第一讲 平方根与立方根 讲义 2026-2027学年华东师大版八年级上册数学

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理平方根与立方根的知识体系，将定义、性质、表示方法等核心内容分层呈现，并用对比表格归纳两者的区别与联系，突出算术平方根非负性、立方根符号特性等重难点。 讲义亮点在于“概念辨析-性质应用-综合拓展”的阶梯式练习设计，如通过“已知正数平方根求原数”题型培养推理能力，结合“算术平方根整数部分估计”发展抽象思维。每个题型配例题与变式，基础生掌握方法，优生深化探究，助力教师实施精准分层教学。

第1讲 平方根与立方根 平方根 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 题型一：平方根的概念 例1．下列说法：①5是25的算术平方根；②是的一个平方根；③的平方根是；④0的平方根与算术平方根都是0．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习 1．下列命题中：①的平方根是；②1的算术平方根是1；③是1的一个平方根；④若一个数的平方根是它的本身，则这个数是0或1．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的有（    ） ①只有正数才有平方根．②-2是4的平方根．③的平方根是．④的算术平方根是a．⑤的平方根是-6．⑥． A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 3．下列语句中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是2 4．下列说法正确的是（   ） A．3的平方根是 B． C． D．的算术平方根是6 5．下列各数（式）：，，，，，，中，有平方根的数（式）有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二：求一个数的平方根、算术平方根 例1．（-0.25）2的平方根是（　　）． A．-0.5 B．±0.5 C．0.25 D．±0.25 变式练习 1．（-0.6）2的平方根是（　　） A．-0.6 B．0.6 C．±0.6 D．0.36 2．的平方根是（ ） A． B． C． D． 3．完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 4． 的算术平方根是______，的平方根是______． 5．16的平方根为（     ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 6．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 题型三：已知一个数的平方根，求这个数 例1．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 变式练习 1．已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 2．已知的平方根是，则的值为_____． 3．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 4．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 题型四：利用算术平方根的非负性解题 例1．已知+=0，则的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2025 变式练习 1．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 3．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 例2．如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 变式练习 1．能够使二次根式有意义的实数x的值有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若有意义，则满足条件的a的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．使在实数范围内有意义的的取值范围是（ ） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥－1 D．x为任意实数 题型五：求算术平方根的整数部分和小数部分 例1．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 变式练习 1．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值为（     ） A． B． C． D． 例2．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 变式练习 1．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3) 若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 2．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． 题型六：求代数式的平方根 例1． 若5x＋19的立方根是4，则3x＋22的平方根为_____． 变式练习 1．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 2．已知的平方根是，则的值为_____． 题型七：与算术平方根有关的规律探索题 例1．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 变式练习 1．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 2．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 3．小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 4．若，，，则______（用、、来表示）． 5．已知，，那么________； 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点4 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 题型一：立方根的概念 例1．下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 变式练习 1．下列结论正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．立方根等于它本身的数只有1和 C．算术平方根等于它本身的数有0和1 D．8的立方根等于 2．下列说法不正确的是（    ） A．是3的算术平方根 B．是3的一个平方根 C．3的平方根是 D．3的立方根是 3．下列说法正确的是（    ） A．平方等于它本身的数一定是1 B．平方根等于它本身的数一定是0 C．算术平方根等于它本身的数一定是0 D．立方根等于它本身的数一定是1 题型二：求一个数的立方根 例1．的相反数为（     ） A． B． C．7 D． 变式练习 1．已知与互为相反数，则与的积的立方根为________． 2．如果和互为相反数，那么立方根是_____． 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 例1．4的平方根为-a，=2，则a-b=______________． 变式练习 1．若5x＋19的立方根是4，则3x＋22的平方根为_____． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 3．已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是_____． 4．一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 例2．已知：的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 变式练习 1．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 2．已知的立方根是，的算术平方根是3，c是． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 题型四：利用平方根、立方根求方程的解 例1．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 变式练习 1．求下列各式中的值： (1)； (2)． 1．求下列各式中的值． (1)； (2)． 2．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 3．求的值： (1)； (2)； (3)． 5． 若，则______． 5．若，则_____． 6．若，则___________；若，则___________． 7．如果x-3=64，那么x=______． 题型五：平方根与立方根的综合 例1．已知，且与互为相反数， (1)求的平方根； (2)若的算术平方根为的立方根为，求． 变式练习 1． （1）已知，求的平方根； （2） 已知，求的立方根． 2． 已知，求的算术平方根． 3． （1）若满足等式．求的算术平方根． （3） 若的平方根为，．求的立方根． 4．已知，且与互为相反数． (1)求a、b和c的值． (2)求的平方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 平方根与立方根 平方根 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 题型一：平方根的概念 例1．下列说法：①5是25的算术平方根；②是的一个平方根；③的平方根是；④0的平方根与算术平方根都是0．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的意义，熟练掌握概念是解题关键． 根据平方根和算术平方根的意义，逐一判断即可． 【详解】①5是25的算术平方根，正确； ②是的一个平方根，正确； ③的平方根是，不正确； ④0的平方根与算术平方根都是0，正确． 故选C． 变式练习 1．下列命题中：①的平方根是；②1的算术平方根是1；③是1的一个平方根；④若一个数的平方根是它的本身，则这个数是0或1．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的概念，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a大于等于0，那么a就叫做b的算术平方根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①没有平方根，原说法错误； ②1的算术平方根是1，原说法正确； ③是1的一个平方根，原说法正确； ④若一个数的平方根是它的本身，则这个数是0，原说法错误； ∴说法正确的有2个， 故选：B． 2．下列说法中正确的有（    ） ①只有正数才有平方根．②-2是4的平方根．③的平方根是．④的算术平方根是a．⑤的平方根是-6．⑥． A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项分析即可． 【详解】解：①∵正数和0都有平方根，故错误；②∵(-2)2=4，∴-2是4的平方根，正确；③=4的平方根是±2，故错误；④当a≥0时，的算术平方根是a，故错误；⑤=36的平方根是±6，故错误；⑥，故错误． ∴只有②是正确的， 故选A． 3．下列语句中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是2 D 【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内，负数没有算术平方根，即无意义，原说法错误，不符合题意； B、的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法正确，符合题意． 4．下列说法正确的是（   ） A．3的平方根是 B． C． D．的算术平方根是6 【分析】本题考查了算术平方根与平方根．根据算术平方根与平方根的性质即可得． 【详解】解：A、3的平方根是，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、的算术平方根是，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．下列各数（式）：，，，，，，中，有平方根的数（式）有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 C 【分析】利用非负数才有平方根的性质，将问题转化为判断各数（式）的非负性． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴非负的有，，，，，共5个， ∴有平方根的数有5个． 题型二：求一个数的平方根、算术平方根 例1．（-0.25）2的平方根是（　　）． A．-0.5 B．±0.5 C．0.25 D．±0.25 【分析】根据乘方的性质，得（-0.25）2＝0.0625；再根据平方根的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵（-0.25）2＝0.0625 ∴0.0625的平方根为±0.25 故选：D． 变式练习 1．（-0.6）2的平方根是（　　） A．-0.6 B．0.6 C．±0.6 D．0.36 【分析】先求得（-0.6）2的值，然后再依据平方根的性质计算即可． 【详解】∵（-0.6）2=0.36，0.36的平方根是±0.6． ∴（-0.6）2的平方根是±0.6． 故选C． 2．的平方根是（ ） A． B． C． D． D 【详解】试题分析：=4，则4的平方根为±2. 考点：平方根 3．完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方根 0 4． 的算术平方根是______，的平方根是______． 【详解】解：∵ ，算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是； ∵， 的平方根是， 即的平方根是． 5．16的平方根为（     ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 D 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 的平方根为． 6．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 7．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 题型三：已知一个数的平方根，求这个数 例1．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 变式练习 1． 已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再计算得到. 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 将代入，得， ∴. 2． 已知的平方根是，则的值为_____． 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 3．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． (1)， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 4．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． (1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 题型四：利用算术平方根的非负性解题 例1．已知+=0，则的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2025 A 【分析】根据算术平方根和平方数的非负性，两个非负数相加等于0，则这两个非负数各自为0，求出a、b的值，再代入式子计算乘方结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，． ∴． 变式练习 1．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． D 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 2．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 3．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． A 【分析】根据算术平方根与平方的非负性，两非负式之和为0则两式分别为0，进而求出a,b的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 例2．如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 A 【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0． 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 变式练习 1．能够使二次根式有意义的实数x的值有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可； 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：，即符合题意的只有一个值． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键． 2．若有意义，则满足条件的a的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】试题分析：根据二次根式有意义的条件和偶次方的非负性，可以得，﹣（1﹣a）2≥0，则（1﹣a）2≤0，又（1﹣a）2≥0，可得（1﹣a）2=0，解得，a=1， 故选A． 考点：二次根式有意义的条件 3．使在实数范围内有意义的的取值范围是（ ） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥－1 D．x为任意实数 【详解】试题分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 试题解析：∵x2≥0 ∴x2+1≥1 故使在实数范围内有意义的的取值范围为任意实数． 故选D． 考点：二次根式有意义的条件． 题型五：求算术平方根的整数部分和小数部分 例1．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 A 【详解】解：， ， ， 的值在2和3之间． 变式练习 1．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 C 【分析】利用算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，通过比较相邻整数的平方以及中点的平方，判断的大小，即可得到最接近的整数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴距离5更近 因此与最接近的整数是5． 2．若的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ） A． B． C． D． C 【分析】先通过平方数估算的取值范围，得到的整数部分，再表示出小数部分，代入所求代数式化简计算即可． 【详解】解∶∵，，且， ∴， ∴的整数部分，小数部分 ∴． 3．若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值为（     ） A． B． C． D． C 【分析】先通过估算无理数的大小，得到和的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ 的小数部分 ． ∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分 ． 将,代入，得 ． 例2．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． (1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 变式练习 1．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3) 若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． (1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 2．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． (1)2； (2)； (3) 【分析】（1）估算出，从而即可得出结果； （2）估算出，从而即可得出结果； （3）估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是，小数部分是； （3）解：∵， ∴，即， ∴，即， ∵整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴． 题型六：求代数式的平方根 例1． 若5x＋19的立方根是4，则3x＋22的平方根为_____． 【分析】利用平方根及立方根定义求出a与b的值，即可确定出a-b的值． 【详解】∵4的平方根为±2， ∴a=±2， ∵=2， ∴b=8， 则a-b=2-8=-6或-2-8=-10． 故答案为：-6或-10． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式练习 1． 已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的概念，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键．根据平方根的概念，两个平方根互为相反数，列方程求a的值，根据立方根的概念可求出b的值，然后计算的值，再求其算术平方根即可． 【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 即 ， 解得 ， 的立方根为 ， ， 解得 ， ， 的算术平方根为7， 的算术平方根是7． 故答案为：7． 2．已知的平方根是，则的值为_____． 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 题型七：与算术平方根有关的规律探索题 例1．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 变式练习 1．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 2．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 3． 若，，，则______（用、、来表示）． 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 4． 已知，，那么________； 【详解】解：因为 所以 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点4 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 题型一：立方根的概念 例1．下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【分析】根据平方根、立方根的定义依次验证4个选项． 【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是0和1，故A项不符合题意； B、平方根等于本身的数只有0，故 B项不符合题意； C、立方根等于本身的数是0和，故C项符合题意； D、负数有立方根，故D项不符合题意． 故答案为C． 变式练习 1．下列结论正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．立方根等于它本身的数只有1和 D． 算术平方根等于它本身的数有0和1 D．8的立方根等于 B 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：的平方根是，A错误； 选项B：是的算术平方根，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：负数没有平方根，D错误． 2．下列说法不正确的是（    ） A．是3的算术平方根 B．是3的一个平方根 C．3的平方根是 D．3的立方根是 【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：是3的算术平方根，表述正确，故A不符合题意； 是3的一个平方根，表述正确，故B不符合题意； 3的平方根是，故C符合题意； 3的立方根是，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，熟记概念是解本题的关键． 3．下列说法正确的是（    ） A．平方等于它本身的数一定是1 B．平方根等于它本身的数一定是0 C．算术平方根等于它本身的数一定是0 D．立方根等于它本身的数一定是1 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，利用立方根、平方根和算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、平方等于它本身的数有0和1，故错误，不符合题意； B、平方根等于它本身的数一定是0，故正确，符合题意； C、算术平方根等于它本身的数有0和1，故错误，不符合题意； D、立方根等于它本身的数有0，1和，故错误，不符合题意； 故选：B． 题型二：求一个数的立方根 例1．的相反数为（     ） A． B． C．7 D． D 【详解】解：，的相反数为， 即的相反数为． 变式练习 1． 已知与互为相反数，则与的积的立方根为________． 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 2．如果和互为相反数，那么立方根是_____． 【分析】根据相反数的性质和算术平方根的非负性列出关于x、y的二元一次方程组，求得x、y，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意得： 解得 所以立方根是． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性以及二元一次方程组的解法等知识点，根据相反数的性质和二次根式的非负性列出关于x、y的二元一次方程组成为解答本题的关键． 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 例1．4的平方根为-a，=2，则a-b=______________． -6或-10． 【分析】利用平方根及立方根定义求出a与b的值，即可确定出a-b的值． 【详解】∵4的平方根为±2， ∴a=±2， ∵=2， ∴b=8， 则a-b=2-8=-6或-2-8=-10． 故答案为：-6或-10． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式练习 1． 若5x＋19的立方根是4，则3x＋22的平方根为_____． ±7 【分析】先由立方根的定义求出x的值，再根据平方根的定义进行求解即可得. 【详解】由题意得：5x+19=43， 解得：x=9， 所以：3x+22=49， 49的平方根是±7， 故答案为：±7. 【点睛】本题考查了立方根、平方根的定义，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键. 2． 已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的概念，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键．根据平方根的概念，两个平方根互为相反数，列方程求a的值，根据立方根的概念可求出b的值，然后计算的值，再求其算术平方根即可． 【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 即 ， 解得 ， 的立方根为 ， ， 解得 ， ， 的算术平方根为7， 的算术平方根是7． 故答案为：7． 3． 已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是_____． 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 4． 一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【分析】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 例2．已知：的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． (1)， (2)7 【分析】本题考查了平方根与立方根的概念，求算术平方根； （1）由平方根的概念知，，则可求得a的值；由立方根的概念知，，则可求得b的值； （2）把（1）中求得a、b的值代入，可求得其值，即可求得其算术平方根． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根为2， ， 解得：； （2）由（1）得，， ， 它的算术平方根为7． 变式练习 1．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． (1)， (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ∴的平方根是． 2．已知的立方根是，的算术平方根是3，c是． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． (1)，，； (2) 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b、c的值； （2）将a、b、c的值代入代数式，再利用平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是， ， ， ， 的算术平方根是3， ， ， ， ， 是， ； （2）解：，，， ， 的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题关键． 题型四：利用平方根、立方根求方程的解 例1．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) (1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的运算，熟练掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可 【详解】（1）解： （2）解： 变式练习 1．求下列各式中的值： (1)； (2)． (1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程 【详解】（1）解：， ∵， ∴ 解得或； （2）解：， ， ∵， ． 1．求下列各式中的值． (1)； (2)． (1)或 (2) 【分析】 （1）先移项化简方程，再根据平方根的定义开平方求解x； （2）先化简方程，再根据立方根的定义开立方求解x； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即或． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 2．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． (1)， (2)， 【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次根式的非负性解题； （2）根据直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 解得； （2）解：原方程可化为， ， ， ， 解得，． 3．求的值： (1)； (2)； (3)． (1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 5． 若，则______． 3或/和3 【分析】根据有理数的乘方法则得出关于x的一元一次方程，即可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4.若，则_____． 或 【分析】此题考查了利用平方根解方程， 通过化简方程，利用平方根求解即可． 【详解】 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得或． 故答案为：或． 5． 若，则___________；若，则___________． 或 【分析】本题考查了平方根与立方根，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：； ∴ ∴ 解得：或 故答案为：；或． 6．如果x-3=64，那么x=______． 【分析】根据负整数指数幂的运算方法，求出x的值是多少即可． 【详解】解：∵=64，x-3=64， ∴x=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a-p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 题型五：平方根与立方根的综合 例1．已知，且与互为相反数， (1)求的平方根； (2)若的算术平方根为的立方根为，求． (1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和相反数的定义． （1）利用非负数的性质求得，，再利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义结合相反数的定义求得，再利用算术平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式练习 1． （1）已知，求的平方根； （2） 已知，求的立方根． （1）；（2）1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，立方根的性质，平方根． （1）先根据二次根式的性质得，，即可求出、，进而可求的值，再根据平方根的定义求解即可； （2）先根据立方根的性质得，化简可得的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为1． 2． 已知，求的算术平方根． 【分析】由非负数的性质，立方根的定义，求出a＝1，b＝2，c＝－64，然后代入计算，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴a－1＝0，b－2＝0． ∴a＝1，b＝2． ∵， ∴c＝－64． ∴a－8b－c＝49． ∴a－8b－c的算术平方根是7． 【点睛】本题考查了非负数的性质，立方根的定义，算术平方根的定义等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出a、b、c的值． 3． （1）若满足等式．求的算术平方根． （2）若的平方根为，．求的立方根． （1）2；（2）3 【分析】（1）先根据完全平方公式得到，再由非负性的性质得到，则可求出，据此计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据立方根，平方根的定义求出a、b的值，进而求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2； （2）∵的平方根为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵27的立方根为3， ∴的立方根为3． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，完全平方公式，非负数的性质，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根． 4．已知，且与互为相反数． (1)求a、b和c的值． (2)求的平方根． (1)， (2) 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根，相反数，平方根，解题的关键是熟练掌握以上知识点； （1）根据非负数的性质求出，再根据两个数的立方根互为相反数，则被开方数也互为相反数求出； （2）根据的值求出代数式的值，最后根据平方根的定义求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∵与互为相反数， ， ∴， （2）解：∵，， ， ∴的平方根为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $