15.3.1 等腰三角形（第2课时 等腰三角形的判定）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定，核心知识点为“等角对等边”定理，通过上节课“等边对等角”性质反向提问，搭建从性质到判定的学习支架，引导学生自然衔接前后知识。 其亮点在于定理探究过程培养逻辑推理，尺规作图强化几何直观，例题练习层次分明。学生在证明与作图中提升推理能力和应用意识，教师可借助系统内容高效开展教学，助力学生掌握判定方法与数学思维。

【新教材】人教版·八年级上册 第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 1 2 3 能结合图形准确说出等腰三角形的判定定理“等角对等边”，分清等腰三角形性质与判定的区别； 掌握“等角对等边”，能运用判定定理进行推理证明，会按要求用尺规作已知底边及底边上高的等腰三角形； 经历等腰三角形判定定理的探究与证明过程，体会转化思想，提升逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就一起来探究这个问题，学习等腰三角形的判定方法 ——等角对等边，并学习利用尺规作出满足条件的等腰三角形． 同学们，上一节课我们学习了等腰三角形的性质：等边对等角，在一个三角形中，如果两条边相等，那么这两条边所对的角相等. 反过来思考，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也会相等吗？ 导入新课 3 思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ A B C 相等 请你尝试着证明一下. 新知探究 已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 证明：作△ABC的角平分线AD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（AAS）． ∴AB＝AC． A B C D 1 2 你还有其它的证明方法吗？ 新知探究 等腰三角形的判定方法 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”). A B C 几何语言： 在△ABC中， ∵∠B＝∠C， ∴ AB＝AC ． 新知探究 例1： 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC． 求证：AB＝AC． 分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2．所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系． 典例分析 证明：∵AD//BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C． 又AD平分∠CAE， ∴∠1＝∠2． ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC． 已知：如图所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC． 求证：AB＝AC． 典例分析 1．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 【解析】根据等角对等边进行判断即可． 解：∵，∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴，∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 基础训练 2．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【解析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 解：∵，∴，， ∵平分，∴，即，∴， ∵平分，∴，即，∴， ∴ ， ∵，，∴． 基础训练 例2：尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a ，底边上高的长为h（如图所示），求作这个等腰三角形． 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上．由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形． 作法：如图所示． （1）作线段AB＝a． （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． （3）在MN上取一点C，使DC＝h． （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 典例分析 11 1．根据作图痕迹可判断，下列作法中不一定能作出等腰三角形的是（     ）． A． B． C． D． B 【解析】根据等腰三角形的判定方法，结合作图，逐项进行判断即可． 解：A．根据作图可得：，∴为等腰三角形，故A不符合题意；B．根据作图可得：平分，但不能保证为等腰三角形，故B符合题意；C．根据作图可得：，∴， ∴为等腰三角形，故C不符合题意；D．如图，连接，， 根据作图可知，点D在上，点E在上，，，，∴，∴，∴， ∴为等腰三角形，故D不符合题意. 基础训练 2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为__________________________________． ，，，， 【解析】本题主要考查了轴对称图形的性质,坐标与图形的变化,等腰三角形的性质等知识,运用分类思想是解题的关键.由不共线的三点构成轴对称图形,则是等腰三角形,再根据两圆一中垂可解决问题. 解：依题意，由不共线的三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形，则以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点；或以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点；或以为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的点；如图，共有符合要求的点坐标为：，，，，. 基础训练 等腰三角形的判定 ①等腰三角形判定定理 性质：等边对等角，即边相等 ⇒ 角相等（由边推角） 判定：等角对等边，即角相等 ⇒ 边相等（由角推边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简写成“等角对等边”). ③尺规作等腰三角形（已知底边和底边上的高） 先作底边线段；作出底边的垂直平分线，在垂线上截取高确定顶点；连接两端点得到等腰三角形. 作图依据是等腰三角形三线合一 ②性质与判定的区别 新知总结 14 1．以下条件中，能判定三角形是等腰三角形的是（     ） A．三角形中有两个角分别是 B．三角形中有两个角分别是 C．三角形中有两个角分别是 D．三角形中有两个角分别是锐角 C 【解析】根据等腰三角形的定义解答即可． 解：∵ 三角形内角和为，∴ 选项A、B的第三个内角分别为、，均无相等内角，不是等腰三角形； 选项C的第三个内角为，有两个相等内角，则这两个相等的角的对边相等，故是等腰三角形； 选项D中，两个锐角无法确定是否相等，如两角为和时不是等腰三角形，不能判定． 巩固练习 2．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． B 【解析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 解：∵，∴，又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 巩固练习 3．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．则________． 【解析】由题意得，射线为的角平分线，利用等边对等角，等角对等边求解即可． 解：，，， 由题意得，射线为的角平分线， ， 在中，， ，， ． 巩固练习 4．如图，上午时，一条船从海岛出发，以海里小时的速度向正北方向航行，时到达海岛处．在海岛测得灯塔在北偏西的方向上，在海岛测得灯塔在南偏西的方向上，求海岛到灯塔的距离． 【解析】根据题意可得：海里，，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边即可解答． 解：由题意得：海里， ， ， ，海里， 海岛到灯塔的距离为海里． 巩固练习 5．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为____． 【解析】延长到N,使,连接,延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系,进而最终可得出结论. 解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E，∵M是的中点，∴，， ∴，∴，， 又∵为的角平分线，∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，∴． 拓展提升 19 课堂总结 必做题： 教材第84页习题15.3第2题、第4题 选做题： 教材第85页习题15.3第9题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! $