精品解析：浙江绍兴市新昌县实验中学2026-2027学年九年级数学 第一学期开学练习

2026学年第一学期开学练习 九年级数学 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3. 在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数．根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间一个分数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数， 半数同学的成绩位于中位数或中位数以下， 故小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数． 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 6. 用反证法证明“若，则”时，应假设（ ） A. a与c不平行 B. C. D. a与b不平行，b与c不平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，第一步是否定结论，平行的否定是不平行，从而可确定答案． 【详解】解：“”的否定说法是：“a与c不平行”， 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，反证法的步骤是：否定结论，导出矛盾，肯定结论，掌握一些结论的否定说法是关键． 7. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩算法》中记载了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形宽为x步，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩阵的宽及长与宽的关系可得到矩阵的长为，再利用矩阵的面积公式可得出关于的一元二次方程. 【详解】解：∵矩阵的宽为步，且宽比长少12步， ∴矩阵的长为步， 依题意，面积为； 故答案为：C. 【点睛】此题考查了矩阵面积的求法，题目较新颖，要灵活运用矩形的有关知识点. 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为( ) A. 12 B. 15 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 由翻折可得，进而可得，结合的周长为的周长为42，可得，即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为平行四边形， ， ，，， ∵的周长为12， ， 又∵的周长为42， ， ， 解得：． 故选：B． 9. 若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 10. 如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点O，延长至点E，使得，连接交于点F．当时，有以下两个结论∶①若，则．②若，则．则下列判断正确的是( ) A. ①②均错误 B. ①②均正确 C. ①错误②正确 D. ①正确②错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．根据已知可得为等腰直角三角形，，①若，设，则，，，证明得到，解方程可求得，故结论①正确；②若，则．设，则，，，，在中，利用勾股定理得，然后解方程可得，故结论②正确； 【详解】解：① 四边形是矩形， ，，， ， 为等腰直角三角形，， ，，根据等腰三角形三线合一， ， 若，设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得，即， 故结论①正确； 若，则．设， 则，， ，， 在中，， ， 解得， ， 故结论②正确； 综上所述，结论①②正确； 故选：B． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知n边形的内角和为，则n的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】边形的内角和公式为． 【详解】解：根据题意得， 解得． 12. 二次根式中，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为： 13. 在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数计算规则得到下四分位数和上四分位数，计算两者的和即可． 【详解】解：将给定数据从小到大排序，得到：，，，，，，，，，， 方法一： 下四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 下四分位数为， 上四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 上四分位数为， 两者之和为； 方法二：下四分位数为，，，，的中位数， 上四分位数为，，，，的中位数， 两者之和为． 14. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】通过作垂线构造全等三角形，利用旋转的性质得到等边等角，证明三角形全等，根据全等得到对应线段长度，结合位置计算得到的坐标． 【详解】解：设点的对应点为，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵，， ∴，得，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵在轴下方， ∴的横坐标为， 纵坐标为， ∴的坐标为． 16. 如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点间的距离公式、三角形三边关系求最值，熟练掌握相关性质和判定是解决本题的关键．过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系，根据菱形的性质和勾股定理可得，可得到各点坐标为，然后证明．可得，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系， 点和关于轴对称， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为，边长为， ，解得， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值. 故答案为：. 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键. （1）先计算括号内的二次根式的减法，合并同类二次根式后再计算平方即可； （2）先利用二次根式的性质进行化简，合并括号内的同类二次根式后再计算乘法即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，在平行四边形中，延长至点F，延长至点E，且．求证：平行四边形是矩形． 【答案】 证明：∵， ∴，即． 在中， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是矩形． 【解析】 【分析】先证明，得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键． 19. 某校八年级（1）班开展了“双减”政策下学生每周课外阅读时间调查，随机抽取了10名同学，统计他们一周内课外阅读的总时长（单位：小时）如下： 4，6，5，8，4，7，6，5，9，6 （1）求这组数据的平均数、中位数和众数． （2）若该班共有40名学生，请估计全班一周课外阅读总时长超过6小时的人数． （3）从稳定性的角度判断：若增加一名阅读时间为7小时的同学，新数据的方差与原来相比是变大还是变小？请说明理由． 【答案】（1）平均数为小时，中位数为小时，众数为小时 （2）估计全班一周课外阅读总时长超过小时的人数为人 （3）新数据的方差与原来相比变小， 理由如下： 将原数据从小到大排列为4，4，5，5，6，6，6，7，8，9， 原数据的平均数为， 原数据的方差为， 加入个阅读时间为小时的数据后，新数据的平均数为， 新数据的方差为：， ， 新数据的方差变小． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差和众数的定义，利用样本估计总体等知识． （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出样本中一周课外阅读总时长超过6小时的人数的占比，再乘以全班人数即可求解； （3）分别求出前后两组的数的方差，再比较即可求解． 【小问1详解】 解：将数据从小到大排列为4，4，5，5，6，6，6，7，8，9， 数据的平均数为：（小时），中位数为：（小时）， 该组数据中6出现的次数最多，所以众数为6小时； 【小问2详解】 样本中一周课外阅读总时长超过6小时的人数为3人， 即：（人）， 则估计全班一周课外阅读总时长超过小时的人数为人； 【小问3详解】 详解见答案 20. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标，对称轴． （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）x取何值时，；x取何值时，． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）当时，随的增大而减小 （3）当时，；当或时， 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴； （2）由对称轴为直线，抛物线开口向下，结合图象，确定函数的增减性； （3）可以令，解一元二次方程得出x值，再根据抛物线的开口方向，确定x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：令，则， 解得：， ∵抛物线开口向下， ∴当时，；当或时，． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （3）若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得： 解得：或； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：； 【小问3详解】 由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 22. 如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M． （1）求证：． （2）求证：四边形为平行四边形． （3）如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ，互相平分， ， ， ， 点为中点， ； （2） 证明：， ，， 点，，分别为，，的中点， ，，， ，， 四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质先证明，再根据点为中点可得结论； （2）根据三角形中位线定理可得，，结合平行四边形的性质，证明，，即可得出结论； （3）过点作于点，证明是等边三角形，，求出，再利用勾股定理求出，得到的长，进而可计算四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作于点， 矩形，， ， ∴， ∴，是等边三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 四边形的面积． 23. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润． 【答案】（1）元 （2）元 （3）元 【解析】 【分析】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建列方程是关键． （1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． （3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到元． 【小问1详解】 解：由题意，得 元． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是元； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价元，由题意，得， 化简为 解得， ∵要更有利于减少库存， ∴ 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元 【小问3详解】 解：由题意，得 化简为 解得（舍） ∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元 ∴总利润为元． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）①存在，点的坐标为或；②． 【解析】 【分析】（1）分别令和时即可求解，，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可； （2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：（1）当时，，解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． 同理可得直线的函数表达式为：； （2）①存在．设点的坐标为，其中， ∵点，点的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解，得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或； ②由题意可得如图所示： 由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为， ∴点，， ∴， 设点， ∵， ∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∴联立直线l与直线AC的解析式得：， 解得：， ∴， ∴点， ∵点是直线下方抛物线上的一个动点，且， ∴点M在点N的上方才有可能， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴由两点距离公式可得． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期开学练习 九年级数学 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“若，则”时，应假设（ ） A. a与c不平行 B. C. D. a与b不平行，b与c不平行 7. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩算法》中记载了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形宽为x步，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为( ) A. 12 B. 15 C. 24 D. 30 9. 若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 10. 如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点O，延长至点E，使得，连接交于点F．当时，有以下两个结论∶①若，则．②若，则．则下列判断正确的是( ) A. ①②均错误 B. ①②均正确 C. ①错误②正确 D. ①正确②错误 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知n边形的内角和为，则n的值是______． 12. 二次根式中，x的取值范围是______． 13. 在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 14. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 16. 如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为_________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在平行四边形中，延长至点F，延长至点E，且．求证：平行四边形是矩形． 19. 某校八年级（1）班开展了“双减”政策下学生每周课外阅读时间调查，随机抽取了10名同学，统计他们一周内课外阅读的总时长（单位：小时）如下： 4，6，5，8，4，7，6，5，9，6 （1）求这组数据的平均数、中位数和众数． （2）若该班共有40名学生，请估计全班一周课外阅读总时长超过6小时的人数． （3）从稳定性的角度判断：若增加一名阅读时间为7小时的同学，新数据的方差与原来相比是变大还是变小？请说明理由． 20. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标，对称轴． （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）x取何值时，；x取何值时，． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （3）若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 22. 如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M． （1）求证：． （2）求证：四边形为平行四边形． （3）如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积． 23. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $