第八章 平面解析几何（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以圆与圆锥曲线为核心，通过基础概念应用、跨知识点融合及新情境创新题，系统覆盖平面解析几何高频考点，培养数学眼光的创新意识与数学思维的推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|3题|距离计算、过三点求圆方程|从直线方程到圆的方程，体现几何直观与代数运算结合| |椭圆|7题|离心率、焦点关系、投影新情境|围绕a,b,c关系，从定义到性质应用，结合空间投影培养空间观念| |双曲线|4题|渐近线、焦点与圆相切|通过渐近线方程建立a,b联系，结合圆的切线考查逻辑推理| |抛物线|4题|焦点弦、中点问题|应用定义转化距离，结合中点坐标公式培养模型观念| |综合应用|4题|新情境曲线、蒙日圆新定义|跨知识点融合，通过创新题发展应用意识与创新意识|

第五章 平面解析几何（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D B C A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. （或） 13. / 14. 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则，（3分） 由右焦点，可知，则，，即椭圆的标准方程为.（5分） （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为，与椭圆联立可得： ，即，（8分） 可得，.（10分） 所以，所以.（12分） 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意知，，     解得，      所以的方程为（6分） （2）联立，整理得，     （8分） 由，可得， 设，则     （10分） 因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，    （13分） 则   （15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意可知， 联立直线与的方程可得， 设,则, 由弦长公式可得：,（2分） 化简可得，由于，故，（负值舍去）. 故抛物线的方程为.（4分） （2）设直线, 直线与抛物线联立可得， （6分） 故，（8分） 由于，故， 因此的取值范围为（10分） （3）抛物线与直线相交于故，（12分） 抛物线与直线相交于故， 根据可得， 由于轴，根据对称性可知四边形的外接圆圆心在轴上，故， 由可得， 化简可得， 将代入上式可得，（14分） 由于，可得，故，故， 进而.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题知抛物线的准线方程为， 又，所以，，（2分） ，则， 所以抛物线的方程为；（4分） （2）（i）证明：设，则的方程为 因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： ，即（6分） ，即， 同理当时有，（8分） 将两等式相减可得：， 而与外切，则有， 即有，又，则 则，故数列为等差数列.（10分） （ii）因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由 得：即，由，即，（12分） 由数列为等差数列，公差为2，则， 则.（14分） 斜率为1的直线，交抛物线于，两点， 由得：，则，，， 所以，则，（15分） 由，则或（舍去） 综上，．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由已知可得，①， 由椭圆过点，得②， 由①②解得，，（2分） 于是，所以椭圆的蒙日圆的方程为.（4分） （2）由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 由，得，即，（8分） 则坐标原点到直线的距离， ， 所以的面积.（10分） （3）由（1）知，椭圆的方程为，椭圆的蒙日圆方程为， 设，则，设，，则，， 当切线的斜率存在时，设的方程为， 由消去得，（12分） ，整理得， 即，则，解得， 于是，即， 当切线的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式，（13分） 因此切线的方程为，同理切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 从而直线的方程为，当时， 由消去并整理得：， 显然，， ，， 则，（14分） 又点到直线的距离， 于是的面积，（13分） 设，则，， 令，，，（15分） 所以函数在上单调递增，， 当，即时，由对称性不妨令，直线，（16分） 由，解得，，，， 所以面积的最小值为.（17分） 答案第2页，共2页 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面解析几何（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将变形为，故两直线的距离为， 故选：B 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，又，所以，，得， 所以． 故选：A． 3．（2026·吉林白城·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以该双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程为得，解得 故选：D 4．（2026·广东佛山·模拟）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得.设，则，得， 又且点A在第一象限，因此，即.设直线的倾斜角为，, ，得. 故选：B 5．（2026·湖南岳阳·模拟）已知圆和直线，若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设圆上三点到直线的距离分别为，圆心到直线的距离为， 若直线与圆相切或相交，此时可以取非常小的正数，则必存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列；若直线与圆相离，即，则圆上任意一点到直线的距离位于， 若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则需，得， 则的最小值为. 故选：C 6．【原创题】若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】椭圆的长轴长是短轴长的倍， 所以，即，所以，抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点， 所以，所以，即. 故选：A 7．（2026·安徽安庆·模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，因为，所以,所以. 因为，所以是等腰三角形，则 又因为，所以，所以，则 过作其中为垂足，则为中点，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，所以离心率为. 故选：A 8．【原创题】圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设圆与切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，（如图）. 设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，， 则，，，而， 由平面几何知识易得，， 故椭圆的离心率. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）抛物线的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，，垂足为P，，下列说法正确的是（   ） A．直线m的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：由抛物线的定义得，又， 所以，所以为等边三角形， 所以， 因为，所以，即直线m的倾斜角为， 所以直线m的斜率，故A正确； 选项B：设准线l交x轴于点C， 因为，所以， 又，， 所以，所以，故C正确； 选项C：因为直线m的斜率为，且过点， 所以直线m的方程为， 与抛物线联立，得，解得或， 因为点A位于第一象限，所以，则， 所以， 所以，故B错误； 选项D：在中，，， 所以，即， 由抛物线的定义得，点B到准线l的距离等于， 所以，故D正确. 故选：ACD 10．（2026·湖南永州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 【答案】AD 【解析】设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为， 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即， 所以双曲线的离心率为，故B错误； 设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得， 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以的中点在直线上，故C错误； D：设，因为， 所以，由双曲线的定义得， ， 因为，代入得，化简整理得， 即，即， 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 故选：AD 11．【新情境】（2026·江苏·一模）（多选）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【解析】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，，解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 13．（2026·辽宁辽阳·一模）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 【答案】/ 【解析】圆的半径为.由题意，对双曲线：，， 所以.所以双曲线的离心率为：. 故答案为： 14．（2026·广东·一模）如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 【答案】2 【解析】由题意可知直线的斜率存在，设切线， 联立，消去整理得， ，化简得； 因为，且，则直线， 联立，解得，所以， 同理，可得， ， 同理，可得， 又，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （2026·吉林长春·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则，（3分） 由右焦点，可知，则，，即椭圆的标准方程为.（5分） （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为，与椭圆联立可得： ，即，（8分） 可得，.（10分） 所以，所以.（12分） 所以.（13分） 16．（15分） （2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【解析】（1）由题意知，，     解得，      所以的方程为（6分） （2）联立，整理得，     （8分） 由，可得， 设，则     （10分） 因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，    （13分） 则   （15分） 17．（15分） 【创新题】（2026·湖南怀化·一模）在抛物线中，直线与交于两点，为的焦点.当直线为时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标始终为1，求的取值范围； (3)已知直线与相交于两点，直线与相交于两点（点在轴的上方），若，四边形的外接圆圆心坐标为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由题意可知， 联立直线与的方程可得， 设,则, 由弦长公式可得：,（2分） 化简可得，由于，故，（负值舍去）. 故抛物线的方程为.（4分） （2）设直线, 直线与抛物线联立可得， （6分） 故，（8分） 由于，故， 因此的取值范围为（10分） （3）抛物线与直线相交于故，（12分） 抛物线与直线相交于故， 根据可得， 由于轴，根据对称性可知四边形的外接圆圆心在轴上，故， 由可得， 化简可得， 将代入上式可得，（14分） 由于，可得，故，故， 进而.（15分） 18．（17分） 【新融合】（2026·江苏·一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）由题知抛物线的准线方程为， 又，所以，，（2分） ，则， 所以抛物线的方程为；（4分） （2）（i）证明：设，则的方程为 因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： ，即（6分） ，即， 同理当时有，（8分） 将两等式相减可得：， 而与外切，则有， 即有，又，则 则，故数列为等差数列.（10分） （ii）因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由 得：即，由，即，（12分） 由数列为等差数列，公差为2，则， 则.（14分） 斜率为1的直线，交抛物线于，两点， 由得：，则，，， 所以，则，（15分） 由，则或（舍去） 综上，．（17分） 19．（17分） 【新定义】（2026·西南大学附中·一诊）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点，且短轴的一个端点与焦点的连线与轴所成角的正弦值等于. (1)求椭圆的蒙日圆的方程； (2)若斜率为2的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积（为坐标原点）； (3)设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由已知可得，①， 由椭圆过点，得②， 由①②解得，，（2分） 于是，所以椭圆的蒙日圆的方程为.（4分） （2）由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 由，得，即，（8分） 则坐标原点到直线的距离， ， 所以的面积.（10分） （3）由（1）知，椭圆的方程为，椭圆的蒙日圆方程为， 设，则，设，，则，， 当切线的斜率存在时，设的方程为， 由消去得，（12分） ，整理得， 即，则，解得， 于是，即， 当切线的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式，（13分） 因此切线的方程为，同理切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 从而直线的方程为，当时， 由消去并整理得：， 显然，， ，， 则，（14分） 又点到直线的距离， 于是的面积，（13分） 设，则，， 令，，，（15分） 所以函数在上单调递增，， 当，即时，由对称性不妨令，直线，（16分） 由，解得，，，， 所以面积的最小值为.（17分） 15 / 17学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面解析几何（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林白城·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A．8 B． C． D． 4．（2026·广东佛山·模拟）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南岳阳·模拟）已知圆和直线，若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．【原创题】若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（   ） A． B． C．2 D． 7．（2026·安徽安庆·模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．【原创题】圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆九龙坡·一模）抛物线的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，，垂足为P，，下列说法正确的是（   ） A．直线m的斜率为 B． C． D． 10．（2026·湖南永州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 11．【新情境】（2026·江苏·一模）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 13．（2026·辽宁辽阳·一模）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 14．（2026·广东·一模）如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （2026·吉林长春·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 16．（15分） （2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 17．（15分） 【创新题】（2026·湖南怀化·一模）在抛物线中，直线与交于两点，为的焦点.当直线为时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标始终为1，求的取值范围； (3)已知直线与相交于两点，直线与相交于两点（点在轴的上方），若，四边形的外接圆圆心坐标为，求证：. 18．（17分） 【新融合】（2026·江苏·一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 19．（17分） 【新定义】（2026·西南大学附中·一诊）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点，且短轴的一个端点与焦点的连线与轴所成角的正弦值等于. (1)求椭圆的蒙日圆的方程； (2)若斜率为2的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积（为坐标原点）； (3)设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值. 4 / 5学 学科网（北京）股份有限公司 $