专题01 有理数（基础概念与加减运算)（题型专练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 以题型为载体，系统覆盖有理数概念与运算，突出概念生成与运算技能递进，强化几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数的相关概念|15题型/41题|聚焦概念辨析、几何意义应用，含正负数定义、绝对值非负性等|从基础概念（正负数、有理数分类）到几何表征（数轴、相反数），构建“数-形”转化逻辑| |有理数的加法与减法|7题型/26题|强调运算技能与实际应用，涵盖加减混合、简便运算|从单一运算到综合应用，结合生活情境（温度、盈亏），培养运算能力与应用意识|

专题01 有理数（基础概念与加减运算) 常考题型·精准突破 考点一 有理数的相关概念 题型1 正负数的定义 题型2 相反意义的量 题型3 正负数的实际应用（重） 题型4 有理数的定义 题型5 有理数的分类 题型6 带“非”字的有理数 题型7 用数轴上的点表示有理数 题型8相反数的定义 题型9 化简多重符号 题型10 绝对值的几何意义 题型11 求一个数的绝对值（高频） 题型12 有理数大小比较 题型13 利用数轴比较有理数的大小 题型14 数轴上两点之间的距离 题型15 绝对值非负性（难） 考点二 有理数的加法与减法 题型1 有理数加法运算（重） 题型2 有理数加法在生活中的应用 题型3 有理数的减法运算（重） 题型4 有理数减法的实际应用 题型5 有理数的加减混合运算（高频） 题型6 有理数加减中的简便运算 题型7 有理数加减混合运算的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的相关概念 ◆题型1 正负数的定义 1．下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 2．在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ◆题型2 相反意义的量 5．若规定收入为“”，则元表示（     ） A．收入200元 B．支出200元 C．支出元 D．收出元 6．微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 7．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作_________年． 8．向东走18米记作米，那么向西走米记作______米． ◆题型3 正负数的实际应用 9．如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 10．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 11．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 12．某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数． ◆题型4 有理数的定义 13．在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 14．在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ◆题型5 有理数的分类 在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 18．下列各数中，负有理数是（  ） A．0 B． C．2026 D． ◆题型6 带“非”字的有理数 19．在有理数、、、、、、、中，非负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．在，25，0，，中，非负数是_______． 21．把下列各数分类： ，，，0，9，，，10， (1)负有理数集合：{ } (2)正分数集合：{ } (3)非负数集合：{ } (4)非正整数集合：{ } ◆题型7 用数轴上的点表示有理数 22．如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 23．在数轴上分别画出点A，B，C，D，并将点A，B，C，D所表示的数用“”连接．点A表示数；点B表示数；点C表示数2；点D表示数 24．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 25．写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． ◆题型8相反数的定义 26．已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 27．下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 28．的相反数是__________． 29．如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． ◆题型9 化简多重符号 30．___________． 31．比较大小：_____， _____ ．（填、或） 32．用“”号连接：，，；________． 33．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ ◆题型10 绝对值的几何意义 34．数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 35．如果，且，那么_________． 36．数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 37．下列说法正确的是______（只填序号）． ①如果，那么一定是正数；②如果，那么一定不等于；③如果，那么；④如果，那么一定是负数或大于的正数；⑤如果，那么或． ◆题型11 求一个数的绝对值 38．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 39．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 40．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 41．比较大小：_______（填“”、“”或“”）． ◆题型12 有理数大小比较 42．比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 43．比较下列两数的大小：___________（填“>”或“<”）． 44．比较大小：______，______．（填“”、“”或“”） 45．在数轴上表示下列各数：，0，2，，，并将这些数用“<”号顺次连接起来． ◆题型13 利用数轴比较有理数的大小 46．如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 47．在数轴上表示、、，并将这些数用“”相连； 48．把数表示在数轴上，并用“”把这些数连接起来． 49．操作与实践： (1)把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． (2)按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ (3)观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ ◆题型14 数轴上两点之间的距离 50．数轴上到距离为8的点记为点A，那么点A表示的数是________ ． 51．如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是_______． 52．在数轴上，点C到表示的点距离为2个单位长度，且点C在表示的点的左侧，那么点C表示的数为_______． 53．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． ◆题型15 绝对值非负性 54．如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 55．已知，则_________，_________． 56．若为有理数，则的最小值为_____． 考点二 有理数的加法与减法 ◆题型1 有理数加法运算 1．点A为数轴上表示的点，当时，则点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或8 D．2或 2．计算：______． 3．计算：_____． 4．数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． ◆题型2 有理数加法在生活中的应用 5．上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 6．“双十一”期间某网店一周七天的盈亏情况统计如下（盈利记为“”，亏损记为“”，单位：元）：，那么网店这一周共（    ） A．盈利了200元 B．盈利了300元 C．亏损了200元 D．亏损了300元 7．表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 8．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） ◆题型3 有理数的减法运算 9．计算：________． 10．计算：____________． 11．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则______． 12．如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，如，则涂色圈里的数是________． ◆题型4 有理数减法的实际应用 13．某商品包装袋上标注净含量：克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克克 B．497克克 C．500克克 D．497克或503克 14．某质监部门抽查了一批盒装牛奶，检测报告上标明净含量为，则下列产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 15．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． ◆题型5 有理数的加减混合运算 16．计算：． 17．计算：． 18．计算：． 19．计算： 20．计算： ◆题型6 有理数加减中的简便运算 21．计算：． 22．计算： 23．计算：． ◆题型7 有理数加减混合运算的应用 24．“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． 25．以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》在2025年国庆档口碑稳居第一．月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房收入最高的当天票房是_________万元． 日期 9日 日 日 日 日 日 日 票房变化（万元） 0 26．以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 2．下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 3．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 4．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．比较大小：______（用“<”“>”或“=”表示）． 6．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 7．规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 三、解答题 8．（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 9．计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 10．如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 11．规定表示某种新计算：；计算：（） 12．已知，且，求的值． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（基础概念与加减运算) 常考题型·精准突破 考点一 有理数的相关概念 题型1 正负数的定义 题型2 相反意义的量 题型3 正负数的实际应用（重） 题型4 有理数的定义 题型5 有理数的分类 题型6 带“非”字的有理数 题型7 用数轴上的点表示有理数 题型8相反数的定义 题型9 化简多重符号 题型10 绝对值的几何意义 题型11 求一个数的绝对值（高频） 题型12 有理数大小比较 题型13 利用数轴比较有理数的大小 题型14 数轴上两点之间的距离 题型15 绝对值非负性（难） 考点二 有理数的加法与减法 题型1 有理数加法运算（重） 题型2 有理数加法在生活中的应用 题型3 有理数的减法运算（重） 题型4 有理数减法的实际应用 题型5 有理数的加减混合运算（高频） 题型6 有理数加减中的简便运算 题型7 有理数加减混合运算的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的相关概念 ◆题型1 正负数的定义 1．下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类、绝对值的性质、负数的范围以及有理数减法的性质． 需要根据基本概念逐一判断选项的正误． 【详解】∵ 有理数包括正有理数、负有理数和零，但选项A说“有理数分为正有理数和负有理数”，忽略了零， ∴ A错误； ∵ 负数的绝对值是它的相反数，是正数，而不是负数， ∴ B错误； ∵ 负数没有最小值（可无限减小），也没有最大值（负数中越接近零越大，但零不是负数）， ∴ C正确； ∵ 两个有理数的差可以是正数、负数或零，如， ∴ D错误． 故选：C． 2．在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了负数，把各数进行化简是解题的关键．首先把各个数进行化简，再根据在正数前面加上“”是负数即可得到答案． 【详解】解：，是负数，符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； 故负数有个． 故选：C． 3．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：不是负数的数是正数或0，则①错误； ，它是负数，，它是正数，则②错误； 一个正数前面加上“”号就是负数，则③正确； 正数都大于0，则④正确； 当为负数时，为正数，则⑤错误； 综上，正确的个数为2个， 故选：B． 4．下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正数和负数的认识，熟练掌握正负数的基础知识是关键； 根据正负数的定义和0既不是正数也不是负数解答即可. 【详解】解：是正数， 是负数， 0既不是正数也不是负数； 故答案为：；；0 ． ◆题型2 相反意义的量 5．若规定收入为“”，则元表示（     ） A．收入200元 B．支出200元 C．支出元 D．收出元 【答案】B 【分析】规定收入用“”表示，所以“”对应的是收入的相反意义的量，结合生活中收入的相反概念，确定负号对应的实际含义，再对应数值即可得到结果． 【详解】解：元表示支出了200元． 6．微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 【答案】 【详解】解：由题意，规定收款元记作元，即收款用正数表示， ∴ 与收款意义相反的付款应用负数表示， ∴ 付款元记作元． 7．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作_________年． 【答案】/2026 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 根据相反意义的量，公元前用负数表示，公元后用正数表示． 【详解】解：如果公元前600年记作年， 那么公元2026年应记作年， 故答案为：． 8．向东走18米记作米，那么向西走米记作______米． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据向东为正，那么就是向西为负即可解答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵向东走18米记作米， ∴向西走米记作米， 故答案为：． ◆题型3 正负数的实际应用 9．如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【答案】B 【详解】解：∵收入万元记作万元，即收入记为正， ∴支出记为负， ∴万元表示支出万元. 10．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，明确相反关系是解题关键． 收入记为正数，则支出记为负数，直接根据数值和对应符号即可得出答案． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元应记作负数，即元． 故选：． 11．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可， 【详解】解：要解决这道题，我们结合算筹的摆法规则和图形来逐步分析： 1，明确算筹的数位与摆法规则 数位交替规则：个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式以此类推；零的表示：用空格表示；负数表示：在个位数上画斜线表示负数． 2，逐位解析的每一位 千位（横式）：图形为≡，对照横式表格，≡对应数字3，因此千位是3． 百位（纵式）：图形为，对照纵式表格，对应数字6，因此百位是6． 十位（横式）：图形为⊥，对照横式表格，⊥对应数字7，因此十位是 7．个位（纵式，带斜线）：图形为，对照纵式表格，对应数字2，且个位画斜线表示负数，因此个位2． 3，组合各位数字 将千位、百位、十位、个位的数字组合起来，得到这个数是． 故答案为：． 12．某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数． 【答案】一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． 【分析】用每月实际生产的数量减去计划每月生产的数量可得答案． 【详解】解：吨，吨，吨， 即一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． ◆题型4 有理数的定义 13．在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数分为整数和分数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵0是整数， ∴0是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵ π是无限不循环小数， ∴π不是有理数； ∵是整数， ∴是有理数； ∵是有限小数， ∴是有理数， ∴有理数有5个， 故选：D 14．在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，运用分类判断思想，根据有理数是整数、分数（含有限小数和无限循环小数）的定义逐一判断，关键是明确有理数与无理数的区别，易错点是混淆无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解： 是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 无限不循环小数，是无理数； 所以有理数有个； 故选：C． 15．下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义，解题的关键是掌握有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义．利用有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义解答． 【详解】解：①能够写成分数的数叫作有理数，说法正确； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数，说法错误，如：和两数符号不同，绝对值不同也不是相反数； ③所有的素数都是奇数，说法错误，2是素数但不是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数，说法错误，例如，8，9互素，但都是合数， 所以只有①正确． 故选：B． ◆题型5 有理数的分类 在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 17．下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0也是整数，1是最小的正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，原说法正确，不符合题意； B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意； C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意； D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 18．下列各数中，负有理数是（  ） A．0 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数是小于零的有理数，需从选项中找出符合条件的数． 【详解】解：∵负有理数定义为小于零的有理数； A．0既不是正数也不是负数，∴不符合； B．且可表示为分数，∴是有理数且为负，∴符合； C．，∴不符合； D．，∴不符合． 故选：B． ◆题型6 带“非”字的有理数 19．在有理数、、、、、、、中，非负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握非负数的定义是解题关键； 非负数包括正数和零，因此需要找出所有大于或等于零的数． 【详解】解：∵ 非负数是正数或零， ∴ 在给定有理数中，非负数的有：（正数）、（正数）、（正数）、（零），共个； 其他数（、、、）均为负数， ∴非负数有个， 故答案为：B． 20．在，25，0，，中，非负数是_______． 【答案】25，0， 【分析】本题考查了有理数，利用有理数中非负数的概念解答． 【详解】解：在，25，0，0.02，中，非负数是25，0，0.02． 故答案为：25，0，0.02． 21．把下列各数分类： ，，，0，9，，，10， (1)负有理数集合：{ } (2)正分数集合：{ } (3)非负数集合：{ } (4)非正整数集合：{ } 【答案】(1)，，， (2)， (3)，，0，9，10 (4)，0， 【分析】本题考查了有理数的分类． （1）根据负有理数的定义作答即可； （2）根据正分数的定义作答即可； （3）根据非负数的定义作答即可； （4）根据非正整数的定义作答即可． 【详解】（1）负有理数集合：{，，，} 故答案为：，，，； （2）正分数集合：{，} 故答案为：，； （3）非负数集合：{，，0，9，10} 故答案为：，，0，9，10； （4）非正整数集合：{，0，} 故答案为：，0，． ◆题型7 用数轴上的点表示有理数 22．如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 23．在数轴上分别画出点A，B，C，D，并将点A，B，C，D所表示的数用“”连接．点A表示数；点B表示数；点C表示数2；点D表示数 【答案】 将点，，，按对应数值标注在数轴上，如图， 【分析】将各数表示在数轴上，根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可求解． 【详解】略 24．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 【答案】如图所示： 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】略 25．写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 【答案】 ，， 【分析】观察数轴，确定单位长度被平均分成的份数，从而得出每个小格代表的分数值，再根据各点相对于整数点的位置读出数值． 【详解】解：由数轴可知，相邻两个整数（如0和1、1和2之间）被平均分成了份，所以每一份表示， 点在原点右侧第个刻度处，所以点表示的数为， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为 ， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为． ◆题型8相反数的定义 26．已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，由且，可知与互为相反数，因此在数轴上它们分别在原点两侧且到原点距离相等，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴，即与互为相反数， ∴在数轴上，互为相反数的两个点分别位于原点两侧，且到原点的距离相等， 故选：． 27．下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，化简多重符号和求一个数的绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、和不互为相反数，不符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 28．的相反数是__________． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数是2026． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：2026． 29．如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】(1)； (2)点C在数轴上2和3的正中间位置； 点D在和之间，将到的线段平均分为3份，从出发向正方向数1份的位置即为点D． (3) (4)和 【分析】（1）先根据数轴刻度确定点A、点B表示的数，再依据相反数、绝对值的定义分别计算对应结果． （2）根据数的正负和大小，确定2.5和在数轴上的位置，标出对应点C、D． （3）依据数轴上两点间距离公式，即两点所表示数的差的绝对值，计算C、D两点的距离． （4）与点C距离为个单位长度的点有两个，分别在点C的左侧和右侧，用点C表示的数分别加减即可得到对应数值． 【详解】（1）解：从数轴可知：点A表示的数是1， 根据相反数定义，1的相反数是； 点B表示的数是， 根据绝对值定义，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是2． ∴点A表示的数的相反数是，点B表示的数的绝对值是2． （2）略． （3）解：数轴上两点距离等于两数差的绝对值：． （4）解：与点C（表示2.5）相距个单位的点有两个： 在C左侧时为； 在C右侧时为． ∴与点C距离个单位长度的点表示的数是和． ◆题型9 化简多重符号 30．___________． 【答案】 【详解】解：． 31．比较大小：_____， _____ ．（填、或） 【答案】 【详解】解：比较与， ，， 因为，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 所以； 比较与， ，， 将与通分，，， 因为，根据正数比较大小，数值大的数更大， 所以． 32．用“”号连接：，，；________． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的大小比较，多重符号的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 先化简每个表达式，再比较数值大小． 【详解】解：，，， ， ， ∴， 故答案为：． 33．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 【答案】 【分析】先根据相反数和绝对值的定义化简各组中的数，再根据有理数大小比较法则判断：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ，， ∵， ∴． ◆题型10 绝对值的几何意义 34．数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：∵位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点到原点的距离先减小后增大， ∴根据绝对值的几何意义可得，这个点所对应的数的绝对值先减小后增大， 故选：D． 35．如果，且，那么_________． 【答案】3 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，再结合条件筛选符合的解． 【详解】解：由，得或， 解得或， 因为， 所以． 故答案为：3． 36．数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 【答案】7 【分析】本题考查了数轴和有理数的绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 根据数轴和绝对值的定义即可判断． 根据数轴和绝对值的定义，到原点距离小于4个单位长度的点对应绝对值小于4的整数 【详解】解：数轴上到原点的距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点有，共7个； 故答案为：7． 37．下列说法正确的是______（只填序号）． ①如果，那么一定是正数；②如果，那么一定不等于；③如果，那么；④如果，那么一定是负数或大于的正数；⑤如果，那么或． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查的是正数、绝对值、乘方的性质，灵活运用相关概念的定义与运算规律是解题的关键．通过正数的定义判断的正负性，结合绝对值的非负性分析的取值，利用乘方的运算结果确定的可能值，根据两数乘积的符号判断、的符号，进而分析式子的结果． 【详解】解：①、如果，则是正数，正确； ②、如果，则，正确； ③、如果，则，不是，错误； ④、如果，那么一定是负数或大于的正数，正确； ⑤、如果，则和同号，当且时，；当且时，，正确． 故答案为：①②④⑤． ◆题型11 求一个数的绝对值 38．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 39．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，需先化简各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：选项A：，与2相等，不是相反数； 选项B：，与2相等，不是相反数； 选项C：，2与绝对值相等、符号相反，互为相反数； 选项D：，，两数相等，不是相反数． 故选：C． 40．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 41．比较大小：_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较有理数的大小，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 先计算绝对值的值，得到正数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． ◆题型12 有理数大小比较 42．比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 【答案】 【分析】（1）将分数转化为小数后，按小数大小比较规则比较； （2）根据负数比较大小的规则，先比较两个数的绝对值，绝对值大的原数更小． 【详解】解：（1），， ； （2），，， ，即， ． 43．比较下列两数的大小：___________（填“>”或“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查有理数的大小比较，先将分数化为小数，再根据“负数的绝对值越大，该数越小”的规则进行比较． 【详解】解：先将化为小数，得． ∵，，且， ∴根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，可得，即． 故答案为：<． 44．比较大小：______，______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了比较有理数大小．根据正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：， 45．在数轴上表示下列各数：，0，2，，，并将这些数用“<”号顺次连接起来． 【答案】 在数轴上表示各数如图所示： 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据正负数把各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：略． ◆题型13 利用数轴比较有理数的大小 46．如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由于不知道原点位置，故不能判断点A和点B所表示的数的正负，且不能判断二者所表示的数的绝对值的大小，而点A在点B左侧，则点A表示的数小于点B表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵不知道原点的位置， ∴点A表示的数不一定是负数，点A表示的数不一定是正数，点A表示的数的绝对值不一定小于点B所表示的数的绝对值， ∵点A在点B左侧， ∴点A表示的数一定小于点B表示的数， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 47．在数轴上表示、、，并将这些数用“”相连； 【答案】， 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 则． 48．把数表示在数轴上，并用“”把这些数连接起来． 【答案】 数轴上表示如图， ∴ 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数，从而比较数的大小，由题意首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】解：略． 49．操作与实践： (1)把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． (2)按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ (3)观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ 【答案】(1) 在数轴上表示各数，如图所示． (2) (3)，，，0，1，2，3，4 【分析】本题考查数轴与有理数，正确的在数轴上表示出各数，是解题的关键： （1）确定原点，正方向和单位长度，画出数轴，进行把各数在数轴上进行表示即可； （2）根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可； （3）数形结合，求出大于并且小于5的整数即可。 【详解】（1），， （2）按从小到大的顺序用“”连接起来为： ； （3）由数轴得，大于并且小于5的整数有8个：，，，0，1，2，3，4． ◆题型14 数轴上两点之间的距离 50．数轴上到距离为8的点记为点A，那么点A表示的数是________ ． 【答案】或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离的定义，点A到点的距离为8，则点A可能在点的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：点A可能在点的左侧时，则点A表示的数为； 点A可能在点的右侧时，则点A表示的数为． 故答案为：或3． 51．如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是_______． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，掌握数轴上两点间的距离公式是解答本题的关键． 分点B在点A的左侧和右侧两种情况，分别根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B所表示的数为， 当点B在点A的右侧时，点B所表示的数为． 故答案为：或2． 52．在数轴上，点C到表示的点距离为2个单位长度，且点C在表示的点的左侧，那么点C表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 根据数轴上两点间距离公式和点的位置关系，列出绝对值方程求解，并结合点C在左侧的条件确定答案． 【详解】解：设点C表示的数为x，根据题意，点C到的距离为2， 即， 解得或， 又因为点C在的左侧， 所以． 故答案为：． 53．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． ◆题型15 绝对值非负性 54．如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性．绝对值具有非负性，对于任意有理数恒成立；而其他选项在取负值时可能小于零． 【详解】解：∵表示的绝对值，根据绝对值的定义，对于任何有理数，都有； 而A．、B．、C．在时均可能小于零， 例如当时，， 但当时，， ∴只有选项D的值一定不小于零． 故选：D． 55．已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 56．若为有理数，则的最小值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值即可． 【详解】解：因为对于任意有理数a，有， 所以； 当，即时，， 此时， 因此最小值为5． 故答案为：5． 考点二 有理数的加法与减法 ◆题型1 有理数加法运算 1．点A为数轴上表示的点，当时，则点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或8 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，减法运算，在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离．根据数轴上两点距离的定义，点B可能在点A的左侧或右侧，分别计算对应数值，即可作答． 【详解】解：∵点A为数轴上表示的点， ∴当点B在点A右侧时，； 当点B在点A左侧时， ∴B点表示的数是2或； 故选：D 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，将小数化为分数，再与通分后相加，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 4．数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． 【答案】、 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数加法运算，有理数的减法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 到一个点的距离等于3的点有两个，分别位于该点的左侧和右侧． 【详解】解∶ 数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数有两个，分别位于该点的左、右侧，这两个数分别是，， 故答案为：、． ◆题型2 有理数加法在生活中的应用 5．上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的实际应用，正负数的应用． 将盈利记为正数，亏损记为负数，计算四个季度的和即可． 【详解】解：∵第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万， ∴全年盈亏（万）． 故选：B． 6．“双十一”期间某网店一周七天的盈亏情况统计如下（盈利记为“”，亏损记为“”，单位：元）：，那么网店这一周共（    ） A．盈利了200元 B．盈利了300元 C．亏损了200元 D．亏损了300元 【答案】B 【分析】本题考查了正负数在实际问题中的应用，用正负数表示具有相反意义的量，有理数的加法，理解正负数在实际中的应用是解题的关键．通过计算所有每天盈亏的代数和，得出总盈亏情况． 【详解】解：∵ 盈利额总和：（元）， 亏损额总和：（元）， ∴ 总盈亏：（元）， ∴ 盈利了300元。 7．表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 8．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） 【答案】730元 【分析】本题考查了有理数加法的应用，利用卡里原有的钱加上李爷爷每次存取的钱求解即可． 【详解】解∶ ， 答∶ 李爷爷的银行卡上现在有730元钱． ◆题型3 有理数的减法运算 9．计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 10．计算：____________． 【答案】 【分析】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可． 【详解】解：． 11．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则______． 【答案】0 【分析】本题考查定义新运算．根据新定义运算规则，先计算内部，再代入外层运算． 【详解】解：； 由于，故； 则； 由于，故． 故答案为：0． 12．如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，如，则涂色圈里的数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法和减法的实际应用，先分别求出与3相邻的另一个数和与5相邻的另一个数，然后将两个数相加即可得出答案． 【详解】解：根据题意与3相邻的另一个数为：， 与5相邻的另一个数为：， ∴涂色圈里的数是， 故答案为：． ◆题型4 有理数减法的实际应用 13．某商品包装袋上标注净含量：克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克克 B．497克克 C．500克克 D．497克或503克 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数加法和减法的应用，根据“克”表示净含量以500克为基准，允许有克的误差，因此范围是从500减3克到500加3克． 【详解】解：∵净含量标注为克， ∴ 最小值为克，最大值为克， ∴净含量范围是497克克． 故选A． 14．某质监部门抽查了一批盒装牛奶，检测报告上标明净含量为，则下列产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减运算的应用．根据“净含量：”的含义求出净含量的合格范围后再比较即可． 【详解】解：由条件得标准净含量的最小值为， 最大值， ∴只有选项不符合要求； 故选：A． 15．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． ◆题型5 有理数的加减混合运算 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先化简括号，再根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法法则与分数通分运算．先将多个负数相加转化为正数求和后取相反数，再通过找最小公倍数通分，统一分母后计算分子和，最后保留负号得结果． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先观察式子，把减法化为加法，再整理得，然后运算括号内，最后运算加法，即可作答． 【详解】解： 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，解题的关键是掌握有理数的加减计算法则． 根据有理数的加减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 20．计算： 【答案】8 【分析】本题考查有理数的加减运算，运用加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． ◆题型6 有理数加减中的简便运算 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先写成省略括号的形式，再利用交换律与结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 22．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】解： 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法运算律，根据有理数的加减运算法则及运算律计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． ◆题型7 有理数加减混合运算的应用 24．“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． 【答案】 【分析】本题考查了正负数及有理数的加减法在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据题意，以为标准，低于标准记为负，高于标准记为正即可求解． 【详解】解：根据题意得：，下潜深度达到记作， ∴下潜深度为记作：， 故答案为：． 25．以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》在2025年国庆档口碑稳居第一．月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房收入最高的当天票房是_________万元． 日期 9日 日 日 日 日 日 日 票房变化（万元） 0 【答案】242 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，根据正负数的意义，逐日计算票房收入，并比较得出最高值． 【详解】解：10月9日票房：万元； 10月10日票房：万元； 10月11日票房：万元； 10月12日票房：万元； 10月13日票房：万元； 10月14日票房：万元； 10月15日票房：136+4=140万元． 比较上述票房，最高为10月12日的242万元． 故答案为：242． 26．以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【答案】B组的第3个飞行指令是下降，下降米 【分析】将A组无人机群的3个飞行指令的数值求和，再减去B组无人机群的2个飞行指令的数值即可． 【详解】解：由题意得： （米）， 答：B组的第3个飞行指令是下降，下降米． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，数轴，相反数和绝对值的概念，根据概念逐项判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、有理数包括正有理数、负有理数和零，故原选项错误，不符合题意； 、任何有理数都可以用数轴上的点表示，是有理数，能用数轴上的点来表示，故原选项错误，不符合题意； 、相反数是指数值相等但符号相反的数，而表示相反意义的量不一定数值相等，故原选项错误，不符合题意； 、负数的绝对值是它的相反数，故原选项正确，符合题意； 故选：． 2．下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需准确理解有理数的定义和数轴表示方法； 选项A符合有理数的定义；选项B错误，因为绝对值大小与原数大小可能不一致；选项C错误，因为数轴上任意两点间有无数个有理数；选项D错误，因为所有有理数都可以用数轴上的点表示 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 3．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【答案】A 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解． 【详解】解：A、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间为2025年元月6日，而不是，故选项A符合题意； B、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项B不符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 5．比较大小：______（用“<”“>”或“=”表示）． 【答案】> 【分析】本题考查了有理数的比较，绝对值，熟知有理数比较的法则是解题的关键． 先算绝对值，根据两个负数比较绝对值大的反而小，即可解答， 【详解】解：∵， 又，，， ∴， 故答案为：>． 6．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 7．规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据新定义进行正确的计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 8．（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 【答案】 （1）解：如图： （2）或． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离． （1）用数轴上的点表示各数即可； （2）根据数轴上两点间的距离作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度， 则点表示的数是或． 9．计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 【答案】(1) 数轴上表示各数如下： ； (2)①，②，③ 【分析】本题考查了有理数的大小比较、绝对值，相反数，数轴，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）先化简各数，在数轴上表示出各个数，再比较即可； （2）先根据相反数和绝对值的定义化简各数，再根据有理数比较大小的方法比较大小即可． 【详解】（1）解：，， （2）①， ， 故答案为：； ② ，，且， ， 故答案为：； ③， ， 故答案为：． 10．如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【答案】(1)结果一致； (2)能，． 【分析】本题考查了数轴，正数负数的意义． 根据正负数的意义可得向左移动表示负数、向右移动表示正数，两数相加即可得到点所到达的位置表示的数； 根据相加的两个数都是负数，可以设置情境为数轴上的点两次都向左移动． 【详解】（1）解：， 结果一致； （2）能， 对于可以解释为数轴上的一个点，从原点出发，沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处（答案不唯一，言之成理即可） 算式为． 11．规定表示某种新计算：；计算：（） 【答案】 【分析】新定义题型，本质是等量代换，用具体数值将代换，一步一步计算即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴， （）． 12．已知，且，求的值． 【答案】7或1 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的加法运算，根据，结合绝对值的非负性，求出的值，再进行加法运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 综上可知，的值为7或1． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 有理数（基础概念与加减运算） 常考题型·精准突破 ● 考点一有理数的相关概念● ◆题型1正负数的定义 1.C 2.C 3.B 4.+36,1,14,+3 1 -3458 0 ◆题型2相反意义的量 5.B 6.-24 7.+2026/2026 8.-13 ◆题型3正负数的实际应用 9.B 10.B 11.-3672 12.【详解】解：750-800=-50吨，800-800=0吨，950-800=150吨， 即一月份超额完成计划-50吨，二月份超额完成计划0吨，三月份超额完成计划150吨. ◆题型4有理数的定义 13.D 14.C 15.B ◆题型5有理数的分类 16.C 17.C 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.B ◆题型6带“非”字的有理数 19.B 20.25,0,0.02 21.(1)-3’-1' 3 4’-3.14 (2)0.45,2 (3)0.45,2,0,9,10 (4)-3,0,-1 ◆题型7用数轴上的点表示有理数 22.-2026 23.将点A,B,C,D按对应数值标注在数轴上，如图， B AC D 0 21 23 1212 3 5 2<2 27 34 24.如图所示： 母里国甲厚 0 25.2,148 ◆题型8相反数的定义 26.C 27.A 28.2026 29.(1)-1:2 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点C在数轴上2和3的正中间位置： 点D在-2和-1之间，将-2到-1的线段平均分为3份，从-2出发向正方向数1份的位置即为点D. DL上 4821012345→ C 04g 926和2 5 6 ◆题型9化简多重符号 30.月 31.> --(2到 32. 33.> < < ◆题型10绝对值的几何意义 34.D 35.3 36.7 37.①②④⑤ ◆题型11求一个数的绝对值 38.A 39.C 40.c 41.< ◆题型12有理数大小比较 42.< > 43.< 44.> 3/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 45.4<-3<-1.5<0<2 在数轴上表示各数如图所示： -42-3-1.50 2 64青2134对6→ ◆题型13利用数轴比较有理数的大小 46.B 3 913 47. 5 55 42101294 3913 555 48.数轴上表示如图， 4 12530 3.5 -5-4321012345 -2.5<- 0<35 49.(1)在数轴上表示各数，如图所示. -4)32 0-1.51-（←3) -5-4-3-2-1012345 ②(+5-3015-(35 (3)-3,-2,-1,0,1,2,3,4 ◆题型14数轴上两点之间的距离 50.-13或3 51.-4或2 52.-3 53.02-(-3 数轴上表示数“的点与数-5的点之间的距离 (2)-1或5 (3)7 (4)8 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型15绝对值非负性 54.D 1 55.1 -2-0.5 56.5 ● 考点二有理数的加法与减法●一 ◆题型1有理数加法运算 1.D 1 2.-4 7 3.-15 4.1.75、-4.25 ◆题型2有理数加法在生活中的应用 5.B 6.B 7.A 8.730元 ◆题型3有理数的减法运算 71 9.616 10.-8 11.0 12.-8 ◆题型4有理数减法的实际应用 13.A 14.A 1327 15.-5或5 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5有理数的加减混合运算 13（85+675 12+1 16.【详解】解： 46 -12+13 5 3 -8-+6 464 -=12+13-8-63 464 ,33 =12+1-6 1-83 446 =12-5-8 =7-85 6 -1 6 17.【详解】解： =-2+32+2 727272 =-12+32+27 72 s、1 72· 8【1解2 =哈2}(-4 3*(7切 =10+(-10) 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0 19.【详解】解： （)-(5)-8 ()引程 =()+号 〔 20.【详解】解： 25+5-(日 =21-1+53+5 4488 =2+6 =8 ◆题型6有理数加减中的简便运算 21.【详解】解： -15r4(2r8 15-25号 =5-1)-任8 =1-5 8 3 22.【详解】解： 3162-(-2)-3号+3-(+5月-0162 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3.162+2-35+3-5号0162 =162-0162)-+523) =3-8 =-3 4 23.【详解】解： +到 [别 传2对到 =3-6 =-3 ◆题型7有理数加减混合运算的应用 24.+59 25.242 26.【详解】解：由题意得： 21-g+022-周 =(2.1-1.6+0.5)-(2.75-1.2) =1-1.55 =-0.55(米)， 答：B组的第3个飞行指令是下降，下降0.55米. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.A 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.A 4.D 二、填空题 5.> 6.2 7.-4.25 三、解答题 8.(1)解：如图： 24 2 P 3 4 5 -3-21023→ (②)解：数轴上点E表示的数是3片，点p距离点6为号个年位长度。 则点F表示的数是3 3+2号24+16.9 56+6-6政-3-2-21.16。.37 2 3666 9.(1)数轴上表示各数如下： 1 -(+2)-102，,-(+3.5)1, 4-1之年56(2k-1<0<g(43: (2)①>，②<，③> 10.(1)结果一致： (2)能， （-3)+(-2)=-5 23 11.16 12.【详解】解：网=3，=4 ∴.a=3,b=4. la-b=b-a .b2a, .a=±3，b=4 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a+b=-3+4=1或a+b=3+4=7. 综上可知，a+b的值为7或1. 10/10