2.3.4 两条平行线之间的距离 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“两条平行直线间的距离”新授课同步练，通过基础应用、综合辨析、情境探究三层设计，以运算能力为核心，构建“公式直接应用→逆用与关联→动态综合应用”的知识巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|距离公式直接应用|单选题1-6直接考查平行直线距离计算，夯实运算基础| |提升层|公式逆用及关联知识|多选题7-8结合对称、定点问题，填空题14涉及参数最值，发展推理能力| |综合层|动态与实际情境应用|解答题15-16以动点、中点为情境，需建模分析距离最小值，体现应用意识|

数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3.4 两条平行直线间的距离 同步练习 （满分：100分　　时间：45分钟） 一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 直线 与直线 间的距离为（　　） A. B. C. D. 1. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（　　） A. B. C. D. 1. 若平面内两条平行线 与 间的距离为 ，则实数 （　　） A. B. C. 或 D. 或 1. 已知直线 与直线 间的距离为 ，则 （　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 1. 若直线 与直线 平行，则 与 之间的距离为（　　） A. B. C. D. 1. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为 和 ，另一组对边所在直线的方程分别为 和 ，则 （　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） 1. 已知点 关于直线 对称的点是 ，直线 过点 ，则下列结论正确的是（　　） A. B. 直线 在 轴上的截距是 C. 点 到直线 的距离为 D. 当 时，两直线间的距离为 1. 对于直线 ，下列结论中正确的是（　　） A. 直线 恒过定点 B. 当 时，直线 在 轴上的截距为 C. 若直线 不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线 的距离的最大值为 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分。） 1. 两平行直线 分别过点 ，，它们分别绕 旋转，但始终保持平行，则 之间的距离的取值范围是________. 1. 已知直线 与 ，其中 。若直线 ，则 与 间距离的最小值是________. 四、解答题（本题共2小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 1. （本小题满分24分） 已知直线 ，，点 和点 分别是直线 上的动点。 （1）若直线 经过原点 ，且 ，求直线 的方程； （2）设线段 的中点为 ，求点 到原点 的距离的最小值。 1. （本小题满分24分） 已知直线 经过点 ，且被平行直线 与 所截得的线段的中点 在直线 上，求直线 的方程。 参考答案与解析 一、单选题 1. 答案：B 解析： 两条平行直线间距离公式需先统一 系数。 将 化为 ，与 对比，得 。 由平行直线间距离公式： 2. 答案：B 解析： 分两步求解。 ① 由平行条件求 ： 直线 与 平行，故 由 得 。验证：，符合平行不重合的条件。 ② 统一系数求距离： 将 化为 ，与 对比， 3. 答案：B 解析： 先由平行条件求 ，再验证距离。 ① 由平行条件求 ： 直线 与 平行，故 由 得 ，即 ，，解得 或 。 ② 验证距离： 当 时， 即 ， 即 ， 舍去； 当 时，， 即 ， 符合条件。故 。 4. 答案：A 解析： 统一系数后列距离方程求解。 ① 统一系数： 将 化为 ，与 对比。 ② 列距离方程求解： 故 ，即 。 当 时，；当 时，。 综上， 或 。 5. 答案：D 解析： 先由平行条件求 （注意排除重合情形），再求距离。 ① 由平行条件求 ： 直线 与 平行，故 由 得 ，即 ，解得 或 。 验证：当 时， 即 ，，两直线重合，舍去； 当 时，，，满足平行不重合。 ② 求距离： 将 化为 ，与 对比， 6. 答案：B 解析： 菱形两组对边分别平行，且对边之间的距离相等（菱形面积 = 边长 × 高，两组高相等）。 ① 求第一组对边距离： 与 的距离 ② 求第二组对边距离： 设 与 的距离 由 ，得 ，两边同乘 ， 二、多选题 7. 答案：ABD 解析： 由点 与 关于直线 对称，可得： 中点 在 上，故 ； 斜率为 ，与 垂直，故 ，即 。 代入 ，得 ，故 。 因此 ，化为一般式：。 逐一验证选项： A： ，正确； B： 在 轴上的截距：令 ，得 ，正确； C： 点 到直线 的距离 ，错误； D： 当 且过 时， 的方程为 ，即 。两平行线间距离 ，正确。 8. 答案：AD 解析： 将直线 整理为 ，由 解得 ，即直线 恒过定点 ，故 A 正确。 B： 当 时， 即 ，在 轴上的截距为 ，错误； C： 直线 的方程可写为 。若 不经过第二象限，需斜率 且 轴截距 ，即 且 ，故 ，而非 ，错误； D： 原点到直线 的距离的最大值为原点到定点 的距离（当 与该定点和原点连线垂直时取得），即 ，正确。 三、填空题 9. 答案： 解析： 两条平行线分别绕定点旋转且保持平行，它们之间的距离等于两定点连线在垂直于直线方向上的投影长度。 两平行线间距离的最大值为点 与 之间的距离，此时两直线均垂直于 ： 距离大于 （两线平行不重合，故距离不为 ）。 因此， 之间距离的取值范围是 。 10. 答案： 解析： 先由平行条件确定 ，再将距离表示为 的函数，求最小值。 ① 由平行得 ： 由 ，得 ，故 。 此时 ，化为 ，与 平行。 验证不重合：，即 ，即 ，显然成立，故平行不重合。 ② 距离表达式： ③ 求最小值： 二次函数 的最小值为 （当 时取得），故 四、解答题 11. 解： （1）设直线 的方程为 （过原点），分别与 联立求交点： 与 联立：，， 即 ； 与 联立：，， 即 。 由 ，得 即 两边平方得： 解得 或 ，均符合题意。 故直线 的方程为 或 ，即 或 。 （2）设点 为线段 的中点， 在 上， 在 上，则 由 ，得 ；由 ，得 。 两式相加： 即 因此，点 的轨迹是直线 （位于两平行线之间的一条平行线）。 点 到原点 的距离的最小值，即为原点到直线 的距离： 12. 解： 设线段被两平行线截得的中点为 。 由于 是夹在两平行线间的线段的中点，故 到 与 的距离相等，即 化简得 ，两边平方后可得 。 即点 在直线 上（两平行线的”中垂线”——与两平行线平行且等距的直线）。 又 在直线 上，联立方程组： 由 代入第二式：，故 。 即 。 直线 过点 与 ，其斜率为 由点斜式得直线 的方程： 整理为一般式： 验证： 将 分别与 联立，求得两交点坐标，验证中点是否在 上。 与 联立：，； 与 联立：，。 中点坐标：，满足 。故所求直线方程正确。 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3.4 两条平行直线间的距离 同步练习 （满分：100分　　时间：45分钟） 一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 直线 与直线 间的距离为（　　） A. B. C. D. 1. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（　　） A. B. C. D. 1. 若平面内两条平行线 与 间的距离为 ，则实数 （　　） A. B. C. 或 D. 或 1. 已知直线 与直线 间的距离为 ，则 （　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 1. 若直线 与直线 平行，则 与 之间的距离为（　　） A. B. C. D. 1. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为 和 ，另一组对边所在直线的方程分别为 和 ，则 （　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） 1. 已知点 关于直线 对称的点是 ，直线 过点 ，则下列结论正确的是（　　） A. B. 直线 在 轴上的截距是 C. 点 到直线 的距离为 D. 当 时，两直线间的距离为 1. 对于直线 ，下列结论中正确的是（　　） A. 直线 恒过定点 B. 当 时，直线 在 轴上的截距为 C. 若直线 不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线 的距离的最大值为 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分。） 1. 两平行直线 分别过点 ，，它们分别绕 旋转，但始终保持平行，则 之间的距离的取值范围是________. 1. 已知直线 与 ，其中 。若直线 ，则 与 间距离的最小值是________. 四、解答题（本题共2小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 1. （本小题满分24分） 已知直线 ，，点 和点 分别是直线 上的动点。 （1）若直线 经过原点 ，且 ，求直线 的方程； （2）设线段 的中点为 ，求点 到原点 的距离的最小值。 1. （本小题满分24分） 已知直线 经过点 ，且被平行直线 与 所截得的线段的中点 在直线 上，求直线 的方程。 中点坐标：，满足 。故所求直线方程正确。 学科网（北京）股份有限公司 $