山东省济南市九年级数学上学期课时作业（北师大版九年级上册 3.2探索三角形相似的条件）

该初中数学作业设计方案围绕“探索条件—规范运用—情境综合”主线，针对九年级学生对相似三角形判定的易错点（如“边边角”误区、复杂图形识别）设计，分“理解—运用—拓展”三个层次，基础题保底，开放题供学有余力学生挑战，体现分层。 通过多样化练习提升学习效果，如选择题辨析“边边角”不能判定相似（第5题），解答题规范中位线证明（第12题），情境题（第22题等边三角形动点）发展推理能力与几何直观。评价从知识理解、能力运用等四维度科学赋分，助力核心素养发展。

3.2探索三角形相似的条件同步课时作业 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 3.2探索三角形相似的条件同步课时作业（2026—2027学年北师大版九年级上册） 学段学科 初中　数学 适用年级 九年级 教材版本 北师大版 对应内容 第3章 第2节 探索三角形相似的条件（同步课时作业） 作业类型 课后作业（同步课时作业） 完成时长 总时长90分钟 设计者 【查茂柱】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是几何直观、推理能力、运算能力与模型观念，需达成“了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；了解黄金分割”的学业要求，并能运用判定定理进行简单的推理与计算。 · 教材地位：本课时是北师大版九年级上册第三章“图形的相似”的第2节，在3.1相似多边形的基础上经历相似三角形判定条件的探索过程，是全章由“定义判定”走向“条件判定”的关键一步，为后续相似三角形的应用、位似及实际测量等问题奠定基础，承载着类比、归纳与从特殊到一般的思想方法。 · 教学重难点：重点为掌握相似三角形的三种判定条件，并能选择恰当条件进行计算与证明；难点为在复杂图形中识别基本图形、准确确定对应角与对应边，理解“边边角”不能判定相似的原因，以及在动点与开放情境中进行分类讨论和有条理的说理。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已学习相似多边形的概念与性质，掌握成比例线段及比例的基本性质，会用定义判断两个多边形相似；熟悉三角形、等边三角形、菱形等图形的性质，会运用勾股定理进行计算；对照片放大、复印缩放等“形状相同”的现象有直观经验。 现有困惑 容易把“两边对应成比例”误当作判定条件而忽略“夹角相等”，对“边边角”不能判定相似缺少认识；在双垂直、共角共边、“8”型等复杂图形中难以准确识别对应角与对应边；对黄金分割点两种情形的分类讨论以及动点情境中相似存在性的探究经验不足。 差异分析 基础较好的学生能自主完成判定条件的说理与综合运用，宜通过自编题目、黄金分割作图说理等开放性问题获得挑战；中等水平学生能完成基本判定与计算，但在复杂图形中识别基本图形需教师搭建台阶；基础薄弱学生对判定条件的选择与比例计算存在困难，需要基础题保底、面批辅导与同伴互助。 3. 设计意图：本作业围绕“探索条件—规范运用—情境综合”的主线展开。第1～11题立足判定条件的辨析，通过直角三角形与等腰三角形、网格三角形、双垂直图形、“边边角”反例、黄金分割等选择题，帮助学生准确掌握相似三角形的三种判定条件并澄清易错点；第12～18题依托中位线、平行、共角共边等基本图形的证明与计算，落实判定条件的规范运用与书写；第19～23题创设动点判断、黄金分割作图说理、锐角黄金三角形、等边三角形、菱形等情境，引导学生在观察、计算、分类讨论与说理中发展几何直观、推理能力与模型观念。整体形成“理解—运用—拓展”三个层次，促进学生核心素养的发展。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确说出相似三角形的判定条件（两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例），知道黄金分割与黄金比，能辨别“边边角”不能判定相似。 几何直观、推理能力 第1、3、5、6、7、10题正确率与判断理由 能力运用 B 能选择恰当的判定条件进行计算与证明，求未知线段长，规范书写证明与计算过程。 推理能力、运算能力 第4、12、13、14、15、17、18题证明与计算过程 思维发展 C 能在网格、切割图形、动点与命题编制等情境中识别基本图形、综合运用判定条件，进行分类讨论与有条理的说理。 推理能力、模型观念 第2、11、16、19、21、22题思路与分类讨论 情感态度 D 能体会黄金分割在艺术、建筑与生活中的价值，通过自主编题与合作交流，养成严谨求实、乐于探究的学习态度。 应用意识、理性精神 第8、9、16（2）、20题解答与交流表现 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 两个三角形一定相似的判断 A 辨析“直角”“等腰”等条件的组合，理解只有两角对应相等（或三边成比例）才能保证相似 B 2 选择题 网格中与△EFG相似的阴影三角形 A、C 用勾股定理求网格三角形的三边，运用三边对应成比例判断相似，发展几何直观 B 3 选择题 双垂直图形中不一定与△BCD相似的三角形 A 在共角、共边的基本图形中运用两角判定，通过反例深化对判定条件的理解 D（△BAE） 4 选择题 求x使△ABC∽△A₁B₁C₁ B 运用三边对应成比例求未知边长，巩固相似比的概念 C（x=36） 5 选择题 不能单独判定△ABC∽△ACD的条件 A 辨析“边边角”不能判定相似，突出判定条件中“夹角”的必要性 C 6 选择题 ∠1=∠2时仍无法判定△ABC∽△ADE的条件 A 在共角图形中比较四组条件，排除“边边角”情形，学会选择恰当判定条件 B 7 选择题 黄金分割的概念辨析 A 理解黄金分割与黄金比的定义，辨析较长、较短与全长三种比的关系 C 8 选择题 由黄金比求书的宽 B 运用黄金比(√5−1)/2进行计算，体会黄金分割在生活中的价值 D 9 选择题 黄金分割点分线段求BC B 分类讨论黄金分割点的两种情形，求较长与较短部分 D 10 选择题 不一定能使△AED∽△ABC的条件 A 辨析“边边角”不能判定相似，巩固AA与SAS的选用 D 11 选择题 与△ABC不相似的阴影三角形 A、C 在切割图形中综合运用两角、两边及夹角判定，发展识图与辨析能力 C 12 解答题 D、E为AB、AC中点，证明△ADE∽△ABC B 运用中位线的平行性质与两角判定进行规范证明 见解析 13 解答题 梯形中AB∥CD，找出相似三角形并说理 B、C 利用平行得内错角相等，证明△AOB∽△COD △AOB∽△COD 14 解答题 直角边为6、4与9、6的两个直角三角形是否相似 B 两直角边对应成比例且夹角（直角）相等，运用SAS判定 相似 15 解答题 AD=5，BC=6，CD=4，证明△CBA∽△CDB B 由CA=9得两组对应边成比例且夹角相等（SAS） 见解析 16 解答题 写出直角三角形斜边上高分图中的相似三角形并自编题目 C、D 归纳“直角三角形斜边上的高”基本图形，通过自主编题发展创新与应用意识 3对相似三角形 17 解答题 O为△ABC内一点，D、E、F为OA、OB、OC中点，证明△ABC∽△DEF B、C 综合中点条件，运用中位线与三边对应成比例（SSS）证明 见解析 18 解答题 DE∥BC，AD:BD=3:1，DE=6，求BC B 由平行得相似，运用相似比求线段长，规范书写 BC=8 19 解答题 ∠ACP=∠B、AP/AC=AC/AB、AC/CP=BC/AC条件下判断相似 B、C 分类运用AA与SAS判定，辨析“边边角”不能判定，发展严谨思维 见解析 20 解答题 说明黄金分割点作图方法的道理 C、D 综合勾股定理与比例计算说明作图原理，体会数学的严谨与美妙 见解析 21 解答题 锐角黄金三角形中哪些边的比等于黄金比 C 经历角度推导与相似证明，说明底边与腰之比等于黄金比 BC/AB=BC/AC=(√5−1)/2 22 解答题 等边三角形中证明△ABD∽△DCE并求BD B、C 识别“8”型基本图形，运用AA判定与方程思想求解 BD=3或6 23 解答题 菱形中证明△ODF∽△OAD并求OF、AE B、C、D 综合菱形性质、直角三角形与相似判定求线段，发展综合运用能力 OF=3，AE=28/15 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 六、试题详情 1.下列两个三角形一定相似的是(    ) A. 两个直角三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个等腰三角形 D. 两个任意的三角形 2.如图，每个小正方形的边长均为，则下列，，，四个图中的三角形阴影部分与相似的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，垂足为，，垂足为，，相交于点，下列三角形中不一定与相似的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，当的值为多少时，(    )  A. B. C. D. 5.如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是(    ) A. 线段被点黄金分割 B. 点是线段的黄金分割点 C. 与的比等于黄金比 D. 与的比等于黄金比 8.一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为(    ) A. B. C. D. 9.若是线段的黄金分割点，且，则等于(    ) A. B. C. D. 或 10.如图，中，点，分别在，边上，则下列条件中，不一定能使的是(    ) A. B. C. D. 11.已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与不相似的是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在中，，分别为边，的中点．求证：． 13.如图，在四边形中，，对角线与相交于点找出图中的相似三角形，并说明理由． 14.一个直角三角形两条直角边的长分别为，，另一个直角三角形两条直角边的长分别为，，这两个直角三角形是否相似？为什么？ 15.如图，在中，为边上一点，，，求证：． 16.如图，在中，，，垂足为． 请写出图中所有的相似三角形； 以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流． 17.如图，是内一点，，，分别是，，的中点．求证：∽． 18.如图，与的边，分别相交于，两点，且若，，求的长度． 19.如图，是的边上的一点． 如果，那么与是否相似？为什么？ 如果，那么与是否相似？为什么？如果呢？ 20.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设是已知线段，过点作，使；连接，在上截取；在上截取点就是线段的黄金分割点请说明其中的道理． 21.如图，在中，，是边上的一点，且，这样的称为“锐角黄金三角形”在一个锐角黄金三角形的三边中，哪些边的比等于黄金比？ 22.如图，是等边三角形，点，分别在边，上，． 求证：； 如果，，求的长． 23.如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，交于点． 求证：； 若，，求及的长． 七、答案与解析 1．下列两个三角形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形　　B．两个等腰直角三角形　　C．两个等腰三角形　　D．两个任意的三角形 【答案】B 【解析】两个等腰直角三角形都有一角为90°、两底角均为45°，对应角相等，且三边之比均为1:1:√2，对应边成比例，所以一定相似，故选B。两个直角三角形只有直角相等，锐角不一定相等；两个等腰三角形的顶角不一定相等；两个任意三角形无法保证角相等或边成比例。 2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设小正方形的边长为1。△EFG的三边为FG=2，GE==，FE==，三边之比为1::。A中阴影三角形三边为、、3；B中阴影三角形三边为1、、，与△EFG的三边对应成比例（相似比为），相似；C中三边为1、、2；D中三边为2、、，均与△EFG的三边不成比例。故选B。 3．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，AE⊥BC，垂足为E，AE与BD相交于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A．△BFE　　B．△AFD　　C．△ACE　　D．△BAE 【答案】D 【解析】△BCD中，∠BDC=90°。A中△BFE：∠BEF=90°，∠FBE=∠DBC（公共角），两角对应相等，一定相似；B中△AFD：∠ADF=90°，∠AFD与∠BFE为对顶角，而∠BFE=90°−∠DBC=∠C，所以两角对应相等，一定相似；C中△ACE：∠AEC=90°，∠C为公共角，一定相似；D中△BAE只有∠AEB=90°，它的另一锐角是整个角∠ABC，不一定等于△BCD的∠C或∠DBC，所以不一定相似。故选D。 4．如图，当x的值为多少时，△ABC∽△A₁B₁C₁（　　） A．20　　B．27　　C．36　　D．45 【答案】C 【解析】△ABC的三边为15、20、25，△A₁B₁C₁的两边为27、45，第三边为x。因为△ABC∽△A₁B₁C₁，所以对应边成比例，27/15=45/25=9/5，即相似比为9/5，所以x/20=9/5，解得x=36。故选C。 5．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B=∠ACD　　B．∠ADC=∠ACB　　C．AC/CD=AB/BC　　D．AC²=AD·AB 【答案】C 【解析】△ACD与△ABC有公共角∠A。A中∠B=∠ACD，加公共角∠A，两角对应相等，能判定；B中∠ADC=∠ACB，加公共角∠A，能判定；D中AC²=AD·AB，即AC/AB=AD/AC，夹公共角∠A的两边对应成比例，能判定；C中AC/CD=AB/BC，其中CD、BC分别是∠A的对边，两组边的比没有构成“夹角两边对应成比例”，属于“边边角”情形，不能单独判定。故选C。 6．如图，∠1=∠2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B=∠ADE　　B．AC/AE=BC/DE　　C．AB/AD=AC/AE　　D．∠C=∠E 【答案】B 【解析】由∠1=∠2，两边同时加上∠DAC，得∠BAC=∠DAE。A中∠B=∠ADE，两角对应相等，能判定；C中AB/AD=AC/AE，夹角∠BAC=∠DAE的两边对应成比例，能判定；D中∠C=∠E，两角对应相等，能判定；B中AC/AE=BC/DE，其中BC、DE分别是∠A的对边，属于“边边角”情形，仍无法判定。故选B。 7． 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么下列说法错误的是（　　） A．线段AB被点C黄金分割　　B．点C是线段AB的黄金分割点　　C．AB与AC的比等于黄金比　　D．AC与AB的比等于黄金比 【答案】C 【解析】由AC/AB=BC/AC（AC＞BC）知线段AB被点C黄金分割，点C是AB的黄金分割点，A、B正确；此时较长线段AC与全长AB的比等于黄金比(−1)/2≈0.618，D正确；而AB与AC的比是黄金比的倒数(+1)/2≈1.618，不等于黄金比，C错误。故选C。 8．一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A．(7+7)cm　　B．(21−7)cm　　C．(7+21)cm　　D．(7−7)cm 【答案】D 【解析】由黄金比的定义，宽与长的比等于(−1)/2，所以宽=14×(−1)/2=7(−1)=(7−7)cm。故选D。 9．若C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则BC等于（　　） A．−1　　B．3−　　C．(−1)/2　　D．−1或3− 【答案】D 【解析】线段AB的黄金分割点有两个。若BC是较长线段，则BC=AB×(−1)/2=2×(−1)/2=−1；若BC是较短线段，则BC=AB−较长线段=2−(−1)=3−。故选D。 10．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（　　） A．∠2=∠B　　B．∠1=∠C　　C．AE/AB=AD/AC　　D．AD/AB=DE/BC 【答案】D 【解析】图中∠1=∠ADE，∠2=∠AED，且△AED与△ABC有公共角∠A。A中∠2=∠B，即∠AED=∠B，加公共角∠A，能判定；B中∠1=∠C，即∠ADE=∠C，加公共角∠A，能判定；C中AE/AB=AD/AC，夹公共角∠A的两边对应成比例，能判定；D中AD/AB=DE/BC，其中DE、BC是∠A的对边，属于“边边角”情形，不一定能使△AED∽△ABC。故选D。 11． 已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，下列阴影部分的三角形与△ABC不相似的是（　　） 【答案】B 【解析】A中阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且78°角是阴影三角形的内角、与∠A是对应角，两角对应相等，相似；B中阴影三角形∠B的两边比和△ABC中∠A的两边成比例，但夹角∠B和∠A不相等，所以不相似；C中78°角与∠A是同位角，所以构成平行线，所以阴影三角形和△ABC相似；D中阴影三角形夹公共角∠A的两边与△ABC的两边对应成比例（比值均为1/2），且夹角相等，相似。故选C。 12． 如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点． 求证：△ADE∽△ABC. 【解析】证明：∵D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．又∠DAE=∠BAC（公共角），∴△ADE∽△ABC（两角对应相等的两个三角形相似）． 13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．找出图中的相似三角形，并说明理由． 【答案】△AOB∽△COD． 【解析】解：，理由如下： ，． 又，． 14．一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm、4cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9cm、6cm，这两个直角三角形是否相似？为什么？ 【答案】相似． 【解析】因为6/9=2/3，4/6=2/3，所以这两个直角三角形的两组直角边对应成比例，且它们的夹角（直角）都是90°，即两边对应成比例且夹角相等，所以这两个直角三角形相似． 15． 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD=5，BC=6，CD=4．求证：△CBA∽△CDB. 【解析】证明：∵AD=5，CD=4，∴CA=CD+AD=9．∴CB/CD=6/4=3/2，CA/CB=9/6=3/2，∴CB/CD=CA/CB．又∠BCA=∠DCB（公共角），∴△CBA∽△CDB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． （1）请写出图中所有的相似三角形； （2）以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流． 【答案】（1）△ABD∽△CAD，△ABD∽△CBA，△CAD∽△BCA，共3对． 【解析】（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ABD与△CBA中，∠ADB=∠BAC=90°，∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA；在△CAD与△BCA中，∠ADC=∠BAC=90°，∠C=∠C，∴△CAD∽△BCA；在△ABD与△CAD中，∠ADB=∠CDA=90°，∠BAD=90°−∠B，∠CAD=90°−∠C，而∠B+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∠CAD=∠B，∴△ABD∽△CAD． （2）示例：若AB=3，AC=4，求BC和AD的长．（解：由勾股定理得BC=5；由△ABD∽△CBA得AD/CA=AB/CB，即AD/4=3/5，∴AD=12/5．） 17．如图，O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF. 【解析】证明：、、分别是、、的中点， ，， 即  ∽． 18．如图，DE与△ABC的边AB、AC分别相交于D、E两点，且DE∥BC．若AD:BD=3:1，DE=6，求BC的长度． 【答案】BC=8． 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE/BC=AD/AB．∵AD:BD=3:1，∴AD/AB=3/(3+1)=3/4．∴BC=DE÷(3/4)=6×4/3=8． 19．如图，P是△ABC的边AB上的一点． （1）如果∠ACP=∠B，那么△ACP与△ABC相似吗？为什么？ （2）如果AP/AC=AC/AB，那么△ACP与△ABC相似吗？为什么？如果AC/CP=BC/AC呢？ 【答案】（1）相似；（2）满足AP/AC=AC/AB时相似；满足AC/CP=BC/AC时不能判定相似． 【解析】（1）相似．∵∠ACP=∠B，∠A=∠A（公共角），∴△ACP∽△ABC（两角对应相等的两个三角形相似）． （2）相似．∵AP/AC=AC/AB，∠A=∠A（公共角），即夹公共角∠A的两边对应成比例，∴△APC∽△ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．若AC/CP=BC/AC，则不能判定△ACP与△ABC相似：该条件中CP是公共角∠A的对边，两组边的比没有构成“夹角两边对应成比例”，属于“边边角”情形，而“边边角”不能保证两个三角形相似． 20．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB，使BD=1/2AB；连接AD；在AD上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE．点C就是线段AB的黄金分割点．请说明其中的道理． 【解析】解：能设，则． 由勾股定理，得， ， ，， ，点为线段的黄金分割点． 21．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，且BC=BD=AD，这样的△ABC称为“锐角黄金三角形”．在一个锐角黄金三角形的三边中，哪些边的比等于黄金比？ 【答案】底边BC与腰AB（或AC）的比等于黄金比，即BC/AB=BC/AC=(−1)/2≈0.618． 【解析】解：，． ，，． 又，， ，， ，点是边的黄金分割点，且． 与黄金比有关系的其他线段比有． 22．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果BC=9，AE=7，求BD的长． 【答案】（2）BD=3或BD=6． 【解析】(1)证明：∵是等边三角形，∴， ∵，， ∴，∴；  (2)解：∵，，∴， 由（1）得，∴， 设，则，∴， ∴或，经检验，当或是方程的解，∴的长为3或6. 23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F． （1）求证：△ODF∽△OAD； （2）若AF=7/3，OB=4，求OF及AE的长． 【答案】（2）OF=3，AE=28/15． 【解析】(1)证明：四边形是菱形，，． ，， ，． 又，．  (2)解：四边形是菱形，． ， ，即，解得（负值已舍去）． 在中，． ，， ，，即，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $