北京市第五十七中学2025-2026学年高一年级下学期数学期末试题

2025-2026第二学年期末考试高一数学试卷 一、选择题 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（ ） A． B． C． D． 3．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则正数的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．设，则“是第一象限角”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的图象为（ ） A． B． C． D． 7．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ） A． B．可以取到 C． D．可以取到 10．中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于．某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为L，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）．参考数据：，． A．10 B．11 C．12 D．13 11．如图，西周琱（diāo）生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆柱和圆台的高之比约为，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为，则圆柱与圆台的体积之比约为（ ） A． B． C． D． 12．如图，在棱长为1的正方体中，上底面内（含边界）有一动点，下列说法错误的是（ ） A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若是上一动点，则的最小值为 D．若异面直线与所成角为，则的取值范围是 二、填空题 13．已知，则的共轭复数的虚部为__________． 14．某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）．规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率__________． 15．在复平面上，复数2和所对应的点分别为、，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为__________． 16．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是__________． 17．已知函数，如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则________ ；的一个取值为__________． 18．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为__________． 19．若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 20．设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则； ④设，．若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题 21．已知向量，，设． （1）若，，求的值． （2），求的最小值，及此时实数的值． （3）若，求的取值范围； 22．如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面相交与． （1）求证： （2）已知，，，，， （ⅰ）求证：； （ⅱ）若为中点，为上动点，求三棱锥的体积． 23．已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 24．如图，在直三棱柱中，是棱的中点，且，． （1）求证：平面； （2）从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：． 条件②：； 条件③：； 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 25．如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形． （1）在中，角，，的对边分别为，，，若，求角的大小； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． （3）求面积的最大值． 26．对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $