湖北黄石市2026-2027学年高三上学期9月质量监测数学试卷

机密★启用前 2026年全市高三（9月）质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设复数满足（为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．甲，乙，丙，丁四名教师带领学生参加研学活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲，乙两人在同一组的概率为 A． B． C． D． 4．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上且横坐标为，为坐标原点，若的面积为，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 5．设，，则 A． B． C． D． 6．已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有 A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 7．已知函数的定义域为，则对任意，有，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．十九世纪数学家迪利克雷提出了函数，被称为迪利克雷函数，其在现代数学的发展过程中有着重要意义．若函数，则下列实数中属于函数值域的有 A．3 B．2 C．1 D．0 10．下列表达式中，满足数列是单调递减的有 A． B． C． D． 11．在直三棱柱中，，，，，点是棱上一点，则下列说法正确的有 A． B．四棱锥的体积为 C．直三棱柱外接球的表面积为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 13．已知，分别是双曲线的左，右焦点，，为双曲线的两条渐近线，设过点且平行于的直线交于点，若，则该双曲线的离心率为__________． 14．已知平面直角坐标系中的点满足，若函数（，分别为的横，纵坐标）在处取得最大值（因，取值的不同而变化），则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 16．（15分） 如图，已知四边形和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为，设，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知椭圆：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，． （i）证明：平分线段（其中点为坐标原点）； （ii）当最小时，求点的坐标． 18．（17分） 某公司“团建”活动中设置转盘抽奖环节．如图，转盘外形为规则圆盘，其中A，B，C三个区域的面积相等．假设转盘指针不会落在区域的分界线，指针只能随机地落入三个区域之一．当落入A时为获胜，得2分；当落入B或者C时得1分． （1）若指针转动三次，求三次得分之和的分布列和数学期望； （2）若指针转动次，，将次得分之和为的概率记为，求（用含的代数式表示）； （3）若将“指针转动次，至少获胜次”的概率记为，则“指针转动次，至少获胜次”的概率可记为．对于，分别求出和并比较大小，说明其大小关系的统计意义． 19．（17分） 分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用．在初等数学中，若有三个互不相同的函数，，，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数． （1）试判断是否可以作为和在区间上的分离函数； （2）对于函数和，找一个二次函数可以作为这两个函数在区间上的分离函数，找一个即可并给出其解析式． （3）若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值并说明其几何意义． 学科网（北京）股份有限公司 $数学试题参考答案与评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C 2.B3.A4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2" 13.√5 14.是oy 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解： (1 Sunc =a2-(b-c)=-besinA, 2 b+c2-a2=2bc-bcsinA. …3分 2 而由余弦定理，cosA=2+c2-a2 2bc 1 所以cosA=1--sinA. …6分 41 (2)由(1，两边平方得，1-sinA+sin2A=cos2A=1-sin2A, 16 解得sinA= 8 …9分 171 bc≤ 64 2 21 172 当且仅当 b=c=4时取得最大值， …12分 所以，S8c的最大值是64 …13分 16.解： 数学答案第1页（共6页） (I)依题意，DC⊥FC,DC⊥BC,所以∠BCF是二面角F-DC-B的平面角， 即∠BCF=60°，且CD⊥平面BCF,所 以 CD⊥FN …2分 如图，将侧面CDEF展开到平面ABCD上，则在直角梯形 ABCD中，∠BAD=60°，DC=3,AB=5,可求得 BC=23,AD=4. …4分 在直角梯形CDEF中，∠CDE=60°，DC=3,EF=1, 4人601 可 求 得 CF=25 ED=4, …6分 故在原几何体中，△BCF是等边三角形，所以FN⊥BC.又因为BC∩DC=C, 且BC,DCC平面ABCD,所以FN⊥平面ABCD,因此FN⊥AD.…8分 (2)由(1)知FN⊥平面ABCD,如图，以NB,NF分别为y轴，乙轴的正方向建 立 空 间 直角坐 标 系 则 V0,0,Ai5,V5.0.B0V5.0D3.V5.0.EL0,3MB5,3 22 ,可得 DA=(2,25,0),DE=(-2,√3,3). …10分 设平面ADE的法向量n=(xy,z),则 n.DA=2x+23y=0 x=-3y nDE=-2x+3y+33=0 ,解得 令 [z=-V3y y=-1,则平面ADE的一个法向量为 n=(W3,-l,V3) …13分 又因为BM=(3,- 33 2,所以sin6cos0m,Bm)F In:BM 57 ,即为 InBM 14 所求直线BM与平面ADE所成角的正弦值， …15分 17.解： c=2 (1)由题意得 a=√③b,解得 公-2故椭圆C的方程为二+；=1 a2=6 a2-b2=c2=4 62 …3分 (2)设点T(-3,m),P(x,y),Q(x2,y2),PQ的中点为N(x,y) 数学答案第2页（共6页） (i)因为F(-2,0),所以直线PQ的方程为x=my-2. x=my-2 联立方程 +上=1'消去x得(m+3y-4mw-2=0. …5分 62 △=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0 47m 从而 y+y2= m2+3 -2 y2=m+3 于是。=+业-2m m2+3,)=m%-2= 2m2 2=6 故 2 m2+3 m2+3 N( -62m …7分 m2+3'm2+3 因为krka,所以0.N,I三点共线，即0T平分线段P0(其中0为型 标原点)· …9分 (i)由题意得|TF上Vm2+1,|PQHy-2lVm2+1= 24m+0、m+i: m2+3 TFI m2+1 m2+3 从而|PQ V24(m2+1) V24(m2+1) …11分 √m2+1 m2+3 令Vm+1=x(x≥1).于是751-+2-1 2. (x+二)≥ (当且仅当 PO 26x 26x 3 x2=2时取等号). …13分 因此，当 TF 最小，即x2=2时，解得m=1或m=-1,此时点T的坐标为(-3,1) POl 或(-3，-1) …15分 18.解： 《1）X的所有可能取值为3456，P0X-3-- 数学答案第3页（共6页） x=0=令=27 …2分 31 X的分布列为 X 3 4 5 6 P 8 4 2 1 27 9 数学期望EX)=3×+4X。+5×。+6x7 =4 …4分 27 9 (2)依题意，指针转动n次，neN,若n次得分之和为n+2,则n次转动中有 次针落入4则当m≥2时，PW=C:-g写 18 当n=1时，P=0,也符合上式.则P_k-1召-？ k183 1-2 …7分 授8-011x42+m) 号-k+2x+-) 2)m-1 …10分 (3)设“指针转动2n+1次，至少获胜+1次”事件为C,要使事件C发生，有 两种情况：前2n-1次至少获胜n次，记此事件为A,和前2n-1次获胜少于n次，记 此事件为A,则C=AC+A,C. 事件A又可以分为两种情况，即前2-1次指针转动恰好获胜n次和至少获胜 +1次.若是后者，则再转两次时无论结果如何已经实现了事件C；若是前者，则再转 两次都无法获胜的概率为C2n-1p"(1-p)”(1-p)2，则AC的概率为 数学答案第4页（共6页） 对于事件A,,则必须恰好获胜-1次，否则再转两次时无论结果如何都无法实现 事件C,则PAC=PM,)PCA)=C令'号r令 …13分 因此，综合以上情况 Q+D-P(C)-PAC)+RAC)-Q-C+C 所以， 0n+-m=c3r9-c令r孕 …16分 =C"-C=C(-<0 其统计意义为，因为指针落入A的概率只有；，比一半小，所以当指针转动的次数 越来越多时，要想有一半以上的情形落入A,这样的可能性只会越来越小. 17分 19.解： (1)可以.因为2x2+2-4x=2(x-1)2≥0恒成立，且4x-(-x2+4x)=x2≥0恒成 立 …3分 (2)设y=ax2+bx+c(a≠0)是y=2x2+2和y=4x在(-o,+o)上的分离函数.直 线y=4x是y=2x2+2的图像在x=1处的切线，所以直线y=4x也应该是 2a+b=4 b=4-2a y=ax2+bx+c的图像在x=1处的切线，因此 (a+b+c=4'可得 c=a …6分 所以2x2+2≥ax2+(4-2a)x+a≥4x对一切实数x恒成立，即 (2-a)(x-1)2≥0且a(x-1)2≥0对一切实数x恒成立，所以2-a≥0且a>0,解得 0<a≤2 …9分 又因为当a=2时，y=ax2+(4-2a)x+a与y=2x2+2为相同函数，不符合题 意，所以所求函数为y=ax2+(4-2a)x+a(0<a<2),选0<a<2中任何一值代入 即可，得到任何一个该函数的表达式即得全分，或者直接给出这个通式并说明0<α<2 的范围也是全分 …10分 2x2-4x,x≥0 (3)由各函数在区间[-2,2]上的函数值大小关系，记f(x)= 2x2+4x,x<0 数学答案第5页（共6页） f(x)=4x2-16,则根据函数形态可以画出草图如下. 由于(x)和f(x)都是偶函数，图像关于y轴对称，要使y=kx+b为(x)和 f(x)在[-2,2]的某个子区间上的分离函数，且当x∈[-2,2]时，f(x)≥f(x)恒成立， 所以存在b使得直线y=kx+b,与f(x)的图像相切，并且切点的横坐标t∈[L,2](考 虑到图像关于y轴对称，此种情况不失一般性).在[0,2]上，对(x)求导得， '(x)=4x-4,则当t∈L,2]时，f(x)的图像在(t,212-4)处的切线方程为 y-(22-4)=(4t-4)(x-t),即y=(41-4)x-2t2,于是k=4t-4,b。=-22 …13分 y=kx+b 设直线y=kx+b与(x)的图像交于点(x,y1),(x,》2),由了 y=4x2-16 得 16+b 4x2-kx-16-b=0,则x1+x2= 所以， 4 02 |x-x3上Vg+x)2-4x2= V16 +16+b≤16 16+b。, (4t-4 -+16-22=√-2-21+17 …15分 16 由二次函数-t2-2t+17在t∈1,2]时单调递减，因此当t=1时，|x-x|取得 最大值4 …16分 其几何意义为，当直线y=kx+b水平时，y=kx+b作为分离函数的区间长度达 到最大值（此时直线与3(x)在两个点处相切）· …17分 数学答案第6页（共6页）