专题05 因式分解的概念与基本方法（题型专练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以“概念-方法-综合”为逻辑主线，覆盖因式分解意义及基本方法，精准对接高频考点，突出题型与知识的对应性，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|7类基础题型（含高频/重点标注）|聚焦概念判断、公因式识别、公式应用等核心考法|从因式分解意义（概念）到提公因式法、公式法（方法），形成完整认知链| |综合攻坚·知能拔高|3类综合题型（含拓展应用）|涉及参数求解、多方法综合、规律探究|深化方法迁移，衔接中考综合题考查方向，发展推理意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05 因式分解的概念与基本方法 常考题型精准突破 ·考点一因式分解的意义。一 ◆题型1判断是否是因式分解 1.B 2.C 3.(3)(6)是因式分解，(1)(2)(4)(5)不是因式分解 ◆题型2已知因式分解的结果求参数 4.B 5.2 6.3x-4/-4+3x 7.-1 ·考点二因式分解的基本方法·— ◆题型1公因式 8.D 9.C 10.2ax/2xa ◆题型2提公因式法分解因式 11.-5ab(abc-2a2-3b) 12.4(2x+y-3) 13。【详解】解：(m-n(x+3)-(a-m)x-y) =(m-n(x+3y)+(m-n)(x-y） 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(m-n)[(x+3y)+(x-y] =(m-n)(x+3y+x-y) =(m-n)(2x+2y) =2(m-n)(x+y) 14.【详解】(1)解：3a-6bc-9b+2ac _a(3+2c)-3b(2c+3) _(2c+3)(a-3b) (2)解a(a-6)+9 =a2-6a+9 =(a-3)} 15.【详解】解：原式=2m(m-3°+6m(m-3)+8m(m-3) =2m(m-3)[(m-3)+3m+4] =2m(m-3)(4m+1) ◆题型3判断能否用公式法分解因式 16.D 17.C 18.4 ◆题型4平方差公式分解因式 19.B 20.7 21.【详解】解：原式=(x2-4y+4y)-22 =(x-2y)2-22 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x-2y+2)(x-2y-2) 22.【详解】解： 4ab-(a2+b2) =(2ab)}-(a2+b2)月 =(2ab+a2+b2）(2ab-a2-b2） =(a+b)2[-(a2-2ab+b)] =-(a+b)(a-b)} 9x2-3x+y-y2 23.【详解】解： =(9x2-y2）-(3x-y) =(3x+y)3x-y)-(3x-y) =(3x-y)(3x+y-1) ◆题型5完全平方公式分解因式 24.C 25.(x-y+6) 27.6x或-6x或4 28.【详解】解： x2-4xy-4+4y2=x2-4xy+4y2-4=(x-2y)-4=(x-2y+2)(x-2y-2) 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.B 3/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.B 3.D 二、填空题 4.6 5.1+) 。.青 三、解答题 =x2-xy+3y-3x 7.【详解】解：原式 =x(x-y)-3(x-y) =(x-y)(x-3) 8.【详解】(1)解：x4-13x2+36 =(x2-4(x2-9 =(x+2)(x-2)(x+3)(x-3) (2)解：6ab+4a+9b+6 =2a(3b+2)+3(3b+2) =(2a+3)(3b+2) 9.【详解】解：原式=[(a2+3a）4 =(a2+3a-4月 =(a+4)(a-1 9m2n(x-3y）+n(3y-x) 10.【详解】(1)解： =9m'n(x-3y)-n(x-3y) 4/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =n(x-3y)(9m2-1) =n(x-3y)(3m-1)(3m+1) (2)解：(r+x°-18(x2++72 =(x2+x-18(x2+x)+81-9 =(x2+x-9}2-9 =(x2+x-9+3)(x2+x-9-3) =(x2+x-6)(x2+x-12） =(x+3)(x-2)(x+4)(x-3) (3)解：a2-18a"+81a-2 =a"-2(a4-18a2+81 =a-2(a2-9) =a-2(a-3(a+3)2 11.(1)-4,-4 (2)-1 (3)解：由(2)可得任+是多顶式2+6+1x+6的一个因式， 可设+6r+1lr+6=(x+(x2+x+g） x3+6x2+11x+6 =x+px2+gx+x2+px+g =x3+(p+1)x2+(g+p)x+g 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p+1=6 ∴.9+p=11, p=5 .9=6, :r+6r+1r+6=(+0x+5x+6)=(x+1)0x+20x+3) 616 专题05 因式分解的概念与基本方法 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的意义 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数（重） 考点二 因式分解的基本方法 题型1 公因式 题型2 提公因式法分解因式（高频） 题型3 判断能否用公式法分解因式 题型4 平方差公式分解因式（重） 题型5 完全平方公式分解因式（重）（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的意义 ◆题型1 判断是否是因式分解 1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得到答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法运算，结果为多项式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符题意； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项等式右边仍然是和的形式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项等式左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意． 2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 3．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 ◆题型2 已知因式分解的结果求参数 4．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 5．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 6．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 7．已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 考点二 因式分解的基本方法 ◆题型1 公因式 8．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 9．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 10．整式中各项的公因式是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式.先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂. 【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为和x，和x的最小指数都为1， ∴整式中各项的公因式是， 故答案为：. ◆题型2 提公因式法分解因式 11．分解因式：______________． 【答案】 【详解】解：． 12．因式分解：_____． 【答案】4 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成分解即可． 【详解】解： = =． 13．分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 14．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解， （1）先分组，再提取公因式即可； （2）先展开多项式，再利用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ． 15．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． ◆题型3 判断能否用公式法分解因式 16．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 17．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 18．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． ◆题型4 平方差公式分解因式 19．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 20．如果，，那么_______． 【答案】7 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 将 用平方差公式分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：由平方差公式，得． ∵，， ∴， 解得． 故答案为：7． 21．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查分组分解法分解因式，将原式化为是正确解答的关键．将原式化为，再根据平方差公式进行解答即可． 【详解】解：原式 ． 22．分解因式：． 【答案】． 【分析】先将原式整理为平方差的形式，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，直至分解彻底即可． 【详解】解： ． 23．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，采用分组分解法分解因式即可得出结果，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． 【详解】解： ． ◆题型5 完全平方公式分解因式 24．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 需满足的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式； 选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配； 选项C：：首项，末项，中间项，符合； 选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方； 故选C． 25．因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．熟悉根据完全平方公式进行因式分解，是解题的关键．可以将看作一个整体，根据完全平方公式将原式转化为即可． 【详解】解：， ， ． 26．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解． 先处理符号，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 27．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 28．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握好公式法并分组分解是解题关键． 先用完全平方公式将部分代数式进行因式分解，再使用平方差公式． 【详解】解：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 2．下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、能用平方差公式，不符合题意； B、能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则_________． 【答案】6 【分析】根据因式分解的定义，多项式乘以多项式等知识﹒设另一个因式为一次式，即可得到，变形为，从而得到，即可求出﹒ 【详解】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 5．因式分解：（n是正整数）______． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6．已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，代数式求值，非负数的性质，根据题意可得和 ，代入方程得到关于和的方程，利用完全平方公式结合非负数的性质得到和，再求出和，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行求解； 利用分组分解法对进行因式分解，再提取公因式，即可得到答案. 【详解】解：原式 . 8．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据十字相乘法分解成，再根据平方差公式分解即可； （2）先分组分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握完全平方公式即可得出结果． 将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； 【详解】解：原式 ． 10．因式分解 (1)； (2)； (3)（为大于2的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）原式先变形，再提取公因式，然后利用平方差公式分解即可； （2）先将原式变形为，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 11．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 2 / 32 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解的概念与基本方法 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的意义 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数（重） 考点二 因式分解的基本方法 题型1 公因式 题型2 提公因式法分解因式（高频） 题型3 判断能否用公式法分解因式 题型4 平方差公式分解因式（重） 题型5 完全平方公式分解因式（重）（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的意义 ◆题型1 判断是否是因式分解 1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． ◆题型2 已知因式分解的结果求参数 4．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 5．如果因式分解的结果为，那么_________． 6．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 7．已知可以因式分解为，求的值． 考点二 因式分解的基本方法 ◆题型1 公因式 8．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 9．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 10．整式中各项的公因式是________． ◆题型2 提公因式法分解因式 11．分解因式：______________． 12．因式分解：_____． 13．分解因式：． 14．因式分解： (1)； (2)． 15．因式分解：． ◆题型3 判断能否用公式法分解因式 16．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 17．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 18．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． ◆题型4 平方差公式分解因式 19．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 20．如果，，那么_______． 21．因式分解： 22．分解因式：． 23．因式分解：． ◆题型5 完全平方公式分解因式 24．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 25．因式分解：__________． 26．因式分解：______． 27．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 28．因式分解：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则_________． 5．因式分解：（n是正整数）______． 6．已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 三、解答题 7．因式分解： 8．因式分解： (1)； (2)． 9．因式分解：． 10．因式分解 (1)； (2)； (3)（为大于2的正整数）． 11．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 2 / 32 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $