云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三上学期第三次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第三次学科体验参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A A B Sin( -a） 3.解：因为an(-a)= cosa 1 cos(Z -a) sina F=2所以ina=2cosa,又ae(0,),可得sina>0,cosa>0, 2 sina=2cosa 所以 sin'a+cos'a=1'解得sima 2v5 可得sina-cosa= 5 故选：B. 5 4.解：由数列{a}满足a1=2,且an+1=2an,可得数列{an}是首项和公比均为2的等比数列，则an=2, 则(-1)”1og2an=(-1)”n，所以数列{(-1)”1og2a,}的前2n项和为(-1+2)+(-3+4)+(-5+6+… +[-(2n-1)+2n川]=1+1+…+1=n.故选：D. 5.圆筒体积为底面半径号，高度为4的圆柱体的体积减去底面半径为1，高度为4的圆柱体的体积，故其体 3 积Y=πX ×4-πx'×4=5mcm；中间部分的体积为棱长为3的长方体的体积减去底面半径为2，高 为3的圆柱体的体积，故其体积%=27-π× 故玉琮的体积y=27-27+5玩= 4 27-m放：8 6.作OA=ā=（么，4），08=i=(m,n),因为5-d=1,所以(m-1)}+(n-4}2=1,所以点B在以4(1,4)为圆 心，1为半径的圆上，5-O丽+O丽-0丽=丽-0丽+丽-0丽=P⑧+丽，过 点P向抛物线的准线作垂线，垂足为H,如图.由抛物线定义可知 |PB+PF=|PB+PH≥PA+PH-1,由图可知，当点B在线段PA上，且PA 垂直于准线时PA+PH-1取得最小值，最小值为4-(-1引-1=4.故选：A [3x+4y-2=0 x=-2 7,解：直线。3x+4y-2+0x+y+2)=0,令2十20，解得=2，那么直线（不包含直线 2x+y+2=0)过定点B(-2,2),根据对称性可知，|MB日NB=√4+1=√5，即点N到定点B(-2,2)的距离 第1页，共8页 为√5，又直线1不包含直线2x+y+2=0,因此点M(0,1)关于直线2x+y+2=0的对称点2不在点N的 轨迹中，那么N的轨迹是以√5为半径，B为圆心的圆（去掉点），点N的轨迹为圆的一部分.故选：A 8.解：当ln(x-2b)≥0时，x22b+1,当n(x-2b)≤0时，2b≤≤2b+1,当e-a≥0时，x≥lna,当e-a≤0 时，x≤lna,若f(x)≥0恒成立，则lna=2b+1,所以lna=ne2b,即a=e2bH,所以ab=be2+1,令g(x)=xe2, 则g倒)=2x+1e,当x>时，g创>0，当x<-时，8<0，所以g在0》上单调递 减， 即b的最小值为2故选：B. 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AB AD ACD 10.解：对于A,若数列{a}为等比数列，S,S,,S6成等差，由等差数列的性质可得，2S,=S+S6,若 公比9=1，则2S,=18a≠S3+S6=9a,故9≠1，所以2S,=S+S6,由等比数列的求和公式可得， 2x马0二2-马0二2+0二9，整理得2g-g-1=2g+g-0=0,由于9*1，所以g=号，所 1-g1-91-9 以24=2%，g=0,4+4=4+6,=4,即24=+4，故4,4，马也成等差，故4正确：对于 B,若数列{an}为等比数列，若公比g=1时，Sn=(2na,)2=4n2a2≠Sn·Sn=na3na=3n2a2；若公比9≠1 时，则2g*g产+g，所以2-0g_4g-2g+0*3,540-2.马0-g的 (1-q)21-q)2 1-91-9 g“-g”二g+),故B不正确；对于C若数列a,}为等差数列，公差为d,由8，=8，得 0-9)2 5a+5x4d=8a 2 +874,即4=6d<0,则d>0,所以8=叫+022--1>0，得>1B, 2 又neN,则nmn=14,故C不正确：对于D,若数列{an}为等差数列，且a=l,a=2√2+1，则公差 d=马二4=√2，所以a,=1+2m-),假设等差数列{a,}中的三项a,a,a,构成等比数列，P,g, 2 reN,且p,g,r互不相等，由等比数列的性质可得，a=a。·a,结合等比数列的通项公式可得， 1+√2(g-1]=[1+V2(p-1][1+V2(r-],所以2(g-1)2-2(p-1(-1)=√2(p+r-2q),因为p,9,r∈N, 第2页，共8页 2g--20-w--0其中q则p-)--哪=0，得p=,这与p,gr欧 p+r-2g=0 矛盾，故假设不成立，则{a}中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选：AD. D 11.解：对于选项A,设正方体棱长为2，以A点为原点，AB所在直线为x轴， A B AD所在直线为y轴，AA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以A(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C(2,2,2),AC=(2,2,2),4B=(2,0,-2), 所以AB·AC=2×2+0×2+(-2)×2=0,所以直线AB与直线AC所成的角 B 为90°，故A正确：对于选项B,B(2,0,0),B(2,0,2),D(0,2,0),D(0,2,2),BB=(0,0,2),BD=(（-2,2,0), 「2z=0 设平面BB,D,D的一个法向量为i=(x,y,2),所以 -2x+2y=0'令x=y=l,万=01,0)，设直线4B与平 面B,DD所成的角为9，则si血0=45列_ |2×1+0×1+(-2)×0川 42+0+(2P×F+P+02,因为0≤0c90,所以 0=30°，故B错误：对于选项C,由于正方体的棱长为2，则B(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,0),O1,1,2), BD=(-2,2,0),0A=(-1,-1,0),BA=(-2,0,2),设平面B4D的一个法向量为m=(:,,Z)，所以 -x+名=0’令=%=名=1，得m=0,0，所以点Q01,2)到平面84D的距离d=@:m -x+4=0 m ++京=号，故C正确：对于选项D,因为Q(1,2)，0,10),所以旋转轴O0的方向向量为 -1-1川2W3 7=(0,0,1),四个项点B(2,0,0),4A(0,0,2),C(2,2,2),D(0,20),所以CB=(0,-2,-2),GE=V0+4+4 =2√2，同理可得C-ABD是正四面体，正四面体绕轴OO旋转，其侧面上的每一条母线绕轴旋转形成一 个曲面，在包含旋转轴OO的轴截面中，这些母线的轨迹与轴截面相交形成双曲线，选取母线CB=(0,-2,-2), 计算母线与旋转轴的夹角a,cosa= GB.=10x0+(-2)×0+(-2)×1|_=2 GB2+(-2驴+(-2y-V6+P+F=2,所以α=45，在轴 b2 截面中，其母线旋转轨迹是双曲线，其渐近线与轴角也为45”，即渐近斜率为1，所以a=b,e= 故D正确.故选：ACD. 第3页，共8页 三、填空题 题号 12 13 14 答案 1 π ①②④ 8 9 3 l3.第一空：由ccosA+acosC=2 bcosA,可得sinCcosA+-sin AcosC=2 sin BcosA,所以sin(C+A)= 1 sin BcoA,所以sinB=2 sinBcsA,因为0<B<元，所以sinB≠0，则coA=又0<A<π，所以A=平 3 第二空：因为角c为钝角，所以受<C<号，所以mC<5,所以6_血8_如(4+C_ -cos C 2 c sinC sinC sinC 2 14@吟u=x+史则f儿)=血u在4上，《=1->0，放u=x+单调递增，且u（么好)，因为 （2好)（经)，所以倒=咖在2好) 上单调递减，根据复合函数“同增异减”，∫(x)在(1,4)上 单调递减，①正确：②零点满足x+】=kπ(k∈2)，得x:-kπ·x+1=0,对同一个k,x是小于1的最大零 点，名是大于1的最小零点，由韦达定理得名=1，@正确：®不妨设x>1,>1且名+上=2元，5+1=3元， 两武相减女，即，因为0女1，所以1，所以 xx2 h、1 ,@错误：@当：→0时，上，零点近似消足上加，即x行 T> ，相邻零点间 xx 1 k元(k+)云k(k+)元，当k→+o时间距可任意小，因此对任意长度？，总能找到足够密集的两个 1 1 距： 零点落在长度为1的区间内，④正确。 四、解答题 15.解：(1)由题意利用正弦定理可得sin AsinC+√5 sin AcosC=√3sinB, 因为A+B+C=π，所以sinAsinC+√3 sin AcosC=√3sin(A+C), 所以sinAsinC+√3 sinAcosC=V5(sin AcosC+cos Asin C), 第4页，共8页 所以sin AsinC=√5 cos Asin C, 又因为0<C<π，所以sinC>0, 所以tanA=√3， 因为0<A<π，所以A= 3 (6分) (2)因为CD=2AC,且△BCD的面积为25， 所以△ABC的面积为5，所以AB~ACsi血A=万， 因为AB=c=2,所以AC=2, 所以△ABC为等边三角形， 所以BC=2,∠BCD=2 3 因为CD=2AC,所以CD=4, 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC.CD·co 2r=28, 3 所以BD=2N万， 在△BCD中，由正弦定理得 CD BD sin /CBD=sin∠BcD'即sim∠CBD=- CDsin∠BCD 4sin 3 √2i BD 2W7 7 所以si∠CBD=V2 （13分) 7 16.(1)证明：因为P0⊥平面AOB,A0c平面AOB,则P0⊥A0, AC=2BC=2,AB=AC+BC=3, 在等腰△OAB中，易知∠OAB=∠AB0=30°，∠AOB=120°， 由正弦定夏可得0-血0份-，则08-5， 在△A0C中，由余弦定理0C2=A02+AC2-2A0,ACc0s30,可得0C=1, 故有A02+0C2=AC2=4,则A0⊥0C, 因为P0∩0C=0,P0,0Cc平面P0C, 且A0⊥P0,A0⊥OC,所以A0⊥平面POC. （7分) (2)解：由(1)知，OA、OP、OB三者两两垂直， 则以O为原点，OA,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 第5页，共8页 则O(0,0,0),A(N3,0,0),P(0,0,1),C0,1,0), 又AC:CB=2:1,可得B 因为A01平面P0C,所以平面P0C的一个法向量为m=OA=(3,0,0), 设平面PAB的法向量为i=(x,y,z),则 [元.PA=0 3x-z=0 元.PB=0 5+-0 令x=1,可得=山3，)， 2+ 可得m:i=1×3+3x0+5x0=5,|m上V3,卡1+3+3=V万， 动点9。 所以平面PAa与平面P0C的夹角余装值为m(低，动训-号 .（15分） 17.解：(1)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则X的取值为0,1,2， 则x-0答等-贵器答S9 C635 P(X-2)-Ci+CixCi+Ci-1 Ca5' 则X的分布列为 0 2 1 1 35 5 所以E)=0x2+1x 1 16 35 3 2+2×= 57 .（7分) (2)设80位顾客中美2次的人数名2-830》】 目 3001 3001 k1(300-k)！5(k+1)(299-k)15 ，所以 G" 3001 1 3001 4 k1300-k*写产k-0301-)×5 得296≤k≤301，敢k=60. 5 5 …（15分) 第6页，共8页 18.解：(1)由椭圆方程女+上=1知a2=8,6=4,得a=22,b=2, 84 所以c=V-6=2,所以椭圆的离心率e=.2=互 Γa2W2-2 (4分) (2)E(2,0),设A(x,),B(x2,2),M(0为)，N(0y4),依题意设直线1：x=my+2, [x=y+2 联立三+上-1，得(m+2y+4m-4=0, 84 △=(4m)}2-4×(m2+2)×(-4)=32m2+32>0 4m -4 则y+为=m+2'从m+2 直线织的方程：y十2+，令x=0得M织坐标乃升2 为+2 直线所的方程，)中2+2小，◆：=0得N的额坐标人2头 为3+2 则S5a=F5-为上2-小，3w=FO%-xH- 若S=SRMw,即2y-2Hy-y, 4-2%-22y 22 8(4-y2】 x+2名+2my+4my+4(my+4(my%2+4 =24-y, (my+4)(m2+4=4,m2y+4m(y+2)+16=4, 4m -4 -4m2 因为以+y2=- +2'hm+2,所以 2+2 +4m -4m 、+16=4,解得m=±5 m2+2 六.存在直线x+V5y-2=0或x-V5y-2=0满足题意.… （17分） 19.据)f-士a6e>0, ①当a≥0时，f'(x)>0,则f(x)在(0，+∞)上单调递增： ②当a<0时，令f心>0，得0<x<-则心在0-日司上单调通增： 令树<0，得x>日则/因在（信+上单调递减， 综上，当a≥0时，∫(x)在(0，+o)上单调递增： 当a<0时，四在0-》上单调递增：在（合烟上单调递减 第7页，共8页 (2)()了)=，设切点为(m,nm),则切线方程为y-nm=上x-m), 代入点M坐标，得0=2+nm-1,b=m1-nm, m 由题，上述关于m的方程有两个不同的解， 令h(m)=m(1-nm),则h(m)=-nm, 当m∈(0,1)时，h'(m)>0,h(m)在(0,1)上单调递增： 当m∈(L,+o)时，h(m)在(L,+∞)上单调递减：所以h(m)的极大值为h(I)=1, 当m→0时，h(m)→0：当m→+o时，h(m)→-oo, 则b的取值范围为(0,1).… （10分) ()线段AB的中点在第四象限，证明如下： 设A,B两点的坐标分别为A(p,血p),B(g,lnq), 由PA=P8,可得(p-12+mp)2=(g-102+血9)2， 令g6倒=c-+a球，则86=2-0+202-1+】 当xe(0,1)时，x-1<0,血x<0,则g<0,则g)在0,1)上单调递减： 当xeL,+)时，x-1>0,血>0，则g(x)>0,则g()在0，+o)上单调递增： 由g(p)=g(q),不妨设0<p<1<g. 令=g国-)-r+球-县-j-(---生-- 当xe0,时，A<0,则4(p)8()8日<0， 而g(x)在(L,+∞)上单调递增，从而有9<二，可得p9<1: :线段AB的中点的纵坐标血p+血9=血(P四<0，横坐标卫+g>0, 2 2 2 故其位置在第四象限. .(17分) 第8页，共8页云南师大附中2027届高三数学第三次学科体验 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|x2-3x+2=0),N={01,2},则集合M与N的关系是() A.M=N B.NSM C.MSN D.N∈M 2.设复数z满足z=(2+)i,则2=() A.5 B.3 c.5 D.5 则sina-cosa=() A.⑤ B.V5 C.-25 D.25 5 5 5 4.已知数列{a}满足a=2,且a1=2a,则数列(-l)”1og2a}的前2n项和为() A.2n B.-2n C.-n D.n 5.三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空， 形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外 侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为() 2-m B27-7r） cm 4 (2+m (2+}m 6.已知ā=（山，4），向量6满足5-d=1,抛物线x2=4y的焦点为R,点P在抛物线上，则5-0+OP-0丽的最 小值为() A.4 B.o+1 C.3 D.√10-1 7.若点M(0,1)关于动直线1：3x+4y-2+(2x+y+2)=0(2∈R)的对称点为N,则点N的轨迹为() A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 8.设函数f(x)=(e-a)ln(x-2b),若∫(x)≥0，则ab的最小值为() A日 B司 C.0 D.e 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 第1页，共4页 9.某地区组织了一次高二全体学生的期中考试，经统计发现，数学成绩X近似服从正态分布N(100,100),则下列 结论正确的是() A.P(X<100)=P(X>100) B.P(X>90)=P(X<110) C.P(X<90)>P(X>90) D.P(X<110)<P(X>110) 10.对于数列{an},设其前n项和Sn,则下列命题正确的是() A.若数列{an}为等比数列，S3,S,S6成等差，则a2，a,a也成等差 B.若数列{an}为等比数列，则Sn=Sn·Sm C.若数列{an)为等差数列，且S=Sg,a,<0,则使得Sn>0的最小的n值为13 D.若数列{an}为等差数列，且a=1,4,=2√2+1，则{a,}中任意三项均不能构成等比数列 11.如图，已知正方体ABCD-AB,CD,点O,O分别为上、下底面的中心.正四面体C-ABD以OO为轴旋转一 圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则() A.直线AB与直线AC所成的角为90 D B.直线AB与平面BBDD所成的角为45 B C若正方体的楼长为2，则点Q,到平面4D的距离为2 3 D D.此双曲线的离心率为√2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0为空间任意一点，若亚=-O1+O丽+0C,若A,B,C,P四点共面，则1= 4 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ccosA+acosC=2 bcos A,则角A的大小为_，若角C为 .b 钝角，则二的取值范围为 14.已知函数f)=simx+, 则下列命题正确的是 ①∫(x)在(1,4)上单调递减： ②若x是∫(x)小于1的最大零点，x2是∫(x)大于1的最小零点，则xx2=1: ③若x,2为∫(x)的两个相邻零点，则-<π； ④l>0,x,使得∫(x)在(x,x+)上有两个零点. 第2页，共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinC+V3 acosC=√3b,且c=2. (1)求角A: (2)延长AC到点D,使CD=2AC,且△BCD的面积为2√3，求sin∠CBD的值. 16.(本小题满分15分)如图，三棱锥P-AOB中，P0⊥平面AOB,AO=OB,∠AB0=30°，AC=2BC=2PO=2. (1)求证：AO⊥平面POC: (2)求平面PAB与平面POC夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分)某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其 中4个为红色，4个为白色抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定 第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小 球颜色不同即为不中奖， (1)求中奖次数X的分布列和数学期望： (2)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 第3页，共4页 18.(本小题满分17分)已知椭圆C:亡+少-1，万、B分别为左、右焦点，直线1过B交椭圆于A、B两点. 84 （1)求椭圆的离心率： (2)若直线AF交y轴于M,直线BR交y轴于N,是否存在直线l,使得S5n=Sw?若存在，求出直线I的方 程：若不存在，请说明理由， 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=nx+ax. (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a=0时， (1)过点M(b,O)可以作函数f(x)的两条切线，求b的取值范围： ()设A,B是y=∫(x)图象上两个不同的点，且A,B两点到P(1,O)的距离相等，判断线段AB的中点在第几象 限，并证明. 第4页，共4页