专题02 有理数（乘除乘方与混合运算）（题型专练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 以有理数乘除、乘方、混合运算为核心，按“基础运算-概念理解-综合应用”逻辑分层设计题型，强化运算能力与实际应用，落实数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数的乘法与除法|10题型（含实际应用、符号判断）|覆盖基础运算、运算律、实际问题，突出多因数乘法及混合运算|从两个数乘除到多个数运算，结合倒数、数轴符号判断，形成“运算-规律-应用”链条| |有理数的乘方|4题型（含概念理解、符号规律）|聚焦幂的概念、运算及符号法则，渗透乘方应用（如细胞分裂）|从乘方概念到运算符号规律，再到实际情境中的指数增长模型，体现概念生成到应用拓展| |有理数的混合运算|3题型（含程序流程图、算24点）|综合乘方与四则运算，融入程序计算与数学游戏，强调运算顺序|承接乘除、乘方基础，通过含乘方的混合运算及跨情境问题，实现单一运算到综合应用的提升|

专题02 有理数（乘除乘方与混合运算） 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘法与除法 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算（重） 题型3 有理数乘法的实际应用 题型4 倒数 题型5 有理数乘法运算律 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数乘除混合运算（高频） 题型8 有理数四则混合运算 题型9 有理数四则混合运算的实际应用 题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负（难） 考点二 有理数的乘方 题型1 有理数幂的概念理解（重） 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方运算的符号规律 题型4 乘方的应用（难） 考点三 有理数的混合运算 题型1 含乘方的有理数混合运算（高频）（难） 题型2 程序流程图与有理数计算 题型3 算“24”点 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘法与除法 ◆题型1 两个有理数的乘法运算 1．计算：______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，再计算分数乘法即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 2．规定一种运算，则_______ ． 【答案】10 【分析】本题考查定义新运算，根据新定义的运算规则正确计算是解题的关键．根据新定义运算规则，将，代入公式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：10． 3．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的非负性，正数的绝对值是它本身，可得，再结合小数与分数的乘法运算求出结果． 【详解】解：，故． 故答案为：． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． ◆题型2 多个有理数的乘法运算 5．绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 6．绝对值小于的所有负整数的积是________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的概念，有理数的乘法；解题的关键是掌握绝对值的概念；根据绝对值的概念，找出所有绝对值小于的负整数，再计算它们的乘积． 【详解】解：绝对值小于的负整数有，它们的积为， 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数的四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 直接运用分数的四则运算法则计算即可． 【详解】解： ． ◆题型3 有理数乘法的实际应用 8．用一张纸对折1次可以裁成2张，对折2次可以裁成4张，对折3次可以裁成几张？下列算式不能用来表示对折3次可以裁成的张数的是（   ） A．； B．，，； C．，，； D．，，． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法和乘法的应用，理解题意，根据题意列出算式是解题的关键．根据题意，对选项逐个分析判断即可解答． 【详解】解：A、，可以用来表示对折3次可以裁成的张数，故此选项不符合题意； B、，，，可以用来表示对折3次可以裁成的张数，故此选项不符合题意； C、，，，可以用来表示对折3次可以裁成的张数，故此选项不符合题意； D、，，，不能用来表示对折3次可以裁成的张数，故此选项符合题意； 故选：D． 9．某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了__辆汽车． 【答案】18750 【分析】本题考查分数混合运算的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据题意进行列式计算即可． 【详解】解：由题意可得： （辆）， 故答案为：18750． 10．在走进田间课程中，某校六年级学生来到劳动实践基地挖红薯，一共挖了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，等于25千克记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)以每筐25千克为标准，这10筐红薯总计超过或不足多少千克？ (2)若红薯每千克售价12元，则售出这10筐红薯可得多少元？ 【答案】(1)不足7千克 (2)2916元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解，然后作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：（千克）， 答：10筐红薯总计不足千克； （2）（元）， 答：售出这筐红薯可得元． ◆题型4 倒数 11．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 12．某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，则可求出该数的倒数，再根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵某数的倒数的相反数是2026， ∴该数的倒数为， ∵， ∴该数为， 故选：D． 13．的倒数是___________． 【答案】 【详解】解：将化为分数，得， ∵互为倒数的两个数乘积为， ∴的倒数为． 14．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4，求式子的值？ 【答案】当时，1；当时， 【分析】本题考查了代数式求值、相反数、绝对值以及倒数，熟练掌握各自的定义是解题关键．由题意可得，，，再分别代入计算求值即可． 【详解】解： a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4， ，，， 当时，， 当时，． 综上可知，的值为1或． ◆题型5 有理数乘法运算律 15．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 16．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 17．规定，如果，则___________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 18．计算：； 【答案】14 【分析】利用乘法分配律展开原式，再按照有理数乘法和加减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． ◆题型6 有理数的除法运算 19．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 20．甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 【答案】乙 【分析】先用除法求出甲、乙的加工速度，再比较即可． 【详解】解：甲：（个/分钟），（个/分钟）， ∵， ∴乙的加工速度快． 答：乙的加工速度快． 21．乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 22．计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．先把小数写成分数，带分数写成假分数，再由乘法分配律及除法运算计算即可． 【详解】解： ． ◆题型7 有理数乘除混合运算 23．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 25．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 26．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： ◆题型8 有理数四则混合运算 27．计算：____________． 【答案】6 【分析】根据，其中，计算即可． 【详解】解：． 28．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，则的值为______． 【答案】 2026 【分析】本题考查了相反数，倒数，有理数的分类，有理数加减运算等知识点的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数， ， ． 故答案为：2026． 29．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 30．计算： 【答案】35 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先算括号里面的减法，接着算乘除，最后算加减即可． 【详解】解：原式 31．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是逆用分配律进行简便计算． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． ◆题型9 有理数四则混合运算的实际应用 32．小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A．冷藏区 B．生鲜区 C．冷冻区 D．常温储存 【答案】A 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将药品的华氏温度范围转换为摄氏度范围，再与冰箱各区域温度比较，即可解答． 【详解】解：∵华氏度摄氏度， ∴摄氏度（华氏度）， ∴当华氏度为时，摄氏度， 当华氏度为时，摄氏度， 故药品贮藏温度范围为至， 又∵冷藏区温度为， ∴该温度范围完全在冷藏区内，故应放在冷藏区． 故选：A． 33．如表，学校组织春游参观博物馆，给予资金600元，由3位老师带队参观博物馆，则最多带_________名学生． 类别 单价(元) 购票说明 个人票 成人 20 18岁及以上 学生 10 以中小学学生证为准 学龄前 0 不超过6岁 团体票（30人及以上） 12 团体中所有人都要买票 【答案】54 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，分别计算出购票资金不超过600元时，单独购票和团体购票时所能带的最多学生数，比较即可得到答案． 【详解】解：单独购票最多带名学生，团体购票最多带名学生，， ∴最多带54名学生， 故答案为：54． 34．小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底          1份      38.00 精品羊肉      1份      48.00 雪花牛肉      1份      58.00 毛肚          1份      68.00 贡丸          1份      28.00 金针菇        1份      18.00 蔬菜拼盘      1份      28.00 可乐（饮料）  1瓶      10.00 共计                 296.00 元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 【答案】第二种支付方式最优惠 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与实际应用，读懂题意，列出算式并正确计算是做题的关键．分别计算三种优惠方式的实际支付金额，比较后选择最小值即可． 【详解】解：由题意得， 第一种优惠方式的实际支付金额为：（元）； 第二种优惠方式的实际支付金额为：（元）； （元），， 第三种优惠方式的实际支付金额为：（元）． ， 选择第二种支付方式最优惠． ◆题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负 35．已知、两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，理解图示上点的位置，判定式子的正负是解题的关键．根据数轴特点可得，，，由此进行判定即可求解． 【详解】解：由数轴得，， A、，故原选项错误，不符合题意； B、，，故原选项正确，符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 36．如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的位置与数的大小、符号关系，需结合数轴确定、的取值范围，再逐一分析选项． 【详解】解：由数轴可知，，，且，故选项D错误； ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； 故选：C． 考点二 有理数的乘方 ◆题型1 有理数幂的概念理解 37．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 38．乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数幂，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：乘法运算可以表示为； 故选C． 39．若4个相乘，写成乘方的形式是______，计算结果为_____． 【答案】 【分析】此题可根据有理数的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方定义和运算法则直接解答即可． 【详解】解： 故答案为：，． ◆题型2 有理数的乘方运算 40．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 41．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 42．下列说法中，正确的是（   ） ①0没有相反数        ②负数的奇数次方是负数 ③正数的绝对值等于它本身    ④倒数等于它本身的数只有1 A．②③ B．③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了相反数、乘方、绝对值和倒数，根据相反数、乘方、绝对值和倒数的定义，逐一判断每个陈述的正确性即可，熟练掌握相反数、乘方、绝对值和倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①0的相反数是0，故原说法错误，不符合题意； ②负数的奇数次方是负数，故原说法正确，符合题意； ③正数的绝对值等于它本身，故原说法正确，符合题意； ④倒数等于它本身的数有1和，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 43．比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据乘方计算即可求值； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 44．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“两个非负项的和为0，则每一项都为0的性质求出a、b的值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分都为零，从而求出a和b的值． 【详解】∵， ∴，， 解得， 故答案为：． ◆题型3 乘方运算的符号规律 45．下列说法正确的是（   ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据有理数乘方运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 有理数0的平方为0，不是正数，原说法不正确，本选项不符合题意； B. 正数的立方为正数，0的立方为0，负数的立方为负数，原说法不正确，本选项不符合题意； C.因为，，所以，正确，本选项符合题意； D. 为负值，为正值，故，原说法不正确，本选项不符合题意． 故选：C． 46．任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 47．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． ◆题型4 乘方的应用 48．名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取， 第四天截取木棍总长度的． 故选：B． 49．有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半，经过六次截取，剩余长度是原长乘以． 【详解】解：原长为2米，经过次截取后，剩余长度为， 故答案为：． 50．某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成______个． 【答案】16 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出细胞每20分钟分裂一次，1小时共分裂3轮，再根据每过20分钟便由1个分裂成2个列式计算即可得． 【详解】解：∵每过20分钟细胞分裂一次， ∴经过1小时，分裂轮数为（轮）， ∵某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个， ∴2个这种细胞，经过1小时，能分裂成（个）， 故答案为：16． 考点三 有理数的混合运算 ◆题型1 含乘方的有理数混合运算 51．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 52．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算、减法的性质，掌握有理数混合运算的运算法则及减法的性质是解题关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 53．计算：． 【答案】10 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是做题的关键．根据有理数的混合运算顺序和相应的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 54．计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： 55．计算： (1) (2) 【答案】(1)13 (2)4 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是关键． （1）按照含乘方的有理数的混合运算进行计算即可； （2）先计算除法后，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ◆题型2 程序流程图与有理数计算 56．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 【答案】13 【分析】此题考查的是根据程序图求值，掌握程序图中的条件和有理数的各个运算法则是解决此题的关键．将代入，按照程序图运算，结果不满足，就将结果重复程序图中的运算，直到结果，输出结果即可． 【详解】解：若开始输入时，则， ∴， ∴则最后输出的结果是13， 故答案为：13． 57．按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了代数式求值，正确得出b的值是解题关键．直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是，输出y的值是， ∴， 解得：， 故输入x的值是3时，． 故答案为：3． 58．如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题将计算机编程流程与数学结合，题型新颖，考查了正负数的认识，有理数的加减法和相反数，正确计算是解题的关键． （1）先判断是负数，再进行的计算，判断结果为负数，直接输出即可； （2）先判断出是正数，再进行的计算，结果为正数，再取相反数即可； （3）要对输出结果进行分类讨论，前一程序结果是和进行逆向运算，并要验证是否符合题意即可． 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． ◆题型3 算“24”点 59．“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 60．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 _____________（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 61．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，根据题意判断命题的真假是解题的关键，通过逐一分析每个选项的条件和结论，判断其是否恒成立，即可得到答案. 【详解】解：选项A：∵如果两个数的和为0，则它们互为相反数，但当其中一个数为0时，商不存在，∴A错误； 选项B：∵如果两个数的差为0，则它们相等，但当数为0时，商不存在，∴B错误； 选项C：∵如果两个数的积为，则它们互为负倒数，但和不一定为0，例如2和，和为，∴C错误； 选项D：∵如果两个数的商为，则设一个数为，另一个数为， ∴， ∴D正确， 故选：D. 2．在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，化简多重符号，求一个数的绝对值，有理数的乘方运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．分别计算每个表达式的值，再判断正负． 【详解】解：（正数）， （负数）， （负数）， （正数）， （正数）， ∴负数有2个， 故选：C． 3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 二、填空题 4．已知且，，，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数减法，求一个数的绝对值，由，可知和异号，结合可得为负数，为正数；再根据和确定，，最后计算的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以和异号， 又因为， 所以为负数，为正数； 因为，， 所以，， 所以， 故答案为：． 5．如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 6．计算： ____ 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能找出分子及分母的公因数是解题的关键． 将分子和分母分别提取和，再进行计算即可． 【详解】解：由题知，原式 ． 故答案为：． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）先化简绝对值，进而根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（BodyMassIndex，身体质量指数，又称体质指数）是国际通用的衡量人体胖瘦程度与健康关联的量化指标，核心是用体重（kg）与身高（m）的平方比值快速筛查体重相关健康风险．的常用判断标准如下表．例如，小明体重、身高，那么他的身体质量指数． 分类 中国标准（卫健委） WHO标准 健康提示 体重过轻 可能存在营养不良风险，需关注营养与免疫状况 正常 健康风险低，建议维持体重与生活方式 超重 慢病风险上升，需控制体重、改善饮食与运动 肥胖 慢病风险显著升高，建议医学评估与综合干预 (1)小军的身高是1.5米，体重是45千克．请计算小军的值，并对照中国标准，判断他的体重属于___________范围； (2)小泽的身高是1.4米，他的值约为26.0，处于超重范围．身高不变的情况下，如果他要达到WHO（World Health Organization，中文译为世界卫生组织）标准的正常范围，他至少要减重多少千克？（结果保留一位小数） 【答案】(1)，正常 (2)他至少要减重千克． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）直接利用他的身体质量指数计算即可求解； （2）利用他的身体质量指数计算得出小泽的体重，再计算得出正常体重，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得他的身体质量指数． 对照中国标准，判断他的体重属于正常范围； （2）解：小泽的身高是1.4米，他的值约为26.0， 此时小泽的体重是千克， 正常体重应该是千克， ， ∴他至少要减重千克． 10．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数（乘除乘方与混合运算） 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘法与除法 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算（重） 题型3 有理数乘法的实际应用 题型4 倒数 题型5 有理数乘法运算律 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数乘除混合运算（高频） 题型8 有理数四则混合运算 题型9 有理数四则混合运算的实际应用 题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负（难） 考点二 有理数的乘方 题型1 有理数幂的概念理解（重） 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方运算的符号规律 题型4 乘方的应用（难） 考点三 有理数的混合运算 题型1 含乘方的有理数混合运算（高频）（难） 题型2 程序流程图与有理数计算 题型3 算“24”点 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘法与除法 ◆题型1 两个有理数的乘法运算 1．计算：______________ ． 2．规定一种运算，则_______ ． 3．计算：______． 4．计算： ◆题型2 多个有理数的乘法运算 5．绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 6．绝对值小于的所有负整数的积是________． 7．计算：． ◆题型3 有理数乘法的实际应用 8．用一张纸对折1次可以裁成2张，对折2次可以裁成4张，对折3次可以裁成几张？下列算式不能用来表示对折3次可以裁成的张数的是（   ） A．； B．，，； C．，，； D．，，． 9．某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了__辆汽车． 10．在走进田间课程中，某校六年级学生来到劳动实践基地挖红薯，一共挖了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，等于25千克记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)以每筐25千克为标准，这10筐红薯总计超过或不足多少千克？ (2)若红薯每千克售价12元，则售出这10筐红薯可得多少元？ ◆题型4 倒数 11．的倒数是（     ） A． B． C． D． 12．某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 13．的倒数是___________． 14．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4，求式子的值？ ◆题型5 有理数乘法运算律 15．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 16．计算：__________． 17．规定，如果，则___________ 18．计算：； ◆题型6 有理数的除法运算 19．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 20．甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 21．乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 22．计算：． ◆题型7 有理数乘除混合运算 23．计算：_____． 24．计算：； 25．计算： ． 26．计算： ◆题型8 有理数四则混合运算 27．计算：____________． 28．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，则的值为______． 29．计算：． 30．计算： 31．计算： ◆题型9 有理数四则混合运算的实际应用 32．小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A．冷藏区 B．生鲜区 C．冷冻区 D．常温储存 33．如表，学校组织春游参观博物馆，给予资金600元，由3位老师带队参观博物馆，则最多带_________名学生． 类别 单价(元) 购票说明 个人票 成人 20 18岁及以上 学生 10 以中小学学生证为准 学龄前 0 不超过6岁 团体票（30人及以上） 12 团体中所有人都要买票 34．小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底          1份      38.00 精品羊肉      1份      48.00 雪花牛肉      1份      58.00 毛肚          1份      68.00 贡丸          1份      28.00 金针菇        1份      18.00 蔬菜拼盘      1份      28.00 可乐（饮料）  1瓶      10.00 共计                 296.00 元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ ◆题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负 35．已知、两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 36．如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点二 有理数的乘方 ◆题型1 有理数幂的概念理解 37．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 38．乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 39．若4个相乘，写成乘方的形式是______，计算结果为_____． ◆题型2 有理数的乘方运算 40．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 41．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 42．下列说法中，正确的是（   ） ①0没有相反数        ②负数的奇数次方是负数 ③正数的绝对值等于它本身    ④倒数等于它本身的数只有1 A．②③ B．③④ C．①④ D．①② 43．比较大小：______． 44．若，则__________． ◆题型3 乘方运算的符号规律 45．下列说法正确的是（   ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 46．任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 47．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型4 乘方的应用 48．名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 49．有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 50．某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成______个． 考点三 有理数的混合运算 ◆题型1 含乘方的有理数混合运算 51．计算：． 52．计算： (1)； (2)． 53．计算：． 54．计算：． 55．计算： (1) (2) ◆题型2 程序流程图与有理数计算 56．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 57．按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． 58．如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ ◆题型3 算“24”点 59．“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 60．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 _____________（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 61．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 2．在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知且，，，则的值是_____． 5．如果，那么代数式的值是______． 6．计算： ____ 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 9．（BodyMassIndex，身体质量指数，又称体质指数）是国际通用的衡量人体胖瘦程度与健康关联的量化指标，核心是用体重（kg）与身高（m）的平方比值快速筛查体重相关健康风险．的常用判断标准如下表．例如，小明体重、身高，那么他的身体质量指数． 分类 中国标准（卫健委） WHO标准 健康提示 体重过轻 可能存在营养不良风险，需关注营养与免疫状况 正常 健康风险低，建议维持体重与生活方式 超重 慢病风险上升，需控制体重、改善饮食与运动 肥胖 慢病风险显著升高，建议医学评估与综合干预 (1)小军的身高是1.5米，体重是45千克．请计算小军的值，并对照中国标准，判断他的体重属于___________范围； (2)小泽的身高是1.4米，他的值约为26.0，处于超重范围．身高不变的情况下，如果他要达到WHO（World Health Organization，中文译为世界卫生组织）标准的正常范围，他至少要减重多少千克？（结果保留一位小数） 10．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 有理数（乘除乘方与混合运算） 常考题型精准突破 一● 考点一有理数的乘法与除法●— ◆题型1两个有理数的乘法运算 1 2.10 5 3.4 593245,484225,69123206817 4.【详解】解：原式16+2×1591659720720720720· ◆题型2多个有理数的乘法运算 5.0 6.-6 51,12 7.【详解】解： 6(4+33 -5_3+4×2 6(12123 57.2 612^3 157 1818 8 ◆题型3有理数乘法的实际应用 8.D 9.18750 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(1)不足7千克 (2)2916元 ◆题型4倒数 11.C 12.D 13.7 14.当m=4时，1；当m=-4时，-1 ◆题型5有理数乘法运算律 15.D 1635月 3 17.50.6 18.【详解】解：原式=24×)+24×-24×号 2 3 4 =12+8-6 =14 ◆题型6有理数的除法运算 19.A 20.乙 21.-5 22.【详解】解： 405+8-64号 =4×3+5 -6÷ (462 3 +4x =4× 5 2 -6× 6 104 =3+ 33 =3+2 2/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =5 ◆题型7有理数乘除混合运算 23.12 24.【详解1解：64+2×(-27) 38 =6(-2列） 25.【详解】解： 【)〔( =6(4)(到 =-6(3) 9 2 26,【详解1解：225x2写(4125) 99.( 8 =-2033) 6 ◆题型8有理数四则混合运算 27.6 28.2026 29.【详解】解： (3x1+(-2) 3/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =-3+(-2)×(-2) =-3+4 =1. =12×89) 30.【详解】解：原式 1212 =2(68 =-1+6×6 =-1+36 =35 31.【详解1解，2×{33+253-2x号 535 23 =-x}193+45÷3-5x 535 2 23 =-业x1_19x145151 X- 53532323 (背警州 =(-6+20)×3 ◆题型9有理数四则混合运算的实际应用 32.A 33.54 34.第二种支付方式最优惠 ◆题型10根据点在数轴的位置判断式子的正负 35.B 36.C 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●考点二有理数的乘方 ● ◆题型1有理数幂的概念理解 37.D 38.C ◆题型2有理数的乘方运算 40.D 41.D 42.A 43.< 4日 ◆题型3乘方运算的符号规律 45.C 46.D 47.(1)正(2)负(3)负(4)负 ◆题型4乘方的应用 48.B 1 49.32 50.16 考点三有理数的混合运算·— ◆题型1含乘方的有理数混合运算 51. 【详解1解，（™×-2+4：（引 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =个84号 9 =-8+4×- 4 =-8+9 =1 红【相1山架原武号-5号 2 (2)解：原式 -96-(2 =-3+1 =-2 53.【详解】解： -65+( =6+5-1 =10. 54【详将1解”（到引 =8 55.【详解】(1)解： -r×[4-(3]+(-6 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-1x4-+(-6x() =-1×(-5)+8 =5+8 =13 216引卧得- 16}传+8 =(126别 =(612)*写(-12)2+(-128 =-4+18-10 =4 ◆题型2程序流程图与有理数计算 56.13 57.3 1 58.(0)18 17 (240 17117 (3)2或6或24或24 ◆题型3算“24”点 59.[8-(4]x(-3+5) 04-10(24 答案不唯一) 61.[5-(-3]×[2-(-]=24或-3)×(-6)-(+5=24（答案不唯-） 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.B 二、填空题 4.-9 5.4 1 6.10 三、解答题 7.【16解(2-图到 =-157 824 12014 =-8+88 (2)解： -9劉 仔 18÷2 Γ7 181 72 9 27 (3解：3.2×2217-23x1 -X- 77 75 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =16x1717_171 57-775 7 =34 7· 8.【详解】(1)解： 2列 583 =2写4 =-3 (2解--[2-(3] =-132- =-1写(-7) 1+3 7 4 3 8引}6号 =4x2)-36x7 （》4-346 1x1 7 =-27 20.0kg/m2 9.(1) ,正常 (2)他至少要减重2.2千克. 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.【详解】(1)解：设M=1+2+22+23+24++20, .2M=2+22+23+24+23+…+21, :2M-M=2+2+2+2+23++2"-+2+22+2+2+…+20) M=2"-1: (2)解：设N=1+3+32+3+34+…+3”, 3N=3+32+33+3+35+…+3, 3N-N=3+32+33+3+3+…+31-(1+3+32+33+3+…+3”） 2N=3m+1-1 10/10