第26讲 简单的三角恒等变换 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项训练聚焦三角函数核心知识，通过基础与提升分层设计，强化运算能力与推理意识，构建从定义应用到综合问题解决的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组基础保分练|8题|涵盖化简求值、方程根与三角函数结合、多选概念辨析|从三角函数定义出发，结合诱导公式、和差角公式，形成概念应用到基本运算的逻辑| |B组能力提升练|4题|包含综合方程应用、几何建模（扇形内接矩形面积）|深化二倍角公式、正切和差公式，实现从代数运算到几何直观的知识迁移|

[A组　基础保分练] 1.已知α∈(0,π),若sin(2α+)=,则sin α=(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 答案:B 解析:sin(2α+)=sin(2α+1 012π+)=sin(2α+)=cos 2α, 若sin(2α+)=,则cos 2α=1-2sin2α=, 所以sin2α==. 又因为α∈(0,π),则sin α>0,所以sin α=. 2.化简:= (　　) A.2cos α　　　　　　　　 B.2cos α C.2sin α D.sin α 答案:A 解析:原式= ==2cos α. 3.(2026·贵州毕节模拟)已知cos(α+β)=,tan αtan β=,则cos(α-β)=(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, tan αtan β==,解得sin αsin β=,cos αcos β=, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=. 4.已知tan α,tan β是方程x2-4x-3=0的两根,且α,β∈(,π),则α+β的值为 (　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:由题意,得则tan(α+β)===1. 因为α,β∈(,π),所以α+β∈(π,2π),故α+β=. 5.若-=4,则实数m= (　　) A. B.2 C.1 D. 答案:C 解析:-==4, 即mcos 10°-sin 10°=4sin 10°cos 10°=2sin 20°=2sin(30°-10°)=2sin 30°cos 10°-2cos 30°sin 10°=cos 10°-sin 10°,故m=1. 6.(多选)下列式子计算结果为的有 (　　) A.sin 240° B.sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37° C.3sin 150°· D.cos2-cos2 答案:BCD 解析:对于选项A,sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-,故A错误; 对于选项B,sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37°=sin(23°+37°)=sin 60°=,故B正确; 对于选项C,3sin 150°·=3××tan(45°-15°)=×=,故C正确; 对于选项D,cos2-cos2=cos2-cos2(-)=cos2-sin2=cos=,故D正确. 7.(多选)已知α,β∈(0,),tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,则以下说法正确的是 (　　) A.tan 2α=- B.tan 2β= C.β=α+ D.β=α- 答案:ABD 解析:因为tan(α+β)=7,tan(α-β)=1, 所以tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-, tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]===,故A,B正确; 因为α,β∈(0,),所以2α,2β∈(0,π),又tan 2α<0,tan 2β>0, 所以2α∈(,π),2β∈(0,), 所以α∈(,),β∈(0,), 所以α-β∈(0,), 因为tan(α-β)=1,所以α-β=即β=α-,故C错误,D正确. 8.(2026·广东深圳模拟)若cos(α+)=,α∈(0,),则sin α=　　　　.  答案: 解析:因为α∈(0,),则<α+<, 所以sin(α+)===, 因此sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=×-×=. [B组　能力提升练] 9.已知sin θ,cos θ是方程x2-2sin α·x+sin2β=0的两个实根,则= (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案:C 解析:∵sin θ,cos θ是方程x2-2sin α·x+sin2β=0的两个实根, ∴sin θ+cos θ=2sin α, sin2θ-2sin α·sin θ+sin2β=0,　① cos2θ-2sin α·cos θ+sin2β=0,　② ①+②得,1-2sin α·(sin θ+cos θ)+2sin2β=0, 即1-4sin2α+2sin2β=0, 整理得2-4sin2α=1-2sin2β,即2cos 2α=cos 2β,得=2. 10.(2026·山东青岛模拟)已知tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,则tan(2α+)=　　　　.  答案:- 解析:由tan(2α-β)=,tan(α-β)=1, 则tan α=tan[(2α-β)-(α-β)] ===-, 所以tan 2α===-, 则tan(2α+)===-. 11.已知<α<,4sinsin(α-)+4sincos(-α)+tan=,则α=　　　　.  答案: 解析:由题知sin(α-)+cos(-α)==, 即2sin(α-+)=, 即2sin(α-)=,即sin(α-)=cos=sin(-)=sin, 则α-=+2kπ或α-+=π+2kπ,k∈Z. 因为<α<,所以0<α-<,所以α-=,解得α=. 12.如图,已知扇形OPQ的半径为2,面积为,C是扇形弧上的动点,四边形ABCD是扇形的内接矩形(点A,B在半径OP上,点D在半径OQ上). (1)求的长; (2)记∠POC=α,当α取何值时,矩形ABCD的面积最大?请求出这个最大面积. 解:(1)由已知得=×∠QOP×22,解得∠QOP=,则×2=. (2)在Rt△OBC中,OB=2cos α,BC=2sin α,在Rt△OAD中,=tan=, 所以OA=DA=BC=sin α,AB=OB-OA=2cos α-sin α. 设矩形ABCD的面积为S, 则S=AB·BC =(2cos α-sin α)×2sin α =4sin αcos α-×2sin2α =2sin 2α-×(1-cos 2α) =2sin 2α+cos 2α- =×(sin 2α+cos 2α)- =sin(2α+)-. 由0<α<,得<2α+<, 所以当2α+=,即α=时,Smax=-=. 故当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.已知α∈(0,π),若sin(2α+)=,则sin α=(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 2.化简:= (　　) A.2cos α　　　　　　　　 B.2cos α C.2sin α D.sin α 3.(2026·贵州毕节模拟)已知cos(α+β)=,tan αtan β=,则cos(α-β)=(　　) A. B. C. D. 4.已知tan α,tan β是方程x2-4x-3=0的两根,且α,β∈(,π),则α+β的值为 (　　) A. B. C. D. 5.若-=4,则实数m= (　　) A. B.2 C.1 D. 6.(多选)下列式子计算结果为的有 (　　) A.sin 240° B.sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37° C.3sin 150°· D.cos2-cos2 7.(多选)已知α,β∈(0,),tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,则以下说法正确的是 (　　) A.tan 2α=- B.tan 2β= C.β=α+ D.β=α- 8.(2026·广东深圳模拟)若cos(α+)=,α∈(0,),则sin α=　　　　.  [B组　能力提升练] 9.已知sin θ,cos θ是方程x2-2sin α·x+sin2β=0的两个实根,则= (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 10.(2026·山东青岛模拟)已知tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,则tan(2α+)=　　　　.  11.已知<α<,4sinsin(α-)+4sincos(-α)+tan=,则α=　　　　.  12.如图,已知扇形OPQ的半径为2,面积为,C是扇形弧上的动点,四边形ABCD是扇形的内接矩形(点A,B在半径OP上,点D在半径OQ上). (1)求的长; (2)记∠POC=α,当α取何值时,矩形ABCD的面积最大?请求出这个最大面积. 学科网（北京）股份有限公司 $