专题03 整式的乘法（题型专练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以幂的运算性质为基础，通过2大考点18类题型构建从概念到综合应用的整式乘法训练体系，突出运算能力与应用意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的相关概念|7类题型（含逆用、科学记数法等）|聚焦幂的运算（同底数幂、幂的乘方、积的乘方）及逆用，标注高频、难点题型|从基本幂运算到逆用变形，构建“正向运算-逆向推导-实际应用”逻辑链| |整式的乘法运算|11类题型（含化简求值、图形面积等）|覆盖单项式×单项式、多项式×多项式，突出不含某项求值、规律探究等综合题型|以幂运算为基础，递进至整式乘法，结合几何直观与实际应用，体现“概念-运算-应用”完整认知|

专题03 整式的乘法 常考题型·精准突破 考点一 整式的相关概念 题型1 同底数幂相乘 题型2 同底数幂乘法的逆用（重） 题型3 用科学记数法表示数的乘法 题型4 幂的乘方运算（高频） 题型5 幂的乘方的逆用 题型6 积的乘方运算 题型7 积的乘方的逆用（难） 考点二 整式的乘法运算 题型1 计算单项式乘单项式（重） 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3 计算单项式乘多项式及求值（高频） 题型4 单项式乘多项式的应用 题型5 计算多项式乘多项式（重） 题型6 （x p）（x q）型多项式乘法 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重） 题型8 多项式乘多项式-化简求值 题型9 多项式乘多项式与图形面积 题型10 多项式乘法中的规律性问题（难） 题型11 整式乘法混合运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 幂的运算性质 ◆题型1 同底数幂相乘 1．计算：_____． 2．计算：________． 3．计算：______． 4．计算（结果用幂的形式表示）：______． ◆题型2 同底数幂乘法的逆用 5．计算：___________．（结果用幂的形式表示） 6．如果，，则_______． 7．计算：____________． 8．已知，，则 ______．（请用含有，的代数式表示） ◆题型3 用科学记数法表示数的乘法 9．用科学记数法表示：___________． 10．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示） 11．卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是______米． 12．用简便方法计算：（用科学记数法表示） ◆题型4 幂的乘方运算 13．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 15．计算：_____． 16．计算：． ◆题型5 幂的乘方的逆用 17．设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 18．若， ，则 ________． 19．已知，则_______： 20．比较大小：________．（填“”，“”或“”） ◆题型6 积的乘方运算 21．计算：________________． 22．计算：_____． 23．计算：______． 24．计算：； ◆题型7 积的乘方的逆用 25．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 26．计算：_____． 27．计算：______． 28．计算：______． 考点二 整式的乘法运算 ◆题型1 计算单项式乘单项式 29．计算：__________． 30．计算：________． 31．计算：_____． 32．计算：______． ◆题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 33．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 34．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 35．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． ◆题型3 计算单项式乘多项式及求值 36．计算：______． 37．计算： 38．计算：． 39．计算：． ◆题型4 单项式乘多项式的应用 40．计算：________． 41．计算： 42．计算：． ◆题型5 计算多项式乘多项式 43．计算：______． 44．已知，则________． 45．计算：． 46．计算：． ◆题型6 （x p）（x q）型多项式乘法 47．已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 48．若，则____________． 49．计算：__________． 50．若，则m可取的整数值有______个． ◆题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 51．已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 52．已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 53．已知的展开结果中不含的一次项，则___________． 54．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． ◆题型8 多项式乘多项式-化简求值 55．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 56．已知，，那么的值为 __． 57．若，求的值是________． ◆题型9 多项式乘多项式与图形面积 58．（1）请你写出图1所表示的代数恒等式：___________ （2）试在图2的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于． 59．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 60．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． ◆题型10 多项式乘法中的规律性问题 61．观察下列各式 计算：__________． 62．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是_________． 63．观察下列各式： …… 根据你发现的规律完成下列各题： (1)填空：； (2)填空： =； (3)因式分解：． ◆题型11 整式乘法混合运算 64．计算： 65．计算： 66．计算： 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知与是同类项，则__________． 5．计算：_____________． 6．化简：_____________． 7．若的展开式中不含x的一次项，则_____． 8．若，则的值是________． 三、解答题 9．计算：．（为正整数） 10．已知：，，用、表示． 11．阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 整式的乘法 常考题型精准突破 ·考点一幂的运算性质●— ◆题型1同底数幂相乘 1.a3 2.-a 3.x 4.(a-b)1 ◆题型2同底数幂乘法的逆用 寸2 6.75 7.8100 8.a2b ◆题型3用科学记数法表示数的乘法 9.2.4×10 10.1.2×102 11.2.37×1010 12.【详解1解：3x(-子×(-5 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[(-2)×5]×5 =5×(-10) =-5×103 ◆题型4幂的乘方运算 13.C 14.幂的乘方 15.1 16.【i详解】解：aa-（2a)°+(a) =a8-16a8+a8 =-14a8 ◆题型5幂的乘方的逆用 17.A 18.45 19.196 20.< ◆题型6积的乘方运算 22.9a2 23.x3y2 24.【详解】解：原式=-8aba2b2.3ac =-24ab8c ◆题型7积的乘方的逆用 2/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.B 1 26.-2025 1 27.2 28.-16-0.0625 ·考点二整式的乘法运算●— ◆题型1计算单项式乘单项式 -6x3y 29 30.2x7 31.-4xyz 32.-12y7 ◆题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值 33.B 34.B 35.18 ◆题型3计算单项式乘多项式及求值 36h-6 37.【详解】解： -3x2(2x-4y)+2x(x2-x =-6x3+12x2y+2x3-2x2 =-4x3+12x2y-2x2 319 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 38【详解1解.（w+号-2y -y02 =y+y-2ry 现【保1：限t(y得+ (w)r（w小w（wgr ◆题型4单项式乘多项式的应用 40.a2-3a 41.【详解】解： b+-小2b-2a+a =2a3b2+a2b2-2ab2-ab2-2a3b2 =a2b2-3ab2 1 42.【详解】解：3y(3y+9y+1)+7y4w 1 =-x2y3+3xy3+5y2+2x2y3 3 =y+30+r2. 3 ◆题型5计算多项式乘多项式 43 2x2-3xy-2y2 44.-10 45.【详解】解： 3(x-1)(x+3)-2(x-5)(x-2) 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3(x2+2x-3)-2(x2-7x+10) =3x2+6x-9-2x2+14x-20 =3x2-2x2+6x+14x-9-20 =x2+20x-29 =6x2+9xy+4xy+6y2+2(x-3y)(x+3y) 46.【详解】解：原式 =6x2+90y+4y+6y2+2(x2-9y2） =6x2+9xy+4xy+6y2+2x2-18y2 =8x2+13xy-12y2 ◆题型6(xp)(xq)型多项式乘法 47.B 48.3 49.x2+2x-15 50.9 ◆题型7已知多项式乘积不含某项求字母的值 51.c 52.-8 2 53.3 54.【i详解】解.(ar-b2r-x+2)=2ar+(-2b-a)r+(2a+b)x-2b ,多项式ax-b与2x2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-4， .2a+b=0,-2b=-4, 解得：b=2,a=-1, a=(}=1 519 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型8多项式乘多项式-化简求值 55.B 56.9 57.20 ◆题型9多项式乘多项式与图形面积 58.(1) (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2 (2)画如下图： bab 626262 a ab abab a bb b 59.【详解】(1)解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为 a+b-2b) 它们宽的和为 2a+b-3b) 则a+b-2b)2a+b-36) =(a-b)(2a-2b) =2(a-b)2 =2a2-4ab+2b2 即这两个长方形喷泉池的总面积为2a2-4ab+2b2: (2)当a=200,b=100时， 2a2-4ab+2b2 =2×2002-4×200×100+2×1002 =80000-80000+20000 =20000 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000 a+2b) (a+b) 60.【详解】(1)解：由图可知拼成的长方形的长为 宽为 6/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(a+b)(a+2b) ∴.大长方形的面积 ,拼成的大长方形面积为a2+3ab+2b2, 2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b) 大长方形的代数意义为 (2)解：1号正方形的面积为a2,2号正方形的面积为b,3号长方形的面积为ab, a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2 故根据 的结论可知，x=2,y=3.z=7 所以，x+y+z=2+3+7=12, 故答案为：12， (3)解：.(a+4b)°=a2+8ab+162 ∴.需要3号卡片8张. 故答案为：8， ◆题型10多项式乘法中的规律性问题 22021+1 61. 3 62.128 63.(1)x4+x3+x2+x+1 2-0(+x2++2+x+1） 6)2r-1006x+8x2+4r2+2x+1) ◆题型11整式乘法混合运算 64. 【详解】解：（-3ab)'+(-2ab-3b =-27ab3+4ab2.3b =-27ab3+12ab =-15ab3 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6。【详解]解：-8-[6-2x(x-3]+6(x+1(x+y) =-8x2-(6-2x2+6y)+6(x2+y+x+y） =-8x2-6+2x2-6y+6x2+6y+6x+6y =6x+6y-6 66.【详解】解： (3ob+cabi)Y2abi-ab-ja =oan+12a6-306-6ab30 =02a-oo含） =-4a3b+ab2 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.A 3.C 二、填空题 4.64 6.-28x2 7.-50 1 8.8 三、解答题 9.【详解】解： a-b=-(b-a),k为正整数，2k+1是奇数， 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b2=[-(b-a]=-b-a2 -(a-bb-(6-a2 =-[-b-a}2k+1(b-a)2k.(b-a)2k-3 =(b-a)21.(b-a)2*.(b-a)2-3 =(b-a）2k+1+2k+(2k-3) =(b-a)2+2k+2- =(b-a)t-2 10.【详解1解：8=882=(2(2=22=(2(2 当2*=m,2”=n时，原式=m3.n=mn. 11.(D)(a+b+c)+b+c+2ab+2ac+2bc (2)16 (3)6 ④P-x=x(x+10x-) 919 专题03 整式的乘法 常考题型·精准突破 考点一 整式的相关概念 题型1 同底数幂相乘 题型2 同底数幂乘法的逆用（重） 题型3 用科学记数法表示数的乘法 题型4 幂的乘方运算（高频） 题型5 幂的乘方的逆用 题型6 积的乘方运算 题型7 积的乘方的逆用（难） 考点二 整式的乘法运算 题型1 计算单项式乘单项式（重） 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3 计算单项式乘多项式及求值（高频） 题型4 单项式乘多项式的应用 题型5 计算多项式乘多项式（重） 题型6 （x p）（x q）型多项式乘法 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重） 题型8 多项式乘多项式-化简求值 题型9 多项式乘多项式与图形面积 题型10 多项式乘法中的规律性问题（难） 题型11 整式乘法混合运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 幂的运算性质 ◆题型1 同底数幂相乘 1．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法计算，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握计算公式是解题的关键．根据同底数幂的乘法计算公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据指数法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解： = = ， 故答案为：． 4．计算（结果用幂的形式表示）：______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式； 将 转换为 ，利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． ◆题型2 同底数幂乘法的逆用 5．计算：___________．（结果用幂的形式表示） 【答案】299 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．如果，，则_______． 【答案】75 【分析】此题考查了幂的运算法则．根据幂的乘方、同底数幂的乘法法则得到，把已知条件代入进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 7．计算：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将原式整理为，然后求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．已知，，则 ______．（请用含有，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算进行计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． ◆题型3 用科学记数法表示数的乘法 9．用科学记数法表示：___________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是______米． 【答案】 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 12．用简便方法计算：（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意先将化为指数相同的数的乘积，然后进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，积的乘方运算，掌握积的乘方，有理数的乘方的运算法则是解题的关键． ◆题型4 幂的乘方运算 13．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算规则，包括合并同类项、幂的乘方、积的乘方等． 逐项验证即可． 【详解】解：对于A：∵，∴ A错误． 对于B：∵，∴ B错误． 对于C： ∵，∴ ，与右边相等，∴ C正确． 对于D：∵ ，，∴，D错误． 故选C． 14．计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【答案】幂的乘方 【分析】本题主要考查幂的乘方运算，关键是熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是幂的乘方运算法则即底数不变，指数相乘，公式为． 【详解】解：计算，其中第一步运算的依据是幂的乘方， 故答案为：幂的乘方． 15．计算：_____． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及负数的偶次幂是正数， 利用负数的偶次幂是正数和指数运算法则，可得，再逆用积的乘方运算得出，由此即可计算． 【详解】解：， 故答案为1． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，先计算同底数幂乘法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． ◆题型5 幂的乘方的逆用 17．设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 18．若， ，则 ________． 【答案】45 【分析】根据幂的乘方的逆运算法则求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19．已知，则_______： 【答案】 196 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键；根据指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，，则， 所以． 故答案为196． 20．比较大小：________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方及其逆运算法则可得，再由，可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型6 积的乘方运算 21．计算：________________． 【答案】 【详解】解：． 22．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，应用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 23．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 24．计算：； 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算即可解答． 【详解】解：原式 ． ◆题型7 积的乘方的逆用 25．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 26．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，关键是指数分解和结合； 利用积的乘方公式简化计算. 【详解】解：原式， ， ， ， 故答案为：. 27．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．利用积的乘方的逆运算进行计算，即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 28．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，通过指数运算性质，先计算并前两项为，再与第三项结合，利用指数法则化简． 【详解】解： 故答案为 ． 考点二 整式的乘法运算 ◆题型1 计算单项式乘单项式 29．计算：__________． 【答案】 【分析】根据单项式乘以单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 30．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 31．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，关键是熟练应用法则进行运算； 根据单项式乘法的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘. 【详解】解：， 故答案为：. 32．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． ◆题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 33．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 34．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 35．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． ◆题型3 计算单项式乘多项式及求值 36．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 37．计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，先运算多项式乘单项式，再合并同类项，得． 【详解】解： ． 38．计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 先计算积的乘方运算，再由单项式乘以多项式运算展开即可得到答案． 【详解】解： ． 39．计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式即可. 【详解】解：原式 . ◆题型4 单项式乘多项式的应用 40．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 41．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 42．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，先计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． ◆题型5 计算多项式乘多项式 43．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 44．已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，能正确根据法则展开是解题的关键； 通过展开左边多项式，与右边多项式比较系数，求出和的值，再计算它们的和． 【详解】∵左边， 右边， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 45．计算：． 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 46．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，平方差公式，去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． ◆题型6 （x p）（x q）型多项式乘法 47．已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴ 多项式为， ∴． 即因式分解结果为． 故选：B． 48．若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则可得：，因为，所以，通过比较两边多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解： ， ， ， 可得： 、， 解得： 故答案为：． 49．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，直接根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 50．若，则m可取的整数值有______个． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先整理得，再结合，，，则分别算出m可取的整数值，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴， 则，， ∵为整数 ∴ ， 或35或或16或或9或或5或0，共9个， 故答案为：9 ◆题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 51．已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的乘法运算，准确计算多项式的乘积是解题的关键． 通过展开两个整式的乘积，合并同类项后，令一次项的系数为零，解方程即可求出 的值． 【详解】∵ ， 又∵ 乘积中不含有的一次项， ∴ 一次项系数 ， 解得， ∴ 的值为， 故选：C． 52．已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 53．已知的展开结果中不含的一次项，则___________． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，先利用多项式乘以多项式法则展开，再根据不含的一次项可得关于 的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， ∵ 展开结果中不含的一次项， ∴ ， 解得 ． 故答案为： 54．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． ◆题型8 多项式乘多项式-化简求值 55．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 56．已知，，那么的值为 __． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 57．若，求的值是________． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 ◆题型9 多项式乘多项式与图形面积 58．（1）请你写出图1所表示的代数恒等式：___________ （2）试在图2的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于． 【答案】（1）； （2）画如下图： 【详解】解：（1）矩形的面积可以用长乘以宽得：， 矩形的面积也可以用4个小正方形和5个小矩形的面积和得：， ∴图1所表示的代数恒等式：； 故答案为：； （2）∵， 59．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【答案】(1)（或） (2)20 000 【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意求得两个长方形喷泉池的长与宽的和，然后计算两个长方形喷泉池的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为，它们宽的和为， 则 ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为； （2）当时， ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000． 60．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【答案】(1)如图所示： (2)12 (3)８ 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． （1）画出长方形可知长方形的长为，宽为，根据拼成的大长方形面积为即可求解； （2）根据1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为即可求解； （3）根据可求解． 【详解】（1）解：由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． ◆题型10 多项式乘法中的规律性问题 61．观察下列各式 计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察所给等式，发现，将和代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 62．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是_________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法规律探究，由“杨辉三角”得到： (n为非负整数)展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 63．观察下列各式： …… 根据你发现的规律完成下列各题： (1)填空：； (2)填空： =； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式和整式的乘法运算，发现规律是解答本题的关键． （1）根据题目给出式子得出规律求解即可； （2）根据题目给出式子得出规律求解即可； （3）根据题意进行因式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 故答案为：； （3） ． ◆题型11 整式乘法混合运算 64．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 65．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 66．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法有关法则是解题的关键．根据整式乘法法则依次计算即可． 【详解】解： ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，∴，A错误； 选项B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，B错误； 选项C：∵积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，∴，C错误； 选项D：∵逆用积的乘方法则可得 ，∴，D正确． 2．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用；根据题意有，根据可表示为或或三种形式，则可得到长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为，进而可作出判断． 【详解】解：取出1张型卡片，12张型卡片，其面积和为； 而可表示为或或三种形式， 对应地，长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为， 此时，，， 则可以取13张或8张或7张B型卡片； 当取6张B型卡片时，其面积为，所取三种卡片不能拼成一个长方形． 故选：A． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方，幂的乘方且负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正逐项计算判断即可；本题主要考查了指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方以及负数的乘方运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：，故正确； 选项D：，故错误； 故选：C． 二、填空题 4．已知与是同类项，则__________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母指数相等的方程，求解得到和的值，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：根据同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同，可得：，， 解得，， 根据幂的乘方法则，可得． 5．计算：_____________． 【答案】 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则恒等变形，再由乘方运算及有理数乘法运算计算即可． 【详解】解：． 6．化简：_____________． 【答案】 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 7．若的展开式中不含x的一次项，则_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过多项式乘法，确定展开式中x的一次项系数，并令其为零求解． 【详解】解：的展开式中，的一次项由与相乘、与相乘得到， 即的一次项系数为：， 因不含的一次项， 故， 解得． 故答案为． 8．若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 9．计算：．（为正整数） 【答案】 【分析】先将不同底数的幂化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则计算，用到的性质是：互为相反数的两个数，奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：，为正整数，是奇数， ， ∴ ． 10．已知：，，用、表示． 【答案】 【分析】先逆用同底数幂的乘法运算，再由幂的乘方运算及其逆运算变形，最后将，代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：， 当，时，原式． 11．阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 【答案】(1) (2)16 (3)6 (4) 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． （1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式； （2）依据，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到的值． （4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：16； （3）解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：6； （4）解：∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ， 故答案为：． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $