1】如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1】如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【题型3 利用角平分线的性质求角度】 【典例1】已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，的平分线分别交、于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：，，， 点在的平分线上， ∴． ∴ ∴ 故答案为： 【题型4 利用角平分线的性质求最值】 【典例1】如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ． 【答案】6 【分析】由垂线段最短得，当时，线段的值最小，由等边对等角得，根据平行线的性质得 ，则平分，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：由垂线段最短得，当时，线段的值最小， ∵， ， ， ， ∴，即平分， ∵，当时，线段的值最小， ∴线段的最小值是：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查平行线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质以及垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【变式1】如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 【答案】2 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得：是的平分线， 当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案：． 【题型5 利用角平分线的性质证明】 【典例1】如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的性质得结合外角性质得，因为，证明，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴ ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再结合，，证明，则，因为，故． 【详解】证明：∵是的角平分线 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型6 角平分线的判定】 【典例1】如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明： ，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【变式1】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 【题型7 角平分线的应用】 【典例1】如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可． 【详解】如图所示：点即为所求． 【变式1】如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 【题型8 角平分线的判定与性质的综合】 【典例1】如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式1】如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 过M作于E，根据角平分线性质求出，再根据角平分线的判定即可． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分． 1．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解:由作法得，，而为公共边， 所以． 所以． 2．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 3．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可． 【详解】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 5．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用、三角形内心有关应用 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 6．如图，在中，平分，交于点，垂足为点E，若，则的长为（） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两条边的距离相等．”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴． 7．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 【答案】/25度 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图) 【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线， ． 8．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 【答案】10 【知识点】角平分线的性质定理 【详解】解：∵点是平分线上一点，且，， ∴， 又∵， ∴． 9．如图，，，，若，则_______． 【答案】 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴是的平分线， 又∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是________．    【答案】 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 11．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1) 过点P作于D，如图所示． ∵和的角平分线相交于点P，且，， ∴，， ∴． (2)10 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是角平分线的性质及判定、含30度角的直角三角形的性质． （1）过点P作于D，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论； （2）先证明平分，求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出结论． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． 13．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，结合作图得又因为，故，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得 ∵， ∴， ∴， 故选：A， 14．如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（     ） A．5 B．3 C．2 D．无法确定 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点C作于E，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于E， 是的平分线，，， ， 即点C到边的距离为3． 15．如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．根据，，判断是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴点O到、的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 故选：D． 16．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（   ） A．3 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 故选：B． 17．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， ∵， ∴． 18．如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为______． 【答案】5 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】过点D作于点M，利用角的平分线的性质，三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点D作于点M，如图 ∵射线平分，，，    ∴； ∵，的面积为10， ∴； ∴； 解得， ∴． 19．如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 【答案】140 【知识点】垂线的定义理解、角平分线的判定定理、多边形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】首先证明平分，结合易得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，平分， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在中，O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为____________． 【答案】/88度 【知识点】角平分线的判定定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由题意，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，利用三角形内角和即可求得∠A． 【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠A＝180°−（∠ABC+∠ACB） ＝180°−2（∠OBC+∠OCB） ＝180°−2×（180°−∠BOC） ＝180°−2×（180°−134°） ＝88° 故答案为：88°． 【点睛】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键． 21．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． (2) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分； （2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 24．如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行线的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，根据图示判断是的角平分线，继而得到的度数，继而根据两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：, ， 如图所示，是的角平分线， ， ， ． 25．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴平分．即：， 同理可得：， 又∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选为：C． 26．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 27．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 28．如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 29．如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 _________ ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】用HL证全等（HL）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，根据题意先判定是的角平分线；进而证明，得出②④正确，根据三角形的外角的性质得出可得是等边三角形进而判断③． 【详解】解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； 由①可知，， ， ，故④正确， ， ，故②正确； ， ，， ，故③正确； 故答案为：①②③④． 30．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是________． ①平分；②； ； 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质等知识，过点作于点，由角平分线的性质得到，即可判断，假设，进一步得到，与题意矛盾，可判断，由，，得到，可判断，由， 得到，，进而得到，可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分，故符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴假设不成立，故不符合题意； 由可知，， ∴， ∴， ∴，故符合题意； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故符合题意； 故答案为：． 31．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 32．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； (2)证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； (3)4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）如图，作于E，延长线于F，证明，再进一步证明即可； （2）如图，连接，证明，，进一步可得，可得； （3）过点K作于M，于N，证明，可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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